專題2：函數(shù)問題
35. （2012吉林長春10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=－2x+42交x軸與點(diǎn)A,交直線y=x于點(diǎn)B,拋物線 分別交線段AB、OB于點(diǎn)C、D，點(diǎn)C和點(diǎn)D的橫坐標(biāo)分別為16和4，點(diǎn)P在這條拋物線上．
（1）求點(diǎn)C、D的縱坐標(biāo)．
（2）求a、c的值．
（3）若Q為線段OB上一點(diǎn)，且P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為5，求線段PQ的長．
（4）若Q為線段OB或線段AB上的一點(diǎn)，PQ⊥x軸，設(shè)P、Q兩點(diǎn)之間的距離為d（d＞0），點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m，直接寫出d隨m的增大而減小時(shí)m的取值范圍．
（參考公式：二次函數(shù) 圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ）
【答案】解：（1）∵點(diǎn)C在直線AB：y=－2x+42上，且C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為16，
∴y=－2×16+42=10，即點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為10。
∵D點(diǎn)在直線OB：y=x上，且D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為4。
（2）由（1）知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（16，10），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，4），
∵拋物線 經(jīng)過C、D兩點(diǎn)，
∴ ，解得： ?！鄴佄锞€的解析式為 。
（3）∵P為線段OB上一點(diǎn)，縱坐標(biāo)為5，∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)也為5。
∵點(diǎn)Q在拋物線上，縱坐標(biāo)為5，∴ ，解得 。
當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（ ，5），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，5），線段PQ的長為 ；
當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（ ，5），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，5），線段PQ的長為 。
所以線段PQ的長為 或 。
（4）當(dāng)0≤m＜4或12≤m＜16時(shí)，d隨m的增大而減小。
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，解二元一次方程組和一元二次方程，二次函數(shù)的性質(zhì)。
【分析】（1）點(diǎn)C在直線AB：y=－2x+42上，將C點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入即可求出C點(diǎn)的縱坐標(biāo)，同理可知：D點(diǎn)在直線OB：y=x上，將D點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入解析式即可求出D點(diǎn)的縱坐標(biāo)。
（2）拋物線 經(jīng)過C、D兩點(diǎn)，列出關(guān)于a和c二元二次方程組，解出a和c即可。
（3）根據(jù)Q為線段OB上一點(diǎn)，P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為5，則可以求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，又知P點(diǎn)在拋物線上，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)即可，P、Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差的絕對值即為線段PQ的長。
（4）根據(jù)PQ⊥x軸，可知P和Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和B點(diǎn)的坐標(biāo)，①當(dāng)Q是線段OB上的一點(diǎn)時(shí)，結(jié)合圖形寫出m的范圍，②當(dāng)Q是線段AB上的一點(diǎn)時(shí)，結(jié)合圖形寫出m的范圍即可：
根據(jù)題干條件：PQ⊥x軸，可知P、Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，
∵拋物線y= ，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（8，2）。
聯(lián)立 ，解得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（14，14）。
①當(dāng)點(diǎn)Q為線段OB上時(shí)，如圖所示，當(dāng)0≤m＜4或
12≤m≤14時(shí)，d隨m的增大而減?。?BR> ②當(dāng)點(diǎn)Q為線段AB上時(shí)，如圖所示，當(dāng)14≤m＜16時(shí)，d隨m的增大而減小。
綜上所述，當(dāng)0≤m＜4或12≤m＜16時(shí)，d隨m的增大而減小。
36. （2012湖北荊州12分）已知：y關(guān)于x的函數(shù)y=（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的圖象與x軸有交點(diǎn)．
（1）求k的取值范圍；
（2）若x1，x2是函數(shù)圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，且滿足（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2．
①求k的值；②當(dāng)k≤x≤k+2時(shí)，請結(jié)合函數(shù)圖象確定y的值和值．
【答案】解：（1）當(dāng)k=1時(shí)，函數(shù)為一次函數(shù)y=﹣2x+3，其圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)。
當(dāng)k≠1時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，其圖象與x軸有一個(gè)或兩個(gè)交點(diǎn)，
令y=0得（k﹣1）x2﹣2kx+k+2=0．
△=（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1。
綜上所述，k的取值范圍是k≤2。
（2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且k≠1。
由題意得（k﹣1）x12+（k+2）=2kx1（*），
將（*）代入（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2中得：2k（x1+x2）=4x1x2。
又∵x1+x2= ，x1x2= ，∴2k• =4• ，
解得：k1=﹣1，k2=2（不合題意，舍去）。∴所求k值為﹣1。
②如圖，∵k1=﹣1，y=﹣2x2+2x+1=﹣2（x﹣ ）2+ ，且﹣1≤x≤1，
由圖象知：當(dāng)x=﹣1時(shí)，y最小=﹣3；當(dāng)x= 時(shí)，y= 。
∴y的值為 ，最小值為﹣3。
【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)，一次函數(shù)的定義，一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)物關(guān)系，二次函數(shù)的最值。
【分析】（1）分兩種情況討論，當(dāng)k=1時(shí)，可求出函數(shù)為一次函數(shù)，必與x軸有一交點(diǎn)；當(dāng)k≠1時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，若與x軸有交點(diǎn)，則△≥0。
（2）①根據(jù)（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2及根與系數(shù)的關(guān)系，建立關(guān)于k的方程，求出k的值。②充分利用圖象，直接得出y的值和最小值。
37. （2012湖北隨州12分）一列快車由甲地開往乙地，一列慢車由乙地開往甲地, 兩車同時(shí)出發(fā),勻速運(yùn)動(dòng).快車離乙地的路程y1(km)與行駛的時(shí)間x(h)之間的函數(shù)關(guān)系,如圖中線段AB所示；慢車離乙地的路程y2(km)與行駛的時(shí)間x(h)之間的函數(shù)關(guān)系,如圖中線段OC所示。根據(jù)圖象進(jìn)行以下研究。
解讀信息：
(1)甲、乙兩地之間的距離為 km；
(2)線段AB的解析式為 ; 線段OC的解析式為 ；
問題解決：
(3)設(shè)快、慢車之間的距離為y(km)，求y與慢車行駛時(shí)間x(h)的函數(shù)關(guān)系式，并畫出函數(shù)的圖象。
【答案】解：（1）450。
（2）y1=450－150x（0≤x≤3）；y2=75x（0≤x≤6）。
（3）根據(jù)（2）得出：
。
由函數(shù)解析式y(tǒng)=450－225x（0≤x＜2），當(dāng)x=0，y=450；
由函數(shù)解析式y(tǒng)=225x－450（2≤x＜3），當(dāng)x=2，y=0；
由函數(shù)解析式y(tǒng)=75x（3≤x≤6），當(dāng)x=3，y=225，x=6，y=450。
根據(jù)各端點(diǎn)，畫出圖象，其圖象為折線圖AE－EF－FC：
【考點(diǎn)】一次函數(shù)的圖象和應(yīng)用，待定系數(shù)法，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系。
【分析】（1）利用A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，450），可以得出甲，乙兩地之間的距離。
（2）利用A點(diǎn)坐標(biāo)（0，450），B點(diǎn)坐標(biāo)（3，0），用待定系數(shù)法求出線段AB的解析式；利用C點(diǎn)坐標(biāo)（6，450），用待定系數(shù)法求出線段AB的解析式：
設(shè)線段AB的解析式為：y1=kx+b，根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)（0，450），B點(diǎn)坐標(biāo)（3，0），
得出： ，解得： ?！嗑€段AB的解析式為：y1=450－150x（0≤x≤3）。
設(shè)線段OC的解析式為：y2=ax，將（6，450）代入得a=75。
∴線段OC的解析式為 y2=75x （0≤x≤6）。
（3）利用（2）中所求得出， ，從而求出函數(shù)解析式，得出圖象即可。
38. （2012湖北孝感12分）)如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(－1，0)、B(3，0)，與y
軸交于點(diǎn)C(0，3)．
(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(2)若P為線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，求四邊形PMAC的面積的值和此
時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)若點(diǎn)P是拋物線第一象限上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥AC交x軸于點(diǎn)Q．當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為
時(shí)，四邊形PQAC是平行四邊形；當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 時(shí)，四邊形PQAC是等腰梯形(直接寫出結(jié)果，不寫求解過程)．
【答案】解：（1）∵拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(－1，0)、B(3，0)，
∴可設(shè)拋物線的解析式為 。
又∵拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 與y軸交于點(diǎn)C(0，3)，
∴ ，解得 。
∴拋物線的解析式為 。即 。
又∵ ，∴拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）。
（2）設(shè)直線BD的解析式為 ，
由B（3，0），D（1，4）得 ，解得 。
∴直線BD的解析式為 。
∵點(diǎn)P在直線PD上，∴設(shè)P（p， ）。
則OA=1，OC=3，OM= p，PM= 。
∴ 。
∵ ，∴當(dāng) 時(shí)，四邊形PMAC的面積取得值為 ，此時(shí)點(diǎn)P的坐
標(biāo)為（ ）。
（3）（2，3）；（ ）。
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的判定，等腰梯形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)勾股定理，解一元二次方程。
【分析】（1）將拋物線的解析式設(shè)為交點(diǎn)式，可用待定系數(shù)法較簡捷地求得拋物線的解析式，將其化為頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。
（2）求出直線BD的解析式，設(shè)定點(diǎn)P的坐標(biāo)，由 列式，根據(jù)二
次函數(shù)最值原理，即可求得四邊形PMAC的面積的值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)。
（3）①如圖，四邊形PQAC是平行四邊形時(shí)，
∵CP∥x軸，點(diǎn)P在拋物線上，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對稱軸x=1對稱。
∵C(0，3)，∴P（2，3）。
②如圖，四邊形PQAC是等腰梯形時(shí)，
設(shè)P（m， ），
過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，則H（m，0）。
易得△ACO∽△QNP，∴ 。
∵OA=1，OC=3，HP= ，∴ ，即 。
∴AQ=AO+OH－QH= 。∴ 。
又由勾股定理得， 。
由四邊形PQAC是等腰梯形得AQ=CP，即AQ2=CP2，
∴ ，整理得 ，解得 或 。
當(dāng) 時(shí)，由①知CP∥AQ，四邊形PQAC是平行四邊形，不符合條件，舍去。
當(dāng) 時(shí)，CP與AQ不平行，符合條件?！郟（ ）。
39. （2012江蘇鎮(zhèn)江9分）對于二次函數(shù) 和一次函數(shù) ，把 稱為這兩個(gè)函數(shù)的“再生二次函數(shù)”，其中t是不為零的實(shí)數(shù)，其圖象記作拋物線E?，F(xiàn)有點(diǎn)A（2，0）和拋物線E上的點(diǎn)B（－1，n），請完成下列任務(wù)：
【嘗試】
（1）當(dāng)t=2時(shí)，拋物線 的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ▲ 。
（2）判斷點(diǎn)A是否在拋物線E上；
（3）求n的值。
【發(fā)現(xiàn)】通過（2）和（3）的演算可知，對于t取任何不為零的實(shí)數(shù)，拋物線E總過定點(diǎn)，坐標(biāo)為 ▲ 。
【應(yīng)用1】二次函數(shù) 是二次函數(shù) 和一次函數(shù) 的一個(gè)“再生二次函數(shù)”嗎？如果是，求出t的值；如果不是，說明理由；
【應(yīng)用2】以AB為邊作矩形ABCD，使得其中一個(gè)頂點(diǎn)落在y軸上，或拋物線E經(jīng)過A、B、C、D其中的一點(diǎn)，求出所有符合條件的t的值。
【答案】解：【嘗試】（1）（1，－2）。
（2）點(diǎn)A在拋物線E上，理由如下：
將x=2代入 得y=0。
∴點(diǎn)A在拋物線E上。
（3）將（－1，n）代入 得
。
【發(fā)現(xiàn)】A（2，0）和B（－1，6）。
【應(yīng)用1】不是。
∵將x=－1代入 ，得 ，
∴二次函數(shù) 的圖象不經(jīng)過點(diǎn)B。
∴二次函數(shù) 不是二次函數(shù) 和一次函數(shù) 的一個(gè)“再生二次函數(shù)”。
【應(yīng)用2】如圖，作矩形ABC1D1和ABC2D2，過點(diǎn)B作BK⊥y軸于點(diǎn)K，過點(diǎn)D1作D1G⊥x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)C2作C2H⊥y軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)B作BM⊥x軸于點(diǎn)M，C2H與BM相交于點(diǎn)T。
易得AM=3，BM=6，BK=1，△KBC1∽△NBA，
則 ，即 ，得 。
∴C1（0， ）。
易得△KBC1≌△GAD1，得AG=1，GD1= 。∴D1（3， ）。
易得△OAD2∽GAD1，則 ，
由AG=1，OA=2，GD1= 得 ，得OD2=1?！郉2（0，－1）。
易得△TBC2≌△OD2A，得TC2=AO=2，BT==OD2=1?！郈2（－3，5）。
∵拋物線E總過定點(diǎn)A、B，∴符合條件的三點(diǎn)只可能是A、B、C或A、B、D。
當(dāng)拋物線經(jīng)過A、B、C1時(shí)，將C1（0， ）代入 得 ；
當(dāng)拋物線經(jīng)過A、B、D1時(shí)，將D1（3， ）代入 得 ；
當(dāng)拋物線經(jīng)過A、B、C2時(shí)，將C2（－3，5）代入 得 ；
當(dāng)拋物線經(jīng)過A、B、D2時(shí)，將D2（0，－1）代入 得 。
∴滿足條件的所有t值為 ， ， ， 。
【考點(diǎn)】新定義，二次函數(shù)的性質(zhì)，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，矩形的性質(zhì)。
【分析】【嘗試】（1）當(dāng)t=2時(shí)，拋物線為 ，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，－2）。
（2）根據(jù)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系驗(yàn)證即可。
（3）根據(jù)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系，將（－1，n）代入函數(shù)關(guān)系式 即可求得n的值。
【發(fā)現(xiàn)】由（1）可得。
【應(yīng)用1】根據(jù)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系驗(yàn)證即可。
【應(yīng)用2】根據(jù)條件，作出矩形，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)新定義求出t的值。
40. （2012四川瀘州11分）如圖，二次函數(shù) 的圖象與x軸相交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè))，與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)D在第一象限.過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為H。
(1)當(dāng) 時(shí)，求tan∠ADH的值；
(2)當(dāng)60°≤∠ADB≤90°時(shí)，求m的變化范圍；
(3)設(shè)△BCD和△ABC的面積分別為S1、S2，且滿足S1=S2，求點(diǎn)D到直線BC的距離。
【答案】解：（1）)當(dāng) 時(shí)， 。∴D ?！郉H= 。
在 中令 ，即 ，解得 。
∴A（－1，0）。∴AH= ?！鄑an∠ADH= 。
（2）∵ ，∴D 。
∴DH= 。
在 中令 ，即 ，解得 。
∵頂點(diǎn)D在第一象限，∴ 。∴
∴A（－1，0）?！郃H= 。
當(dāng)∠ADB=600時(shí)，∠ADH=300，tan∠ADH= 。
∴ ，解得 （增根，舍去）。
當(dāng)∠ADB=900時(shí)，∠ADH=450，AH=DH，即 ，
解得 （不符合 ，舍去）。
∴當(dāng)60°≤∠ADB≤90°時(shí)， 。
（3）設(shè)DH與BC交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，
設(shè)過點(diǎn)B（ ，0），C（0， ）的直線為 ，則
，解得 。
∴直線BC為 。
當(dāng) 時(shí)， 。
∴M（m， ）?！郉M= ，AB= 。
∵S△BCD= DM•OB，S△ABC= AB•OC，S△BCD=S△ABC，
∴ 。
又∵頂點(diǎn)D在第一象限，∴ ，解得 。
當(dāng) 時(shí) ，A（－1，0），B（5，0），C（0， ）。
∴BC= ，S△ABC= 。
設(shè)點(diǎn)D到BC的距離為d，∵S△DBC= ，
∴ ，解得 。
答：點(diǎn)D到直線BC的距離為 。
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，二次函數(shù)的性質(zhì)，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，待定系數(shù)法，銳角三角函數(shù)定義，點(diǎn)到直線的距離，解二元一次方程組和一元二次方程。
【分析】（1）求出頂點(diǎn)D和A的坐標(biāo)，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義即可求出tan∠ADH的值。
（2）求出∠ADB=600和∠ADB=900時(shí)的m的值即可得出m的變化范圍。
（3）設(shè)點(diǎn)D到BC的距離為d，根據(jù)S△DBC= 和S△BCD=S△ABC，求出BC和S△ABC即可求得點(diǎn)D到直線BC的距離d。
35. （2012吉林長春10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=－2x+42交x軸與點(diǎn)A,交直線y=x于點(diǎn)B,拋物線 分別交線段AB、OB于點(diǎn)C、D，點(diǎn)C和點(diǎn)D的橫坐標(biāo)分別為16和4，點(diǎn)P在這條拋物線上．
（1）求點(diǎn)C、D的縱坐標(biāo)．
（2）求a、c的值．
（3）若Q為線段OB上一點(diǎn)，且P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為5，求線段PQ的長．
（4）若Q為線段OB或線段AB上的一點(diǎn)，PQ⊥x軸，設(shè)P、Q兩點(diǎn)之間的距離為d（d＞0），點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m，直接寫出d隨m的增大而減小時(shí)m的取值范圍．
（參考公式：二次函數(shù) 圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ）
【答案】解：（1）∵點(diǎn)C在直線AB：y=－2x+42上，且C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為16，
∴y=－2×16+42=10，即點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為10。
∵D點(diǎn)在直線OB：y=x上，且D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為4。
（2）由（1）知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（16，10），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，4），
∵拋物線 經(jīng)過C、D兩點(diǎn)，
∴ ，解得： ?！鄴佄锞€的解析式為 。
（3）∵P為線段OB上一點(diǎn)，縱坐標(biāo)為5，∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)也為5。
∵點(diǎn)Q在拋物線上，縱坐標(biāo)為5，∴ ，解得 。
當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（ ，5），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，5），線段PQ的長為 ；
當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（ ，5），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，5），線段PQ的長為 。
所以線段PQ的長為 或 。
（4）當(dāng)0≤m＜4或12≤m＜16時(shí)，d隨m的增大而減小。
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，解二元一次方程組和一元二次方程，二次函數(shù)的性質(zhì)。
【分析】（1）點(diǎn)C在直線AB：y=－2x+42上，將C點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入即可求出C點(diǎn)的縱坐標(biāo)，同理可知：D點(diǎn)在直線OB：y=x上，將D點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入解析式即可求出D點(diǎn)的縱坐標(biāo)。
（2）拋物線 經(jīng)過C、D兩點(diǎn)，列出關(guān)于a和c二元二次方程組，解出a和c即可。
（3）根據(jù)Q為線段OB上一點(diǎn)，P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為5，則可以求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，又知P點(diǎn)在拋物線上，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)即可，P、Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差的絕對值即為線段PQ的長。
（4）根據(jù)PQ⊥x軸，可知P和Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和B點(diǎn)的坐標(biāo)，①當(dāng)Q是線段OB上的一點(diǎn)時(shí)，結(jié)合圖形寫出m的范圍，②當(dāng)Q是線段AB上的一點(diǎn)時(shí)，結(jié)合圖形寫出m的范圍即可：
根據(jù)題干條件：PQ⊥x軸，可知P、Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，
∵拋物線y= ，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（8，2）。
聯(lián)立 ，解得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（14，14）。
①當(dāng)點(diǎn)Q為線段OB上時(shí)，如圖所示，當(dāng)0≤m＜4或
12≤m≤14時(shí)，d隨m的增大而減?。?BR> ②當(dāng)點(diǎn)Q為線段AB上時(shí)，如圖所示，當(dāng)14≤m＜16時(shí)，d隨m的增大而減小。
綜上所述，當(dāng)0≤m＜4或12≤m＜16時(shí)，d隨m的增大而減小。
36. （2012湖北荊州12分）已知：y關(guān)于x的函數(shù)y=（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的圖象與x軸有交點(diǎn)．
（1）求k的取值范圍；
（2）若x1，x2是函數(shù)圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，且滿足（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2．
①求k的值；②當(dāng)k≤x≤k+2時(shí)，請結(jié)合函數(shù)圖象確定y的值和值．
【答案】解：（1）當(dāng)k=1時(shí)，函數(shù)為一次函數(shù)y=﹣2x+3，其圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)。
當(dāng)k≠1時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，其圖象與x軸有一個(gè)或兩個(gè)交點(diǎn)，
令y=0得（k﹣1）x2﹣2kx+k+2=0．
△=（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1。
綜上所述，k的取值范圍是k≤2。
（2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且k≠1。
由題意得（k﹣1）x12+（k+2）=2kx1（*），
將（*）代入（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2中得：2k（x1+x2）=4x1x2。
又∵x1+x2= ，x1x2= ，∴2k• =4• ，
解得：k1=﹣1，k2=2（不合題意，舍去）。∴所求k值為﹣1。
②如圖，∵k1=﹣1，y=﹣2x2+2x+1=﹣2（x﹣ ）2+ ，且﹣1≤x≤1，
由圖象知：當(dāng)x=﹣1時(shí)，y最小=﹣3；當(dāng)x= 時(shí)，y= 。
∴y的值為 ，最小值為﹣3。
【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)，一次函數(shù)的定義，一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)物關(guān)系，二次函數(shù)的最值。
【分析】（1）分兩種情況討論，當(dāng)k=1時(shí)，可求出函數(shù)為一次函數(shù)，必與x軸有一交點(diǎn)；當(dāng)k≠1時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，若與x軸有交點(diǎn)，則△≥0。
（2）①根據(jù)（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2及根與系數(shù)的關(guān)系，建立關(guān)于k的方程，求出k的值。②充分利用圖象，直接得出y的值和最小值。
37. （2012湖北隨州12分）一列快車由甲地開往乙地，一列慢車由乙地開往甲地, 兩車同時(shí)出發(fā),勻速運(yùn)動(dòng).快車離乙地的路程y1(km)與行駛的時(shí)間x(h)之間的函數(shù)關(guān)系,如圖中線段AB所示；慢車離乙地的路程y2(km)與行駛的時(shí)間x(h)之間的函數(shù)關(guān)系,如圖中線段OC所示。根據(jù)圖象進(jìn)行以下研究。
解讀信息：
(1)甲、乙兩地之間的距離為 km；
(2)線段AB的解析式為 ; 線段OC的解析式為 ；
問題解決：
(3)設(shè)快、慢車之間的距離為y(km)，求y與慢車行駛時(shí)間x(h)的函數(shù)關(guān)系式，并畫出函數(shù)的圖象。
【答案】解：（1）450。
（2）y1=450－150x（0≤x≤3）；y2=75x（0≤x≤6）。
（3）根據(jù)（2）得出：
。
由函數(shù)解析式y(tǒng)=450－225x（0≤x＜2），當(dāng)x=0，y=450；
由函數(shù)解析式y(tǒng)=225x－450（2≤x＜3），當(dāng)x=2，y=0；
由函數(shù)解析式y(tǒng)=75x（3≤x≤6），當(dāng)x=3，y=225，x=6，y=450。
根據(jù)各端點(diǎn)，畫出圖象，其圖象為折線圖AE－EF－FC：
【考點(diǎn)】一次函數(shù)的圖象和應(yīng)用，待定系數(shù)法，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系。
【分析】（1）利用A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，450），可以得出甲，乙兩地之間的距離。
（2）利用A點(diǎn)坐標(biāo)（0，450），B點(diǎn)坐標(biāo)（3，0），用待定系數(shù)法求出線段AB的解析式；利用C點(diǎn)坐標(biāo)（6，450），用待定系數(shù)法求出線段AB的解析式：
設(shè)線段AB的解析式為：y1=kx+b，根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)（0，450），B點(diǎn)坐標(biāo)（3，0），
得出： ，解得： ?！嗑€段AB的解析式為：y1=450－150x（0≤x≤3）。
設(shè)線段OC的解析式為：y2=ax，將（6，450）代入得a=75。
∴線段OC的解析式為 y2=75x （0≤x≤6）。
（3）利用（2）中所求得出， ，從而求出函數(shù)解析式，得出圖象即可。
38. （2012湖北孝感12分）)如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(－1，0)、B(3，0)，與y
軸交于點(diǎn)C(0，3)．
(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(2)若P為線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，求四邊形PMAC的面積的值和此
時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)若點(diǎn)P是拋物線第一象限上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥AC交x軸于點(diǎn)Q．當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為
時(shí)，四邊形PQAC是平行四邊形；當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 時(shí)，四邊形PQAC是等腰梯形(直接寫出結(jié)果，不寫求解過程)．
【答案】解：（1）∵拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(－1，0)、B(3，0)，
∴可設(shè)拋物線的解析式為 。
又∵拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 與y軸交于點(diǎn)C(0，3)，
∴ ，解得 。
∴拋物線的解析式為 。即 。
又∵ ，∴拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）。
（2）設(shè)直線BD的解析式為 ，
由B（3，0），D（1，4）得 ，解得 。
∴直線BD的解析式為 。
∵點(diǎn)P在直線PD上，∴設(shè)P（p， ）。
則OA=1，OC=3，OM= p，PM= 。
∴ 。
∵ ，∴當(dāng) 時(shí)，四邊形PMAC的面積取得值為 ，此時(shí)點(diǎn)P的坐
標(biāo)為（ ）。
（3）（2，3）；（ ）。
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的判定，等腰梯形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)勾股定理，解一元二次方程。
【分析】（1）將拋物線的解析式設(shè)為交點(diǎn)式，可用待定系數(shù)法較簡捷地求得拋物線的解析式，將其化為頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。
（2）求出直線BD的解析式，設(shè)定點(diǎn)P的坐標(biāo)，由 列式，根據(jù)二
次函數(shù)最值原理，即可求得四邊形PMAC的面積的值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)。
（3）①如圖，四邊形PQAC是平行四邊形時(shí)，
∵CP∥x軸，點(diǎn)P在拋物線上，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對稱軸x=1對稱。
∵C(0，3)，∴P（2，3）。
②如圖，四邊形PQAC是等腰梯形時(shí)，
設(shè)P（m， ），
過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，則H（m，0）。
易得△ACO∽△QNP，∴ 。
∵OA=1，OC=3，HP= ，∴ ，即 。
∴AQ=AO+OH－QH= 。∴ 。
又由勾股定理得， 。
由四邊形PQAC是等腰梯形得AQ=CP，即AQ2=CP2，
∴ ，整理得 ，解得 或 。
當(dāng) 時(shí)，由①知CP∥AQ，四邊形PQAC是平行四邊形，不符合條件，舍去。
當(dāng) 時(shí)，CP與AQ不平行，符合條件?！郟（ ）。
39. （2012江蘇鎮(zhèn)江9分）對于二次函數(shù) 和一次函數(shù) ，把 稱為這兩個(gè)函數(shù)的“再生二次函數(shù)”，其中t是不為零的實(shí)數(shù)，其圖象記作拋物線E?，F(xiàn)有點(diǎn)A（2，0）和拋物線E上的點(diǎn)B（－1，n），請完成下列任務(wù)：
【嘗試】
（1）當(dāng)t=2時(shí)，拋物線 的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ▲ 。
（2）判斷點(diǎn)A是否在拋物線E上；
（3）求n的值。
【發(fā)現(xiàn)】通過（2）和（3）的演算可知，對于t取任何不為零的實(shí)數(shù)，拋物線E總過定點(diǎn)，坐標(biāo)為 ▲ 。
【應(yīng)用1】二次函數(shù) 是二次函數(shù) 和一次函數(shù) 的一個(gè)“再生二次函數(shù)”嗎？如果是，求出t的值；如果不是，說明理由；
【應(yīng)用2】以AB為邊作矩形ABCD，使得其中一個(gè)頂點(diǎn)落在y軸上，或拋物線E經(jīng)過A、B、C、D其中的一點(diǎn)，求出所有符合條件的t的值。
【答案】解：【嘗試】（1）（1，－2）。
（2）點(diǎn)A在拋物線E上，理由如下：
將x=2代入 得y=0。
∴點(diǎn)A在拋物線E上。
（3）將（－1，n）代入 得
。
【發(fā)現(xiàn)】A（2，0）和B（－1，6）。
【應(yīng)用1】不是。
∵將x=－1代入 ，得 ，
∴二次函數(shù) 的圖象不經(jīng)過點(diǎn)B。
∴二次函數(shù) 不是二次函數(shù) 和一次函數(shù) 的一個(gè)“再生二次函數(shù)”。
【應(yīng)用2】如圖，作矩形ABC1D1和ABC2D2，過點(diǎn)B作BK⊥y軸于點(diǎn)K，過點(diǎn)D1作D1G⊥x軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)C2作C2H⊥y軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)B作BM⊥x軸于點(diǎn)M，C2H與BM相交于點(diǎn)T。
易得AM=3，BM=6，BK=1，△KBC1∽△NBA，
則 ，即 ，得 。
∴C1（0， ）。
易得△KBC1≌△GAD1，得AG=1，GD1= 。∴D1（3， ）。
易得△OAD2∽GAD1，則 ，
由AG=1，OA=2，GD1= 得 ，得OD2=1?！郉2（0，－1）。
易得△TBC2≌△OD2A，得TC2=AO=2，BT==OD2=1?！郈2（－3，5）。
∵拋物線E總過定點(diǎn)A、B，∴符合條件的三點(diǎn)只可能是A、B、C或A、B、D。
當(dāng)拋物線經(jīng)過A、B、C1時(shí)，將C1（0， ）代入 得 ；
當(dāng)拋物線經(jīng)過A、B、D1時(shí)，將D1（3， ）代入 得 ；
當(dāng)拋物線經(jīng)過A、B、C2時(shí)，將C2（－3，5）代入 得 ；
當(dāng)拋物線經(jīng)過A、B、D2時(shí)，將D2（0，－1）代入 得 。
∴滿足條件的所有t值為 ， ， ， 。
【考點(diǎn)】新定義，二次函數(shù)的性質(zhì)，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，矩形的性質(zhì)。
【分析】【嘗試】（1）當(dāng)t=2時(shí)，拋物線為 ，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，－2）。
（2）根據(jù)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系驗(yàn)證即可。
（3）根據(jù)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系，將（－1，n）代入函數(shù)關(guān)系式 即可求得n的值。
【發(fā)現(xiàn)】由（1）可得。
【應(yīng)用1】根據(jù)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系驗(yàn)證即可。
【應(yīng)用2】根據(jù)條件，作出矩形，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)新定義求出t的值。
40. （2012四川瀘州11分）如圖，二次函數(shù) 的圖象與x軸相交于點(diǎn)A、B(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè))，與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)D在第一象限.過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為H。
(1)當(dāng) 時(shí)，求tan∠ADH的值；
(2)當(dāng)60°≤∠ADB≤90°時(shí)，求m的變化范圍；
(3)設(shè)△BCD和△ABC的面積分別為S1、S2，且滿足S1=S2，求點(diǎn)D到直線BC的距離。
【答案】解：（1）)當(dāng) 時(shí)， 。∴D ?！郉H= 。
在 中令 ，即 ，解得 。
∴A（－1，0）。∴AH= ?！鄑an∠ADH= 。
（2）∵ ，∴D 。
∴DH= 。
在 中令 ，即 ，解得 。
∵頂點(diǎn)D在第一象限，∴ 。∴
∴A（－1，0）?！郃H= 。
當(dāng)∠ADB=600時(shí)，∠ADH=300，tan∠ADH= 。
∴ ，解得 （增根，舍去）。
當(dāng)∠ADB=900時(shí)，∠ADH=450，AH=DH，即 ，
解得 （不符合 ，舍去）。
∴當(dāng)60°≤∠ADB≤90°時(shí)， 。
（3）設(shè)DH與BC交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，
設(shè)過點(diǎn)B（ ，0），C（0， ）的直線為 ，則
，解得 。
∴直線BC為 。
當(dāng) 時(shí)， 。
∴M（m， ）?！郉M= ，AB= 。
∵S△BCD= DM•OB，S△ABC= AB•OC，S△BCD=S△ABC，
∴ 。
又∵頂點(diǎn)D在第一象限，∴ ，解得 。
當(dāng) 時(shí) ，A（－1，0），B（5，0），C（0， ）。
∴BC= ，S△ABC= 。
設(shè)點(diǎn)D到BC的距離為d，∵S△DBC= ，
∴ ，解得 。
答：點(diǎn)D到直線BC的距離為 。
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，二次函數(shù)的性質(zhì)，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，待定系數(shù)法，銳角三角函數(shù)定義，點(diǎn)到直線的距離，解二元一次方程組和一元二次方程。
【分析】（1）求出頂點(diǎn)D和A的坐標(biāo)，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義即可求出tan∠ADH的值。
（2）求出∠ADB=600和∠ADB=900時(shí)的m的值即可得出m的變化范圍。
（3）設(shè)點(diǎn)D到BC的距離為d，根據(jù)S△DBC= 和S△BCD=S△ABC，求出BC和S△ABC即可求得點(diǎn)D到直線BC的距離d。