▶被積函數(shù)是連續(xù)函數(shù)f(x)的積分上限函數(shù)F(x)可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)就是f(x)。
逆向思維，這就用“構(gòu)造法”證明了：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)。
把“作上限函數(shù)”視為一種變換方式，從條件角度看，相當(dāng)于通過(guò)變換將連續(xù)函數(shù)提升為可導(dǎo)函數(shù)。《廣義函數(shù)》理論中，在不光滑點(diǎn)(連續(xù)不可導(dǎo)點(diǎn))微局部地實(shí)施這樣的變換，就好象是用“沙輪”把曲線“尖點(diǎn)”給磨光了。故稱(chēng)之為“磨光變換”。
當(dāng)年武漢X中有個(gè)學(xué)生入選中國(guó)中學(xué)生奧數(shù)代表隊(duì)。在清華北大的集訓(xùn)中，他將這套技術(shù)學(xué)得很精。正式參加世界大賽時(shí)，決賽卷上后的坡度題恰好用“磨光變換”簡(jiǎn)單。這個(gè)小子設(shè)計(jì)了“磨光變換”逼近列，很快地完成了解答。自信無(wú)誤之際，竟在草稿上畫(huà)卜克游戲玩。新華社電訊稿報(bào)道中學(xué)生奧數(shù)代表隊(duì)奪金時(shí)，記者把“磨光變換”寫(xiě)成了“魔光變換”，好不嚇人哦。
這里有一個(gè)有趣的聯(lián)想。如果f(x)僅有第一類(lèi)間斷，那么相應(yīng)的上限函數(shù)是否一定連續(xù)呢?
結(jié)論是，“相應(yīng)的上限函數(shù)一定連續(xù)?！?BR> (畫(huà)外音：考研題中出現(xiàn)過(guò)。)
在《概率統(tǒng)計(jì)》中，連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)就是密度函數(shù)的上限函數(shù)。它一定連續(xù)。由于密度函數(shù)非負(fù)，證明這個(gè)結(jié)論，用連續(xù)的增量定義簡(jiǎn)明。
要注意的是，設(shè)f(x)有跳躍間斷點(diǎn)a，相應(yīng)的上限函數(shù)在點(diǎn)a雖然連續(xù)，卻一定不可導(dǎo)。即改善是有一定限度的。
要證明這個(gè)結(jié)論正好用上我的“有意思(4)右導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的右極限”。
實(shí)際上，設(shè)點(diǎn)a左側(cè)，f(x)=初等函數(shù)φ(x)，右側(cè)f(x)=ψ(x)，φ(x-0)≠ψ(x+0)形成跳躍間斷。記f(x)相應(yīng)的上限函數(shù)為F(x)，則F(x)在點(diǎn)a連續(xù)，但是
左側(cè)求導(dǎo)F′(x)=φ(x)，右側(cè)求導(dǎo)F′(x)=ψ(x)，φ(x-0)≠ψ(x+0)
F(x)在點(diǎn)a不可導(dǎo)。
在點(diǎn)a的鄰域內(nèi)，F(xiàn)(x)不是f(x)的原函數(shù)。
相當(dāng)一些“模擬卷”上有這樣的題目。可以算是“擦邊球”。
▶《概率統(tǒng)計(jì)》不是第一層次基礎(chǔ)課程。學(xué)習(xí)《概率》需要你有較好的《高等數(shù)學(xué)》基礎(chǔ)。
比如，計(jì)算D(卡方(1))就是個(gè)大綜合練習(xí)。
(潛臺(tái)詞：D(卡方(n))=2n)
預(yù)備1——我們知道，exp(x2)是四個(gè)“典型不可積”中為露臉的一個(gè)。正態(tài)分布的密度函數(shù)與它同為一家，但是密度函數(shù)在全直線積分為1。在歷，人們?cè)眠@個(gè)特點(diǎn)及定積分技巧來(lái)計(jì)算一些無(wú)窮積分。
計(jì)算D(卡方(1))，尾端就要用到它。
預(yù)備2——我在“講座”中逐講給大家建立一個(gè)“材料庫(kù)”。早在(5)中有一條
“x趨于+∞時(shí)，指數(shù)函數(shù)exp(x)是比任意高次方的冪函數(shù)都還要高階的無(wú)窮大?！?BR> 或者說(shuō)，“x趨于+∞時(shí)，函數(shù)exp(-x)是任意高階的無(wú)窮小。”
預(yù)備3——分部積分的要點(diǎn)是“變化”
∫甲·乙dx=(甲的一個(gè)原函數(shù))·(乙)-∫(甲的這個(gè)原函數(shù))·(乙的導(dǎo)數(shù))dx
設(shè)X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，我們計(jì)算D(X2)，即證明D(卡方(1))=2
鑒于輸入問(wèn)題，我寫(xiě)出步驟，大家在紙上劃一下
(1)用平方關(guān)系來(lái)算D(X2)，得先算均值E(X四次方)
設(shè)f(x)是N(0,1)的密度函數(shù)，求E(X四次方)，被積函數(shù)x四次方f(x)在全直線積分
分x四次方f(x)=x3·xf(x)，注意xf(x)的原函數(shù)恰是-f(x)
分部積分，求極限知第一部分答案為0，(運(yùn)用預(yù)備2)
第二部分是3x2f(x)在全直線積分
再分x2f(x)=x·xf(x),又分部積分，同樣求極限知第一部分答案為0，
第二部分已是3倍密度函數(shù)f(x)在全直線積分，當(dāng)然為3
(2)用平方關(guān)系來(lái)算
我常常開(kāi)玩笑把平方關(guān)系E(X2)=μ2+σ2稱(chēng)為“概率勾股定理”。
D(X2)=E(X四次方)-(E(X2))2=3-1=2
怎么樣，有點(diǎn)意思吧。
▶如果你作了一個(gè)假設(shè)，你就建立了邏輯推理的一個(gè)基本點(diǎn)。如果你還要作第二個(gè)假設(shè)，那得小心思考，新的假設(shè)是否與第一個(gè)假設(shè)獨(dú)立。
一個(gè)同學(xué)在論壇上發(fā)貼，先設(shè)“對(duì)任意x，總有f(x)>x”，推出“f(f(x))>f(x)”，突然又假設(shè)“f(x)單減”，然后就不明白，“為什么會(huì)矛盾”。這就是沒(méi)考慮邏輯，隨意作第二個(gè)假設(shè)造成的。
數(shù)學(xué)歷，正當(dāng)人們陶醉于“集合理論”與“勒貝格積分”等成果的完美之際，“悖論”的出現(xiàn)給大家當(dāng)頭一棒，砸得人暈頭轉(zhuǎn)向。仿佛有世界末日來(lái)臨的感覺(jué)。以至于對(duì)很多成功的“公理化假設(shè)”也提出懷疑：“是否在筑好籬笆之時(shí)，已經(jīng)圈進(jìn)了狼?”
思考“第二假設(shè)是否與第一個(gè)假設(shè)獨(dú)立”，有時(shí)的確較為困難。
看一個(gè)線性代數(shù)問(wèn)題。
(講座(40))例15設(shè)n維行向量組a1，a2，---，ak線性無(wú)關(guān)，k
向量組a1，a2，---，ak，β線性無(wú)關(guān)。
例15是原數(shù)學(xué)四的考題。它可以深化為，
*例“設(shè)向量組β1，β2，---，βr線性無(wú)關(guān)，向量組ξ1，ξ2，---，ξk線性無(wú)關(guān)。若前一向量組的每一個(gè)向量都與后一向量組的各向量正交。則兩向量組的合并組線性無(wú)關(guān)。(暫時(shí)不寫(xiě)一個(gè)條件)
證明設(shè)有一組數(shù)C1，……，Cr，Cr+1，……，Cr+k，使得
C1β1+……+Crβr+Cr+1ξ1+……+C(r+k)ξk=0
用β1對(duì)等式兩邊作內(nèi)積，得β1ˊβ1C1+……+β1ˊβrCr=0
用β2對(duì)等式兩邊作內(nèi)積，得β2ˊβ1C1+……+β2ˊβrCr=0
…………
用βr對(duì)等式兩邊作內(nèi)積，得βrˊβ1C1+……+βrˊβrCr=0
現(xiàn)在，問(wèn)題歸結(jié)為，證明這個(gè)齊次方程組僅有零解。
問(wèn)題延伸1，若記A=(β1，β2，---，βr)，則系數(shù)矩陣恰為AˊA
(潛臺(tái)詞：矩陣乘法，“左行右列作內(nèi)積”)
問(wèn)題延伸2，秩R(A)=秩R(A′A)
證明作齊次線性方程組AX=0和A′AX=0，AX=0的解顯然都是A′AX=0的解。
如果列向量β是A′AX=0的解，則
內(nèi)積(Aβ)′(Aβ)=β′A′Aβ=β′(A′Aβ)=0
這說(shuō)明Aβ=0(向量),即A′AX=0的解也都是AX=0的解。兩方程組同解。
解集秩n-R(A)=n-R(A′A)故秩R(A)=秩R(A′A)
前述關(guān)于C1，……，Cr的齊次方程組僅有零解。帶回假設(shè)式，由后一向量組的線性無(wú)關(guān)性知,其余系數(shù)也全為零。故兩向量組的合并組線性無(wú)關(guān)。
(畫(huà)外音：這是一個(gè)可以記住的結(jié)論。請(qǐng)?bào)w會(huì)證明的特色。)
好象什么問(wèn)題都沒(méi)有?!?!?!聯(lián)想“n+1個(gè)n維向量線性相關(guān)”,這里還有向量個(gè)數(shù)問(wèn)題。在沒(méi)有限定向量個(gè)數(shù)時(shí)，第二個(gè)假設(shè)，“前一向量組的每一個(gè)向量都與后一向量組的各向量正交”，不一定成立。必須先說(shuō)“k+r≤n”這個(gè)條件不影響證明。
逆向思維，這就用“構(gòu)造法”證明了：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)。
把“作上限函數(shù)”視為一種變換方式，從條件角度看，相當(dāng)于通過(guò)變換將連續(xù)函數(shù)提升為可導(dǎo)函數(shù)。《廣義函數(shù)》理論中，在不光滑點(diǎn)(連續(xù)不可導(dǎo)點(diǎn))微局部地實(shí)施這樣的變換，就好象是用“沙輪”把曲線“尖點(diǎn)”給磨光了。故稱(chēng)之為“磨光變換”。
當(dāng)年武漢X中有個(gè)學(xué)生入選中國(guó)中學(xué)生奧數(shù)代表隊(duì)。在清華北大的集訓(xùn)中，他將這套技術(shù)學(xué)得很精。正式參加世界大賽時(shí)，決賽卷上后的坡度題恰好用“磨光變換”簡(jiǎn)單。這個(gè)小子設(shè)計(jì)了“磨光變換”逼近列，很快地完成了解答。自信無(wú)誤之際，竟在草稿上畫(huà)卜克游戲玩。新華社電訊稿報(bào)道中學(xué)生奧數(shù)代表隊(duì)奪金時(shí)，記者把“磨光變換”寫(xiě)成了“魔光變換”，好不嚇人哦。
這里有一個(gè)有趣的聯(lián)想。如果f(x)僅有第一類(lèi)間斷，那么相應(yīng)的上限函數(shù)是否一定連續(xù)呢?
結(jié)論是，“相應(yīng)的上限函數(shù)一定連續(xù)?！?BR> (畫(huà)外音：考研題中出現(xiàn)過(guò)。)
在《概率統(tǒng)計(jì)》中，連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)就是密度函數(shù)的上限函數(shù)。它一定連續(xù)。由于密度函數(shù)非負(fù)，證明這個(gè)結(jié)論，用連續(xù)的增量定義簡(jiǎn)明。
要注意的是，設(shè)f(x)有跳躍間斷點(diǎn)a，相應(yīng)的上限函數(shù)在點(diǎn)a雖然連續(xù)，卻一定不可導(dǎo)。即改善是有一定限度的。
要證明這個(gè)結(jié)論正好用上我的“有意思(4)右導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的右極限”。
實(shí)際上，設(shè)點(diǎn)a左側(cè)，f(x)=初等函數(shù)φ(x)，右側(cè)f(x)=ψ(x)，φ(x-0)≠ψ(x+0)形成跳躍間斷。記f(x)相應(yīng)的上限函數(shù)為F(x)，則F(x)在點(diǎn)a連續(xù)，但是
左側(cè)求導(dǎo)F′(x)=φ(x)，右側(cè)求導(dǎo)F′(x)=ψ(x)，φ(x-0)≠ψ(x+0)
F(x)在點(diǎn)a不可導(dǎo)。
在點(diǎn)a的鄰域內(nèi)，F(xiàn)(x)不是f(x)的原函數(shù)。
相當(dāng)一些“模擬卷”上有這樣的題目。可以算是“擦邊球”。
▶《概率統(tǒng)計(jì)》不是第一層次基礎(chǔ)課程。學(xué)習(xí)《概率》需要你有較好的《高等數(shù)學(xué)》基礎(chǔ)。
比如，計(jì)算D(卡方(1))就是個(gè)大綜合練習(xí)。
(潛臺(tái)詞：D(卡方(n))=2n)
預(yù)備1——我們知道，exp(x2)是四個(gè)“典型不可積”中為露臉的一個(gè)。正態(tài)分布的密度函數(shù)與它同為一家，但是密度函數(shù)在全直線積分為1。在歷，人們?cè)眠@個(gè)特點(diǎn)及定積分技巧來(lái)計(jì)算一些無(wú)窮積分。
計(jì)算D(卡方(1))，尾端就要用到它。
預(yù)備2——我在“講座”中逐講給大家建立一個(gè)“材料庫(kù)”。早在(5)中有一條
“x趨于+∞時(shí)，指數(shù)函數(shù)exp(x)是比任意高次方的冪函數(shù)都還要高階的無(wú)窮大?！?BR> 或者說(shuō)，“x趨于+∞時(shí)，函數(shù)exp(-x)是任意高階的無(wú)窮小。”
預(yù)備3——分部積分的要點(diǎn)是“變化”
∫甲·乙dx=(甲的一個(gè)原函數(shù))·(乙)-∫(甲的這個(gè)原函數(shù))·(乙的導(dǎo)數(shù))dx
設(shè)X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，我們計(jì)算D(X2)，即證明D(卡方(1))=2
鑒于輸入問(wèn)題，我寫(xiě)出步驟，大家在紙上劃一下
(1)用平方關(guān)系來(lái)算D(X2)，得先算均值E(X四次方)
設(shè)f(x)是N(0,1)的密度函數(shù)，求E(X四次方)，被積函數(shù)x四次方f(x)在全直線積分
分x四次方f(x)=x3·xf(x)，注意xf(x)的原函數(shù)恰是-f(x)
分部積分，求極限知第一部分答案為0，(運(yùn)用預(yù)備2)
第二部分是3x2f(x)在全直線積分
再分x2f(x)=x·xf(x),又分部積分，同樣求極限知第一部分答案為0，
第二部分已是3倍密度函數(shù)f(x)在全直線積分，當(dāng)然為3
(2)用平方關(guān)系來(lái)算
我常常開(kāi)玩笑把平方關(guān)系E(X2)=μ2+σ2稱(chēng)為“概率勾股定理”。
D(X2)=E(X四次方)-(E(X2))2=3-1=2
怎么樣，有點(diǎn)意思吧。
▶如果你作了一個(gè)假設(shè)，你就建立了邏輯推理的一個(gè)基本點(diǎn)。如果你還要作第二個(gè)假設(shè)，那得小心思考，新的假設(shè)是否與第一個(gè)假設(shè)獨(dú)立。
一個(gè)同學(xué)在論壇上發(fā)貼，先設(shè)“對(duì)任意x，總有f(x)>x”，推出“f(f(x))>f(x)”，突然又假設(shè)“f(x)單減”，然后就不明白，“為什么會(huì)矛盾”。這就是沒(méi)考慮邏輯，隨意作第二個(gè)假設(shè)造成的。
數(shù)學(xué)歷，正當(dāng)人們陶醉于“集合理論”與“勒貝格積分”等成果的完美之際，“悖論”的出現(xiàn)給大家當(dāng)頭一棒，砸得人暈頭轉(zhuǎn)向。仿佛有世界末日來(lái)臨的感覺(jué)。以至于對(duì)很多成功的“公理化假設(shè)”也提出懷疑：“是否在筑好籬笆之時(shí)，已經(jīng)圈進(jìn)了狼?”
思考“第二假設(shè)是否與第一個(gè)假設(shè)獨(dú)立”，有時(shí)的確較為困難。
看一個(gè)線性代數(shù)問(wèn)題。
(講座(40))例15設(shè)n維行向量組a1，a2，---，ak線性無(wú)關(guān)，k
向量組a1，a2，---，ak，β線性無(wú)關(guān)。
例15是原數(shù)學(xué)四的考題。它可以深化為，
*例“設(shè)向量組β1，β2，---，βr線性無(wú)關(guān)，向量組ξ1，ξ2，---，ξk線性無(wú)關(guān)。若前一向量組的每一個(gè)向量都與后一向量組的各向量正交。則兩向量組的合并組線性無(wú)關(guān)。(暫時(shí)不寫(xiě)一個(gè)條件)
證明設(shè)有一組數(shù)C1，……，Cr，Cr+1，……，Cr+k，使得
C1β1+……+Crβr+Cr+1ξ1+……+C(r+k)ξk=0
用β1對(duì)等式兩邊作內(nèi)積，得β1ˊβ1C1+……+β1ˊβrCr=0
用β2對(duì)等式兩邊作內(nèi)積，得β2ˊβ1C1+……+β2ˊβrCr=0
…………
用βr對(duì)等式兩邊作內(nèi)積，得βrˊβ1C1+……+βrˊβrCr=0
現(xiàn)在，問(wèn)題歸結(jié)為，證明這個(gè)齊次方程組僅有零解。
問(wèn)題延伸1，若記A=(β1，β2，---，βr)，則系數(shù)矩陣恰為AˊA
(潛臺(tái)詞：矩陣乘法，“左行右列作內(nèi)積”)
問(wèn)題延伸2，秩R(A)=秩R(A′A)
證明作齊次線性方程組AX=0和A′AX=0，AX=0的解顯然都是A′AX=0的解。
如果列向量β是A′AX=0的解，則
內(nèi)積(Aβ)′(Aβ)=β′A′Aβ=β′(A′Aβ)=0
這說(shuō)明Aβ=0(向量),即A′AX=0的解也都是AX=0的解。兩方程組同解。
解集秩n-R(A)=n-R(A′A)故秩R(A)=秩R(A′A)
前述關(guān)于C1，……，Cr的齊次方程組僅有零解。帶回假設(shè)式，由后一向量組的線性無(wú)關(guān)性知,其余系數(shù)也全為零。故兩向量組的合并組線性無(wú)關(guān)。
(畫(huà)外音：這是一個(gè)可以記住的結(jié)論。請(qǐng)?bào)w會(huì)證明的特色。)
好象什么問(wèn)題都沒(méi)有?!?!?!聯(lián)想“n+1個(gè)n維向量線性相關(guān)”,這里還有向量個(gè)數(shù)問(wèn)題。在沒(méi)有限定向量個(gè)數(shù)時(shí)，第二個(gè)假設(shè)，“前一向量組的每一個(gè)向量都與后一向量組的各向量正交”，不一定成立。必須先說(shuō)“k+r≤n”這個(gè)條件不影響證明。