很多考生都想學(xué)好數(shù)學(xué),但苦于不知道如何“下手”,經(jīng)常花費(fèi)大量時(shí)間去解題做題,效果卻差強(qiáng)人意,很難提高數(shù)學(xué)成績。
知識(shí)內(nèi)容和方法技巧的載體是題目,要想掌握好相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法技巧,就需要去解一定量的題目。不過,大家一定要充分認(rèn)識(shí)到一點(diǎn),不是你解的題目越多,就會(huì)掌握好這些知識(shí)內(nèi)容和方法技巧。
如很多人只知道數(shù)學(xué)公式、定理等,卻很少知道數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精髓。無論是中考數(shù)學(xué)還是高考數(shù)學(xué),除了考查大家知識(shí)掌握程度,更重要考查大家應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力,充分運(yùn)用數(shù)學(xué)思想去分析、解決具體的問題。
因此,如何想要在中考數(shù)學(xué)中取得優(yōu)異的成績,就要加深對數(shù)學(xué)思想方法的理解。初中階段常用到的數(shù)學(xué)思想有:數(shù)形結(jié)合思想、分情況討論思想、化歸思想、函數(shù)與方程思想、建立數(shù)學(xué)模型思想等。
中考數(shù)學(xué)常見數(shù)學(xué)思想方法一:數(shù)形結(jié)合思想方法
數(shù)形結(jié)合思想是說數(shù)的問題可以通過對圖形的分析來解決,形的問題也可通過對數(shù)的研究來思考。
典型例題分析1:
在梯形OABC中,CB∥OA,∠AOC=60°,∠OAB=90°,OC=2,BC=4,以點(diǎn)O為原點(diǎn),OA所在的直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,另有一邊長為2的等邊△DEF,DE在x軸上(如圖(1)),如果讓△DEF以每秒1個(gè)單位的速度向左作勻速直線運(yùn)動(dòng),開始時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合,當(dāng)點(diǎn)D到達(dá)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)停止。
(1)設(shè)△DEF運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,△DEF與梯形OABC重疊部分的面積為S,求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式。
(2)探究:在△DEF運(yùn)動(dòng)過程中,如果射線DF交經(jīng)過O、C、B三點(diǎn)的拋物線于點(diǎn)G,是否存在這樣的時(shí)刻t,使得△OAG的面積與梯形OABC的面積相等?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由。



考點(diǎn)分析: 二次函數(shù)綜合題。
題干分析:
(1)根據(jù)F與B重合前后及E與A重合前后,分三種情況求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;
(2)依題意得D(4﹣t,0),求出直線OC解析式,根據(jù)DF∥OC確定直線DF解析式,再由△OAG的面積與梯形OABC的面積相等,求出G點(diǎn)縱坐標(biāo),根據(jù)G點(diǎn)在拋物線上求G點(diǎn)橫坐標(biāo),代入直線DF解析式求t,判斷是否符號(hào)t的取值范圍即可。
解題反思:
本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用。關(guān)鍵是根據(jù)直角梯形的特點(diǎn)求頂點(diǎn)坐標(biāo),確定拋物線解析式,根據(jù)面積關(guān)系,列方程求解。
中考數(shù)學(xué)常見數(shù)學(xué)思想方法二:分類討論思想
分情況討論思想就是當(dāng)一個(gè)問題用統(tǒng)一的方法不能繼續(xù)做下去的時(shí)候,需要對所研究的問題分成若干個(gè)情況分別進(jìn)行研究的思想方法。
典型例題分析2:
如圖1,已知正方形OABC的邊長為2,頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上,M是BC的中點(diǎn)。P(0,m)是線段OC上一動(dòng)點(diǎn)(C點(diǎn)除外),直線PM交AB的延長線于點(diǎn)D。
(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)(用含m的代數(shù)式表示);
(2)當(dāng)△APD是等腰三角形時(shí),求m的值;
(3)設(shè)過P、M、B三點(diǎn)的拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)E,過點(diǎn)O作直線ME的垂線,垂足為H(如圖2),當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)H也隨之運(yùn)動(dòng)。請直接寫出點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長。(不必寫解答過程)


考點(diǎn)分析: 二次函數(shù)綜合題;代數(shù)幾何綜合題;分類討論。
題干分析:
(1)證明Rt△PMC≌Rt△DMB,即可證明DB=2﹣m,AD=4﹣m,從而求解;
(2)分AP=AD,PD=PA,PD=DA三種情況,根據(jù)勾股定理即可求解;(3)運(yùn)動(dòng)時(shí),路線長不變,可以取當(dāng)P在O點(diǎn)是,求解即可。
解題反思:
本題是二次函數(shù)的綜合題型,其中涉及的到大知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和三角形的面積求法,在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果。
中考數(shù)學(xué)常見數(shù)學(xué)思想方法三:化歸思想方法
化歸思想是說在解決實(shí)際問題時(shí)常常需要進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換,把生疏的題目轉(zhuǎn)化成熟悉的題目,通過特殊到一般,歸納出事物的規(guī)律,并能進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪阶冃巍?BR> 典型例題3:
△ABC是一張等腰直角三角形紙板,∠C=Rt∠,AC=BC=2,
(1)要在這張紙板中剪出一個(gè)盡可能大的正方形,有甲、乙兩種剪法(如圖1),比較甲、乙兩種剪法,哪種剪法所得的正方形面積大?請說明理由。
(2)圖1中甲種剪法稱為第1次剪取,記所得正方形面積為s1;按照甲種剪法,在余下的△ADE和△BDF中,分別剪取正方形,得到兩個(gè)相同的正方形,稱為第2次剪取,并記這兩個(gè)正方形面積和為s2(如圖2),則s2=1/2;再在余下的四個(gè)三角形中,用同樣方法分別剪取正方形,得到四個(gè)相同的正方形,稱為第3次剪取,并記這四個(gè)正方形面積和為s3,繼續(xù)操作下去…,則第10次剪取時(shí),s10=1/2;
(3)求第10次剪取后,余下的所有小三角形的面積之和。


考點(diǎn)分析: 正方形的性質(zhì);勾股定理;等腰直角三角形;規(guī)律型。
題干分析:
(1)分別求出甲、乙兩種剪法所得的正方形面積,進(jìn)行比較即可;
(2)按圖1中甲種剪法,可知后一個(gè)三角形的面積是前一個(gè)三角形的面積的1/2,依此可知結(jié)果;
(3)探索規(guī)律可知:Sn=1/2n-1,依此規(guī)律可得第10次剪取后,余下的所有小三角形的面積之和。
解題反思:
本題考查了正方形的性質(zhì),勾股定理,等腰直角三角形的性質(zhì),得出甲、乙兩種剪法,所得的正方形面積是解題的關(guān)鍵。
中考數(shù)學(xué)常見數(shù)學(xué)思想方法四:函數(shù)與方程思想方法
函數(shù)與方程思想就是對于有些數(shù)學(xué)問題要學(xué)會(huì)用變量和函數(shù)來思考,學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化未知與已知的關(guān)系。
典型例題4:
如圖所示,二次函數(shù)y=﹣x2+2x+m的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(3,0),另一個(gè)交點(diǎn)為B,且與y軸交于點(diǎn)C。
(1)求m的值;
(2)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(3)該二次函數(shù)圖象上有一點(diǎn)D(x,y)(其中x>0,y>0) 使S△ABD=S△ABC,求點(diǎn)D的坐標(biāo)。


考點(diǎn)分析: 二次函數(shù)綜合題;代數(shù)幾何綜合題;方程思想。
題干分析:
(1)由二次函數(shù)y=﹣x2+2x+m的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(3,0),利用待定系數(shù)法將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可求得m的值;
(2)根據(jù)(1)求得二次函數(shù)的解析式,然后將y=0代入函數(shù)解析式,即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo);
(3)根據(jù)(2)中的函數(shù)解析式求得點(diǎn)C的坐標(biāo),由二次函數(shù)圖象上有一點(diǎn)D(x,y)(其中x>0,y>0),可得點(diǎn)D在第一象限,又由S△ABD=S△ABC,可知點(diǎn)D與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相等,代入函數(shù)的解析式即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)。
解題反思:
此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,考查了一元二次方程的解法以及三角形的面積問題等知識(shí)。此題綜合性較強(qiáng),但難度不大,屬于中檔題,解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系,注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用。
中考數(shù)學(xué)常見數(shù)學(xué)思想方法五:數(shù)學(xué)建模思想方法
數(shù)學(xué)建模思想是說在具體的問題分析中,盡量通過觀察,抽象出主要的參量、參數(shù)與有關(guān)的定律、原理間建立起的某種關(guān)系。這樣,一個(gè)具體的實(shí)際問題就轉(zhuǎn)化為簡化明了的一個(gè)數(shù)學(xué)模型。
典型例題分析5:
某班到畢業(yè)時(shí)共結(jié)余班費(fèi)1800元,班委會(huì)決定拿出不少于270元但不超過300元的資金為老師購買紀(jì)念品,其余資金用于在畢業(yè)晚會(huì)上給50位同學(xué)每人購買一件T恤或一本影集作為紀(jì)念品。已知每件T恤比每本影集貴9元,用200元恰好可以買到2件T恤和5本影集。
(1)求每件T恤和每本影集的價(jià)格分別為多少元?
(2)有幾種購買T恤和影集的方案?

考點(diǎn)分析: 一元一次不等式組的應(yīng)用;二元一次方程組的應(yīng)用;應(yīng)用題。
題干分析:
(1)通過理解題意可知本題存在兩個(gè)等量關(guān)系,即每件T恤比每本影集費(fèi)9元,用200元恰好可以買到2件T恤和5本影集。根據(jù)這兩個(gè)等量關(guān)系可列出方程組。
(2)本題存在兩個(gè)不等量關(guān)系,即設(shè)購買T恤t件,購買影集(50﹣t)本,則1800﹣300≤35t+26(50﹣t)≤1800﹣270,根據(jù)t為正整數(shù),解出不等式再進(jìn)行比較即可。
解題反思:
本題考查了二元一次方程組和一元一次不等式組的實(shí)際應(yīng)用,問題(1)在解決時(shí)只需認(rèn)真分析題意,找出本題存在的兩個(gè)等量關(guān)系,根據(jù)這兩個(gè)等量關(guān)系可列出方程組。問題(2)需利用不等式解決,另外要注意,同實(shí)際相聯(lián)系的題目,需考慮字母的實(shí)際意義,從而確定具體的取值。再進(jìn)行比較即可知道方案用于購買老師紀(jì)念品的資金更充足。
面對中考復(fù)習(xí),除了要掌握知識(shí)內(nèi)容,更要對數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行梳理、總結(jié),逐個(gè)認(rèn)識(shí)它們的本質(zhì)特征、思維程序和操作程序。結(jié)合典型題目進(jìn)行訓(xùn)練,能夠真正適應(yīng)中考命題。
知識(shí)內(nèi)容和方法技巧的載體是題目,要想掌握好相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法技巧,就需要去解一定量的題目。不過,大家一定要充分認(rèn)識(shí)到一點(diǎn),不是你解的題目越多,就會(huì)掌握好這些知識(shí)內(nèi)容和方法技巧。
如很多人只知道數(shù)學(xué)公式、定理等,卻很少知道數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精髓。無論是中考數(shù)學(xué)還是高考數(shù)學(xué),除了考查大家知識(shí)掌握程度,更重要考查大家應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力,充分運(yùn)用數(shù)學(xué)思想去分析、解決具體的問題。
因此,如何想要在中考數(shù)學(xué)中取得優(yōu)異的成績,就要加深對數(shù)學(xué)思想方法的理解。初中階段常用到的數(shù)學(xué)思想有:數(shù)形結(jié)合思想、分情況討論思想、化歸思想、函數(shù)與方程思想、建立數(shù)學(xué)模型思想等。
中考數(shù)學(xué)常見數(shù)學(xué)思想方法一:數(shù)形結(jié)合思想方法
數(shù)形結(jié)合思想是說數(shù)的問題可以通過對圖形的分析來解決,形的問題也可通過對數(shù)的研究來思考。
典型例題分析1:
在梯形OABC中,CB∥OA,∠AOC=60°,∠OAB=90°,OC=2,BC=4,以點(diǎn)O為原點(diǎn),OA所在的直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,另有一邊長為2的等邊△DEF,DE在x軸上(如圖(1)),如果讓△DEF以每秒1個(gè)單位的速度向左作勻速直線運(yùn)動(dòng),開始時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合,當(dāng)點(diǎn)D到達(dá)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)停止。
(1)設(shè)△DEF運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,△DEF與梯形OABC重疊部分的面積為S,求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式。
(2)探究:在△DEF運(yùn)動(dòng)過程中,如果射線DF交經(jīng)過O、C、B三點(diǎn)的拋物線于點(diǎn)G,是否存在這樣的時(shí)刻t,使得△OAG的面積與梯形OABC的面積相等?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由。



考點(diǎn)分析: 二次函數(shù)綜合題。
題干分析:
(1)根據(jù)F與B重合前后及E與A重合前后,分三種情況求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;
(2)依題意得D(4﹣t,0),求出直線OC解析式,根據(jù)DF∥OC確定直線DF解析式,再由△OAG的面積與梯形OABC的面積相等,求出G點(diǎn)縱坐標(biāo),根據(jù)G點(diǎn)在拋物線上求G點(diǎn)橫坐標(biāo),代入直線DF解析式求t,判斷是否符號(hào)t的取值范圍即可。
解題反思:
本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用。關(guān)鍵是根據(jù)直角梯形的特點(diǎn)求頂點(diǎn)坐標(biāo),確定拋物線解析式,根據(jù)面積關(guān)系,列方程求解。
中考數(shù)學(xué)常見數(shù)學(xué)思想方法二:分類討論思想
分情況討論思想就是當(dāng)一個(gè)問題用統(tǒng)一的方法不能繼續(xù)做下去的時(shí)候,需要對所研究的問題分成若干個(gè)情況分別進(jìn)行研究的思想方法。
典型例題分析2:
如圖1,已知正方形OABC的邊長為2,頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上,M是BC的中點(diǎn)。P(0,m)是線段OC上一動(dòng)點(diǎn)(C點(diǎn)除外),直線PM交AB的延長線于點(diǎn)D。
(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)(用含m的代數(shù)式表示);
(2)當(dāng)△APD是等腰三角形時(shí),求m的值;
(3)設(shè)過P、M、B三點(diǎn)的拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)E,過點(diǎn)O作直線ME的垂線,垂足為H(如圖2),當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)H也隨之運(yùn)動(dòng)。請直接寫出點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長。(不必寫解答過程)


考點(diǎn)分析: 二次函數(shù)綜合題;代數(shù)幾何綜合題;分類討論。
題干分析:
(1)證明Rt△PMC≌Rt△DMB,即可證明DB=2﹣m,AD=4﹣m,從而求解;
(2)分AP=AD,PD=PA,PD=DA三種情況,根據(jù)勾股定理即可求解;(3)運(yùn)動(dòng)時(shí),路線長不變,可以取當(dāng)P在O點(diǎn)是,求解即可。
解題反思:
本題是二次函數(shù)的綜合題型,其中涉及的到大知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和三角形的面積求法,在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果。
中考數(shù)學(xué)常見數(shù)學(xué)思想方法三:化歸思想方法
化歸思想是說在解決實(shí)際問題時(shí)常常需要進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換,把生疏的題目轉(zhuǎn)化成熟悉的題目,通過特殊到一般,歸納出事物的規(guī)律,并能進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪阶冃巍?BR> 典型例題3:
△ABC是一張等腰直角三角形紙板,∠C=Rt∠,AC=BC=2,
(1)要在這張紙板中剪出一個(gè)盡可能大的正方形,有甲、乙兩種剪法(如圖1),比較甲、乙兩種剪法,哪種剪法所得的正方形面積大?請說明理由。
(2)圖1中甲種剪法稱為第1次剪取,記所得正方形面積為s1;按照甲種剪法,在余下的△ADE和△BDF中,分別剪取正方形,得到兩個(gè)相同的正方形,稱為第2次剪取,并記這兩個(gè)正方形面積和為s2(如圖2),則s2=1/2;再在余下的四個(gè)三角形中,用同樣方法分別剪取正方形,得到四個(gè)相同的正方形,稱為第3次剪取,并記這四個(gè)正方形面積和為s3,繼續(xù)操作下去…,則第10次剪取時(shí),s10=1/2;
(3)求第10次剪取后,余下的所有小三角形的面積之和。


考點(diǎn)分析: 正方形的性質(zhì);勾股定理;等腰直角三角形;規(guī)律型。
題干分析:
(1)分別求出甲、乙兩種剪法所得的正方形面積,進(jìn)行比較即可;
(2)按圖1中甲種剪法,可知后一個(gè)三角形的面積是前一個(gè)三角形的面積的1/2,依此可知結(jié)果;
(3)探索規(guī)律可知:Sn=1/2n-1,依此規(guī)律可得第10次剪取后,余下的所有小三角形的面積之和。
解題反思:
本題考查了正方形的性質(zhì),勾股定理,等腰直角三角形的性質(zhì),得出甲、乙兩種剪法,所得的正方形面積是解題的關(guān)鍵。
中考數(shù)學(xué)常見數(shù)學(xué)思想方法四:函數(shù)與方程思想方法
函數(shù)與方程思想就是對于有些數(shù)學(xué)問題要學(xué)會(huì)用變量和函數(shù)來思考,學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化未知與已知的關(guān)系。
典型例題4:
如圖所示,二次函數(shù)y=﹣x2+2x+m的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(3,0),另一個(gè)交點(diǎn)為B,且與y軸交于點(diǎn)C。
(1)求m的值;
(2)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(3)該二次函數(shù)圖象上有一點(diǎn)D(x,y)(其中x>0,y>0) 使S△ABD=S△ABC,求點(diǎn)D的坐標(biāo)。


考點(diǎn)分析: 二次函數(shù)綜合題;代數(shù)幾何綜合題;方程思想。
題干分析:
(1)由二次函數(shù)y=﹣x2+2x+m的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(3,0),利用待定系數(shù)法將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可求得m的值;
(2)根據(jù)(1)求得二次函數(shù)的解析式,然后將y=0代入函數(shù)解析式,即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo);
(3)根據(jù)(2)中的函數(shù)解析式求得點(diǎn)C的坐標(biāo),由二次函數(shù)圖象上有一點(diǎn)D(x,y)(其中x>0,y>0),可得點(diǎn)D在第一象限,又由S△ABD=S△ABC,可知點(diǎn)D與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相等,代入函數(shù)的解析式即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)。
解題反思:
此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,考查了一元二次方程的解法以及三角形的面積問題等知識(shí)。此題綜合性較強(qiáng),但難度不大,屬于中檔題,解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系,注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用。
中考數(shù)學(xué)常見數(shù)學(xué)思想方法五:數(shù)學(xué)建模思想方法
數(shù)學(xué)建模思想是說在具體的問題分析中,盡量通過觀察,抽象出主要的參量、參數(shù)與有關(guān)的定律、原理間建立起的某種關(guān)系。這樣,一個(gè)具體的實(shí)際問題就轉(zhuǎn)化為簡化明了的一個(gè)數(shù)學(xué)模型。
典型例題分析5:
某班到畢業(yè)時(shí)共結(jié)余班費(fèi)1800元,班委會(huì)決定拿出不少于270元但不超過300元的資金為老師購買紀(jì)念品,其余資金用于在畢業(yè)晚會(huì)上給50位同學(xué)每人購買一件T恤或一本影集作為紀(jì)念品。已知每件T恤比每本影集貴9元,用200元恰好可以買到2件T恤和5本影集。
(1)求每件T恤和每本影集的價(jià)格分別為多少元?
(2)有幾種購買T恤和影集的方案?

考點(diǎn)分析: 一元一次不等式組的應(yīng)用;二元一次方程組的應(yīng)用;應(yīng)用題。
題干分析:
(1)通過理解題意可知本題存在兩個(gè)等量關(guān)系,即每件T恤比每本影集費(fèi)9元,用200元恰好可以買到2件T恤和5本影集。根據(jù)這兩個(gè)等量關(guān)系可列出方程組。
(2)本題存在兩個(gè)不等量關(guān)系,即設(shè)購買T恤t件,購買影集(50﹣t)本,則1800﹣300≤35t+26(50﹣t)≤1800﹣270,根據(jù)t為正整數(shù),解出不等式再進(jìn)行比較即可。
解題反思:
本題考查了二元一次方程組和一元一次不等式組的實(shí)際應(yīng)用,問題(1)在解決時(shí)只需認(rèn)真分析題意,找出本題存在的兩個(gè)等量關(guān)系,根據(jù)這兩個(gè)等量關(guān)系可列出方程組。問題(2)需利用不等式解決,另外要注意,同實(shí)際相聯(lián)系的題目,需考慮字母的實(shí)際意義,從而確定具體的取值。再進(jìn)行比較即可知道方案用于購買老師紀(jì)念品的資金更充足。
面對中考復(fù)習(xí),除了要掌握知識(shí)內(nèi)容,更要對數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行梳理、總結(jié),逐個(gè)認(rèn)識(shí)它們的本質(zhì)特征、思維程序和操作程序。結(jié)合典型題目進(jìn)行訓(xùn)練,能夠真正適應(yīng)中考命題。