難點7 奇偶性與單調(diào)性(一)
函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是高考的重點內(nèi)容之一，考查內(nèi)容靈活多樣.本節(jié)主要幫助考生深刻理解奇偶性、單調(diào)性的定義，掌握判定方法，正確認識單調(diào)函數(shù)與奇偶函數(shù)的圖象.
難點磁場
(★★★★)設a>0,f(x)=是R上的偶函數(shù)，(1)求a的值；(2)證明： f(x)在(0，+∞)上是增函數(shù).
案例探究
［例1］已知函數(shù)f(x)在(－1，1)上有定義，f()=－1,當且僅當0 (1)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞減.
命題意圖：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判定以及運算能力和邏輯推理能力.屬★★★★題目.
知識依托：奇偶性及單調(diào)性定義及判定、賦值法及轉(zhuǎn)化思想.
錯解分析：本題對思維能力要求較高，如果“賦值”不夠準確，運算技能不過關，結(jié)果很難獲得.
技巧與方法：對于(1)，獲得f(0)的值進而取x=－y是解題關鍵；對于(2)，判定的范圍是焦點.
證明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)為奇函數(shù).
(2)先證f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減.
令0 ∵00,1－x1x2>0，∴>0,
又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0
∴x2－x1<1－x2x1,
∴0<<1,由題意知f()<0，
即f(x2) ∴f(x)在(0，1)上為減函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)且f(0)=0.
∴f(x)在(－1，1)上為減函數(shù).
［例2］設函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并在區(qū)間(－∞,0)內(nèi)單調(diào)遞增，f(2a2+a+1) 命題意圖：本題主要考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的基本應用以及對復合函數(shù)單調(diào)性的判定方法.本題屬于★★★★★級題目.
知識依托：逆向認識奇偶性、單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的值域問題.
錯解分析：逆向思維受阻、條件認識不清晰、復合函數(shù)判定程序紊亂.
技巧與方法：本題屬于知識組合題類，關鍵在于讀題過程中對條件的思考與認識，通過本題會解組合題類，掌握審題的一般技巧與方法.
解：設0 ∴f(－x2) ∴f(x2) 由f(2a2+a+1)3a2－2a+1.解之，得0又a2－3a+1=(a－)2－.
∴函數(shù)y=()的單調(diào)減區(qū)間是［，+∞］
結(jié)合0
函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是高考的重點內(nèi)容之一，考查內(nèi)容靈活多樣.本節(jié)主要幫助考生深刻理解奇偶性、單調(diào)性的定義，掌握判定方法，正確認識單調(diào)函數(shù)與奇偶函數(shù)的圖象.
難點磁場
(★★★★)設a>0,f(x)=是R上的偶函數(shù)，(1)求a的值；(2)證明： f(x)在(0，+∞)上是增函數(shù).
案例探究
［例1］已知函數(shù)f(x)在(－1，1)上有定義，f()=－1,當且僅當0
命題意圖：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判定以及運算能力和邏輯推理能力.屬★★★★題目.
知識依托：奇偶性及單調(diào)性定義及判定、賦值法及轉(zhuǎn)化思想.
錯解分析：本題對思維能力要求較高，如果“賦值”不夠準確，運算技能不過關，結(jié)果很難獲得.
技巧與方法：對于(1)，獲得f(0)的值進而取x=－y是解題關鍵；對于(2)，判定的范圍是焦點.
證明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)為奇函數(shù).
(2)先證f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減.
令0
又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0
∴x2－x1<1－x2x1,
∴0<<1,由題意知f()<0，
即f(x2)
∴f(x)在(－1，1)上為減函數(shù).
［例2］設函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并在區(qū)間(－∞,0)內(nèi)單調(diào)遞增，f(2a2+a+1)
知識依托：逆向認識奇偶性、單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的值域問題.
錯解分析：逆向思維受阻、條件認識不清晰、復合函數(shù)判定程序紊亂.
技巧與方法：本題屬于知識組合題類，關鍵在于讀題過程中對條件的思考與認識，通過本題會解組合題類，掌握審題的一般技巧與方法.
解：設0
∴函數(shù)y=()的單調(diào)減區(qū)間是［，+∞］
結(jié)合0