一、選擇題
1.下列四個說法中，正確的是( )
a.一元二次方程 有實數(shù)根;
b.一元二次方程 有實數(shù)根;
c.一元二次方程 有實數(shù)根;
d.一元二次方程x2+4x+5=a(a≥1)有實數(shù)根.
【答案】d
2.一元二次方程 有兩個不相等的實數(shù)根，則 滿足的條件是
a. =0 b. >0
c. <0 d. ≥0
【答案】b
3.(XX四川眉山)已知方程 的兩個解分別為 、 ，則 的值為
a. b. c.7 d.3
【答案】d
4.(XX浙江杭州)方程 x2 + x – 1 = 0的一個根是
a. 1 – b. c. –1+ d.
【答案】d
5.(XX年上海)已知一元二次方程 x2 + x ─ 1 = 0，下列判斷正確的是( )
a.該方程有兩個相等的實數(shù)根 b.該方程有兩個不相等的實數(shù)根
c.該方程無實數(shù)根 d.該方程根的情況不確定
【答案】b
6.(XX湖北武漢)若 是方程 =4的兩根，則 的值是( )
a.8 b.4
c.2 d.0
【答案】d
7.(XX山東濰坊)關(guān)于x的一元二次方程x2-6x+2k=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是( ).
a.k≤ b.k< c.k≥ d.k>
【答案】b
8.(XX云南楚雄)一元二次方程x2-4=0的解是( )
a.x1=2，x2=-2 b.x=-2 c.x=2 d. x1=2，x2=0
【答案】a
9.(XX云南昆明)一元二次方程 的兩根之積是( )
a.-1 b. -2 c.1 d.2
【答案】b
10.(XX 湖北孝感)方程 的估計正確的是 ( )
a. b.
c. d.
【答案】b
11.(XX廣西桂林)一元二次方程 的解是 ( ).
a. ， b. ，
c. ， d. ，
【答案】a
12.(XX黑龍江綏化)方程(x-5)(x-6)=x-5的解是( )
a.x=5 b.x=5或x=6 c.x=7 d.x=5或x=7
【答案】d
二、填空題
1.(XX甘肅蘭州) 已知關(guān)于x的一元二次方程 有實數(shù)根，則m的取值范圍是 .
【答案】
2.(XX安徽蕪湖)已知x1、x2為方程x2+3x+1=0的兩實根，則x12+8x2+20=__________.
【答案】-1
3.(XX江蘇南通)設(shè)x1、x2 是一元二次方程x2+4x-3=0的兩個根，
2x1(x22+5x2-3)+a =2，則a= ▲ .
【答案】8
4.(XX四川眉山)一元二次方程 的解為___________________.
【答案】
5.(XX江蘇無錫)方程 的解是 ▲ .
【答案】
6.(XX 江蘇連云港)若關(guān)于x的方程x2-mx+3=0有實數(shù)根，則m的值可以為___________.(任意給出一個符合條件的值即可)
【答案】
7.(XX湖北荊門)如果方程ax2+2x+1=0有兩個不等實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是
【答案】a<1且a≠0
8.(XX湖北鄂州)已知α、β是一元二次方程x2-4x-3=0的兩實數(shù)根，則代數(shù)式(α-3)(β-3)= .
【答案】-6
9.(XX 四川綿陽)若實數(shù)m滿足m2- m + 1 = 0，則 m4 + m-4 = .
【答案】62
10.(XX 云南玉溪)一元二次方程x2-5x+6=0 的兩根分別是x1,x2, 則x1+x2等于
a. 5 b. 6 c. -5 d. -6
【答案】a
11.(XX 四川自貢)關(guān)于x的一元二次方程-x2+(2m+1)x+1-m2=0無實數(shù)根，則m的取值范圍是_______________。
【答案】<-
12.(XX 廣西欽州市)已知關(guān)于x的一元二次方程x2 +kx +1 =0有兩個相等的實數(shù)根，
則k = ▲ .
【答案】±2
23.(XX廣西柳州)關(guān)于x的一元二次方程(x+3)(x-1)=0的根是_____________.
【答案】x=1或x=-3
13.(XX福建南平)寫出一個有實數(shù)根的一元二次方程___________________.
【答案】答案不,例如: x2-2x+1 =0
14.(XX廣西河池)方程 的解為 .
【答案】
15.(XX湖南婁底)閱讀材料：
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個實根為x1、x2，則兩根與方程系數(shù)之間有如下關(guān)系：
x1+x2= -，x1x2=
根據(jù)上述材料填空：
已知x1、x2是方程x2+4x+2=0的兩個實數(shù)根，則 +=_________.
【答案】-2
16.(XX廣西百色)方程 -1的兩根之和等于 .
【答案】2
三、解答題
1.(XX江蘇蘇州)解方程： .
【答案】
2.(XX廣東廣州，19，10分)已知關(guān)于x的一元二次方程 有兩個相等的實數(shù)根，求 的值。
【分析】由于這個方程有兩個相等的實數(shù)根，因此⊿= ，可得出a、b之間的關(guān)系，然后將 化簡后，用含b的代數(shù)式表示a，即可求出這個分式的值.
【答案】解：∵ 有兩個相等的實數(shù)根，
∴⊿= ，即 .
∵
∵ ，∴
3.(XX重慶綦江縣)解方程：x2-2x-1=0.
【答案】解方程：x2-2x-1=0
解：
∴ ;
4.(XX年貴州畢節(jié))已知關(guān)于 的一元二次方程 有兩個實數(shù)根 和 .
(1)求實數(shù) 的取值范圍;
(2)當(dāng) 時，求 的值.
【答案】解：(1)由題意有 ，
解得 .
即實數(shù) 的取值范圍是 .
(2)由 得 .
若 ，即 ，解得 .
∵ > ， 不合題意，舍去.
若 ，即 ，由(1)知 .
故當(dāng) 時， .
5.(XX江蘇常州)解方程
【答案】
6.(XX廣東中山)已知一元二次方程 .
(1)若方程有兩個實數(shù)根，求m的范圍;
(2)若方程的兩個實數(shù)根為 ， ，且 +3 =3，求m的值。
【答案】解：(1)δ=4-4m
因為方程有兩個實數(shù)根
所以，4-4m≥0，即m≤1
(2)由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得 + =2
又 +3 =3
所以， =
再把 = 代入方程，求得 =
7.(XX四川樂山)從甲、乙兩題中選做一題。如果兩題都做，只以甲題計分.
題甲：若關(guān)于 的一元二次方程 有實數(shù)根 .
(1) 求實數(shù)k的取值范圍;
(2) 設(shè) ，求t的最小值.
題乙：如圖(11)，在矩形abcd中，p是bc邊上一點，連結(jié)dp并延長，交ab的延長線于點q.
(1) 若 ，求 的值;
(2) 若點p為bc邊上的任意一點，求證 .
我選做的是_______題.
【答案】題甲
解：(1)∵一元二次方程 有實數(shù)根 ，
∴ ， ………………………………………………………………………2分
即 ，
解得 .……………………………………………………………………4分
(3)由根與系數(shù)的關(guān)系得： ， ………………… 6分
∴ ， …………………………………………7分
∵ ，∴ ，
∴ ，
即t的最小值為-4. ………………………………………………………10分
題乙
(1)解：四邊形abcd為矩形，
∵ab=cd，ab∥dc，………………………………………………………………1分
∴△dpc ∽△qpb， ………………………………………………………………3分
∴ ，
∴ ，
∴ . ………………………………………………………5分
(2)證明：由△dpc ∽△qpb，
得 ，……………………………………………………………………6分
∴ ，……………………………………………………………………7分
.…………………………10分
8.(XX 湖北孝感)關(guān)于x的一元二次方程 、
(1)求p的取值范圍;(4分)
(2)若 的值.(6分)
【答案】解：(1)由題意得：
…………2分
解得： …………4分
(2)由 得，
…………6分
…………8分
…………9分
…………10分
說明：1.可利用
代入原求值式中求解;
9.(XX 廣西玉林、防城港)(6分)當(dāng)實數(shù)k為何值時，關(guān)于x的方程x -4x+3-k=0有兩個相等的實數(shù)根?并求出這兩個相等的實數(shù)根。
【答案】⊿=b -4ac=16-4(3-k)=4+4k因方程有兩個相等實數(shù)根，所以⊿=0，故4+4k=0 k=-1，代入原方程得：x -4x+4=0 x =x =2
10.(XX新疆維吾爾自治區(qū)新疆建設(shè)兵團(tuán))解方程：2x2-7x+6=0
【答案】解：
11.(XX廣東佛山)教材或資料會出現(xiàn)這樣的題目：把方程 化為一元二次方程的一般形式，并寫出他的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項。
現(xiàn)把上面的題目改編為下面的兩個小題，請解答。
(1)下列式子中，有哪幾個是方程 所化的一元二次方程的一般形式?(答案只寫序號) 。
① ② ③
④ ⑤
(2)方程 化為一元二次方程的一般形式后，它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項之間具有什么關(guān)系?
【答案】解：(1)答：①②④⑤ (每個1分)…………………………………………………4分
(2)若說它的二次系數(shù)為a(a≠0)，則一次項系數(shù)為-2a、常數(shù)項為-2a……………6分.
1.下列四個說法中，正確的是( )
a.一元二次方程 有實數(shù)根;
b.一元二次方程 有實數(shù)根;
c.一元二次方程 有實數(shù)根;
d.一元二次方程x2+4x+5=a(a≥1)有實數(shù)根.
【答案】d
2.一元二次方程 有兩個不相等的實數(shù)根，則 滿足的條件是
a. =0 b. >0
c. <0 d. ≥0
【答案】b
3.(XX四川眉山)已知方程 的兩個解分別為 、 ，則 的值為
a. b. c.7 d.3
【答案】d
4.(XX浙江杭州)方程 x2 + x – 1 = 0的一個根是
a. 1 – b. c. –1+ d.
【答案】d
5.(XX年上海)已知一元二次方程 x2 + x ─ 1 = 0，下列判斷正確的是( )
a.該方程有兩個相等的實數(shù)根 b.該方程有兩個不相等的實數(shù)根
c.該方程無實數(shù)根 d.該方程根的情況不確定
【答案】b
6.(XX湖北武漢)若 是方程 =4的兩根，則 的值是( )
a.8 b.4
c.2 d.0
【答案】d
7.(XX山東濰坊)關(guān)于x的一元二次方程x2-6x+2k=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是( ).
a.k≤ b.k< c.k≥ d.k>
【答案】b
8.(XX云南楚雄)一元二次方程x2-4=0的解是( )
a.x1=2，x2=-2 b.x=-2 c.x=2 d. x1=2，x2=0
【答案】a
9.(XX云南昆明)一元二次方程 的兩根之積是( )
a.-1 b. -2 c.1 d.2
【答案】b
10.(XX 湖北孝感)方程 的估計正確的是 ( )
a. b.
c. d.
【答案】b
11.(XX廣西桂林)一元二次方程 的解是 ( ).
a. ， b. ，
c. ， d. ，
【答案】a
12.(XX黑龍江綏化)方程(x-5)(x-6)=x-5的解是( )
a.x=5 b.x=5或x=6 c.x=7 d.x=5或x=7
【答案】d
二、填空題
1.(XX甘肅蘭州) 已知關(guān)于x的一元二次方程 有實數(shù)根，則m的取值范圍是 .
【答案】
2.(XX安徽蕪湖)已知x1、x2為方程x2+3x+1=0的兩實根，則x12+8x2+20=__________.
【答案】-1
3.(XX江蘇南通)設(shè)x1、x2 是一元二次方程x2+4x-3=0的兩個根，
2x1(x22+5x2-3)+a =2，則a= ▲ .
【答案】8
4.(XX四川眉山)一元二次方程 的解為___________________.
【答案】
5.(XX江蘇無錫)方程 的解是 ▲ .
【答案】
6.(XX 江蘇連云港)若關(guān)于x的方程x2-mx+3=0有實數(shù)根，則m的值可以為___________.(任意給出一個符合條件的值即可)
【答案】
7.(XX湖北荊門)如果方程ax2+2x+1=0有兩個不等實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是
【答案】a<1且a≠0
8.(XX湖北鄂州)已知α、β是一元二次方程x2-4x-3=0的兩實數(shù)根，則代數(shù)式(α-3)(β-3)= .
【答案】-6
9.(XX 四川綿陽)若實數(shù)m滿足m2- m + 1 = 0，則 m4 + m-4 = .
【答案】62
10.(XX 云南玉溪)一元二次方程x2-5x+6=0 的兩根分別是x1,x2, 則x1+x2等于
a. 5 b. 6 c. -5 d. -6
【答案】a
11.(XX 四川自貢)關(guān)于x的一元二次方程-x2+(2m+1)x+1-m2=0無實數(shù)根，則m的取值范圍是_______________。
【答案】<-
12.(XX 廣西欽州市)已知關(guān)于x的一元二次方程x2 +kx +1 =0有兩個相等的實數(shù)根，
則k = ▲ .
【答案】±2
23.(XX廣西柳州)關(guān)于x的一元二次方程(x+3)(x-1)=0的根是_____________.
【答案】x=1或x=-3
13.(XX福建南平)寫出一個有實數(shù)根的一元二次方程___________________.
【答案】答案不,例如: x2-2x+1 =0
14.(XX廣西河池)方程 的解為 .
【答案】
15.(XX湖南婁底)閱讀材料：
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個實根為x1、x2，則兩根與方程系數(shù)之間有如下關(guān)系：
x1+x2= -，x1x2=
根據(jù)上述材料填空：
已知x1、x2是方程x2+4x+2=0的兩個實數(shù)根，則 +=_________.
【答案】-2
16.(XX廣西百色)方程 -1的兩根之和等于 .
【答案】2
三、解答題
1.(XX江蘇蘇州)解方程： .
【答案】
2.(XX廣東廣州，19，10分)已知關(guān)于x的一元二次方程 有兩個相等的實數(shù)根，求 的值。
【分析】由于這個方程有兩個相等的實數(shù)根，因此⊿= ，可得出a、b之間的關(guān)系，然后將 化簡后，用含b的代數(shù)式表示a，即可求出這個分式的值.
【答案】解：∵ 有兩個相等的實數(shù)根，
∴⊿= ，即 .
∵
∵ ，∴
3.(XX重慶綦江縣)解方程：x2-2x-1=0.
【答案】解方程：x2-2x-1=0
解：
∴ ;
4.(XX年貴州畢節(jié))已知關(guān)于 的一元二次方程 有兩個實數(shù)根 和 .
(1)求實數(shù) 的取值范圍;
(2)當(dāng) 時，求 的值.
【答案】解：(1)由題意有 ，
解得 .
即實數(shù) 的取值范圍是 .
(2)由 得 .
若 ，即 ，解得 .
∵ > ， 不合題意，舍去.
若 ，即 ，由(1)知 .
故當(dāng) 時， .
5.(XX江蘇常州)解方程
【答案】
6.(XX廣東中山)已知一元二次方程 .
(1)若方程有兩個實數(shù)根，求m的范圍;
(2)若方程的兩個實數(shù)根為 ， ，且 +3 =3，求m的值。
【答案】解：(1)δ=4-4m
因為方程有兩個實數(shù)根
所以，4-4m≥0，即m≤1
(2)由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得 + =2
又 +3 =3
所以， =
再把 = 代入方程，求得 =
7.(XX四川樂山)從甲、乙兩題中選做一題。如果兩題都做，只以甲題計分.
題甲：若關(guān)于 的一元二次方程 有實數(shù)根 .
(1) 求實數(shù)k的取值范圍;
(2) 設(shè) ，求t的最小值.
題乙：如圖(11)，在矩形abcd中，p是bc邊上一點，連結(jié)dp并延長，交ab的延長線于點q.
(1) 若 ，求 的值;
(2) 若點p為bc邊上的任意一點，求證 .
我選做的是_______題.
【答案】題甲
解：(1)∵一元二次方程 有實數(shù)根 ，
∴ ， ………………………………………………………………………2分
即 ，
解得 .……………………………………………………………………4分
(3)由根與系數(shù)的關(guān)系得： ， ………………… 6分
∴ ， …………………………………………7分
∵ ，∴ ，
∴ ，
即t的最小值為-4. ………………………………………………………10分
題乙
(1)解：四邊形abcd為矩形，
∵ab=cd，ab∥dc，………………………………………………………………1分
∴△dpc ∽△qpb， ………………………………………………………………3分
∴ ，
∴ ，
∴ . ………………………………………………………5分
(2)證明：由△dpc ∽△qpb，
得 ，……………………………………………………………………6分
∴ ，……………………………………………………………………7分
.…………………………10分
8.(XX 湖北孝感)關(guān)于x的一元二次方程 、
(1)求p的取值范圍;(4分)
(2)若 的值.(6分)
【答案】解：(1)由題意得：
…………2分
解得： …………4分
(2)由 得，
…………6分
…………8分
…………9分
…………10分
說明：1.可利用
代入原求值式中求解;
9.(XX 廣西玉林、防城港)(6分)當(dāng)實數(shù)k為何值時，關(guān)于x的方程x -4x+3-k=0有兩個相等的實數(shù)根?并求出這兩個相等的實數(shù)根。
【答案】⊿=b -4ac=16-4(3-k)=4+4k因方程有兩個相等實數(shù)根，所以⊿=0，故4+4k=0 k=-1，代入原方程得：x -4x+4=0 x =x =2
10.(XX新疆維吾爾自治區(qū)新疆建設(shè)兵團(tuán))解方程：2x2-7x+6=0
【答案】解：
11.(XX廣東佛山)教材或資料會出現(xiàn)這樣的題目：把方程 化為一元二次方程的一般形式，并寫出他的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項。
現(xiàn)把上面的題目改編為下面的兩個小題，請解答。
(1)下列式子中，有哪幾個是方程 所化的一元二次方程的一般形式?(答案只寫序號) 。
① ② ③
④ ⑤
(2)方程 化為一元二次方程的一般形式后，它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項之間具有什么關(guān)系?
【答案】解：(1)答：①②④⑤ (每個1分)…………………………………………………4分
(2)若說它的二次系數(shù)為a(a≠0)，則一次項系數(shù)為-2a、常數(shù)項為-2a……………6分.