做對做錯問題與簡單不定方程
公務員考試中的數學運算部分經常出現做對做錯問題，題干往往是如下字眼：考試中，做對一題得幾分，做錯一題扣幾分，給出最后得分，要求做對或做錯多少題，有時是生產零件之類的，意思大致如此。這種題目歸納起來有兩種，第一種是設未知數，依題意可列出與未知數個數相等的互不干擾的幾個方程，直接把所求解出，這類題多數考生都很熟悉，此處不在贅述。第二種也是設未知數，但題中已知的等量關系不足以解出所求的未知量，通常出現兩個未知數一個方程，三個未知數兩個方程的情景。此時就需要運用題中的不等關系或未知量的限制條件結合等量關系解出所求。這就涉及到下面要講到的簡單不定方程及其解法。希望能給讀者一定的幫助。
所謂不定方程，是指未知數的個數多于方程個數，且未知數受到某些限制（如要求是有理數、整數或正整數等等）的方程或方程組。簡單不定方程的未知數次數為一，公考中多涉及二元一次不定方程。下面通過幾個例子簡單說明簡單不定方程的解法。
例1：小明參加考試，一共有20道題，答對一題得5分，答錯一題扣2分，不答不得分也不扣分。小明最后得分為56，問小明有多少題沒有作答？這是一個典型的不定方程問題，題中只有兩個等量關系，即總題數和總得分，但有三個未知數。由于最后所求的“沒有作答的題數”不涉及分數，故先可設答對的題目數為x,答錯的題目數為y,則5x-2y=56,這時需要結合題中的另一個等量關系，相對x,y與就是一個不等關系，即x+y<=20。這種情況下通常是根據等式消元，根據不等式解出其中一個未知數的范圍。此題中由等式可得x=(56+2y)/5 ……（1）式,代入有： 解得 ……（2）式，由于x為非負整數，由（1）式知2y的尾數必為4，這樣才能整除分子5。結合（2）式可知y有取值2，結合等式可知x的取值為12，從總數20中減去x和y就得到沒答的題目共有6道。
上面的例子給出了簡單不定方程的一種解法，總結起來就是等式與不等式結合并利用未知數的限制條件解出所求。公務員考試中數字運算都為選擇題，考生不必有如此細致的分析，只須根據其中的等量關系運用帶入法將各個選項檢驗選出符合題意的即可。下面再看一個例子：
哥哥和弟弟養(yǎng)了N只羊，全部賣出后發(fā)現每只羊恰好賺了N元，哥哥和弟弟準備平分這些錢。哥哥先拿走10元，接著弟弟拿走10元，哥哥又取走10元，弟弟接著取走10元……，最后哥哥又取走10元，發(fā)現剩下的不夠10元了，問哥哥應給弟弟幾元才能保證兩人最后的錢數目相等？
觀察題目不難發(fā)現題中的等量關系并不多，列出方程解出兩人共賺了多少錢的方法不可行的。但仔細分析會發(fā)現其中有很多隱含的條件。（1）總錢數是正整數，且為偶數，這樣兩人才能按題中的方式平分錢?？傚X數為，這是一個完全平方數。（2）題中所描述的分錢方式表明一個回合取走20元，最后一個回合不足20元，但比10元要多。也就是總錢數可以表示為20m+n，其中m為正整數，n為大于10到小于20的整數。（3）要確定哥哥最后應給弟弟幾元實質是確定總錢數的尾數。
明確了以上三點，可以有一個較為清晰的思路解決這個題目。設總錢數==20m+n，其中m為正整數，n為大于0到小于10的整數。由（1）為偶數平方數，其尾數必為0，6，4；由（2）可知的尾數必不為0。所以的尾數必為4或6，也就是的尾數必為2，8或6。以下分情況討論。
（1）當N的尾數為2時，考慮N為兩位數的情況，則N可表示為10a+2,則，顯然前兩項能整除20，但4不在10與20之間，即此時不能表示成20m+n（其中m為正整數，n為大于0到小于10的整數）的形式，故N的尾數為2的情況不能成立。
（2）當N的尾數為8時，考慮N為兩位數的情況，則N可表示為10a+8,則，顯然4不在10與20之間，即此時不能表示成20m+n（其中m為正整數，n為大于0到小于10的整數）的形式，故N的尾數為8的情況不能成立。
（3）當N的尾數為6時，考慮N為兩位數的情況，則N可表示為10a+6,則，顯然此時能表示成20m+n（其中m為正整數，n為大于0到小于10的整數）的形式，故N的尾數為6的情況成立。
以上三種情況分析的是N為兩位數的情況，事實上當N為一位數時，可直接檢驗發(fā)現N的尾數只能為6；當N為多位數時改變N的表示方法，同樣的方法亦可得出只有N的尾數為6的情況成立。
綜上所述，N的尾數只能為6，所以的尾數為6，即在哥哥最后一次取錢時，還有16元，哥哥取走10元后還剩6元，哥哥應給弟弟2元才能使兩人最后的錢數相等。
上面的題目在等量關系不多的情況下充分利用題目中隱含條件的利用，通過分類討論分析簡單不定方程達到了解題的目的。
公務員考試中的數學運算部分經常出現做對做錯問題，題干往往是如下字眼：考試中，做對一題得幾分，做錯一題扣幾分，給出最后得分，要求做對或做錯多少題，有時是生產零件之類的，意思大致如此。這種題目歸納起來有兩種，第一種是設未知數，依題意可列出與未知數個數相等的互不干擾的幾個方程，直接把所求解出，這類題多數考生都很熟悉，此處不在贅述。第二種也是設未知數，但題中已知的等量關系不足以解出所求的未知量，通常出現兩個未知數一個方程，三個未知數兩個方程的情景。此時就需要運用題中的不等關系或未知量的限制條件結合等量關系解出所求。這就涉及到下面要講到的簡單不定方程及其解法。希望能給讀者一定的幫助。
所謂不定方程，是指未知數的個數多于方程個數，且未知數受到某些限制（如要求是有理數、整數或正整數等等）的方程或方程組。簡單不定方程的未知數次數為一，公考中多涉及二元一次不定方程。下面通過幾個例子簡單說明簡單不定方程的解法。
例1：小明參加考試，一共有20道題，答對一題得5分，答錯一題扣2分，不答不得分也不扣分。小明最后得分為56，問小明有多少題沒有作答？這是一個典型的不定方程問題，題中只有兩個等量關系，即總題數和總得分，但有三個未知數。由于最后所求的“沒有作答的題數”不涉及分數，故先可設答對的題目數為x,答錯的題目數為y,則5x-2y=56,這時需要結合題中的另一個等量關系，相對x,y與就是一個不等關系，即x+y<=20。這種情況下通常是根據等式消元，根據不等式解出其中一個未知數的范圍。此題中由等式可得x=(56+2y)/5 ……（1）式,代入有： 解得 ……（2）式，由于x為非負整數，由（1）式知2y的尾數必為4，這樣才能整除分子5。結合（2）式可知y有取值2，結合等式可知x的取值為12，從總數20中減去x和y就得到沒答的題目共有6道。
上面的例子給出了簡單不定方程的一種解法，總結起來就是等式與不等式結合并利用未知數的限制條件解出所求。公務員考試中數字運算都為選擇題，考生不必有如此細致的分析，只須根據其中的等量關系運用帶入法將各個選項檢驗選出符合題意的即可。下面再看一個例子：
哥哥和弟弟養(yǎng)了N只羊，全部賣出后發(fā)現每只羊恰好賺了N元，哥哥和弟弟準備平分這些錢。哥哥先拿走10元，接著弟弟拿走10元，哥哥又取走10元，弟弟接著取走10元……，最后哥哥又取走10元，發(fā)現剩下的不夠10元了，問哥哥應給弟弟幾元才能保證兩人最后的錢數目相等？
觀察題目不難發(fā)現題中的等量關系并不多，列出方程解出兩人共賺了多少錢的方法不可行的。但仔細分析會發(fā)現其中有很多隱含的條件。（1）總錢數是正整數，且為偶數，這樣兩人才能按題中的方式平分錢?？傚X數為，這是一個完全平方數。（2）題中所描述的分錢方式表明一個回合取走20元，最后一個回合不足20元，但比10元要多。也就是總錢數可以表示為20m+n，其中m為正整數，n為大于10到小于20的整數。（3）要確定哥哥最后應給弟弟幾元實質是確定總錢數的尾數。
明確了以上三點，可以有一個較為清晰的思路解決這個題目。設總錢數==20m+n，其中m為正整數，n為大于0到小于10的整數。由（1）為偶數平方數，其尾數必為0，6，4；由（2）可知的尾數必不為0。所以的尾數必為4或6，也就是的尾數必為2，8或6。以下分情況討論。
（1）當N的尾數為2時，考慮N為兩位數的情況，則N可表示為10a+2,則，顯然前兩項能整除20，但4不在10與20之間，即此時不能表示成20m+n（其中m為正整數，n為大于0到小于10的整數）的形式，故N的尾數為2的情況不能成立。
（2）當N的尾數為8時，考慮N為兩位數的情況，則N可表示為10a+8,則，顯然4不在10與20之間，即此時不能表示成20m+n（其中m為正整數，n為大于0到小于10的整數）的形式，故N的尾數為8的情況不能成立。
（3）當N的尾數為6時，考慮N為兩位數的情況，則N可表示為10a+6,則，顯然此時能表示成20m+n（其中m為正整數，n為大于0到小于10的整數）的形式，故N的尾數為6的情況成立。
以上三種情況分析的是N為兩位數的情況，事實上當N為一位數時，可直接檢驗發(fā)現N的尾數只能為6；當N為多位數時改變N的表示方法，同樣的方法亦可得出只有N的尾數為6的情況成立。
綜上所述，N的尾數只能為6，所以的尾數為6，即在哥哥最后一次取錢時，還有16元，哥哥取走10元后還剩6元，哥哥應給弟弟2元才能使兩人最后的錢數相等。
上面的題目在等量關系不多的情況下充分利用題目中隱含條件的利用，通過分類討論分析簡單不定方程達到了解題的目的。