以下是為大家整理的《高二數(shù)學(xué)教案：復(fù)數(shù)的加減法》，希望能為大家的學(xué)習(xí)帶來(lái)幫助，不斷進(jìn)步，取得優(yōu)異的成績(jī)。
教學(xué)目標(biāo)
(1)把握復(fù)數(shù)加法與減法運(yùn)算法則,能熟練地進(jìn)行加、減法運(yùn)算;
(2)理解并把握復(fù)數(shù)加法與減法的幾何意義,會(huì)用平行四邊形法則和三角形法則解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題;
(3)能初步運(yùn)用復(fù)平面兩點(diǎn)間的距離公式解決有關(guān)問(wèn)題;
(4)通過(guò)學(xué)習(xí)平行四邊形法則和三角形法,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想;
(5)通過(guò)本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生良好思維品質(zhì)(思維的嚴(yán)謹(jǐn)性,深刻性,靈活性等).
教學(xué)建議
一、知識(shí)結(jié)構(gòu)
二、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
本節(jié)的重點(diǎn)是復(fù)數(shù)加法法則。難點(diǎn)是復(fù)數(shù)加減法的幾何意義。復(fù)數(shù)加法法則是教材首先規(guī)定的法則,它是復(fù)數(shù)加減法運(yùn)算的基礎(chǔ),對(duì)于這個(gè)規(guī)定的合理性,在教學(xué)過(guò)程中要加以重視。復(fù)數(shù)加減法的幾何意義的難點(diǎn)在于復(fù)數(shù)加減法轉(zhuǎn)化為向量加減法,以它為根據(jù)來(lái)解決某些平面圖形的問(wèn)題,學(xué)生對(duì)這一點(diǎn)不輕易接受。
三、教學(xué)建議
(1)在復(fù)數(shù)的加法與減法中,重點(diǎn)是加法.教材首先規(guī)定了復(fù)數(shù)的加法法則.對(duì)于這個(gè)規(guī)定,應(yīng)通過(guò)下面幾個(gè)方面,使學(xué)生逐步理解這個(gè)規(guī)定的合理性:①當(dāng) 時(shí),與實(shí)數(shù)加法法則一致;②驗(yàn)證實(shí)數(shù)加法運(yùn)算律在復(fù)數(shù)集中仍然成立;③符合向量加法的平行四邊形法則.
(2)復(fù)數(shù)加法的向量運(yùn)算講解設(shè) ,畫(huà)出向量 , 后,提問(wèn)向量加法的平行四邊形法則,并讓學(xué)生自己畫(huà)出和向量(即合向量) ,畫(huà)出向量 后,問(wèn)與它對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是什么,即求點(diǎn)Z的坐標(biāo)OR與RZ(證法如教材所示).
(3)向?qū)W生介紹復(fù)數(shù)加法的三角形法則.講過(guò)復(fù)數(shù)加法可按向量加法的平行四邊形法則來(lái)進(jìn)行后,可以指出向量加法還可按三角形法則來(lái)進(jìn)行:如教材中圖8-5(2)所示,求 與 的和,可以看作是求 與 的和.這時(shí)先畫(huà)出第一個(gè)向量 ,再以 的終點(diǎn)為起點(diǎn)畫(huà)出第二個(gè)向量 ,那么,由第一個(gè)向量起點(diǎn)O指向第二個(gè)向量終點(diǎn)Z的向量 ,就是這兩個(gè)向量的和向量.
(4)向?qū)W生指出復(fù)數(shù)加法的三角形法則的好處.向?qū)W生介紹一下向量加法的三角形法則是有好處的:例如講到當(dāng) 與 在同一直線上時(shí),求它們的和,用三角形法則來(lái)解釋,可能比“畫(huà)一個(gè)壓扁的平行四邊形”來(lái)解釋輕易理解一些;講復(fù)數(shù)減法的幾何意義時(shí),用三角形法則也較平行四邊形法則更為方便.
(5)講解了教材例2后,應(yīng)強(qiáng)調(diào) (注重:這里 是起點(diǎn), 是終點(diǎn))就是同復(fù)數(shù) - 對(duì)應(yīng)的向量.點(diǎn) , 之間的距離 就是向量 的模,也就是復(fù)數(shù) - 的模,即 .
例如,起點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)-1、終點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù) 的那個(gè)向量(如圖),可用 來(lái)表示.因而點(diǎn) 與 ( )點(diǎn)間的距離就是復(fù)數(shù) 的模,它等于 。
教學(xué)設(shè)計(jì)示例
復(fù)數(shù)的減法及其幾何意義
教學(xué)目標(biāo)
1.理解并把握復(fù)數(shù)減法法則和它的幾何意義.
2.滲透轉(zhuǎn)化,數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想和方法,提高分析、解決問(wèn)題能力.
3.培養(yǎng)學(xué)生良好思維品質(zhì)(思維的嚴(yán)謹(jǐn)性,深刻性,靈活性等).
教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
重點(diǎn):復(fù)數(shù)減法法則.
難點(diǎn):對(duì)復(fù)數(shù)減法幾何意義理解和應(yīng)用.
教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)
(一)引入新課
上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)加法法則及其幾何意義,今天我們研究的課題是復(fù)數(shù)減法及其幾何意義.(板書(shū)課題:復(fù)數(shù)減法及其幾何意義)
(二)復(fù)數(shù)減法
復(fù)數(shù)減法是加法逆運(yùn)算,那么復(fù)數(shù)減法法則為( i)( i)=( ) ( )i,
1.復(fù)數(shù)減法法則
(1)規(guī)定:復(fù)數(shù)減法是加法逆運(yùn)算;
(2)法則:( i)( i)=( ) ( )i( , , , ∈R).
把( i)( i)看成( i) (1)( i)如何推導(dǎo)這個(gè)法則.
( i)( i)=( i) (1)( i)=( i) ( i)=( ) ( )i.
推導(dǎo)的想法和依據(jù)把減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算.
推導(dǎo):設(shè)( i)( i)= i( , ∈R).即復(fù)數(shù) i為復(fù)數(shù) i減去復(fù)數(shù) i的差.由規(guī)定,得( i) ( i)= i,依據(jù)加法法則,得( ) ( )i= i,依據(jù)復(fù)數(shù)相等定義,得
故( i)( i)=( ) ( )i.這樣推導(dǎo)每一步都有合理依據(jù).
我們得到了復(fù)數(shù)減法法則,兩個(gè)復(fù)數(shù)的差仍是復(fù)數(shù).是確定的復(fù)數(shù).
復(fù)數(shù)的加(減)法與多項(xiàng)式加(減)法是類似的.就是把復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部,虛部與虛部分別相加(減),即( i)±( i)=( ± ) ( ± )i.
(三)復(fù)數(shù)減法幾何意義
我們有了做復(fù)數(shù)減法的依據(jù)——復(fù)數(shù)減法法則,那么復(fù)數(shù)減法的幾何意義是什么?
設(shè)z= i( , ∈R),z1= i( , ∈R),對(duì)應(yīng)向量分別為 , 如圖
由于復(fù)數(shù)減法是加法的逆運(yùn)算,設(shè)z=( ) ( )i,所以zz1=z2,z2 z1=z,由復(fù)數(shù)加法幾何意義,以 為一條對(duì)角線, 1為一條邊畫(huà)平行四邊形,那么這個(gè)平行四邊形的另一邊 2所表示的向量OZ2就與復(fù)數(shù)zz1的差( ) ( )i對(duì)應(yīng),如圖.
在這個(gè)平行四邊形中與zz1差對(duì)應(yīng)的向量是只有向量 2嗎?
還有 . 因?yàn)镺Z2 Z1Z,所以向量 ,也與zz1差對(duì)應(yīng).向量 是以Z1為起點(diǎn),Z為終點(diǎn)的向量.
能概括一下復(fù)數(shù)減法幾何意義是:兩個(gè)復(fù)數(shù)的差zz1與連接這兩個(gè)向量終點(diǎn)并指向被減數(shù)的向量對(duì)應(yīng).
(四)應(yīng)用舉例
在直角坐標(biāo)系中標(biāo)Z1(2,5),連接OZ1,向量 1與多數(shù)z1對(duì)應(yīng),標(biāo)點(diǎn)Z2(3,2),Z2關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)Z2(3,2),向量 2與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng),連接,向量與的差對(duì)應(yīng)(如圖).
例2根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義及向量表示,求復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式.
解:設(shè)復(fù)平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)Z1,Z2分別表示復(fù)數(shù)z1,z2,那么Z1Z2就是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量,點(diǎn)之間的距離就是向量的模,即復(fù)數(shù)z2z1的模.假如用d表示點(diǎn)Z1,Z2之間的距離,那么d=|z2z1|.
例3 在復(fù)平面內(nèi),滿足下列復(fù)數(shù)形式方程的動(dòng)點(diǎn)Z的軌跡是什么.
(1)|z1i|=|z 2 i|;
方程左式可以看成|z(1 i)|,是復(fù)數(shù)Z與復(fù)數(shù)1 i差的模.
幾何意義是是動(dòng)點(diǎn)Z與定點(diǎn)(1,1)間的距離.方程右式也可以寫成|z(2i)|,是復(fù)數(shù)z與復(fù)數(shù)2i差的模,也就是動(dòng)點(diǎn)Z與定點(diǎn)(2,1)間距離.這個(gè)方程表示的是到兩點(diǎn)( 1,1),(2,1)距離相等的點(diǎn)的軌跡方程,這個(gè)動(dòng)點(diǎn)軌跡是以點(diǎn)( 1,1),(2,1)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線.
(2)|z i| |zi|=4;
方程可以看成|z(i)| |zi|=4,表示的是到兩個(gè)定點(diǎn)(0,1)和(0,1)距離和等于4的動(dòng)點(diǎn)軌跡.滿足方程的動(dòng)點(diǎn)軌跡是橢圓.
(3)|z 2||z2|=1.
這個(gè)方程可以寫成|z(2)||z2|=1,所以表示到兩個(gè)定點(diǎn)(2,0),(2,0)距離差等于1的點(diǎn)的軌跡,這個(gè)軌跡是雙曲線.是雙曲線右支.
由z1z2幾何意義,將z1z2取模得到復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式d=|z1z2|,由此得到線段垂直平分線,橢圓、雙曲線等復(fù)數(shù)方程.使有些曲線方程形式變得更為簡(jiǎn)捷.且反映曲線的本質(zhì)特征.
例4 設(shè)動(dòng)點(diǎn)Z與復(fù)數(shù)z= i對(duì)應(yīng),定點(diǎn)P與復(fù)數(shù)p= i對(duì)應(yīng).求
(1)復(fù)平面內(nèi)圓的方程;
解:設(shè)定點(diǎn)P為圓心,r為半徑,如圖
由圓的定義,得復(fù)平面內(nèi)圓的方程|zp|=r.
(2)復(fù)平面內(nèi)滿足不等式|zp|
我們通過(guò)推導(dǎo)得到復(fù)數(shù)減法法則,并進(jìn)一步得到了復(fù)數(shù)減法幾何意義,應(yīng)用復(fù)數(shù)減法幾何意義和復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式,可以用復(fù)數(shù)研究解析幾何問(wèn)題,不等式以及值問(wèn)題.
(六)布置作業(yè)P193習(xí)題二十七:2,3,8,9.
探究活動(dòng)
復(fù)數(shù)等式的幾何意義
復(fù)數(shù)等式 在復(fù)平面上表示以 為圓心,以1為半徑的圓。請(qǐng)?jiān)倥e三個(gè)復(fù)數(shù)等式并說(shuō)明它們?cè)趶?fù)平面上的幾何意義。
分析與解
1. 復(fù)數(shù)等式 在復(fù)平面上表示線段 的中垂線。
2. 復(fù)數(shù)等式 在復(fù)平面上表示一個(gè)橢圓。
3. 復(fù)數(shù)等式 在復(fù)平面上表示一條線段。
4. 復(fù)數(shù)等式 在復(fù)平面上表示雙曲線的一支。
5. 復(fù)數(shù)等式 在復(fù)平面上表示原點(diǎn)為O、 構(gòu)成一個(gè)矩形。
說(shuō)明復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,假如我們對(duì)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式工(幾何意義)之間的關(guān)系比較熟悉的話,必然會(huì)強(qiáng)化對(duì)復(fù)數(shù)知識(shí)的把握。