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【概念及知識(shí)點(diǎn)】
一、函數(shù)方程的概念
1.函數(shù)方程的定義 含有未知函數(shù)的等式叫做函數(shù)方程。如f(x+1)=x、f(-x)=f(x)、f(-x)= -f(x)、f(x+2)=f(x)等。其中f(x)是未知函數(shù)
2.函數(shù)方程的解 能使函數(shù)方程成立的函數(shù)叫做函數(shù)方程的解。如f(x)=x-1、偶函數(shù)、奇函數(shù)、周期函數(shù)分別是上述各方程的解
3.解函數(shù)方程 求函數(shù)方程的解或證明函數(shù)方程無(wú)解的過(guò)程叫解函數(shù)方程
4.定理(柯西函數(shù)方程的解)
若f(x)是單調(diào)(或連續(xù))函數(shù)且滿(mǎn)足f(x+y)=f(x)+f(y) (x,y∈R)、則f(x)=xf(1)
證明：由題設(shè)不難得
f(x1+x2+…+xn)=f(x1)+f(x2)+…+f(xn)
取x1=x2=…=xn=x，得f(nx)=nf(x) (n∈N+)
令x=0，則f(0)=nf(0)，解得f(0)=0 --------- (1)
x=1，則f(n)=nf(1)
x=m/n，則f(m)=nf(m/n) ，解得f(m/n)= f(m)/n= mf(1)/n --------- (2)
x=-m/n ，且令y=-x>0，則f(x)+f(y)=f(x+y)=f(0)=0
∴f(x)=-f(y)=-yf(1)=xf(1) (m,n∈N+,且(m,n)=1) ---------(3)
由上述(1)，(2)，(3)知：對(duì)任意有理數(shù)x均有f(x)=xf(1)
另一方面，對(duì)于任意的無(wú)理數(shù)x，因f(x)連續(xù)，取以x為極限的有理數(shù)序列，則有 ：f(x)= f(xn)= xnf(1)=xf(1) 綜上所述，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有f(x)=xf(1)
二、函數(shù)方程的解法
代換法(或換元法)
把函數(shù)方程中的自變量適當(dāng)?shù)匾詣e的自變量代換(代換時(shí)應(yīng)注意使函數(shù)的定義域不會(huì)發(fā)生變化)，得到一個(gè)新的函數(shù)方程，然后設(shè)法求得未知函數(shù)
例1 (1)已知f(2x-1)=x2+x，那么f(x)=______________。
略解：設(shè)t=2x-1，則x= (t+1)/2，那么f(t)= [(t+1)^2]/4+ (t+1)/2=(t^2+4t+3)/4
故f(x)=(x^2+4x+3)/4
(2) 已知f(x+1)=x+2 ，那么f(x)=____________。
略解：f(x+1)=(x+1)2-1，故f(x)=x2-1 (x≥1)
(3) 已知f(x+2)=x2+2，那么f(x)=_______________。
略解：f(x+2)=(x+2)2-2，故f(x)=x2-2 (|x|≥2)
例2 設(shè)ab≠0,a2≠b2，求af(x)+bf(-t)=cx的解
解：分別用x=-t，x=t代入已知方程，得
af(-t)+bf(t)=-ct------(1)
af(t)+bf(-t)=ct------(2)
由(1)，(2)組成方程組解得 f(t)=
即： f(x)=
待定系數(shù)法
當(dāng)函數(shù)方程中的未知數(shù)是多項(xiàng)式時(shí)，可用此法經(jīng)比較系數(shù)而得
例3 已知f(x)是一次函數(shù)，且f{f[f---f(x)]}=1024x+1023。求f(x)
10次
解：設(shè)f(x)=ax+b (a≠0)，記f{f[f…f(x)]}=fn(x)，則
n次
f2(x)=f[f(x)]=a(ax+b)+b=a2x+b(a+1)
f3(x)=f{f[f(x)]}=a[a2x+b(a+1)]+b=a3x+b(a2+a+1)
依次類(lèi)推有：f10(x)=a10x+b(a9+a8+…+a+1)=a10x+
由題設(shè)知：
a^10=1024 且 =1023
∴a=2，b=1 或 a=-2，b=-3
∴f(x)=2x+1 或 f(x)=-2x-3
迭代法
由函數(shù)方程找出函數(shù)值之間的關(guān)系，通過(guò)n次迭代得到函數(shù)方程的解法
例4 設(shè)f(x)定義在正整數(shù)集上，且f(1)=1,f(x+y)=f(x)+f(y)+xy。求f(x)
解：令y=1，得f(x+1)=f(x)+x+1
再依次令x=1，2，…，n-1，有
f(2)=f(1)+2
f(3)=f(2)+3
……
f(n-1)=f(n-2)+(n-1)
f(n)=f(n-1)+n
依次代入，得
f(n)=f(1)+2+3+…+(n-1)+n=
∴f(x)= n(n+1)/2
(x∈N+)
例5 ，已知f(1)= 且當(dāng)n>1時(shí)有 。求f(n) (n∈N+)
解：把已知等式(遞推公式)進(jìn)行整理，得
f(n-1)-f(n)=2(n+1)f(n)f(n-1)
∴ =2(n+1)
把n依次用2，3，…，n代換，得
- =2×3
- =2×4
……
=2(n+1)
上述(n-1)個(gè)等式相加，得
=2[3+4+…+(n+1)]=(n-1)(n+4)
∴ = +(n-1)(n+4)=n2+3n+1
∴f(n)=
柯西法
在f(x)單調(diào)(或連續(xù))的條件下，利用柯西函數(shù)方程的解求解
例6 設(shè)f(x)連續(xù)且不恒為0，求函數(shù)方程f(x+y)=f(x)f(y)的解
解：∵f(x)=f(x+y)=f(x)f(y)≥0
若存在x0∈R，使f(x0)=0。則對(duì)一切實(shí)數(shù)x，有
f(x)=f(x-x0+x0)=f(x-x0)f(x0)=0
這與f(x)不恒為0矛盾，故f(x)>0
對(duì)題設(shè)f(x+y)=f(x)f(y)兩邊取自然對(duì)數(shù)，得
㏑f(x+y)=㏑f(x)f(y)
∴㏑f(x+y)=㏑f(x)+㏑f(y)
令g(x)=㏑f(x)
∵f(x)>0且連續(xù) ∴g(x)連續(xù)且滿(mǎn)足g(x+y)=g(x)+g(y).由定理知：
g(x)=g(1)x
故 ㏑f(x)=x㏑f(1)
∴f(x)=e^x㏑f(1)=f(1)^x
令f(1)=a，則f(x)=a^x (a>0)
類(lèi)似的，利用柯西函數(shù)方程的解，在連續(xù)或單調(diào)的條件下可得：
(1) 若f(xy)=f(x)+f(y) (x>0,y>0),則f(x)=㏒ax
(2) 若f(xy)=f(x)f(y) (x>0,y>0),則f(x)=ux(u由初值給出)
(3) 若f(x+y)=f(x)+f(y)+kxy,則f(x)=ax2+bx
(4) 若f(x+y)+f(x-y)=2f(x),則f(x)=ax+b
【練習(xí)題】
1、方程log3x+x=3的解所在的區(qū)間是_____。
2、函數(shù)y=-x2+3x+4的零點(diǎn)是_____。
3、若某一方程有一無(wú)理根在區(qū)間D=(3,5)內(nèi)，若用二分法求此根的近似值，將D等分___次后，所得近似值可精確到0.1。
4、
初中奧數(shù)函數(shù)方程
5、
初中奧數(shù)函數(shù)方程
【參考答案】
1、(2，3)
2、-1，4
3、6
4、C
5、x3