二叉樹期權(quán)定價(jià)模型
二、二叉樹期權(quán)定價(jià)模型
（一）單期二叉樹定價(jià)模型
1、假設(shè)：市場(chǎng)投資沒(méi)有交易成本；投資者都是價(jià)格接受者；允許完全使用賣空所得款項(xiàng)；允許以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率借入或貸出款項(xiàng)；未來(lái)股票的價(jià)格將是兩種可能值中的一個(gè)。
2、單期二叉樹模型的推導(dǎo)
C0＝【（1＋r－d）/（u－d）】×【Cu /(1+r)】+[(u-1-r)/（u－d）] 【Cd /(1+r)】
（二）兩期二叉樹模型
單期模型向兩期模型的擴(kuò)展，不過(guò)是單期模型的兩次應(yīng)用。及先利用單期定價(jià)模型，根據(jù)Cuu和Cud計(jì)算節(jié)點(diǎn)Cu 的價(jià)值，利用Cud和Cdd計(jì)算Cd的價(jià)值，然后再次利用單期定價(jià)模型，根據(jù)Cu和 Cd計(jì)算，從后向前推。
教材【例11－10】
假設(shè)ABC公司的股票現(xiàn)在的市價(jià)為50元。有1股以該股票為標(biāo)的資產(chǎn)的看漲期權(quán)，執(zhí)行價(jià)格為52.08元。到期時(shí)間是6個(gè)月。將6個(gè)月分為兩期，每期3個(gè)月。每期股價(jià)有兩種可能：上升22.56%，或者降低18.4%。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為每3個(gè)月1%。
分析：
兩種方法計(jì)算：二叉圖形見教材325頁(yè)。
1、復(fù)制組合定價(jià)
上行乘數(shù)u＝1+22.56％＝1.2256
下行乘數(shù)d＝1－18.4％＝0.816
（1）確定可能的股票價(jià)格
①確定3個(gè)月后，即第1期可能的股票價(jià)格
上行股價(jià)Su＝股票現(xiàn)價(jià)S0×上行乘數(shù)u＝50×1.2256＝61.28
下行股價(jià)Sd＝股票現(xiàn)價(jià)S0×下行乘數(shù)d＝50×0.816＝40.8
②確定6個(gè)月后，即第2期可能的股票價(jià)格
第1期上行股價(jià)Su又有兩種情況
上行股價(jià)Suu＝Su×上行乘數(shù)u＝61.28×1.2256＝75.10
下行股價(jià)Sud＝Su×下行乘數(shù)d＝61.28×0.816＝50
第1期下行股價(jià) Sd 又有兩種情況
上行股價(jià)Sdu＝Sd×上行乘數(shù)u＝40.8×1.2256＝50
下行股價(jià)Sdd＝Sd×下行乘數(shù)d＝40.8×0.816＝33.29
所以，第2期可能的股票價(jià)格是75.1 、 50 、 33.29
（2）確定可能的期權(quán)到期日價(jià)值
Cuu＝75.1-52.08＝23.02
Cud＝0
Cdd＝0
（3）計(jì)算套期保值率
套期保值率＝（23.02－0）÷（75.1－50）＝0.91713
（4）計(jì)算第2期投資組合成本Cu
借款＝（50×0.91713）/(1+1%)=45.4
股票購(gòu)買支出＝61.28×0.9173＝56.2
投資組合的成本Cu＝56.2－45.4＝10.8
第2期投資組合成本Cd＝0
(5)計(jì)算第1期投資組合成本C0
套期保值率＝（10.8－0）÷（61.28－40.8）＝0.5273
借款＝（40.8×0.5273）/(1+1%)=21.3008
股票支出＝0.5273×50＝26.365
C0投資組合成本＝26.365－21.3008＝5.06
二、二叉樹期權(quán)定價(jià)模型
（一）單期二叉樹定價(jià)模型
1、假設(shè)：市場(chǎng)投資沒(méi)有交易成本；投資者都是價(jià)格接受者；允許完全使用賣空所得款項(xiàng)；允許以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率借入或貸出款項(xiàng)；未來(lái)股票的價(jià)格將是兩種可能值中的一個(gè)。
2、單期二叉樹模型的推導(dǎo)
C0＝【（1＋r－d）/（u－d）】×【Cu /(1+r)】+[(u-1-r)/（u－d）] 【Cd /(1+r)】
（二）兩期二叉樹模型
單期模型向兩期模型的擴(kuò)展，不過(guò)是單期模型的兩次應(yīng)用。及先利用單期定價(jià)模型，根據(jù)Cuu和Cud計(jì)算節(jié)點(diǎn)Cu 的價(jià)值，利用Cud和Cdd計(jì)算Cd的價(jià)值，然后再次利用單期定價(jià)模型，根據(jù)Cu和 Cd計(jì)算，從后向前推。
教材【例11－10】
假設(shè)ABC公司的股票現(xiàn)在的市價(jià)為50元。有1股以該股票為標(biāo)的資產(chǎn)的看漲期權(quán)，執(zhí)行價(jià)格為52.08元。到期時(shí)間是6個(gè)月。將6個(gè)月分為兩期，每期3個(gè)月。每期股價(jià)有兩種可能：上升22.56%，或者降低18.4%。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為每3個(gè)月1%。
分析：
兩種方法計(jì)算：二叉圖形見教材325頁(yè)。
1、復(fù)制組合定價(jià)
上行乘數(shù)u＝1+22.56％＝1.2256
下行乘數(shù)d＝1－18.4％＝0.816
（1）確定可能的股票價(jià)格
①確定3個(gè)月后，即第1期可能的股票價(jià)格
上行股價(jià)Su＝股票現(xiàn)價(jià)S0×上行乘數(shù)u＝50×1.2256＝61.28
下行股價(jià)Sd＝股票現(xiàn)價(jià)S0×下行乘數(shù)d＝50×0.816＝40.8
②確定6個(gè)月后，即第2期可能的股票價(jià)格
第1期上行股價(jià)Su又有兩種情況
上行股價(jià)Suu＝Su×上行乘數(shù)u＝61.28×1.2256＝75.10
下行股價(jià)Sud＝Su×下行乘數(shù)d＝61.28×0.816＝50
第1期下行股價(jià) Sd 又有兩種情況
上行股價(jià)Sdu＝Sd×上行乘數(shù)u＝40.8×1.2256＝50
下行股價(jià)Sdd＝Sd×下行乘數(shù)d＝40.8×0.816＝33.29
所以，第2期可能的股票價(jià)格是75.1 、 50 、 33.29
（2）確定可能的期權(quán)到期日價(jià)值
Cuu＝75.1-52.08＝23.02
Cud＝0
Cdd＝0
（3）計(jì)算套期保值率
套期保值率＝（23.02－0）÷（75.1－50）＝0.91713
（4）計(jì)算第2期投資組合成本Cu
借款＝（50×0.91713）/(1+1%)=45.4
股票購(gòu)買支出＝61.28×0.9173＝56.2
投資組合的成本Cu＝56.2－45.4＝10.8
第2期投資組合成本Cd＝0
(5)計(jì)算第1期投資組合成本C0
套期保值率＝（10.8－0）÷（61.28－40.8）＝0.5273
借款＝（40.8×0.5273）/(1+1%)=21.3008
股票支出＝0.5273×50＝26.365
C0投資組合成本＝26.365－21.3008＝5.06