二次函數(shù)圖像是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線x=-b/2a，頂點(diǎn)坐標(biāo)(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，交點(diǎn)式為y=a(x-x1)(x-x2)僅限于與x軸有交點(diǎn)和的拋物線)，與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是A(x1,0)和B(x2,0)。
注意：“變量”不同于“自變量”，不能說(shuō)“二次函數(shù)是指變量的次數(shù)為二次的多項(xiàng)式函數(shù)”。“未知數(shù)”只是一個(gè)數(shù)(具體值未知，但是只取一個(gè)值)，“變量”可在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)任意取值。在方程中適用“未知數(shù)”的概念(函數(shù)方程、微分方程中是未知函數(shù)，但不論是未知數(shù)還是未知函數(shù)，一般都表示一個(gè)數(shù)或函數(shù)——也會(huì)遇到特殊情況)，但是函數(shù)中的字母表示的是變量，意義已經(jīng)有所不同。從函數(shù)的定義也可看出二者的差別，如同函數(shù)不等于函數(shù)的關(guān)系。
性質(zhì)：
1.二次函數(shù)是拋物線，但拋物線不一定是二次函數(shù)。開(kāi)口向上或者向下的拋物線才是二次函數(shù)。拋物線是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線x=-b/2a。對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸(即直線x=0)。
2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為P(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)。當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上;當(dāng)△=b^2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。
3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大小。當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口;當(dāng)a<0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口。|a|越大，則拋物線的開(kāi)口越小。
4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab>0)，對(duì)稱軸在y軸左;當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab<0)，對(duì)稱軸在y軸右。
5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。拋物線與y軸交于(0, c
6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)：△=b^2-4ac>0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)?！?b^2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。當(dāng)△=b^2-4ac<0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。
當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)在x=-b/2a處取得最小值f(-b/2a)=(4ac-b^2)/4a;在(-∞,-b/2a] 上是減函數(shù)，在[-b/2a,+∞) 上是增函數(shù);拋物線的開(kāi)口向上;函數(shù)的值域是[(4ac-b^2)/4a,+∞)。
當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)在x=-b/2a處取得值f(-b/2a)=(4ac-b^2)/4a;在(-∞,-b/2a] 上是增函數(shù)，在[-b/2a,+∞) 上是減函數(shù);拋物線的開(kāi)口向下;函數(shù)的值域是(-∞,(4ac-b^2)/4a]。
當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸，這時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)，解析式變形為y=ax^2+c(a≠0)。
注意：“變量”不同于“自變量”，不能說(shuō)“二次函數(shù)是指變量的次數(shù)為二次的多項(xiàng)式函數(shù)”。“未知數(shù)”只是一個(gè)數(shù)(具體值未知，但是只取一個(gè)值)，“變量”可在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)任意取值。在方程中適用“未知數(shù)”的概念(函數(shù)方程、微分方程中是未知函數(shù)，但不論是未知數(shù)還是未知函數(shù)，一般都表示一個(gè)數(shù)或函數(shù)——也會(huì)遇到特殊情況)，但是函數(shù)中的字母表示的是變量，意義已經(jīng)有所不同。從函數(shù)的定義也可看出二者的差別，如同函數(shù)不等于函數(shù)的關(guān)系。
性質(zhì)：
1.二次函數(shù)是拋物線，但拋物線不一定是二次函數(shù)。開(kāi)口向上或者向下的拋物線才是二次函數(shù)。拋物線是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線x=-b/2a。對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸(即直線x=0)。
2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為P(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)。當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上;當(dāng)△=b^2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。
3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大小。當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口;當(dāng)a<0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口。|a|越大，則拋物線的開(kāi)口越小。
4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab>0)，對(duì)稱軸在y軸左;當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab<0)，對(duì)稱軸在y軸右。
5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。拋物線與y軸交于(0, c
6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)：△=b^2-4ac>0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)?！?b^2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。當(dāng)△=b^2-4ac<0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。
當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)在x=-b/2a處取得最小值f(-b/2a)=(4ac-b^2)/4a;在(-∞,-b/2a] 上是減函數(shù)，在[-b/2a,+∞) 上是增函數(shù);拋物線的開(kāi)口向上;函數(shù)的值域是[(4ac-b^2)/4a,+∞)。
當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)在x=-b/2a處取得值f(-b/2a)=(4ac-b^2)/4a;在(-∞,-b/2a] 上是增函數(shù)，在[-b/2a,+∞) 上是減函數(shù);拋物線的開(kāi)口向下;函數(shù)的值域是(-∞,(4ac-b^2)/4a]。
當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸，這時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)，解析式變形為y=ax^2+c(a≠0)。