以下是為大家整理的2014年自主招生數(shù)學(xué)模擬試題的文章，供大家學(xué)習(xí)參考！
一、選擇題(36分)
1.刪去正整數(shù)數(shù)列1，2，3，……中的所有完全平方數(shù)，得到一個新數(shù)列.這個數(shù)列的第2003項是
(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049
2.設(shè)a，b∈R，ab≠0，那么直線ax-y+b=0和曲線bx2+ay2=ab的圖形是
3.過拋物線y2=8(x+2)的焦點F作傾斜角為60°的直線，若此直線與拋物線交于A、B兩點，弦AB的中垂線與x軸交于點P，則線段PF的長等于
(A) 163 (B) 83 (C) 1633 (D) 83
4.若x∈[-5 12 ，- 3 ]，則y=tan(x+2 3 )-tan(x+ 6 )+cos(x+ 6 )的值是
(A) 1252 (B) 1162 (C) 1163 (D) 1253
5.已知x，y都在區(qū)間(-2，2)內(nèi)，且xy=-1，則函數(shù)u=44-x2+99-y2的最小值是
(A) 85 (B) 2411 (C) 127 (D) 125
6.在四面體ABCD中， 設(shè)AB=1，CD=3，直線AB與CD的距離為2，夾角為 3，則四面體ABCD的體積等于
(A) 32 (B) 12 (C) 13 (D) 33
二.填空題(每小題9分，共54分)
7.不等式|x|3-2x2-4|x|+3<0的解集是 .
8.設(shè)F1、F2是橢圓x29+y24=1的兩個焦點，P是橢圓上一點，且|PF1|∶|PF2|=2∶1，則△PF1F2的面積等于 .
9.已知A={x|x2-4x+3<0，x∈R}，
B={x|21-x+a≤0，x2-2(a+7)x+5≤0，x∈R}
若A B，則實數(shù)a的取值范圍是 .
10.已知a，b，c，d均為正整數(shù)，且logab=32，logcd=54，若a-c=9，則b-d= .
11.將八個半徑都為1的球分放兩層放置在一個圓柱內(nèi)，并使得每個球都和其相鄰的四個球相切，且與圓柱的一個底面及側(cè)面都相切，則此圓柱的高等于 .
12. 設(shè)Mn={(十進(jìn)制)n位純小數(shù)0.-a1a2…an|ai只取0或1(i=1，2，…，n-1)，an=1}，Tn 是Mn中元素的個數(shù)，Sn是Mn中所有元素的和，則limn→∞SnTn= .
三、(20分)
13.設(shè)32≤x≤5，證明不等式
2x+1+2x-3+15-3x<219.
四、(20分)
14.設(shè)A、B、C分別是復(fù)數(shù)Z0=ai，Z1=12+bi，Z2=1+ci(其中a，b，c都是實數(shù))對應(yīng)的不共線的三點.證明：曲線
Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t (t∈R)
與△ABC中平行于AC的中位線只有一個公共點，并求出此點.
五、(本題滿分20分)
15.一張紙上畫有一個半徑為R的圓O和圓內(nèi)一個定點A，且OA=a，折疊紙片，使圓周上某一點A 剛好與點A重合.這樣的每一種折法，都留下一條折痕.當(dāng)A 取遍圓周上所有點時，求所有折痕所在直線上點的集合.
參考答案
一、選擇題(每小題6分，共36分)
1.刪去正整數(shù)數(shù)列1，2，3，……中的所有完全平方數(shù)，得到一個新數(shù)列.這個數(shù)列的第2003項是
(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049
解：452=2025，462=2116.
在1至2025之間有完全平方數(shù)45個，而2026至2115之間沒有完全平方數(shù).故1至2025中共有新數(shù)列中的2025-45=1980項.還缺2003-1980=23項.由2025+23=2048.知選C.
2.設(shè)a，b∈R，ab≠0，那么直線ax-y+b=0和曲線bx2+ay2=ab的圖形是
解：曲線方程為x2a+y2b=1，直線方程為y=ax+b.
由直線圖形，可知A、C中的a<0，A圖的b>0，C圖的b<0，與A、C中曲線為橢圓矛盾.
由直線圖形，可知B、D中的a>0，b<0，則曲線為焦點在x軸上的雙曲線，故選B.
3.過拋物線y2=8(x+2)的焦點F作傾斜角為60°的直線，若此直線與拋物線交于A、B兩點，弦AB的中垂線與x軸交于點P，則線段PF的長等于
(A) 163 (B) 83 (C) 1633 (D) 83
解：拋
拋物線的焦點為原點(0，0)，弦AB所在直線方程為y=3x，弦的中點在y=pk=43上，即AB中點為(43，43)，中垂線方程為y=-33(x-43)+43，令y=0，得點P的坐標(biāo)為163.
∴ PF=163.選A.
4.若x∈[-5 12 ，- 3]，則y=tan(x+2 3)-tan(x+ 6)+cos(x+ 6)的值是
(A) 1252 (B) 1162 (C) 1163 (D) 1253
解：令x+ 6=u，則x+2 3=u+ 2，當(dāng)x∈[-5 12，- 3]時，u∈[- 4，- 6]，
y=-(cotu+tanu)+cosu=-2sin2u+cosu.在u∈[- 4，- 6]時，sin2u與cosu都單調(diào)遞增，從而y單調(diào)遞增.于是u=- 6時，y取得值1163，故選C.
5.已知x，y都在區(qū)間(-2，2)內(nèi)，且xy=-1，則函數(shù)u=44-x2+99-y2的最小值是
(A) 85 (B) 2411 (C) 127 (D) 125
解：由x，y∈(-2，2)，xy=-1知，x∈(-2，-12)∪(12，2)，
u=44-x2+9x29x2-1=-9x4+72x2-4-9x4+37x2-4=1+3537-(9x2+4x2).
當(dāng)x∈(-2，-12)∪(12，2)時，x2∈(14，4)，此時，9x2+4x2≥12.(當(dāng)且僅當(dāng)x2=23時等號成立).
此時函數(shù)的最小值為125，故選D.
6.在四面體ABCD中， 設(shè)AB=1，CD=3，直線AB與CD的距離為2，夾角為 3，則四面體ABCD的體積等于
(A) 32 (B) 12 (C) 13 (D) 33
解：如圖，把四面體補(bǔ)成平行六面體，則此平行六面體的體積=1×3×sinπ3×2=3.
而四面體ABCD的體積=16×平行六面體體積=12.故選B.
二.填空題(每小題9分，共54分)
7.不等式|x|3-2x2-4|x|+3<0的解集是 .
解：即|x|3-2|x|2-4|x|+3<0， (|x|-3)(|x|-5-12)(|x|+5+12)<0. |x|<-5+12，或5-12<|x|<3.
∴ 解為(-3，-5-12)∪(5-12，3).
8.設(shè)F1、F2是橢圓x29+y24=1的兩個焦點，P是橢圓上一點，且|PF1|∶|PF2|=2∶1，則△PF1F2的面積等于 .
解：F1(-5，0)，F(xiàn)2(5，0);|F1F2|=25.
|PF1|+|PF2|=6， |PF1|=4，|PF2|=2.由于42+22=(25)2.故 PF1F2是直角三角形55.
∴ S=4.
9.已知A={x|x2-4x+3<0，x∈R}，
B={x|21-x+a≤0，x2-2(a+7)x+5≤0，x∈R}
若A B，則實數(shù)a的取值范圍是 .
解：A=(1，3);
又，a≤-21-x∈(-1，-14)，當(dāng)x∈(1，3)時，a≥x2+52x -7∈(5-7，-4).
∴ -4≤a≤-1.
10.已知a，b，c，d均為正整數(shù)，且logab=32，logcd=54，若a-c=9，則b-d=
解：a3=b2，c5=d4，設(shè)a=x2，b=x3;c=y4，d=y5，x2-y4=9.(x+y2)(x-y2)=9.
∴ x+y2=9，x-y2=1，x=5，y2=4.b-d=53-25=125-32=93.
11.將八個半徑都為1的球分放兩層放置在一個圓柱內(nèi)，并使得每個球都和其相鄰的四個球相切，且與圓柱的一個底面及側(cè)面都相切，則此圓柱的高等于 .
解：如圖，ABCD是下層四個球的球心，EFGH是上層的四個球心.每個球心與其相切的球的球心距離=2.EFGH在平面ABCD上的射影是一個正方形.是把正方形ABCD繞其中心旋轉(zhuǎn)45 而得.設(shè)E的射影為N，則
MN=2-1.EM=3，故EN2=3-(2-1)2=22.∴ EN=48.所求圓柱的高=2+48.
12. 設(shè)Mn={(十進(jìn)制)n位純小數(shù)0.-a1a2…an|ai只取0或1(i=1，2，…，n-1)，an=1}，Tn 是Mn中元素的個數(shù)，Sn是Mn中所有元素的和，則limn→∞SnTn= .
解：由于a1，a2，…，an-1中的每一個都可以取0與1兩個數(shù)，Tn=2n-1.
在每一位(從第一位到第n-1位)小數(shù)上，數(shù)字0與1各出現(xiàn)2n-2次.第n位則1出現(xiàn)2n-1次.
∴ Sn=2n-
2 0.11…1+2n-2 10-n.
∴ limn→∞SnTn=12 19=118.
三、(本題滿分20分)
13.設(shè)32≤x≤5，證明不等式
2x+1+2x-3+15-3x<219.
解：x+1≥0，2x-3≥0，15-3x≥0. 32≤x≤5.
由平均不等式x+1+x+1+2x-3+15-3x4≤x+1+x+1+2x-3+15-3x4≤14+x4.
∴ 2x+1+2x-3+15-3x=x+1+x+1+2x-3+15-3x≤214+x.
但214+x在32≤x≤5時單調(diào)增.即214+x≤214+5=219.
故證.
四、(本題滿分20分)
14.設(shè)A、B、C分別是復(fù)數(shù)Z0=ai，Z1=12+bi，Z2=1+ci(其中a，b，c都是實數(shù))對應(yīng)的不共線的三點.證明：曲線
Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t (t∈R)
與△ABC中平行于AC的中位線只有一個公共點，并求出此點.
解：曲線方程為：Z=aicos4t+(1+2bi)cos2tsin2t+(1+ci)sin4t=(cos2tsin2t+sin4t)+i(acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t)
∴ x=cos2tsin2t+sin4t=sin2t(cos2t+sin2t)=sin2t.(0≤x≤1)
y=acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t=a(1-x)2+2b(1-x)x+cx2
即 y=(a-2b+c)x2+2(b-a)x+a (0≤x≤1). ①
若a-2b+c=0，則Z0、Z1、Z2三點共線，與已知矛盾，故a-2b+c 0.于是此曲線為軸與x軸垂直的拋物線.
AB中點M：14+12(a+b)i，BC中點N：34+12(b+c)i.
與AC平行的中位線經(jīng)過M(14，12(a+b))及N(34，12(b+c))兩點，其方程為
4(a-c)x+4y-3a-2b+c=0.(14≤x≤34). ②
令 4(a-2b+c)x2+8(b-a)x+4a=4(c-a)x+3a+2b-c.
即4(a-2b+c)x2+4(2b-a-c)x+a-2b+c=0.由a-2b+c 0，得
4x2+4x+1=0，
此方程在[14，34]內(nèi)有惟一解： x=12.
以x=12代入②得， y=14(a+2b+c).
∴ 所求公共點坐標(biāo)為(12，14(a+2b+c)).
五、(本題滿分20分)
15.一張紙上畫有一個半徑為R的圓O和圓內(nèi)一個定點A，且OA=a，折疊紙片，使圓周上某一點A 剛好與點A重合.這樣的每一種折法，都留下一條折痕.當(dāng)A 取遍圓周上所有點時，求所有折痕所在直線上點的集合.
解：對于⊙O上任意一點A ，連AA ，作AA 的垂直平分線MN，連OA .交MN于點P.顯然OP+PA=OA =R.由于點A在⊙O內(nèi)，故OA=aa)為長軸的橢圓C.
而MN上任一異于P的點Q，都有OQ+QA=OQ+QA >OA .故點Q在橢圓C外.即折痕上所有的點都在橢圓C上及C外.
反之，對于橢圓C上或外的一點S，以S為圓心，SA為半徑作圓，交⊙O于A ，則S在AA 的垂直平分線上，從而S在某條折痕上.
最后證明所作⊙S與⊙O必相交.
1 當(dāng)S在⊙O外時，由于A在⊙O內(nèi)，故⊙S與⊙O必相交;
2 當(dāng)S在⊙O內(nèi)時(例如在⊙O內(nèi)，但在橢圓C外或其上的點S )，取過S 的半徑OD，則由點S 在橢圓C外，故OS +S A≥R(橢圓的長軸).即S A≥S D.于是D在⊙S 內(nèi)或上，即⊙S 與⊙O必有交點.
于是上述證明成立.
綜上可知，折痕上的點的集合為橢圓C上及C外的所有點的集合.
一、選擇題(36分)
1.刪去正整數(shù)數(shù)列1，2，3，……中的所有完全平方數(shù)，得到一個新數(shù)列.這個數(shù)列的第2003項是
(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049
2.設(shè)a，b∈R，ab≠0，那么直線ax-y+b=0和曲線bx2+ay2=ab的圖形是
3.過拋物線y2=8(x+2)的焦點F作傾斜角為60°的直線，若此直線與拋物線交于A、B兩點，弦AB的中垂線與x軸交于點P，則線段PF的長等于
(A) 163 (B) 83 (C) 1633 (D) 83
4.若x∈[-5 12 ，- 3 ]，則y=tan(x+2 3 )-tan(x+ 6 )+cos(x+ 6 )的值是
(A) 1252 (B) 1162 (C) 1163 (D) 1253
5.已知x，y都在區(qū)間(-2，2)內(nèi)，且xy=-1，則函數(shù)u=44-x2+99-y2的最小值是
(A) 85 (B) 2411 (C) 127 (D) 125
6.在四面體ABCD中， 設(shè)AB=1，CD=3，直線AB與CD的距離為2，夾角為 3，則四面體ABCD的體積等于
(A) 32 (B) 12 (C) 13 (D) 33
二.填空題(每小題9分，共54分)
7.不等式|x|3-2x2-4|x|+3<0的解集是 .
8.設(shè)F1、F2是橢圓x29+y24=1的兩個焦點，P是橢圓上一點，且|PF1|∶|PF2|=2∶1，則△PF1F2的面積等于 .
9.已知A={x|x2-4x+3<0，x∈R}，
B={x|21-x+a≤0，x2-2(a+7)x+5≤0，x∈R}
若A B，則實數(shù)a的取值范圍是 .
10.已知a，b，c，d均為正整數(shù)，且logab=32，logcd=54，若a-c=9，則b-d= .
11.將八個半徑都為1的球分放兩層放置在一個圓柱內(nèi)，并使得每個球都和其相鄰的四個球相切，且與圓柱的一個底面及側(cè)面都相切，則此圓柱的高等于 .
12. 設(shè)Mn={(十進(jìn)制)n位純小數(shù)0.-a1a2…an|ai只取0或1(i=1，2，…，n-1)，an=1}，Tn 是Mn中元素的個數(shù)，Sn是Mn中所有元素的和，則limn→∞SnTn= .
三、(20分)
13.設(shè)32≤x≤5，證明不等式
2x+1+2x-3+15-3x<219.
四、(20分)
14.設(shè)A、B、C分別是復(fù)數(shù)Z0=ai，Z1=12+bi，Z2=1+ci(其中a，b，c都是實數(shù))對應(yīng)的不共線的三點.證明：曲線
Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t (t∈R)
與△ABC中平行于AC的中位線只有一個公共點，并求出此點.
五、(本題滿分20分)
15.一張紙上畫有一個半徑為R的圓O和圓內(nèi)一個定點A，且OA=a，折疊紙片，使圓周上某一點A 剛好與點A重合.這樣的每一種折法，都留下一條折痕.當(dāng)A 取遍圓周上所有點時，求所有折痕所在直線上點的集合.
參考答案
一、選擇題(每小題6分，共36分)
1.刪去正整數(shù)數(shù)列1，2，3，……中的所有完全平方數(shù)，得到一個新數(shù)列.這個數(shù)列的第2003項是
(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049
解：452=2025，462=2116.
在1至2025之間有完全平方數(shù)45個，而2026至2115之間沒有完全平方數(shù).故1至2025中共有新數(shù)列中的2025-45=1980項.還缺2003-1980=23項.由2025+23=2048.知選C.
2.設(shè)a，b∈R，ab≠0，那么直線ax-y+b=0和曲線bx2+ay2=ab的圖形是
解：曲線方程為x2a+y2b=1，直線方程為y=ax+b.
由直線圖形，可知A、C中的a<0，A圖的b>0，C圖的b<0，與A、C中曲線為橢圓矛盾.
由直線圖形，可知B、D中的a>0，b<0，則曲線為焦點在x軸上的雙曲線，故選B.
3.過拋物線y2=8(x+2)的焦點F作傾斜角為60°的直線，若此直線與拋物線交于A、B兩點，弦AB的中垂線與x軸交于點P，則線段PF的長等于
(A) 163 (B) 83 (C) 1633 (D) 83
解：拋
拋物線的焦點為原點(0，0)，弦AB所在直線方程為y=3x，弦的中點在y=pk=43上，即AB中點為(43，43)，中垂線方程為y=-33(x-43)+43，令y=0，得點P的坐標(biāo)為163.
∴ PF=163.選A.
4.若x∈[-5 12 ，- 3]，則y=tan(x+2 3)-tan(x+ 6)+cos(x+ 6)的值是
(A) 1252 (B) 1162 (C) 1163 (D) 1253
解：令x+ 6=u，則x+2 3=u+ 2，當(dāng)x∈[-5 12，- 3]時，u∈[- 4，- 6]，
y=-(cotu+tanu)+cosu=-2sin2u+cosu.在u∈[- 4，- 6]時，sin2u與cosu都單調(diào)遞增，從而y單調(diào)遞增.于是u=- 6時，y取得值1163，故選C.
5.已知x，y都在區(qū)間(-2，2)內(nèi)，且xy=-1，則函數(shù)u=44-x2+99-y2的最小值是
(A) 85 (B) 2411 (C) 127 (D) 125
解：由x，y∈(-2，2)，xy=-1知，x∈(-2，-12)∪(12，2)，
u=44-x2+9x29x2-1=-9x4+72x2-4-9x4+37x2-4=1+3537-(9x2+4x2).
當(dāng)x∈(-2，-12)∪(12，2)時，x2∈(14，4)，此時，9x2+4x2≥12.(當(dāng)且僅當(dāng)x2=23時等號成立).
此時函數(shù)的最小值為125，故選D.
6.在四面體ABCD中， 設(shè)AB=1，CD=3，直線AB與CD的距離為2，夾角為 3，則四面體ABCD的體積等于
(A) 32 (B) 12 (C) 13 (D) 33
解：如圖，把四面體補(bǔ)成平行六面體，則此平行六面體的體積=1×3×sinπ3×2=3.
而四面體ABCD的體積=16×平行六面體體積=12.故選B.
二.填空題(每小題9分，共54分)
7.不等式|x|3-2x2-4|x|+3<0的解集是 .
解：即|x|3-2|x|2-4|x|+3<0， (|x|-3)(|x|-5-12)(|x|+5+12)<0. |x|<-5+12，或5-12<|x|<3.
∴ 解為(-3，-5-12)∪(5-12，3).
8.設(shè)F1、F2是橢圓x29+y24=1的兩個焦點，P是橢圓上一點，且|PF1|∶|PF2|=2∶1，則△PF1F2的面積等于 .
解：F1(-5，0)，F(xiàn)2(5，0);|F1F2|=25.
|PF1|+|PF2|=6， |PF1|=4，|PF2|=2.由于42+22=(25)2.故 PF1F2是直角三角形55.
∴ S=4.
9.已知A={x|x2-4x+3<0，x∈R}，
B={x|21-x+a≤0，x2-2(a+7)x+5≤0，x∈R}
若A B，則實數(shù)a的取值范圍是 .
解：A=(1，3);
又，a≤-21-x∈(-1，-14)，當(dāng)x∈(1，3)時，a≥x2+52x -7∈(5-7，-4).
∴ -4≤a≤-1.
10.已知a，b，c，d均為正整數(shù)，且logab=32，logcd=54，若a-c=9，則b-d=
解：a3=b2，c5=d4，設(shè)a=x2，b=x3;c=y4，d=y5，x2-y4=9.(x+y2)(x-y2)=9.
∴ x+y2=9，x-y2=1，x=5，y2=4.b-d=53-25=125-32=93.
11.將八個半徑都為1的球分放兩層放置在一個圓柱內(nèi)，并使得每個球都和其相鄰的四個球相切，且與圓柱的一個底面及側(cè)面都相切，則此圓柱的高等于 .
解：如圖，ABCD是下層四個球的球心，EFGH是上層的四個球心.每個球心與其相切的球的球心距離=2.EFGH在平面ABCD上的射影是一個正方形.是把正方形ABCD繞其中心旋轉(zhuǎn)45 而得.設(shè)E的射影為N，則
MN=2-1.EM=3，故EN2=3-(2-1)2=22.∴ EN=48.所求圓柱的高=2+48.
12. 設(shè)Mn={(十進(jìn)制)n位純小數(shù)0.-a1a2…an|ai只取0或1(i=1，2，…，n-1)，an=1}，Tn 是Mn中元素的個數(shù)，Sn是Mn中所有元素的和，則limn→∞SnTn= .
解：由于a1，a2，…，an-1中的每一個都可以取0與1兩個數(shù)，Tn=2n-1.
在每一位(從第一位到第n-1位)小數(shù)上，數(shù)字0與1各出現(xiàn)2n-2次.第n位則1出現(xiàn)2n-1次.
∴ Sn=2n-
2 0.11…1+2n-2 10-n.
∴ limn→∞SnTn=12 19=118.
三、(本題滿分20分)
13.設(shè)32≤x≤5，證明不等式
2x+1+2x-3+15-3x<219.
解：x+1≥0，2x-3≥0，15-3x≥0. 32≤x≤5.
由平均不等式x+1+x+1+2x-3+15-3x4≤x+1+x+1+2x-3+15-3x4≤14+x4.
∴ 2x+1+2x-3+15-3x=x+1+x+1+2x-3+15-3x≤214+x.
但214+x在32≤x≤5時單調(diào)增.即214+x≤214+5=219.
故證.
四、(本題滿分20分)
14.設(shè)A、B、C分別是復(fù)數(shù)Z0=ai，Z1=12+bi，Z2=1+ci(其中a，b，c都是實數(shù))對應(yīng)的不共線的三點.證明：曲線
Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t (t∈R)
與△ABC中平行于AC的中位線只有一個公共點，并求出此點.
解：曲線方程為：Z=aicos4t+(1+2bi)cos2tsin2t+(1+ci)sin4t=(cos2tsin2t+sin4t)+i(acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t)
∴ x=cos2tsin2t+sin4t=sin2t(cos2t+sin2t)=sin2t.(0≤x≤1)
y=acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t=a(1-x)2+2b(1-x)x+cx2
即 y=(a-2b+c)x2+2(b-a)x+a (0≤x≤1). ①
若a-2b+c=0，則Z0、Z1、Z2三點共線，與已知矛盾，故a-2b+c 0.于是此曲線為軸與x軸垂直的拋物線.
AB中點M：14+12(a+b)i，BC中點N：34+12(b+c)i.
與AC平行的中位線經(jīng)過M(14，12(a+b))及N(34，12(b+c))兩點，其方程為
4(a-c)x+4y-3a-2b+c=0.(14≤x≤34). ②
令 4(a-2b+c)x2+8(b-a)x+4a=4(c-a)x+3a+2b-c.
即4(a-2b+c)x2+4(2b-a-c)x+a-2b+c=0.由a-2b+c 0，得
4x2+4x+1=0，
此方程在[14，34]內(nèi)有惟一解： x=12.
以x=12代入②得， y=14(a+2b+c).
∴ 所求公共點坐標(biāo)為(12，14(a+2b+c)).
五、(本題滿分20分)
15.一張紙上畫有一個半徑為R的圓O和圓內(nèi)一個定點A，且OA=a，折疊紙片，使圓周上某一點A 剛好與點A重合.這樣的每一種折法，都留下一條折痕.當(dāng)A 取遍圓周上所有點時，求所有折痕所在直線上點的集合.
解：對于⊙O上任意一點A ，連AA ，作AA 的垂直平分線MN，連OA .交MN于點P.顯然OP+PA=OA =R.由于點A在⊙O內(nèi)，故OA=aa)為長軸的橢圓C.
而MN上任一異于P的點Q，都有OQ+QA=OQ+QA >OA .故點Q在橢圓C外.即折痕上所有的點都在橢圓C上及C外.
反之，對于橢圓C上或外的一點S，以S為圓心，SA為半徑作圓，交⊙O于A ，則S在AA 的垂直平分線上，從而S在某條折痕上.
最后證明所作⊙S與⊙O必相交.
1 當(dāng)S在⊙O外時，由于A在⊙O內(nèi)，故⊙S與⊙O必相交;
2 當(dāng)S在⊙O內(nèi)時(例如在⊙O內(nèi)，但在橢圓C外或其上的點S )，取過S 的半徑OD，則由點S 在橢圓C外，故OS +S A≥R(橢圓的長軸).即S A≥S D.于是D在⊙S 內(nèi)或上，即⊙S 與⊙O必有交點.
于是上述證明成立.
綜上可知，折痕上的點的集合為橢圓C上及C外的所有點的集合.