2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）
數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）
參考公式：
。如果事件A，B互相排斥，那么P（AUB）=P（A）+P(B)。
。棱柱的體積公式V=sh。其中S表示棱柱的底面積，h表示棱柱的高
一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
（1）i是虛數(shù)單位， =
（A）1+2i （B）-1-2i （C）1-2i （D）-1+2i
（2）設(shè)變量x，y滿足約束條件： .則目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y的最小值為
（A）6 （B）7 （C）8 （D）23
（3）命題“存在 R， 0”的否定是
（A）不存在 R, >0 （B）存在 R, 0
（C）對(duì)任意的 R, 0 （D）對(duì)任意的 R, >0
（4）設(shè)函數(shù) 則
A在區(qū)間 內(nèi)均有零點(diǎn)。
B在區(qū)間 內(nèi)均無(wú)零點(diǎn)。
C在區(qū)間 內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間 內(nèi)無(wú)零點(diǎn)。
D在區(qū)間 內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，在區(qū)間 內(nèi)有零點(diǎn)。
（5）閱讀右圖的程序框圖，則輸出的S=
A 26 B 35 C 40 D 57
(6）設(shè) 若 的最小值為
A 8 B 4 C 1 D
（7）已知函數(shù) 的最小正周期為 ，為了得到函數(shù)
的圖象，只要將 的圖象
A 向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度 B 向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度
C 向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度 D 向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度
（8）已知函數(shù) 若 則實(shí)數(shù) 的取值范圍是
A B C D
（9）．設(shè)拋物線 =2x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)M（ ，0）的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線相交于C， =2，則 BCF與 ACF的成面積之比 =
（A） （B） （C） （D）
（10）.0＜b＜1+a,若關(guān)于x 的不等式 ＞ 的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，則
（A）-1＜a＜0 （B）0＜a＜1 （C）1＜a＜3 （D）3＜a＜6
二．填空題：（6小題，每題4分，共24分）
（11）某學(xué)院的A，B，C三個(gè)專業(yè)共有1200名學(xué)生，為了調(diào)
查這些學(xué)生勤工儉學(xué)的情況，擬采用分層抽樣的方法抽取
一個(gè)容量為120的樣本。已知該學(xué)院的A專業(yè)有380名學(xué)生，
B專業(yè)有420名學(xué)生，則在該學(xué)院的C專業(yè)應(yīng)抽取____名學(xué)生。
（12）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，若它的體積是 ，則
a=_______
(13) 設(shè)直線 的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），直線 的方程為y=3x+4則 與 的距離為_______
(14)若圓 與圓 （a>0）的公共弦的長(zhǎng)為 ，
則a=___________
(15)在四邊形ABCD中， = =（1，1）， ，則四邊形ABCD的面積是
（16）用數(shù)字0，1，2，3，4，5，6組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中個(gè)位、十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的四位數(shù)共有 個(gè)（用數(shù)字作答）
三、解答題：本大題共6小題，共76分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
（17）（本小題滿分12分）
在⊿ABC中，BC= ，AC=3，sinC=2sinA
(I) 求AB的值：
(II) 求sin 的值
（18）（本小題滿分12分）
在10件產(chǎn)品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。從這10件產(chǎn)品中任取3件，求：
（I） 取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（II） 取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率。
（19）（本小題滿分12分）
如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A 平面ABCD, AD//BC//FE，AB AD，M為EC的中點(diǎn)，AF=AB=BC=FE= AD
(I) 求異面直線BF與DE所成的角的大小；
(II) 證明平面AMD 平面CDE；
（III）求二面角A-CD-E的余弦值
（20）（本小題滿分12分）
已知函數(shù) 其中
（1）當(dāng) 時(shí)，求曲線 處的切線的斜率；
（2）當(dāng) 時(shí)，求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間與極值。
（21）（本小題滿分14分）
以知橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 ，過(guò)點(diǎn) 的直線與橢圓相交與 兩點(diǎn)，且 。
（1）求橢圓的離心率
（2）求直線AB的斜率；
（3）設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，直線 上有一點(diǎn) 在 的外接圓上，求 的值
（22）（本小題滿分14分）
已知等差數(shù)列{ }的公差為d（d 0），等比數(shù)列{ }的公比為q（q>1）。設(shè) = + …..+ , = - +…..+(-1 ,n
(I)若 = = 1，d=2，q=3，求 的值；
(II)若 =1，證明（1-q） -（1+q） = ，n ；
(Ⅲ) 若正數(shù)n滿足2 n q，設(shè) 的兩個(gè)不同的排列， ， 證明 。
2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）
數(shù)學(xué)（理工類）參考解答
一．選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算。每小題5分，滿分50分。
（1）D （2）B （3）D （4）D （5） C
（6）B （7）A （8）C （9）A （10）C
二．填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算。每小題4分，滿分24分。
（11） 40 （12） （13）
（14） 1 （15） （16）324
三．解答題
（17）本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦與余弦、兩角差的正弦等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力。滿分12分。
（Ⅰ）解：在△ABC中，根據(jù)正弦定理，
于是AB=
（Ⅱ）解：在△ABC中，根據(jù)余弦定理，得cosA=
于是 sinA=
從而sin2A=2sinAcosA= ,cos2A=cos2A-sin2A=
所以 sin(2A- )=sin2Acos -cos2Asin =
(18)本小題主要考查古典概型及計(jì)算公式、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望、互斥事件等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。滿分12分。
（Ⅰ）解：由于從10件產(chǎn)品中任取3件的結(jié)果為 ，從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件一等品的結(jié)果數(shù)為 ，那么從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率為P(X=k)= ,k=0,1,2,3.
所以隨機(jī)變量X的分布列是
X0123
P
X的數(shù)學(xué)期望EX=
（Ⅱ）解：設(shè)“取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)”為事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”為事件A1“恰好取出2件一等品“為事件A2，”恰好取出3件一等品”為事件A3由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A=A1∪A2∪A3而
P(A2)=P(X=2)= ,P(A3)=P(X=3)= ,
所以取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率為
P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= + + =
(19)本小題要考查異面直線所成的角、平面與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想像能力、運(yùn)算能力和推理論證能力。滿分12分.
方法一：（Ⅰ）解：由題設(shè)知，BF//CE，所以∠CED（或其補(bǔ)角）為異面直線BF與DE所成的角。設(shè)P為AD的中點(diǎn)，連結(jié)EP，PC。因?yàn)镕E AP，所以FA EP，同理AB PC。又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD內(nèi),故EP⊥PC，EP⊥AD。由AB⊥AD，可得PC⊥AD設(shè)FA=a，則EP=PC=PD=a,CD=DE=EC= ，故∠CED=60°。所以異面直線BF與DE所成的角的大小為60°
（II）證明：因?yàn)?BR> （III）
由（I）可得，
w
方法二：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，
點(diǎn) 為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè) 依題意得
（I）
所以異面直線 與 所成的角的大小為 .
（II）證明： ，
（III）
又由題設(shè)，平面 的一個(gè)法向量為
（20）本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力及分類討論的思想方法。滿分12分。
（I）解：
（II）
以下分兩種情況討論。
（1） ＞ ，則 ＜ .當(dāng) 變化時(shí)， 的變化情況如下表：
+0—0+
↗極大值↘極小值↗
（2） ＜ ，則 ＞ ，當(dāng) 變化時(shí)， 的變化情況如下表：
+0—0+
↗極大值↘極小值↗
（21）本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查運(yùn)算能力和推理能力，滿分14分
（I）解：由 // 且 ，得 ，從而
整理，得 ，故離心率
解：由（I）得 ，所以橢圓的方程可寫為
設(shè)直線AB的方程為 ，即 .
由已知設(shè) ，則它們的坐標(biāo)滿足方程組
消去y整理，得 .
依題意，
而 ①
②
由題設(shè)知，點(diǎn)B為線段AE的中點(diǎn)，所以
③
聯(lián)立①③解得 ，
將 代入②中，解得 .
(III)解法一：由（II）可知
當(dāng) 時(shí)，得 ，由已知得 .
線段 的垂直平分線l的方程為 直線l與x軸
的交點(diǎn) 是 外接圓的圓心，因此外接圓的方程為 .
直線 的方程為 ，于是點(diǎn)H（m，n）的坐標(biāo)滿足方程組
， 由 解得 故
當(dāng) 時(shí)，同理可得
解法二：由（II）可知
當(dāng) 時(shí)，得 ,由已知得
由橢圓的對(duì)稱性可知B， ，C三點(diǎn)共線，因?yàn)辄c(diǎn)H（m，n）在 的外接圓上，
且 ，所以四邊形 為等腰梯形.
由直線 的方程為 ,知點(diǎn)H的坐標(biāo)為 .
因?yàn)?，所以 ，解得m=c（舍），或 .
則 ，所以 .
當(dāng) 時(shí)同理可得
（22）本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力，推理論證能力及綜合分析和解決問題的能力的能力，滿分14分。
（Ⅰ）解：由題設(shè)，可得
所以，
（Ⅱ）證明：由題設(shè)可得 則
①
②
①式減去②式，得
①式加上②式，得
③
②式兩邊同乘q，得
所以，
(Ⅲ)證明：
因?yàn)?所以
（1）若 ，取i=n
（2）若 ，取i滿足 且
由（1）,(2)及題設(shè)知， 且
①當(dāng) 時(shí)，得
即 ， …，
又 所以
因此
②當(dāng) 同理可得 ，因此
綜上，
數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）
參考公式：
。如果事件A，B互相排斥，那么P（AUB）=P（A）+P(B)。
。棱柱的體積公式V=sh。其中S表示棱柱的底面積，h表示棱柱的高
一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
（1）i是虛數(shù)單位， =
（A）1+2i （B）-1-2i （C）1-2i （D）-1+2i
（2）設(shè)變量x，y滿足約束條件： .則目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y的最小值為
（A）6 （B）7 （C）8 （D）23
（3）命題“存在 R， 0”的否定是
（A）不存在 R, >0 （B）存在 R, 0
（C）對(duì)任意的 R, 0 （D）對(duì)任意的 R, >0
（4）設(shè)函數(shù) 則
A在區(qū)間 內(nèi)均有零點(diǎn)。
B在區(qū)間 內(nèi)均無(wú)零點(diǎn)。
C在區(qū)間 內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間 內(nèi)無(wú)零點(diǎn)。
D在區(qū)間 內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，在區(qū)間 內(nèi)有零點(diǎn)。
（5）閱讀右圖的程序框圖，則輸出的S=
A 26 B 35 C 40 D 57
(6）設(shè) 若 的最小值為
A 8 B 4 C 1 D
（7）已知函數(shù) 的最小正周期為 ，為了得到函數(shù)
的圖象，只要將 的圖象
A 向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度 B 向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度
C 向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度 D 向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度
（8）已知函數(shù) 若 則實(shí)數(shù) 的取值范圍是
A B C D
（9）．設(shè)拋物線 =2x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)M（ ，0）的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線相交于C， =2，則 BCF與 ACF的成面積之比 =
（A） （B） （C） （D）
（10）.0＜b＜1+a,若關(guān)于x 的不等式 ＞ 的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，則
（A）-1＜a＜0 （B）0＜a＜1 （C）1＜a＜3 （D）3＜a＜6
二．填空題：（6小題，每題4分，共24分）
（11）某學(xué)院的A，B，C三個(gè)專業(yè)共有1200名學(xué)生，為了調(diào)
查這些學(xué)生勤工儉學(xué)的情況，擬采用分層抽樣的方法抽取
一個(gè)容量為120的樣本。已知該學(xué)院的A專業(yè)有380名學(xué)生，
B專業(yè)有420名學(xué)生，則在該學(xué)院的C專業(yè)應(yīng)抽取____名學(xué)生。
（12）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，若它的體積是 ，則
a=_______
(13) 設(shè)直線 的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），直線 的方程為y=3x+4則 與 的距離為_______
(14)若圓 與圓 （a>0）的公共弦的長(zhǎng)為 ，
則a=___________
(15)在四邊形ABCD中， = =（1，1）， ，則四邊形ABCD的面積是
（16）用數(shù)字0，1，2，3，4，5，6組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中個(gè)位、十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的四位數(shù)共有 個(gè)（用數(shù)字作答）
三、解答題：本大題共6小題，共76分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
（17）（本小題滿分12分）
在⊿ABC中，BC= ，AC=3，sinC=2sinA
(I) 求AB的值：
(II) 求sin 的值
（18）（本小題滿分12分）
在10件產(chǎn)品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。從這10件產(chǎn)品中任取3件，求：
（I） 取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（II） 取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率。
（19）（本小題滿分12分）
如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A 平面ABCD, AD//BC//FE，AB AD，M為EC的中點(diǎn)，AF=AB=BC=FE= AD
(I) 求異面直線BF與DE所成的角的大小；
(II) 證明平面AMD 平面CDE；
（III）求二面角A-CD-E的余弦值
（20）（本小題滿分12分）
已知函數(shù) 其中
（1）當(dāng) 時(shí)，求曲線 處的切線的斜率；
（2）當(dāng) 時(shí)，求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間與極值。
（21）（本小題滿分14分）
以知橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 ，過(guò)點(diǎn) 的直線與橢圓相交與 兩點(diǎn)，且 。
（1）求橢圓的離心率
（2）求直線AB的斜率；
（3）設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，直線 上有一點(diǎn) 在 的外接圓上，求 的值
（22）（本小題滿分14分）
已知等差數(shù)列{ }的公差為d（d 0），等比數(shù)列{ }的公比為q（q>1）。設(shè) = + …..+ , = - +…..+(-1 ,n
(I)若 = = 1，d=2，q=3，求 的值；
(II)若 =1，證明（1-q） -（1+q） = ，n ；
(Ⅲ) 若正數(shù)n滿足2 n q，設(shè) 的兩個(gè)不同的排列， ， 證明 。
2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）
數(shù)學(xué)（理工類）參考解答
一．選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算。每小題5分，滿分50分。
（1）D （2）B （3）D （4）D （5） C
（6）B （7）A （8）C （9）A （10）C
二．填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算。每小題4分，滿分24分。
（11） 40 （12） （13）
（14） 1 （15） （16）324
三．解答題
（17）本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦與余弦、兩角差的正弦等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力。滿分12分。
（Ⅰ）解：在△ABC中，根據(jù)正弦定理，
于是AB=
（Ⅱ）解：在△ABC中，根據(jù)余弦定理，得cosA=
于是 sinA=
從而sin2A=2sinAcosA= ,cos2A=cos2A-sin2A=
所以 sin(2A- )=sin2Acos -cos2Asin =
(18)本小題主要考查古典概型及計(jì)算公式、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望、互斥事件等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。滿分12分。
（Ⅰ）解：由于從10件產(chǎn)品中任取3件的結(jié)果為 ，從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件一等品的結(jié)果數(shù)為 ，那么從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率為P(X=k)= ,k=0,1,2,3.
所以隨機(jī)變量X的分布列是
X0123
P
X的數(shù)學(xué)期望EX=
（Ⅱ）解：設(shè)“取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)”為事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”為事件A1“恰好取出2件一等品“為事件A2，”恰好取出3件一等品”為事件A3由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A=A1∪A2∪A3而
P(A2)=P(X=2)= ,P(A3)=P(X=3)= ,
所以取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率為
P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= + + =
(19)本小題要考查異面直線所成的角、平面與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想像能力、運(yùn)算能力和推理論證能力。滿分12分.
方法一：（Ⅰ）解：由題設(shè)知，BF//CE，所以∠CED（或其補(bǔ)角）為異面直線BF與DE所成的角。設(shè)P為AD的中點(diǎn)，連結(jié)EP，PC。因?yàn)镕E AP，所以FA EP，同理AB PC。又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD內(nèi),故EP⊥PC，EP⊥AD。由AB⊥AD，可得PC⊥AD設(shè)FA=a，則EP=PC=PD=a,CD=DE=EC= ，故∠CED=60°。所以異面直線BF與DE所成的角的大小為60°
（II）證明：因?yàn)?BR> （III）
由（I）可得，
w
方法二：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，
點(diǎn) 為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè) 依題意得
（I）
所以異面直線 與 所成的角的大小為 .
（II）證明： ，
（III）
又由題設(shè)，平面 的一個(gè)法向量為
（20）本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力及分類討論的思想方法。滿分12分。
（I）解：
（II）
以下分兩種情況討論。
（1） ＞ ，則 ＜ .當(dāng) 變化時(shí)， 的變化情況如下表：
+0—0+
↗極大值↘極小值↗
（2） ＜ ，則 ＞ ，當(dāng) 變化時(shí)， 的變化情況如下表：
+0—0+
↗極大值↘極小值↗
（21）本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查運(yùn)算能力和推理能力，滿分14分
（I）解：由 // 且 ，得 ，從而
整理，得 ，故離心率
解：由（I）得 ，所以橢圓的方程可寫為
設(shè)直線AB的方程為 ，即 .
由已知設(shè) ，則它們的坐標(biāo)滿足方程組
消去y整理，得 .
依題意，
而 ①
②
由題設(shè)知，點(diǎn)B為線段AE的中點(diǎn)，所以
③
聯(lián)立①③解得 ，
將 代入②中，解得 .
(III)解法一：由（II）可知
當(dāng) 時(shí)，得 ，由已知得 .
線段 的垂直平分線l的方程為 直線l與x軸
的交點(diǎn) 是 外接圓的圓心，因此外接圓的方程為 .
直線 的方程為 ，于是點(diǎn)H（m，n）的坐標(biāo)滿足方程組
， 由 解得 故
當(dāng) 時(shí)，同理可得
解法二：由（II）可知
當(dāng) 時(shí)，得 ,由已知得
由橢圓的對(duì)稱性可知B， ，C三點(diǎn)共線，因?yàn)辄c(diǎn)H（m，n）在 的外接圓上，
且 ，所以四邊形 為等腰梯形.
由直線 的方程為 ,知點(diǎn)H的坐標(biāo)為 .
因?yàn)?，所以 ，解得m=c（舍），或 .
則 ，所以 .
當(dāng) 時(shí)同理可得
（22）本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力，推理論證能力及綜合分析和解決問題的能力的能力，滿分14分。
（Ⅰ）解：由題設(shè)，可得
所以，
（Ⅱ）證明：由題設(shè)可得 則
①
②
①式減去②式，得
①式加上②式，得
③
②式兩邊同乘q，得
所以，
(Ⅲ)證明：
因?yàn)?所以
（1）若 ，取i=n
（2）若 ，取i滿足 且
由（1）,(2)及題設(shè)知， 且
①當(dāng) 時(shí)，得
即 ， …，
又 所以
因此
②當(dāng) 同理可得 ，因此
綜上，