三、隨機(jī)變量分布的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差
隨機(jī)變量X的分布 (概率函數(shù)或密度函數(shù))有幾個(gè)立要的特征數(shù)，用來(lái)表示分布的集中位置 (中心位置)和散布大小。
1.均值：用來(lái)表示分布的中心位置，用E(X)表示。譬如E(X)=5，意味著隨機(jī)變量X的平均值為5。對(duì)于絕大多數(shù)的隨機(jī)變量，在均值附近取值的機(jī)會(huì)較多。它的計(jì)算公式是:
(1.2-1)
其中諸 ， 和p(x)與上一小段中符號(hào)含義相同，這里不再重復(fù)。
2.方差：用來(lái)表示分布的散布大小，用Var(X)表示，方差大意味著分布的散布程度較大，也即比較分散，方差小意味著分布的散布程度小，也即分布較集中。方差的計(jì)算公式是:
(1.2-2)
方差的量綱是X的量綱的平方，為使表示分布散布大小的量綱與X的量綱相同，常對(duì)方差開(kāi)平方，記它的正平方根為 或 (X)，并稱(chēng)它為X的標(biāo)準(zhǔn)差:
(1.2-3)
由于 與X的量綱相同，在實(shí)際中更常使用標(biāo)準(zhǔn)差 表示分布的散布大小，但它的計(jì)算通常是通過(guò)先計(jì)算方差，然后開(kāi)方獲得。
[例1.2-7]，略，詳見(jiàn)書(shū)第31頁(yè)。
[例1.2—8] 看圖識(shí)方差(與標(biāo)準(zhǔn)差)。圖1.2—6(a)、(b)、(c)、(d)上畫(huà)出四個(gè)離散分布的線條圖，其中垂線高度就是相應(yīng)的概率。現(xiàn)問(wèn)這四個(gè)分布中哪個(gè)方差大，哪個(gè)方差小。
由方差的定義知：
其中 。若要方差小，則和式中每一項(xiàng)都要小，這要求：
(1)若偏差 -E(X)的絕對(duì)值小，則相應(yīng)概率 可以大一些;
(2)若偏差 -E(X)的絕對(duì)值大，則相應(yīng)概率 必定要小。
這意味著：離均值E(X)近的值 發(fā)生的可能性大，遠(yuǎn)離均值E(X)的值 發(fā)生的可能性小，正如圖1.2—6(d)所示。
反之，若要方差大，則和式中必有某些乘積項(xiàng)較大，也就是說(shuō)，有若干個(gè)大偏差 -E(X)發(fā)生的概率大，或者說(shuō)遠(yuǎn)離均值E(X)的值 發(fā)生的可能性大，正如圖1.2—6(a)所示。
從上述說(shuō)明可以看出圖1.2—6上四個(gè)離散分布的方差(從而標(biāo)準(zhǔn)差)從上到下是逐漸減小的。
類(lèi)似地，對(duì)連續(xù)分布也有類(lèi)似解釋?zhuān)蕡D1.2—6(e)、(f)、(g)、(h)上四個(gè)連續(xù)分布的方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)從上到下也是逐漸減小的。
圖1.2—6 四個(gè)離散分布的方差 和四個(gè)密度函數(shù)的方差
3.隨機(jī)變量 (或其分布)的均值與方差的運(yùn)算性質(zhì):
(1)設(shè)X為隨機(jī)變量，a與b為任意常數(shù)，則有:
(2)對(duì)任意兩個(gè)隨機(jī)變量X1與X2，有:
這個(gè)性質(zhì)可以推廣到三個(gè)或更多個(gè)隨機(jī)變量場(chǎng)合。
(3)設(shè)隨機(jī)變量X1與X2獨(dú)立 (即X1取什么值不影響另一個(gè)隨機(jī)變量X2的取值，這相當(dāng)于兩個(gè)試驗(yàn)的獨(dú)立性)，則有:
這個(gè)性質(zhì)也可推廣到三個(gè)或更多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量場(chǎng)合。
注意:方差的這個(gè)性質(zhì)不能推到標(biāo)準(zhǔn)差場(chǎng)合，即對(duì)任意兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1與X2，
，而應(yīng)該是 ?；蛘哒f(shuō)，對(duì)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量來(lái)說(shuō)，方差具有可加性，而標(biāo)準(zhǔn)差不具有可加性。
[例 1.2-9] 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，均值分別為5與9，方差分別為2與2.5，
(1)求U=3X+5的均值與方差。
(2)求V=2X+4Y的均值與方差。
(3)求W=X-Y的標(biāo)準(zhǔn)差。
利用均值與方差的運(yùn)算性質(zhì)可逐個(gè)算得。
(1) E(U)=3E(X)+5=3*5+5=20
Var(U)=9*Var(X)=9*2=18
(2) E(V)=2E(X)+ 4E(X)=2*5+4*9=46
Var(V)=4*Var(X)+16*Var(X)=4*2+16*2.5=48
(3) Var(W)=Var(X)+Var(X)=2+2.5=4.5
隨機(jī)變量X的分布 (概率函數(shù)或密度函數(shù))有幾個(gè)立要的特征數(shù)，用來(lái)表示分布的集中位置 (中心位置)和散布大小。
1.均值：用來(lái)表示分布的中心位置，用E(X)表示。譬如E(X)=5，意味著隨機(jī)變量X的平均值為5。對(duì)于絕大多數(shù)的隨機(jī)變量，在均值附近取值的機(jī)會(huì)較多。它的計(jì)算公式是:
(1.2-1)
其中諸 ， 和p(x)與上一小段中符號(hào)含義相同，這里不再重復(fù)。
2.方差：用來(lái)表示分布的散布大小，用Var(X)表示，方差大意味著分布的散布程度較大，也即比較分散，方差小意味著分布的散布程度小，也即分布較集中。方差的計(jì)算公式是:
(1.2-2)
方差的量綱是X的量綱的平方，為使表示分布散布大小的量綱與X的量綱相同，常對(duì)方差開(kāi)平方，記它的正平方根為 或 (X)，并稱(chēng)它為X的標(biāo)準(zhǔn)差:
(1.2-3)
由于 與X的量綱相同，在實(shí)際中更常使用標(biāo)準(zhǔn)差 表示分布的散布大小，但它的計(jì)算通常是通過(guò)先計(jì)算方差，然后開(kāi)方獲得。
[例1.2-7]，略，詳見(jiàn)書(shū)第31頁(yè)。
[例1.2—8] 看圖識(shí)方差(與標(biāo)準(zhǔn)差)。圖1.2—6(a)、(b)、(c)、(d)上畫(huà)出四個(gè)離散分布的線條圖，其中垂線高度就是相應(yīng)的概率。現(xiàn)問(wèn)這四個(gè)分布中哪個(gè)方差大，哪個(gè)方差小。
由方差的定義知：
其中 。若要方差小，則和式中每一項(xiàng)都要小，這要求：
(1)若偏差 -E(X)的絕對(duì)值小，則相應(yīng)概率 可以大一些;
(2)若偏差 -E(X)的絕對(duì)值大，則相應(yīng)概率 必定要小。
這意味著：離均值E(X)近的值 發(fā)生的可能性大，遠(yuǎn)離均值E(X)的值 發(fā)生的可能性小，正如圖1.2—6(d)所示。
反之，若要方差大，則和式中必有某些乘積項(xiàng)較大，也就是說(shuō)，有若干個(gè)大偏差 -E(X)發(fā)生的概率大，或者說(shuō)遠(yuǎn)離均值E(X)的值 發(fā)生的可能性大，正如圖1.2—6(a)所示。
從上述說(shuō)明可以看出圖1.2—6上四個(gè)離散分布的方差(從而標(biāo)準(zhǔn)差)從上到下是逐漸減小的。
類(lèi)似地，對(duì)連續(xù)分布也有類(lèi)似解釋?zhuān)蕡D1.2—6(e)、(f)、(g)、(h)上四個(gè)連續(xù)分布的方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)從上到下也是逐漸減小的。
圖1.2—6 四個(gè)離散分布的方差 和四個(gè)密度函數(shù)的方差
3.隨機(jī)變量 (或其分布)的均值與方差的運(yùn)算性質(zhì):
(1)設(shè)X為隨機(jī)變量，a與b為任意常數(shù)，則有:
(2)對(duì)任意兩個(gè)隨機(jī)變量X1與X2，有:
這個(gè)性質(zhì)可以推廣到三個(gè)或更多個(gè)隨機(jī)變量場(chǎng)合。
(3)設(shè)隨機(jī)變量X1與X2獨(dú)立 (即X1取什么值不影響另一個(gè)隨機(jī)變量X2的取值，這相當(dāng)于兩個(gè)試驗(yàn)的獨(dú)立性)，則有:
這個(gè)性質(zhì)也可推廣到三個(gè)或更多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量場(chǎng)合。
注意:方差的這個(gè)性質(zhì)不能推到標(biāo)準(zhǔn)差場(chǎng)合，即對(duì)任意兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1與X2，
，而應(yīng)該是 ?；蛘哒f(shuō)，對(duì)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量來(lái)說(shuō)，方差具有可加性，而標(biāo)準(zhǔn)差不具有可加性。
[例 1.2-9] 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，均值分別為5與9，方差分別為2與2.5，
(1)求U=3X+5的均值與方差。
(2)求V=2X+4Y的均值與方差。
(3)求W=X-Y的標(biāo)準(zhǔn)差。
利用均值與方差的運(yùn)算性質(zhì)可逐個(gè)算得。
(1) E(U)=3E(X)+5=3*5+5=20
Var(U)=9*Var(X)=9*2=18
(2) E(V)=2E(X)+ 4E(X)=2*5+4*9=46
Var(V)=4*Var(X)+16*Var(X)=4*2+16*2.5=48
(3) Var(W)=Var(X)+Var(X)=2+2.5=4.5