(一)1.已知函數(shù)f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在[0，]上的值為，當把f(x)的圖象上的所有點向右平移φ(0<φ<)個單位后，得到圖象對應(yīng)函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱.
(1)求函數(shù)g(x)的解析式;
(2)在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知g(x)在y軸右側(cè)的第一個零點為C，若c=4，求△ABC的面積S的值.
解 (1)由題意知，函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，]上單調(diào)遞增，
∴2sin =，
∴=2kπ+，k∈Z，
得ω=4k+，k∈Z.
經(jīng)驗證當k=0時滿足題意，故求得ω=，
∴g(x)=2sin(x-)，
故×-φ=kπ+，k∈Z，
∴φ=-2kπ+，k∈Z，又0<φ<，
∴φ=.故g(x)=2sin(-).
(2)根據(jù)題意，得-=kπ，k∈Z，
∴x=2kπ+，k∈Z，∴C=.
又c=4，得16=a2+b2-2abcos ，
∴a2+b2=16+ab≥2ab，
∴ab≤32+16，
∴S=absin C=ab≤8+4，
∴S的值為8+4.
2.四棱錐S—ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SB=SC=.
(1)設(shè)平面SCD與平面SAB的交線為l，求證：l∥AB;
(2)求證：SA⊥BC;
(3)求直線SD與平面SAB所成角的正弦值.
(1)證明 ∵底面ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD.
∵AB平面SCD，CD平面SCD，
∴AB∥平面SCD，
又∵平面SCD與平面SAB的交線為l，
∴l(xiāng)∥AB.
(2)證明 連結(jié)AC.
∵∠ABC=45°，AB=2，BC=2，
由余弦定理得AC=2，
∴AC=AB.
取BC中點G，連結(jié)SG，AG，則AG⊥BC.
∵SB=SC，∴SG⊥BC，
∵SG∩AG=G，∴BC⊥平面SAG，
∴BC⊥SA.
(3)解 如圖，以射線OA為x軸，以射線OB為y軸，以射線OS為z軸，以O(shè)為原點，建立空間直角坐標系O-xyz，
則A(，0,0)，B(0，，0)，S(0,0,1)，D(，-2，0).
∴=(，-2，0)-(0,0,1)=(，-2，-1)，
=(，0,0)-(0,0,1)=(，0，-1)，
=(，0,0)-(0，，0)=(，-，0).
設(shè)平面SAB法向量為n=(x，y，z)，
有
令x=1，則y=1，z=，n=(1,1，)，
cos〈n，〉= ==-.
∴直線SD與平面SAB所成角的正弦值為.
3.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=2n2+n(n∈N*)，數(shù)列{an}滿足an=4log2bn+3(n∈N*).
(1)求an，bn;
(2)求數(shù)列{an·bn}的前n項和Tn.
解 (1)由Sn=2n2+n，得a1=S1=3;
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=4n-1.
又a1=3也適合上式.
所以an=4n-1，n∈N*，
由4n-1=an=4log2bn+3，得bn=2n-1，n∈N*.
(2)由(1)知anbn=(4n-1)2n-1，n∈N*.
所以Tn=3+7×2+11×22+…+(4n-1)2n-1，
所以2Tn=3×2+7×22+…+(4n-5)2n-1+(4n-1)2n，
所以2Tn-Tn=(4n-1)2n-[3+4(2+22+…+2n-1)]
=(4n-5)2n+5.
故Tn=(4n-5)2n+5，n∈N*.
4.一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂;每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得-200分).設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨立.
(1)設(shè)每盤游戲獲得的分數(shù)為X，求X的概率分布;
(2)玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少?
(3)玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分數(shù)相比.分數(shù)沒有增加反而減少了.請運用概率與統(tǒng)計的相關(guān)知識分析分數(shù)減少的原因.
解 (1)X可能的取值為10,20,100，-200.
根據(jù)題意，有
P(X=10)=C×()1×(1-)2=，
P(X=20)=C×()2×(1-)1=，
P(X=100)=C×()3×(1-)0=，
P(X=-200)=C×()0×(1-)3=.
所以X的概率分布為
X 10 20 100 -200 P (2)設(shè)“第i盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件Ai(i=1,2,3)，則P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=.
所以“三盤游戲中至少有一次出現(xiàn)音樂”的概率為
1-P(A1A2A3)=1-()3=1-=.
(3)X的均值為
E(X)=10×+20×+100×-200×=-.
這表明獲得分數(shù)X的均值為負，
因此，多次游戲之后分數(shù)減少的可能性更大.
5.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知A，B，C是橢圓+=1(a>b>0)上不同的三點，A(3，)，B(-3，-3)，C在第三象限，線段BC的中點在直線OA上.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)求點C的坐標;
(3)設(shè)動點P在橢圓上(異于點A，B，C)且直線PB，PC分別交直線OA于M，N兩點，證明·為定值并求出該定值.
解 (1)由已知，得
解得
∴橢圓的標準方程為+=1.
(2)設(shè)點C(m，n)(m<0，n<0)，則BC中點為(，).
由已知，求得直線OA的方程為x-2y=0，
從而m=2n-3.①
又∵點C在橢圓上，∴m2+2n2=27.②
由①②，解得n=3(舍)，n=-1，從而m=-5.
∴點C的坐標為(-5，-1).
(3)設(shè)P(x0，y0)，M(2y1，y1)，N(2y2，y2).
∵P，B，M三點共線，∴=，
整理得y1=.
∵P，C，N三點共線，∴=，
整理得y2=.
∵點P在橢圓上，∴x+2y=27，x=27-2y.
從而y1y2=
==3×=.
∴·=5y1y2=，
∴·為定值，定值為.
6.已知函數(shù)f(x)=x+aln x在x=1處的切線與直線x+2y=0垂直，函數(shù)g(x)=f(x)+x2-bx.
(1)求實數(shù)a的值;
(2)若函數(shù)g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù)b的取值范圍;
(3)設(shè)x1，x2 (x10)，
g′(x)=+x-(b-1)=.
設(shè)μ(x)=x2-(b-1)x+1，則μ(0)=1>0只需
⇒b>3.
∴b的取值范圍為(3，+∞).
(3)令g′(x)=0，則x2-(b-1)x+1=0，
∴x1+x2=b-1，x1x2=1.
g(x1)-g(x2)=ln +(x-x)-(b-1)(x1-x2)
=ln +(x-x)-(x1+x2)(x1-x2)
=ln -
=ln-(-)，
設(shè)t=，∵0
(1)求函數(shù)g(x)的解析式;
(2)在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知g(x)在y軸右側(cè)的第一個零點為C，若c=4，求△ABC的面積S的值.
解 (1)由題意知，函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，]上單調(diào)遞增，
∴2sin =，
∴=2kπ+，k∈Z，
得ω=4k+，k∈Z.
經(jīng)驗證當k=0時滿足題意，故求得ω=，
∴g(x)=2sin(x-)，
故×-φ=kπ+，k∈Z，
∴φ=-2kπ+，k∈Z，又0<φ<，
∴φ=.故g(x)=2sin(-).
(2)根據(jù)題意，得-=kπ，k∈Z，
∴x=2kπ+，k∈Z，∴C=.
又c=4，得16=a2+b2-2abcos ，
∴a2+b2=16+ab≥2ab，
∴ab≤32+16，
∴S=absin C=ab≤8+4，
∴S的值為8+4.
2.四棱錐S—ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SB=SC=.
(1)設(shè)平面SCD與平面SAB的交線為l，求證：l∥AB;
(2)求證：SA⊥BC;
(3)求直線SD與平面SAB所成角的正弦值.
(1)證明 ∵底面ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD.
∵AB平面SCD，CD平面SCD，
∴AB∥平面SCD，
又∵平面SCD與平面SAB的交線為l，
∴l(xiāng)∥AB.
(2)證明 連結(jié)AC.
∵∠ABC=45°，AB=2，BC=2，
由余弦定理得AC=2，
∴AC=AB.
取BC中點G，連結(jié)SG，AG，則AG⊥BC.
∵SB=SC，∴SG⊥BC，
∵SG∩AG=G，∴BC⊥平面SAG，
∴BC⊥SA.
(3)解 如圖，以射線OA為x軸，以射線OB為y軸，以射線OS為z軸，以O(shè)為原點，建立空間直角坐標系O-xyz，
則A(，0,0)，B(0，，0)，S(0,0,1)，D(，-2，0).
∴=(，-2，0)-(0,0,1)=(，-2，-1)，
=(，0,0)-(0,0,1)=(，0，-1)，
=(，0,0)-(0，，0)=(，-，0).
設(shè)平面SAB法向量為n=(x，y，z)，
有
令x=1，則y=1，z=，n=(1,1，)，
cos〈n，〉= ==-.
∴直線SD與平面SAB所成角的正弦值為.
3.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=2n2+n(n∈N*)，數(shù)列{an}滿足an=4log2bn+3(n∈N*).
(1)求an，bn;
(2)求數(shù)列{an·bn}的前n項和Tn.
解 (1)由Sn=2n2+n，得a1=S1=3;
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=4n-1.
又a1=3也適合上式.
所以an=4n-1，n∈N*，
由4n-1=an=4log2bn+3，得bn=2n-1，n∈N*.
(2)由(1)知anbn=(4n-1)2n-1，n∈N*.
所以Tn=3+7×2+11×22+…+(4n-1)2n-1，
所以2Tn=3×2+7×22+…+(4n-5)2n-1+(4n-1)2n，
所以2Tn-Tn=(4n-1)2n-[3+4(2+22+…+2n-1)]
=(4n-5)2n+5.
故Tn=(4n-5)2n+5，n∈N*.
4.一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂;每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得-200分).設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨立.
(1)設(shè)每盤游戲獲得的分數(shù)為X，求X的概率分布;
(2)玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少?
(3)玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分數(shù)相比.分數(shù)沒有增加反而減少了.請運用概率與統(tǒng)計的相關(guān)知識分析分數(shù)減少的原因.
解 (1)X可能的取值為10,20,100，-200.
根據(jù)題意，有
P(X=10)=C×()1×(1-)2=，
P(X=20)=C×()2×(1-)1=，
P(X=100)=C×()3×(1-)0=，
P(X=-200)=C×()0×(1-)3=.
所以X的概率分布為
X 10 20 100 -200 P (2)設(shè)“第i盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件Ai(i=1,2,3)，則P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=.
所以“三盤游戲中至少有一次出現(xiàn)音樂”的概率為
1-P(A1A2A3)=1-()3=1-=.
(3)X的均值為
E(X)=10×+20×+100×-200×=-.
這表明獲得分數(shù)X的均值為負，
因此，多次游戲之后分數(shù)減少的可能性更大.
5.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知A，B，C是橢圓+=1(a>b>0)上不同的三點，A(3，)，B(-3，-3)，C在第三象限，線段BC的中點在直線OA上.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)求點C的坐標;
(3)設(shè)動點P在橢圓上(異于點A，B，C)且直線PB，PC分別交直線OA于M，N兩點，證明·為定值并求出該定值.
解 (1)由已知，得
解得
∴橢圓的標準方程為+=1.
(2)設(shè)點C(m，n)(m<0，n<0)，則BC中點為(，).
由已知，求得直線OA的方程為x-2y=0，
從而m=2n-3.①
又∵點C在橢圓上，∴m2+2n2=27.②
由①②，解得n=3(舍)，n=-1，從而m=-5.
∴點C的坐標為(-5，-1).
(3)設(shè)P(x0，y0)，M(2y1，y1)，N(2y2，y2).
∵P，B，M三點共線，∴=，
整理得y1=.
∵P，C，N三點共線，∴=，
整理得y2=.
∵點P在橢圓上，∴x+2y=27，x=27-2y.
從而y1y2=
==3×=.
∴·=5y1y2=，
∴·為定值，定值為.
6.已知函數(shù)f(x)=x+aln x在x=1處的切線與直線x+2y=0垂直，函數(shù)g(x)=f(x)+x2-bx.
(1)求實數(shù)a的值;
(2)若函數(shù)g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù)b的取值范圍;
(3)設(shè)x1，x2 (x10)，
g′(x)=+x-(b-1)=.
設(shè)μ(x)=x2-(b-1)x+1，則μ(0)=1>0只需
⇒b>3.
∴b的取值范圍為(3，+∞).
(3)令g′(x)=0，則x2-(b-1)x+1=0，
∴x1+x2=b-1，x1x2=1.
g(x1)-g(x2)=ln +(x-x)-(b-1)(x1-x2)
=ln +(x-x)-(x1+x2)(x1-x2)
=ln -
=ln-(-)，
設(shè)t=，∵0