一、選擇題
1.已知=，則tan α+=( )
A.-8 B.8
C.1 D.-1
答案：A 解題思路：
=
=cos α-sin α=，
1-2sin αcos α=，即sin αcos α=-.
則tan α+=+===-8.故選A.
2.在ABC中，若tan Atan B=tan A+tan B+1，則cos C的值為( )
A.-1/2 B.1/3
C. 1/2D.-1
答案：B 解題思路：由tan Atan B=tan A+tan B+1，可得=-1，即tan(A+B)=-1，又因?yàn)锳+B(0，π)，所以A+B=，則C=，cos C=.
3.已知曲線y=2sincos與直線y=相交，若在y軸右側(cè)的交點(diǎn)自左向右依次記為P1，P2，P3，…，則||等于( )
A.π B.2π
C.3π D.4π
答案：B 命題立意：本題考查三角恒等變換及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，難度較小.
解題思路：由于f(x)=2sin2=2×=1+sin 2x，據(jù)題意，令1+sin 2x=，解得2x=2kπ-或2x=2kπ-(kZ)，即x=kπ-或x=kπ-(kZ)，故P1，P5，因此||==2π.
4.在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，S表示ABC的面積，若acos B+bcos A=csin C，S=(b2+c2-a2)，則B等于( )
A.90° B.60°
C.45° D.30°
答案：C 解題思路：由正弦定理和已知條件知sin Acos B+sin Bcos A=sin2C，即sin(A+B)=sin2C， sin C=1，C=，從而S=ab=(b2+c2-a2)=(b2+b2)，解得a=b，因此B=45°.
5.已知=k,0<θ<，則sin的值( )
A.隨著k的增大而增大
B.有時(shí)隨著k的增大而增大，有時(shí)隨著k的增大而減小
C.隨著k的增大而減小
D.是一個(gè)與k無(wú)關(guān)的常數(shù)
答案：A 解題思路：k==
=2sin θcos θ=sin 2θ，因?yàn)?<θ<，所以sin=-=-=-為增函數(shù)，所以sin的值隨著k的增大而增大.
6.在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知4sin2-cos 2C=，且a+b=5，c=，則ABC的面積為( )
A.3 B.3
C.-1/2 D.1/2
答案：A 命題立意：本題主要考查余弦定理及三角形面積的求解，意在考查考生對(duì)余弦定理的理解和應(yīng)用能力.
解題思路： 4sin2-cos 2C=，
2[1-cos(A+B)]-2cos2C+1=，
2+2cos C-2cos2C+1=，
cos2C-cos C+=0，解得cos C=，
故sin C=.根據(jù)余弦定理有
cos C==，ab=a2+b2-7，
3ab=a2+b2+2ab-7=(a+b)2-7=25-7=18，ab=6，
S=absin C=×6×=.
二、填空題
7.若sin=，則sin 2α=__________.
答案：- 解題思路：sin 2α=-cos=-cos=2sin2-1=2×2-1=-.
8.在銳角三角形ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊且a=2csin A，c=，ABC的面積為，則a+b=________.
答案：5 命題立意：本題考查解三角形的基本知識(shí)，包括三角形面積公式、正弦定理、余弦定理等，考查考生對(duì)知識(shí)的整合能力.
解題思路：由a=2csin A及正弦定理得==， sin A≠0， sin C=.
ABC是銳角三角形， C=，
S△ABC=ab·sin =，即ab=6， c=，由余弦定理得a2+b2-2abcos =7，即a2+b2-ab=7，解得(a+b)2=25，故a+b=5.
9.有這樣一道題：“在ABC中，已知a=，________，2cos2=(-1)cos B，求角A.”已知該題的答案是A=60°，若橫線處的條件為三角形中某一邊的長(zhǎng)度，則此條件應(yīng)為_(kāi)_______.
答案：c= 解題思路：由2cos2=(-1)cos B得1-cos B=(-1)cos B，即cos B=，所以B=45°，則C=180°-45°-60°=75°，由正弦定理，得=，所以c=.
10.已知ABC中，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，若1+=，則的最小值為_(kāi)_______.
答案：1 解題思路：因?yàn)锳，B，C為ABC中的角，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，又1+===，
由正弦定理得=，所以1+=，而1+=，所以cos A=，又A為ABC中的內(nèi)角，所以A=.
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-2bc×≥2bc-bc=bc.(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取“=”)所以的最小值為1.
三、解答題
11.如圖，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A處(-1)海里的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°方向，距A處2海里的C處的我方緝私船奉命以10海里/小時(shí)的速度追截走私船，此時(shí)走私船正以10海里/小時(shí)的速度，從B處向北偏東30°方向逃竄.問(wèn)：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船?并求出所需時(shí)間.
解析：設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛t小時(shí)，才能最快截獲走私船(在D點(diǎn))，
則CD=10t海里，BD=10t海里.
在ABC中，由余弦定理 ，得
BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A
=(-1)2+22-2(-1)·2·cos 120°=6，
BC=(海里).
由正弦定理知=，
sin ∠ABC===，
ABC=45°， B點(diǎn)在C點(diǎn)的正東方向上，
CBD=90°+30°=120°.
在BCD中，由正弦定理，得
=，
sin ∠BCD=
==，
BCD=30°， 緝私船沿北偏東60°的方向行駛.
又在BCD中，CBD=120°，BCD=30°，
D=30°，
BD=BC，即10t=，
t=小時(shí)≈15分鐘.
故緝私船應(yīng)沿北偏東60°的方向行駛，才能最快截獲走私船，大約需要15分鐘.
12.已知向量m=sin(A-B)，sin，n=(1,2sin B)，m·n=sin 2C，其中A，B，C分別為ABC的三邊a，b，c所對(duì)的角.
(1)求角C的大小;
(2)若sin A+sin B=2sin C，且SABC=，求邊c的長(zhǎng).
解析：(1) m·n=sin(A-B)+2cos Asin B
=sin Acos B+cos Acos B=sin(A+B)，
在ABC中，A+B=π-C且0
sin(A+B)=sin C，
又 m·n=sin 2C，
sin C=sin 2C=2cos Csin C，
cos C=， C=.
(2) sin A+sin B=2sin C，
由正弦定理得a+b=2c，
SABC=absin C=ab=，得ab=4，
由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcos C
=(a+b)2-3ab=4c2-12，
c=2.
13.在ABC中，a，b，c分別是三內(nèi)角A，B，C所對(duì)的三邊，已知b2+c2=a2+bc.
(1)求角A的大小;
(2)若2sin2+2sin2=1，試判斷ABC的形狀.
解析：(1)b2+c2=a2+bc，
所以cos A===，
又A(0，π)，得到A=.
(2) 2sin2+2sin2=1，
1-cos B+1-cos C=1，
cos B+cos C=1，
即cos B+cos=1，得到
sin=1，
0
B+=，
B=，ABC為等邊三角形.
14.在ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，4sin2-cos 2A=.
(1)求A的度數(shù);
(2)若a=，b+c=3，求b，c的值.
解析：(1) B+C=π-A，即=-，
由4sin2-cos 2A=，
得4cos2-cos 2A=，
即2(1+cos A)-(2cos2A-1)=，
整理得4cos2A-4cos A+1=0，
即(2cos A-1)2=0.
cos A=，又0°
(2)由A=60°，根據(jù)余弦定理cos A=，得=，
b2+c2-bc=3，
又b+c=3，
∴ b2+c2+2bc=9.
①-得bc=2.
解得或
1.已知=，則tan α+=( )
A.-8 B.8
C.1 D.-1
答案：A 解題思路：
=
=cos α-sin α=，
1-2sin αcos α=，即sin αcos α=-.
則tan α+=+===-8.故選A.
2.在ABC中，若tan Atan B=tan A+tan B+1，則cos C的值為( )
A.-1/2 B.1/3
C. 1/2D.-1
答案：B 解題思路：由tan Atan B=tan A+tan B+1，可得=-1，即tan(A+B)=-1，又因?yàn)锳+B(0，π)，所以A+B=，則C=，cos C=.
3.已知曲線y=2sincos與直線y=相交，若在y軸右側(cè)的交點(diǎn)自左向右依次記為P1，P2，P3，…，則||等于( )
A.π B.2π
C.3π D.4π
答案：B 命題立意：本題考查三角恒等變換及向量的坐標(biāo)運(yùn)算，難度較小.
解題思路：由于f(x)=2sin2=2×=1+sin 2x，據(jù)題意，令1+sin 2x=，解得2x=2kπ-或2x=2kπ-(kZ)，即x=kπ-或x=kπ-(kZ)，故P1，P5，因此||==2π.
4.在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，S表示ABC的面積，若acos B+bcos A=csin C，S=(b2+c2-a2)，則B等于( )
A.90° B.60°
C.45° D.30°
答案：C 解題思路：由正弦定理和已知條件知sin Acos B+sin Bcos A=sin2C，即sin(A+B)=sin2C， sin C=1，C=，從而S=ab=(b2+c2-a2)=(b2+b2)，解得a=b，因此B=45°.
5.已知=k,0<θ<，則sin的值( )
A.隨著k的增大而增大
B.有時(shí)隨著k的增大而增大，有時(shí)隨著k的增大而減小
C.隨著k的增大而減小
D.是一個(gè)與k無(wú)關(guān)的常數(shù)
答案：A 解題思路：k==
=2sin θcos θ=sin 2θ，因?yàn)?<θ<，所以sin=-=-=-為增函數(shù)，所以sin的值隨著k的增大而增大.
6.在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知4sin2-cos 2C=，且a+b=5，c=，則ABC的面積為( )
A.3 B.3
C.-1/2 D.1/2
答案：A 命題立意：本題主要考查余弦定理及三角形面積的求解，意在考查考生對(duì)余弦定理的理解和應(yīng)用能力.
解題思路： 4sin2-cos 2C=，
2[1-cos(A+B)]-2cos2C+1=，
2+2cos C-2cos2C+1=，
cos2C-cos C+=0，解得cos C=，
故sin C=.根據(jù)余弦定理有
cos C==，ab=a2+b2-7，
3ab=a2+b2+2ab-7=(a+b)2-7=25-7=18，ab=6，
S=absin C=×6×=.
二、填空題
7.若sin=，則sin 2α=__________.
答案：- 解題思路：sin 2α=-cos=-cos=2sin2-1=2×2-1=-.
8.在銳角三角形ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊且a=2csin A，c=，ABC的面積為，則a+b=________.
答案：5 命題立意：本題考查解三角形的基本知識(shí)，包括三角形面積公式、正弦定理、余弦定理等，考查考生對(duì)知識(shí)的整合能力.
解題思路：由a=2csin A及正弦定理得==， sin A≠0， sin C=.
ABC是銳角三角形， C=，
S△ABC=ab·sin =，即ab=6， c=，由余弦定理得a2+b2-2abcos =7，即a2+b2-ab=7，解得(a+b)2=25，故a+b=5.
9.有這樣一道題：“在ABC中，已知a=，________，2cos2=(-1)cos B，求角A.”已知該題的答案是A=60°，若橫線處的條件為三角形中某一邊的長(zhǎng)度，則此條件應(yīng)為_(kāi)_______.
答案：c= 解題思路：由2cos2=(-1)cos B得1-cos B=(-1)cos B，即cos B=，所以B=45°，則C=180°-45°-60°=75°，由正弦定理，得=，所以c=.
10.已知ABC中，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，若1+=，則的最小值為_(kāi)_______.
答案：1 解題思路：因?yàn)锳，B，C為ABC中的角，角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，又1+===，
由正弦定理得=，所以1+=，而1+=，所以cos A=，又A為ABC中的內(nèi)角，所以A=.
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-2bc×≥2bc-bc=bc.(當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取“=”)所以的最小值為1.
三、解答題
11.如圖，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A處(-1)海里的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°方向，距A處2海里的C處的我方緝私船奉命以10海里/小時(shí)的速度追截走私船，此時(shí)走私船正以10海里/小時(shí)的速度，從B處向北偏東30°方向逃竄.問(wèn)：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船?并求出所需時(shí)間.
解析：設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛t小時(shí)，才能最快截獲走私船(在D點(diǎn))，
則CD=10t海里，BD=10t海里.
在ABC中，由余弦定理 ，得
BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A
=(-1)2+22-2(-1)·2·cos 120°=6，
BC=(海里).
由正弦定理知=，
sin ∠ABC===，
ABC=45°， B點(diǎn)在C點(diǎn)的正東方向上，
CBD=90°+30°=120°.
在BCD中，由正弦定理，得
=，
sin ∠BCD=
==，
BCD=30°， 緝私船沿北偏東60°的方向行駛.
又在BCD中，CBD=120°，BCD=30°，
D=30°，
BD=BC，即10t=，
t=小時(shí)≈15分鐘.
故緝私船應(yīng)沿北偏東60°的方向行駛，才能最快截獲走私船，大約需要15分鐘.
12.已知向量m=sin(A-B)，sin，n=(1,2sin B)，m·n=sin 2C，其中A，B，C分別為ABC的三邊a，b，c所對(duì)的角.
(1)求角C的大小;
(2)若sin A+sin B=2sin C，且SABC=，求邊c的長(zhǎng).
解析：(1) m·n=sin(A-B)+2cos Asin B
=sin Acos B+cos Acos B=sin(A+B)，
在ABC中，A+B=π-C且0
sin(A+B)=sin C，
又 m·n=sin 2C，
sin C=sin 2C=2cos Csin C，
cos C=， C=.
(2) sin A+sin B=2sin C，
由正弦定理得a+b=2c，
SABC=absin C=ab=，得ab=4，
由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcos C
=(a+b)2-3ab=4c2-12，
c=2.
13.在ABC中，a，b，c分別是三內(nèi)角A，B，C所對(duì)的三邊，已知b2+c2=a2+bc.
(1)求角A的大小;
(2)若2sin2+2sin2=1，試判斷ABC的形狀.
解析：(1)b2+c2=a2+bc，
所以cos A===，
又A(0，π)，得到A=.
(2) 2sin2+2sin2=1，
1-cos B+1-cos C=1，
cos B+cos C=1，
即cos B+cos=1，得到
sin=1，
0
B+=，
B=，ABC為等邊三角形.
14.在ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，4sin2-cos 2A=.
(1)求A的度數(shù);
(2)若a=，b+c=3，求b，c的值.
解析：(1) B+C=π-A，即=-，
由4sin2-cos 2A=，
得4cos2-cos 2A=，
即2(1+cos A)-(2cos2A-1)=，
整理得4cos2A-4cos A+1=0，
即(2cos A-1)2=0.
cos A=，又0°
(2)由A=60°，根據(jù)余弦定理cos A=，得=，
b2+c2-bc=3，
又b+c=3，
∴ b2+c2+2bc=9.
①-得bc=2.
解得或