2012年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試
數(shù)學(理)(北京卷)
本試卷共5頁. 150分.考試時長120分鐘.考試生務(wù)必將答案答在答題卡上.在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
第一部分(選擇題共40分)
一、選擇題共8小題。每小題5分.共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合勝目要求的一項.
1.已知集合A={x∈R｜3x+2>0﹜•B={x∈ R｜(x+1)(x-3)>0﹜則A∩B=( )
A．（﹣∞，﹣1） B.｛﹣1，-⅔｝ C. ﹙﹣⅔，3﹚ D.（3，＋∝）
2. 設(shè)不等式組 表示的平面區(qū)域為D.在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點.則此點到坐標原點的距離大于2的概率是（ ）
A. B. C. D.
3.設(shè)a，b∈R.“a=O”是‘復(fù)數(shù)a+bi是純虛數(shù)”的（ ）
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為（ ）
A. 2
B .4
C.8
D. 16
5.如圖. ∠ACB=90º。CD⊥AB于點D，以BD為直徑的圓與BC交于點E.則( )
A. CE•CB=AD•DB
B. CE•CB=AD•AB
C. AD•AB=CD ²
D.CE•EB=CD ²
6.從0，2中選一個數(shù)字.從1.3.5中選兩個數(shù)字,組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).其中奇數(shù)的個數(shù)為( )
A. 24 B. 18 C. 12 D. 6
7.某三梭錐的三視圖如圖所示，該三梭錐的表面積是（ ）
A. 28+6
B. 30+6
C. 56+ 12
D. 60+12
8.某棵果樹前n前的總產(chǎn)量S與n之間的關(guān)系如圖所示.從目前記錄的結(jié)果看，前m年的年平均產(chǎn)量。m值為（ ）
A.5
B.7
C.9
D.11
第二部分(非選擇題共110分)
二.填空題共6小題。每小題5分。共30分.
9.直線 (t為參數(shù))與曲線 (“為多α數(shù))的交點個數(shù)為
10.已知﹛ ﹜等差數(shù)列 為其前n項和.若 = ， = ，則 =
11.在△ABC中，若α=2，b+c=7, =- ，則b=
12.在直角坐標系xOy中.直線l過拋物線 =4x的焦點F.且與該撇物線相交于A、B兩點.其中點A在x軸上方。若直線l的傾斜角為60º.則△OAF的面積為
13.己知正方形ABCD的邊長為l，點E是AB邊上的動點.則 . 的值為
14.已知f(x)=m(x-2m)（x+m+3）,g(x)= -2，若同時滿足條件：
① x∈R，f(x) ＜0或g(x) ＜0
② x∈(﹣∝, ﹣4),f(x)g(x) ＜0
則m的取值范圍是
三、解答題公6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。
15．（本小題共13分）
已知函數(shù) 。
（1）求f（x）的定義域及最小正周期；
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間。
16. （本小題共14分）
如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點，且DE∥BC，DE=2，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如圖2.
（1）求證：A1C⊥平面BCDE；
（2）若M是A1D的中點，求CM與平面A1BE所成角的大??；
（3）線段BC上是否存在點P，使平面A1DP與平面A1BE垂直？
說明理由
17．（本小題共13分）
近年來，某市為促進生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱，為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，先隨機抽取了該市三類垃圾箱總計1000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下（單位：噸）；
（1）試估計廚余垃圾投放正確的概率；
（2）試估計生活垃圾投放錯誤的概率；
（3）假設(shè)廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為a，b，c，其中a﹥0，a+b+c=600.當數(shù)據(jù)a，b，c的方差s2時，寫出a，b，c的值（結(jié)論不要求證明），并求此時s2的值。
（求： ，其中 為數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)）
18．（本小題共13分）
已知函數(shù)f（x）=ax2+1（a>0）,g(x)=x3+bx
(1)若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點（1，c）處具有公共切線，求a、b的值；
(2)當a2=4b時，求函數(shù)f(x)+g(x)的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間（-∞，-1）上的值，
19．（本小題共14分）
已知曲線C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R)
（1）若曲線C是焦點在x軸點上的橢圓，求m的取值范圍；
（2）設(shè)m=4，曲線c與y軸的交點為A，B（點A位于點B的上方），直線y=kx+4與曲線c交于不同的兩點M、N,直線y=1與直線BM交于點G.求證：A，G，N三點共線。
20．（本小題共13分）
設(shè)A是由m×n個實數(shù)組成的m行n列的數(shù)表，滿足：每個數(shù)的絕對值不大于1，且所有數(shù)的和為零，記s(m，n)為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合。
對于A∈S(m,n),記ri(A)為A的第ⅰ行各數(shù)之和（1≤ⅰ≤m），Cj(A)為A的第j列各數(shù)之和（1≤j≤n）：
記K(A)為∣r1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。
（1）對如下數(shù)表A，求K（A）的值；
11-0.8
0.1-0.3-1
（2）設(shè)數(shù)表A∈S（2,3）形如
11c
ab-1
求K（A）的值；
（3）給定正整數(shù)t，對于所有的A∈S（2,2t+1），求K（A）的值。
數(shù)學(理)(北京卷)
本試卷共5頁. 150分.考試時長120分鐘.考試生務(wù)必將答案答在答題卡上.在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
第一部分(選擇題共40分)
一、選擇題共8小題。每小題5分.共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合勝目要求的一項.
1.已知集合A={x∈R｜3x+2>0﹜•B={x∈ R｜(x+1)(x-3)>0﹜則A∩B=( )
A．（﹣∞，﹣1） B.｛﹣1，-⅔｝ C. ﹙﹣⅔，3﹚ D.（3，＋∝）
2. 設(shè)不等式組 表示的平面區(qū)域為D.在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點.則此點到坐標原點的距離大于2的概率是（ ）
A. B. C. D.
3.設(shè)a，b∈R.“a=O”是‘復(fù)數(shù)a+bi是純虛數(shù)”的（ ）
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為（ ）
A. 2
B .4
C.8
D. 16
5.如圖. ∠ACB=90º。CD⊥AB于點D，以BD為直徑的圓與BC交于點E.則( )
A. CE•CB=AD•DB
B. CE•CB=AD•AB
C. AD•AB=CD ²
D.CE•EB=CD ²
6.從0，2中選一個數(shù)字.從1.3.5中選兩個數(shù)字,組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).其中奇數(shù)的個數(shù)為( )
A. 24 B. 18 C. 12 D. 6
7.某三梭錐的三視圖如圖所示，該三梭錐的表面積是（ ）
A. 28+6
B. 30+6
C. 56+ 12
D. 60+12
8.某棵果樹前n前的總產(chǎn)量S與n之間的關(guān)系如圖所示.從目前記錄的結(jié)果看，前m年的年平均產(chǎn)量。m值為（ ）
A.5
B.7
C.9
D.11
第二部分(非選擇題共110分)
二.填空題共6小題。每小題5分。共30分.
9.直線 (t為參數(shù))與曲線 (“為多α數(shù))的交點個數(shù)為
10.已知﹛ ﹜等差數(shù)列 為其前n項和.若 = ， = ，則 =
11.在△ABC中，若α=2，b+c=7, =- ，則b=
12.在直角坐標系xOy中.直線l過拋物線 =4x的焦點F.且與該撇物線相交于A、B兩點.其中點A在x軸上方。若直線l的傾斜角為60º.則△OAF的面積為
13.己知正方形ABCD的邊長為l，點E是AB邊上的動點.則 . 的值為
14.已知f(x)=m(x-2m)（x+m+3）,g(x)= -2，若同時滿足條件：
① x∈R，f(x) ＜0或g(x) ＜0
② x∈(﹣∝, ﹣4),f(x)g(x) ＜0
則m的取值范圍是
三、解答題公6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。
15．（本小題共13分）
已知函數(shù) 。
（1）求f（x）的定義域及最小正周期；
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間。
16. （本小題共14分）
如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點，且DE∥BC，DE=2，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如圖2.
（1）求證：A1C⊥平面BCDE；
（2）若M是A1D的中點，求CM與平面A1BE所成角的大??；
（3）線段BC上是否存在點P，使平面A1DP與平面A1BE垂直？
說明理由
17．（本小題共13分）
近年來，某市為促進生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱，為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，先隨機抽取了該市三類垃圾箱總計1000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下（單位：噸）；
（1）試估計廚余垃圾投放正確的概率；
（2）試估計生活垃圾投放錯誤的概率；
（3）假設(shè)廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為a，b，c，其中a﹥0，a+b+c=600.當數(shù)據(jù)a，b，c的方差s2時，寫出a，b，c的值（結(jié)論不要求證明），并求此時s2的值。
（求： ，其中 為數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)）
18．（本小題共13分）
已知函數(shù)f（x）=ax2+1（a>0）,g(x)=x3+bx
(1)若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點（1，c）處具有公共切線，求a、b的值；
(2)當a2=4b時，求函數(shù)f(x)+g(x)的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間（-∞，-1）上的值，
19．（本小題共14分）
已知曲線C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R)
（1）若曲線C是焦點在x軸點上的橢圓，求m的取值范圍；
（2）設(shè)m=4，曲線c與y軸的交點為A，B（點A位于點B的上方），直線y=kx+4與曲線c交于不同的兩點M、N,直線y=1與直線BM交于點G.求證：A，G，N三點共線。
20．（本小題共13分）
設(shè)A是由m×n個實數(shù)組成的m行n列的數(shù)表，滿足：每個數(shù)的絕對值不大于1，且所有數(shù)的和為零，記s(m，n)為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合。
對于A∈S(m,n),記ri(A)為A的第ⅰ行各數(shù)之和（1≤ⅰ≤m），Cj(A)為A的第j列各數(shù)之和（1≤j≤n）：
記K(A)為∣r1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。
（1）對如下數(shù)表A，求K（A）的值；
11-0.8
0.1-0.3-1
（2）設(shè)數(shù)表A∈S（2,3）形如
11c
ab-1
求K（A）的值；
（3）給定正整數(shù)t，對于所有的A∈S（2,2t+1），求K（A）的值。