高三數學試卷

高三數學試卷（文）
    滿分150分 考試時間120分鐘
    本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分
    第Ⅰ卷
    一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
    1. 已知集合A1,0,1，集合Bx24，則AxB等于 ( )
    A．1,0,1 B． 1 C．1,1 D．0,1
    a2ai0，則a的值為 ( ) 2.設i是虛數單位，若復數z1i
    A．0或1 B．0或1 C．1 D．1
    3.
    已知命題p:x0R,sinx0命題q:xR,x2x10.則下列結論正確的是 ( )
    A．命題是pq假命題 B. 命題是pq真命題
    C．命題是(p)(q)真命題 D．命題是(p)(q)真命題
    4. ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知a
    2，bA面積為( )
    A
    ．
    B
    ． C
    ．
    D
    6，則ABC的
    ˆ0.76x71. 5.對于下列表格所示的五個散點，已知求得的線性回歸方程為y
    x
    y 98 2 99 3 100 101 102 8 5 m
    則實數m的值為 ( )
    A．6.8
    6. 在區(qū)域 B．7 C．7.2 D．7.4 0x1內任意取一點P(x,y) ，則x2y21的概率是( ) 0y1
    2424 A. B. C. D. 44447. 已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為 ( )
    A. B.2 C.3 D.4
    俯視圖
    7題圖
    側視圖 8題圖
    8. 執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的alog32,blog52,clog23，那么輸出m的值是 ( )
    A.log52 B. log32 C.log23 D.都有可能
    9. 已知函數①ysinx
    cosx，②yxcosx，則下列結論正確的是( )
    A. 兩個函數的圖象均關于點(
    4,0)成中心對稱
    B. 兩個函數的圖象均關于直線x
    C. 兩個函數在區(qū)間(4對稱 ,)上都是單調遞增函數 44
    D. 可以將函數②的圖像向左平移
    個單位得到函數①的圖像 4
    10. 已知直角ABC中，斜邊AB6，D為線段AB的中點，P為線段CD上任意一點，則(PAPB)PC的最小值為( ) 99 Ｂ.  Ｃ．2 Ｄ．2 22
    11. 中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線C
    直線l與雙曲線C交于A,B兩點，A. 線段AB中點M在第一象限，并且在拋物線y2px(p0)上，且M到拋物線焦點的距離
    為p，則直線l的斜率為（ ）
    31 Ｃ．1 Ｄ． 22
    f(x)12. 設函數f(x)x32ex2mxlnx，記g(x)，若函數g(x)至少存在一個零點，xA． 2 Ｂ．
    則實數m的取值范圍是( )
    A
    B
    C
    第II卷
    二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
    13.曲線yx(2lnx1)在點(1,1)處的切線方程為.
    x2y2
    14. 已知過雙曲線221右焦點且傾斜角為45的直線與雙曲線右支有兩個交點，則雙曲ab
    線的離心率e的取值范圍是 .
    15.設直線x2y10的傾斜角為,則cossin2的值為. 2
    16.已知函數f(x)為R上的增函數，函數圖像關于點(3,0)對稱，若實數x,y滿
    足f(x29)f(y22y)0，則y的取值范圍是 . x
    三、解答題:本大題共5小題，共60分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
    17. （本小題滿分12分）已知an為等差數列，數列bn滿足對于任意nN，點(bn,bn1)
    在直線y2x上，且a1b12，a2b2.
    (1) 求數列an與數列bn的通項公式；
    (2)若 cn
    anbnn為奇數，n為偶數，求數列cn的前2n項的和S2n.18. （本小題滿分12分）兩會結束后，房價問題仍是國民關注的熱點問題，某高校金融學一班的學生對某城市居民對房價的承受能力（如能買每平方米6千元的房子即承受能力為6千元）的調查作為社會實踐，進行調查統(tǒng)計，將承受能力數按區(qū)間[2.5,3.5),[3.5,4.5),[4[.65.,55,.75.)5]（千元）進行分組，得到如下統(tǒng)計圖：
    (1) 求a的值，并估計該城市居民的平均承受能力是多少元；
    (2)若用分層抽樣的方法，從承受能力在[3.5,4.5)與
    [5.5,6.5)的居民中抽取5人，在抽取的5人中隨機取2
    人，求2人的承受能力不同的概率.
    19. （本小題滿分12分）如圖1，ABC，ABAC4，BAC
    2
    ，D為BC的中點，3
    DEAC,沿DE將CDE折起至C'DE，如圖2，且C'在面ABDE
    上的投影恰好是E，連接C'B，M是
    C
    1
    C'B上的點，且C'MMB.
    2
    (1)求證：AM∥面C'DE； (2)求三棱錐C'AMD的體積.
    圖1
    E
    x2y2
    20. （本小題滿分12分）設橢圓M:2
    直線l:x1a的右焦點為F1，
    a2
    a2a22
    O為坐標原點）與x軸交于點A，若OF． 12AF10（其中
    (1)求橢圓M的方程；
    (2)設P是橢圓M上的任意一點，EF為圓N:x2y21的任意一條直徑（E、F為
    2
    直徑的兩個端點），求的值． 21．（本小題滿分12分）設函數f(x)
    x
    ax． lnx(1)若函數f(x)在(1,)上為減函數，求實數a的最小值；
    (2)若存在x1,x2[e,e2]，使f(x1)f(x2)a成立，求正實數a的取值范圍．
    請考生從第（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答.注意：只能做所選定的題目.如果多做，則按所做的第一個題目計分，作答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑.
    22.（本小題滿分10分）選修4－1：幾何證明選講
    如圖，在ABC中，ABC90，以AB為直徑的圓O
    交AC于點E，點D是BC邊的中點，連接OD交圓O于
    點M.
    (1)求證： DE是圓O的切線； OB (2)求證：DEBCDMACDMAB.
    23.（本小題滿分10分）選修4—4：坐標系與參數方程
    x2在直角坐標系xoy中，直線l的參數方程為y62t2(t為參數).在極坐標系（與直角2t2
    坐標系xoy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為10cos．
    (1)求圓C的直角坐標方程；
    (2)設圓C與直線l交于點A、B，若點P的坐標為(2,6)，求|PA||PB|．
    24.（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講 已知函數f(x)m-|x-2|，mR，且f(x2)0的解集為[1,1]．
    (1)求m的值；
    (2)若a,b,cR，且
    111m，求 za2b3c 的最小值. a2b3c數 學(文科) 答 案
    13.xy20 14. 1e 15.
    16. 5
    17. （本小題滿分12分）解：(1)由點(bn,bn1)在直線y2x上，有
    bn1
    2，所以數列bnbn
    是以2為首項，2為公比的等比數列，即數列bn的通項公式為bn2n， 3分 又a1b12，a2b24，則da2a1422，所以數列an是以2為首項，2為公差的等差數列，即數列an的通項公式為an2n； 6分
    an
    (2) cn
    bn
    所以S2n
    n為奇數，n為偶數，
    n(24n2)4(14n)
     (a1a3a2n1)(b2b4b2n)
    214
    4
    2n2(4n1) 12分
    3
    18. （本小題滿分12分）解：(1)由0.10.10.140.45a1，所以a0.21， 2分
    平均承受能力x30.140.1450.4560.2170.15.07， 即城市居民的平均承受能力大約為5070元； 5分
    (2)用分層抽樣的方法在這兩組中抽5人, 即[3.5,4.5)組中抽2人與[5.5,6.5)抽3人,
    5設[3.5,4.5)組中兩人為A1,A2,[5.5,6.5)組中三人為B1,B2,B2,從這人中隨機取2人,有
    A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A2B1,A2B2,A2B3,B1B2,B1B3,B2B3共10中,符合兩人承受能力不同的
    有A1B1,A1B2,A1B3,A2B1,A2B2,A2B3共6中,所以所求概率為P
    63
    . 12分 105
    第6 / 10頁
    19. （本小題滿分12分）(1) 證明：過M作MN∥C'D,交BD于N,連接AN，
    1于是DNNB，又ABAC4，
    22
    ，D為BC
    的中點，所以BAC3
    CM
    N
    E
    NB
    A
    2
    ，
    B30
    ，由
    C
    圖1
    N
    2
    AB22N
    Bc
    ，得到,所以ANB120，得AN∥oAsB3ANN
    0ED,所以面AMN∥面C'DE,即AM∥面C'
    DE；（注：可以在翻折前的圖形中證明AN∥ED） 6分
    111
    C'MMB，VC'AMDVBAMDVMABD，又C'E面ABD，所以M到平
    (2)
    222
    面ABD的距離h2，SABD
    ，
    所以VMABD
    1，即得三棱
    錐2
    3C'AMD的體積為
    12分
    20. （本小題滿分12分）解：（1）由題設知，A2
    ，F1
    由OF1
    
    2AF1
    02解得a26
    x2y2
    1 4分 所以橢圓M的方程為62
    (2)設圓N:x2y21的圓心為N，
    2
    則PEPF(NENP)(NFNP)(NFNP)(NFNP)NPNFNP1 從而求PEPF的值轉化為求的值．
    2
    222
    xy22
    因為P是橢圓M上的任意一點，設P(x0,y0)所以001，即x063y0．
    62
    22
    因為點N0,2，所以NPx0y022y0112
    2
    2
    2
    2
    因為y0[，所以當y01時，NP取得值12 所以的值為11 12分
    21．（本小題滿分12分）解：(1)由已知得x0,x1． 因f(x)在1，+上為減函數，故fx所以當x1，+時，fxmax0．
    2分
    2
    lnx1
    lnx
    2
    ，+上恒成立． a0在1
    111
    ，即xe2時，fxmaxa． lnx24111
    所以a0于是a，故a的最小值為． 4分
    444
    當
    (2)命題“若存在x,x[e,e2] ，使fx1fx2a成立”等價于“當x1,x2e,e2時，
    12有
    
    f(x1)minf(x2)maxa．
    11
    a，∴fxmaxa． 44
    1
    問題等價于：“當x[e,e2]時，有fxmin”． 6分
    4
    1
    ①當a時，由（1），f(x)在[e,e2]上為減函數，
    4
    由(1)，當x[e,e2]時，fxmax則fxmin
    e2111
    feae2，故a2． 8分
    24e24
    2
    ②當a<
    1111'
    )2a在[e,e2
    ]時，由于f(x)(
    4lnx24'
    （ⅰ）a0，即a0，f(x)0在[e,e2]恒成立，故f(x)在[e,e2]上為增函數， 于是，f(x)minf(e)eaee
    1
    ，矛盾． 10分 4
    第8 / 10頁
    DMBCAC,DMABDM(ACAB)DM(2OD2OF)2DMDFOABCOE2DBBODAAEOEODDEBCDMAC2ABOBCEODBODFDABF2DEDBAC2ODAB2OFDMDFDE2DBDM2DE
    1OD//2AC
    （ⅱ）a0，即0a
    1
    ，由f'(x)的單調性和值域知， 4
    存在x0(e,e2)，使f(x0)0，且滿足：
    當x(e,x0)時，f'(x)0，f(x)為減函數；當x(x0,e2)時，f'(x)0，f(x)為增函數； 所以，fmin(x)f(x0)
    x01
    ax0，x0(e,e2) lnx04
    所以，a
    11111111
    ，與矛盾． 0a
    4lnx04x0lne24e244
    11
    2 12分 24e
    是
    的中點，點
    是
    的中點，
    綜上，得a
    22.（本小題滿分10分） 解：(1)連結OE.∵點∴
    ，∴ABOD，AEOEOD.∵，∴
    ，∴
    ，
    
    .在，
    ∴
    O
    EOD和BOD中，
    ∵
    OEOBEODBOD
    OEDOBD90，即OEED.∵E是圓O上一
    點，∴DE是圓O的切線. 5分 (2)延長DO交圓O于點.∵≌
    . ∵DE,DB是圓
    ，∴
    C
    .∵點是的中點，∴
    . ∵
    O的切線，∴DEDB.∴
    ，
    ∴圓
    的切線， 是圓
    的割線，∴
    ，∴
    .∵是
    10分
    23.（本小題滿分10分）
    解：(1)由10cos得xy10x0，即(x5)y25. 5分
    2
    2
    2
    2
    (2)將l的參數方程代入圓C的直角坐標方程，得(3
    2222t)(6t)25. 22
    即t292t200，由于(92)2420820，可設t1,t2是上述方程的兩個實根.
    t1t292
    所以，又直線l過點P(2,6)，
    t1t220
    可得：|PA||PB||t1||t2|(t1)(t2)(t1t2)92. 10分 24.（本小題滿分10分）
    解：(1)因為f(x2)m|x|， f(x2)0等價于|x|m， 由|x|m有解，得m0，且其解集為{x|mxm}．
    又f(x2)0的解集為[1,1]，故m1. 5分 (2)由(1)知
    1111，又a,b,cR，由柯西不等式得
    a2b3c
    ∴za2b3c 的最小值為9 . 10分