2016年河南中原高考數(shù)學(xué)模擬試題（理科）

    河南中原2016屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)(理)試題答案
    一、選擇題：共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.
    DDDAC  BBAAA   DC
    二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
    (13)     (14)       (15)     (16) ①②③④
    三、解答題：（本題共6小題,共70分,解答過程應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
    (17) (本題滿分10分) 
     解： （Ⅰ）由題意，若命題為真，則對任意實(shí)數(shù)恒成立.
    若顯然不成立；……………………………….2分
    若則解得……………………………….4分
    故命題為真命題時，的取值范圍為……………………………….5分
    （Ⅱ）若命題為真，則對一切正實(shí)數(shù)恒成立. 
    而
    因為，所以，所以，因此
    故命題為真命題時，.……………………………….7分
    又因為命題或為真命題，命題且為假命題，即命題與一真一假.
    若真假，則解得……………………………….9分
    若假真，則解得……………………………….11分
    綜上所述，滿足題意得實(shí)數(shù)的取值范圍為……………………………….12分
     (18) (本題滿分12分)
    解：（Ⅰ） 依題意可設(shè)二次函數(shù)則
    …………………2分
    點(diǎn)均在函數(shù)的圖像上，
    …………………3分
    當(dāng)時，………………5分
    當(dāng)時也適合，………………………6分
    （Ⅱ）由（Ⅰ）知………7分
    故…………………9分
    因此，要使成立，必須且僅需滿足……11分
    即………………………12分
    (19) (本題滿分12分)
    解：（Ⅰ）因為，所以acos B－(2c－b)cos A＝0，由正弦定理得sin Acos B－(2sin C－sin B)cos A＝0，………  2分
    所以sin Acos B－2sin Ccos A＋sin Bcos A＝0，
    即sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos A，
    所以sin(A＋B)＝2sin Ccos A.
    又A＋B＋C＝π，所以sin C＝2sin Ccos A，………  4分
    因為00，
    所以cos A＝21，又03(π)………  6分
    （Ⅱ）由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，………  8分
    所以16＝b2＋c2－bc≥bc，所以bc≤16， 
    當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝4時，上式取“＝”，………  10分
    所以面積為S＝21bcsin A≤4，
    所以面積的值為4.………  12分
    (20) (本題滿分12分)
    解：（Ⅰ）∵蓄水池的側(cè)面積的建造成本為元，
    底面積成本為元，
    ∴蓄水池的總建造成本為
    即
    ∴h=
    ∴ •=………………………4分
    又由，可得
    故函數(shù)的定義域為………………………6分
    （Ⅱ）由（Ⅰ）中，（）
    可得，（）
    ∵令=，則………………………8分
    ∴當(dāng)時，，函數(shù)為增函數(shù).
    當(dāng)時，，函數(shù)為減函數(shù)
    且當(dāng)時該蓄水池的體積. . ………………………12分
    (21) (本題滿分12分)
    解：（Ⅰ）在 上為增函數(shù)，證明如下：
    設(shè)任意，且，
    在中令，，可得，
    又∵是奇函數(shù)，得，
    ∴．∵，∴，
    ∴，即
    故在上為增函數(shù)……………4分
    （Ⅱ）∵在上為增函數(shù)，
    ∴不等式，即
    
    解之得，即為原不等式的解集；……………8分
    （Ⅲ）由（I），得在 上為增函數(shù)，且值為，
    因此，若對所有的恒成立，
    對所有的恒成立,
    設(shè)對所有的恒成立………………………10分
    （1） 若則對恒成立
    （2） 若若對所有的恒成立必須
    且，或
    綜上：的取值范圍是或 ………………………12分
     (22) (本題滿分12分) 
    解：（Ⅰ）2ax＋12a＋x2－2x－2a
    ＝2ax＋1x[2ax2＋(1－4a)x－(4a2＋2)].
    因為x＝2為的極值點(diǎn)，所以f′(2)＝0，
    即4a＋12a－2a＝0，解得a＝0.       ………  2分
    （Ⅱ）因為函數(shù)在區(qū)間[3，＋∞)上為增函數(shù)，
    所以2ax＋1x[2ax2＋(1－4a)x－(4a2＋2)]≥0在區(qū)間[3，＋∞)上恒成立．………  3分
    ①當(dāng)a＝0時，x(x－2)≥0在[3，＋∞)上恒成立，所以在[3，＋∞)上為增函數(shù)，故a＝0符合題意．                        ………  5分
    ②當(dāng)a≠0時，由函數(shù)的定義域可知，必須有2ax＋1>0對x≥3恒成立，故只能a>0，
    所以2ax2＋(1－4a)x－(4a2＋2)≥0在[3，＋∞)上恒成立．      
    令函數(shù)g(x)＝2ax2＋(1－4a)x－(4a2＋2)，其對稱軸為x＝1－4a1，
    因為a>0，所以1－4a1<1，要使g(x)≥0在[3，＋∞)上恒成立，只要g(3)≥0即可，即g(3)＝－4a2＋6a＋1≥0，
    所以413≤a≤413.
    因為a>0，所以04(13).
    綜上所述，a的取值范圍為413 ………  7分
    （Ⅲ）當(dāng)a＝－21時，函數(shù)有零點(diǎn)等價于方程f(1－x)＝3(1－x)3＋xb有實(shí)根，f(1－x)＝3(1－x)3＋xb可化為ln x－(1－x)2＋(1－x)＝xb.
    問題轉(zhuǎn)化為b＝xln x－x(1－x)2＋x(1－x)＝xln x＋x2－x3在(0，＋∞)上有解，即求函數(shù)g(x)＝xln x＋x2－x3的值域．     ………  8分
    因為函數(shù)g(x)＝x(ln x＋x－x2)，令函數(shù)h(x)＝ln x＋x－x2(x>0)，
    則 x1＋1－2x＝x(2x＋1)(1－x)，
    所以當(dāng)0>0，從而函數(shù)h(x)在(0,1)上為增函數(shù)，當(dāng)x>1時，<0，從而函數(shù)h(x)在(1，＋∞)上為減函數(shù)，    
    因此h(x)≤h(1)＝0.               ………  10分
    而x>0，所以b＝x·h(x)≤0，
    因此當(dāng)x＝1時，b取得值0.    ……… 12分