以下是為大家整理的關(guān)于初三物理知識點單擺周期公式推導(dǎo)的文章，希望大家能夠喜歡！
公式推導(dǎo)
M = - m * g * l * Sin x.
其中m為質(zhì)量，g是重力加速度，l是擺長，x是擺角。
我們希望得到擺角x的關(guān)于時間的函數(shù)，來描述單擺運動。由力矩與角加速度的關(guān)系不難得到，
M = J * β。
其中J = m * l^2是單擺的轉(zhuǎn)動慣量，β = x''（擺角關(guān)于時間的2階導(dǎo)數(shù)）是角加速度。
于是化簡得到
x'' * l = - g * Sin x.
我們對上式適當(dāng)?shù)剡x擇比例系數(shù)，就可以把常數(shù)l與g約去，再移項就得到化簡了的運動方程
x'' + Sin x = 0.
因為單擺的運動方程（微分方程）是
x'' + Sin x = 0…………（1）
而標(biāo)準(zhǔn)的簡諧振動（如彈簧振子）則是
x'' + x = 0………………（2）
相關(guān)解釋
我們知道（1）式是一個非線性微分方程，而（2）式是一個線性微分方程。所以嚴(yán)格地說上面的（1）式描述的單擺的運動并不是簡諧運動。
不過，在x比較小時，近似地有Sin x ≈ x。（這里取的是弧度制。即當(dāng)x -> 0時有Sin x / x = o（1）。）因而此時（1）式就變?yōu)椋?）式，單擺的非線性的運動被線性地近似為簡諧運動。
然后說一下為什么是10°。由于Sin x ≈ x這個近似公式只在角度比較小的時候成立（這一個可以從正弦函數(shù)的在原點附近的圖象近似看出），所以只有在小角度下（1）式化作（2）式才是合理的。
事實上5°≈0.087266弧度，Sin 5°≈0.087155，二者相差只有千分之一點幾，是十分接近的。在低精度的實驗中，這種系統(tǒng)誤差可以忽略不計（因為實驗操作中的偶然誤差就比它大）。但如果換成25°，誤差高達(dá)百分之三，就不宜再看成是簡諧振動了。
由于正弦函數(shù)的性質(zhì)，這個近似是角度越小，越精確，角度越大越不精確。如果角度很大（比如60度處，誤差高達(dá)17%），就完全不能說它是簡諧振動了。
伽利略第一個發(fā)現(xiàn)擺的振動的等時性，并用實驗求得單擺的周期隨長度的二次方根而變動?；莞怪瞥闪说谝粋€擺鐘。單擺不僅是準(zhǔn)確測定時間的儀器，也可用來測量重力加速度的變化?；莞沟耐瑫r代人天文學(xué)家J.里希爾曾將擺鐘從巴黎帶到南美洲法屬圭亞那，發(fā)現(xiàn)每天慢 2.5分鐘，經(jīng)過校準(zhǔn)，回巴黎時又快 2.5分鐘。惠更斯就斷定這是由于地球自轉(zhuǎn)引起的重力減弱。I.牛頓則用單擺證明物體的重量總是和質(zhì)量成正比的。直到20世紀(jì)中葉，擺依然是重力測量的主要儀器。
補充
上面提到是角度比較小的時候單擺的近似公式，但是對于我個人而言比較喜歡追求完美。所以在此補充一點，也就是在任意角度下單擺的周期公式.但在此之前提出兩個概念：第一類不完全橢圓積分：F(φ，x)=∫[0，φ]dθ/√（1-x²sin²；θ），第一類完全橢圓積分K(x)=F（π/2,x)=∫[0，π/2]dθ/√（1-x²sin²；θ）（∫[a,b]f(x)dx表示對f(x）在區(qū)間[a,b]上的定積分）
設(shè)擺長為l,擺線與豎直方向的夾角為θ，那么單擺的運動公式為：
d²；θ/dt²+g/l*sinθ=0
令ω=dθ/dt，上式改寫成：
ωdω/dθ+g/l*sinθ=0
ω²=2g/l*cosθ+c
給定初始條件θ=α（0≤α≤π），ω=0，則其特解為：
ω²=2g/l*(cosθ-cosα）=4g/l*(sin²；（α/2）-sin²；（θ/2）)
所以t=∫dθ/ω=1/2*√（g/l)*∫[0，θ]dθ/√（sin²；（α/2）-sin²；（θ/2）)
做變換sin（θ/2）=sin（α/2）sinφ，則
t=√（l/g)*∫[0，φ]dφ/√（1-sin²；（α/2）*sin²；φ）=√（l/g)*F（φ，sin（α/2）)
以上是單擺從任意位置擺動任意角的公式，當(dāng)單擺從任意位置開始擺動到豎直位置時，θ=α，此時φ=π/2
那么T=4t=4√（l/g)*F（π/2,sin（α/2）)=4√（l/g)*K(sin（α/2）），此處的α就是常說的擺角，現(xiàn)在看一下不同的擺角對周期的影響
單擺的近似公式為T=2π√（l/g），精確公式為T=4√（l/g)*K(sin（α/2）），記相對誤差為e（α）
那么e（α）=（2K(sin（α/2）)-π)/（2K(sin（α/2）)
公式推導(dǎo)
M = - m * g * l * Sin x.
其中m為質(zhì)量，g是重力加速度，l是擺長，x是擺角。
我們希望得到擺角x的關(guān)于時間的函數(shù)，來描述單擺運動。由力矩與角加速度的關(guān)系不難得到，
M = J * β。
其中J = m * l^2是單擺的轉(zhuǎn)動慣量，β = x''（擺角關(guān)于時間的2階導(dǎo)數(shù)）是角加速度。
于是化簡得到
x'' * l = - g * Sin x.
我們對上式適當(dāng)?shù)剡x擇比例系數(shù)，就可以把常數(shù)l與g約去，再移項就得到化簡了的運動方程
x'' + Sin x = 0.
因為單擺的運動方程（微分方程）是
x'' + Sin x = 0…………（1）
而標(biāo)準(zhǔn)的簡諧振動（如彈簧振子）則是
x'' + x = 0………………（2）
相關(guān)解釋
我們知道（1）式是一個非線性微分方程，而（2）式是一個線性微分方程。所以嚴(yán)格地說上面的（1）式描述的單擺的運動并不是簡諧運動。
不過，在x比較小時，近似地有Sin x ≈ x。（這里取的是弧度制。即當(dāng)x -> 0時有Sin x / x = o（1）。）因而此時（1）式就變?yōu)椋?）式，單擺的非線性的運動被線性地近似為簡諧運動。
然后說一下為什么是10°。由于Sin x ≈ x這個近似公式只在角度比較小的時候成立（這一個可以從正弦函數(shù)的在原點附近的圖象近似看出），所以只有在小角度下（1）式化作（2）式才是合理的。
事實上5°≈0.087266弧度，Sin 5°≈0.087155，二者相差只有千分之一點幾，是十分接近的。在低精度的實驗中，這種系統(tǒng)誤差可以忽略不計（因為實驗操作中的偶然誤差就比它大）。但如果換成25°，誤差高達(dá)百分之三，就不宜再看成是簡諧振動了。
由于正弦函數(shù)的性質(zhì)，這個近似是角度越小，越精確，角度越大越不精確。如果角度很大（比如60度處，誤差高達(dá)17%），就完全不能說它是簡諧振動了。
伽利略第一個發(fā)現(xiàn)擺的振動的等時性，并用實驗求得單擺的周期隨長度的二次方根而變動?；莞怪瞥闪说谝粋€擺鐘。單擺不僅是準(zhǔn)確測定時間的儀器，也可用來測量重力加速度的變化?；莞沟耐瑫r代人天文學(xué)家J.里希爾曾將擺鐘從巴黎帶到南美洲法屬圭亞那，發(fā)現(xiàn)每天慢 2.5分鐘，經(jīng)過校準(zhǔn)，回巴黎時又快 2.5分鐘。惠更斯就斷定這是由于地球自轉(zhuǎn)引起的重力減弱。I.牛頓則用單擺證明物體的重量總是和質(zhì)量成正比的。直到20世紀(jì)中葉，擺依然是重力測量的主要儀器。
補充
上面提到是角度比較小的時候單擺的近似公式，但是對于我個人而言比較喜歡追求完美。所以在此補充一點，也就是在任意角度下單擺的周期公式.但在此之前提出兩個概念：第一類不完全橢圓積分：F(φ，x)=∫[0，φ]dθ/√（1-x²sin²；θ），第一類完全橢圓積分K(x)=F（π/2,x)=∫[0，π/2]dθ/√（1-x²sin²；θ）（∫[a,b]f(x)dx表示對f(x）在區(qū)間[a,b]上的定積分）
設(shè)擺長為l,擺線與豎直方向的夾角為θ，那么單擺的運動公式為：
d²；θ/dt²+g/l*sinθ=0
令ω=dθ/dt，上式改寫成：
ωdω/dθ+g/l*sinθ=0
ω²=2g/l*cosθ+c
給定初始條件θ=α（0≤α≤π），ω=0，則其特解為：
ω²=2g/l*(cosθ-cosα）=4g/l*(sin²；（α/2）-sin²；（θ/2）)
所以t=∫dθ/ω=1/2*√（g/l)*∫[0，θ]dθ/√（sin²；（α/2）-sin²；（θ/2）)
做變換sin（θ/2）=sin（α/2）sinφ，則
t=√（l/g)*∫[0，φ]dφ/√（1-sin²；（α/2）*sin²；φ）=√（l/g)*F（φ，sin（α/2）)
以上是單擺從任意位置擺動任意角的公式，當(dāng)單擺從任意位置開始擺動到豎直位置時，θ=α，此時φ=π/2
那么T=4t=4√（l/g)*F（π/2,sin（α/2）)=4√（l/g)*K(sin（α/2）），此處的α就是常說的擺角，現(xiàn)在看一下不同的擺角對周期的影響
單擺的近似公式為T=2π√（l/g），精確公式為T=4√（l/g)*K(sin（α/2）），記相對誤差為e（α）
那么e（α）=（2K(sin（α/2）)-π)/（2K(sin（α/2）)