又到了一年一度的高考備考階段，廣大考生們抓緊一切時間想盡一切辦法準(zhǔn)備著2013年的高考，為幫助廣大考生有效備考，我們?yōu)榇蠹易隽藗€高中數(shù)學(xué)知識點整理，幫助廣大考生把握高中數(shù)學(xué)的脈絡(luò)，讓廣大考生贏在高考。
一、考點概要：
1、空間向量及其運算
(1)空間向量的基本知識：
①定義：空間向量的定義和平面向量一樣，那些具有大小和方向的量叫做向量，并且仍用有向線段表示空間向量，且方向相同、長度相等的有向線段表示相同向量或相等的向量。
②空間向量基本定理：
ⅰ定理：如果三個向量 不共面，那么對于空間任一向量 ，存在的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使 。且把 叫做空間的一個基底， 都叫基向量。
ⅱ正交基底：如果空間一個基底的三個基向量是兩兩相互垂直，那么這個基底叫正交基底。
ⅲ 單位正交基底：當(dāng)一個正交基底的三個基向量都是單位向量時，稱為單位正交基底，通常用 表示。
ⅳ 空間四點共面：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點，則對空間中任意一點P，都存在的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使 。
③共線向量(平行向量)：
ⅰ定義：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，記作 。
ⅱ規(guī)定：零向量與任意向量共線;
ⅲ共線向量定理：對空間任意兩個向量 平行的充要條件是：存在實數(shù)λ，使 。
④共面向量：
ⅰ定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量;空間的任意兩個向量都是共面向量。
ⅱ向量與平面平行：如果直線OA平行于平面或 在α內(nèi)，則說向量 平行于平面α，記作 。平行于同一平面的向量，也是共面向量。
ⅲ共面向量定理：如果兩個向量 、 不共線，則向量 與向量 、 共面的充要條件是：存在實數(shù)對x、y，使 。
ⅳ空間的三個向量共面的條件：當(dāng) 、 、 都是非零向量時，共面向量定理實際上也是 、 、 所在的三條直線共面的充要條件，但用于判定時，還需要證明其中一條直線上有一點在另兩條直線所確定的平面內(nèi)。
ⅴ共面向量定理的推論：空間一點P在平面MAB內(nèi)的充要條件是：存在有序?qū)崝?shù)對x、y，使得 ，或?qū)τ诳臻g任意一定點O，有 。
⑤空間兩向量的夾角：已知兩個非零向量 、 ，在空間任取一點O，作 ， (兩個向量的起點一定要相同)，則叫做向量 與 的夾角，記作 ，且 。
⑥兩個向量的數(shù)量積：
ⅰ定義：已知空間兩個非零向量 、 ，則 叫做向量 、 的數(shù)量積，記作 ，即： 。
ⅱ規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0。
ⅲ注意：兩個向量的數(shù)量積也叫向量 、 的點積(或內(nèi)積)，它的結(jié)果是一個實數(shù)，它等于兩向量的模與其夾角的余弦值。
ⅳ數(shù)量積的幾何意義： 叫做向量 在 方向上的投影(其中θ為向量 和 的夾角)。
即：數(shù)量積 等于向量 的模與向量 在 方向上的投影的乘積。
ⅴ基本性質(zhì)：
ⅵ運算律：
(2)空間向量的線性運算：
①定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運算如下：
②加法：
③減法：
④數(shù)乘向量：
⑤運算律：
ⅰ加法交換律：
ⅱ加法結(jié)合律：
ⅲ數(shù)乘分配律： 二、復(fù)習(xí)點睛：
1、立體幾何初步是側(cè)重于定性研究，而空間向量則側(cè)重于定量研究?？臻g向量的引入，為解決三維空間中圖形的位置關(guān)系與度量問題提供了一個十分有效的工具。
2、根據(jù)空間向量的基本定理，出現(xiàn)了用基向量解決立體幾何問題的向量法，建立空間直角坐標(biāo)系，形成了用空間坐標(biāo)研究空間圖形的坐標(biāo)法，它們的解答通常遵循“三步”：一化向量問題，二進行向量運算，三回到圖形問題。其實質(zhì)是數(shù)形結(jié)合思想與等價轉(zhuǎn)化思想的運用。
3、實數(shù)的運算與向量的運算既有聯(lián)系又有區(qū)別，向量的數(shù)量積滿足交換律和分配律，但不滿足結(jié)合律，因此在進行數(shù)量積相關(guān)運算的過程中不可以隨意組合。值得一提的是：完全平方公式和平方差公式仍然適用，數(shù)量積的運算在許多方面和多項式的運算如出一轍，尤其去括號就顯得更為突出，下面兩個公式較為常用，請務(wù)必記住并學(xué)會應(yīng)用： 。
2、空間向量的坐標(biāo)表示：
(1)空間直角坐標(biāo)系：
①空間直角坐標(biāo)系O-xyz，在空間選定一點O和一個單位正交基底 ，以點O為原點，分別以 的方向為正方向建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，點O叫做原點，向量 叫做坐標(biāo)向量，通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為xOy平面，yOz平面，zOx平面。
②右手直角坐標(biāo)系：右手握住z軸，當(dāng)右手的四指從正向x軸以90°角度轉(zhuǎn)向正向y軸時，大拇指的指向就是z軸的正向;
③構(gòu)成元素：點(原點)、線(x、y、z軸)、面(xOy平面，yOz平面，zOx平面);
④空間直角坐標(biāo)系的畫法：作空間直角坐標(biāo)系O-xyz時，一般使∠xOy=135°(或45°), ∠yOz=90°，z軸垂直于y軸，z軸、y軸的單位長度相同，x軸上的單位長度為y軸(或z軸)的一半;
(2)空間向量的坐標(biāo)表示：
①已知空間直角坐標(biāo)系和向量 ，且設(shè) 為坐標(biāo)向量(如圖)，
由空間向量基本定理知，存在的有序?qū)崝?shù)組 叫做向量在此直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作 。
②在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，對于空間任一點A，對應(yīng)一個向量 ，若 ，則有序數(shù)組(x，y，z)叫做點在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記為A(x，y，z)，其中x叫做點A的橫坐標(biāo)， y叫做點A的縱坐標(biāo)，z叫做點A的豎坐標(biāo)，寫點的坐標(biāo)時，三個坐標(biāo)間的順序不能變。
③空間任一點的坐標(biāo)的確定：過P分別作三個與坐標(biāo)平面平行的平面(或垂面)，分別交坐標(biāo)軸于A、B、C三點，│x│=│OA│，│y│=│OB│，│z│=│OC│，當(dāng) 與 的方向相同時，x>0，當(dāng) 與 的方向相反時，x<0，同理可確y、z(如圖)。
④規(guī)定：一切空間向量的起點都是坐標(biāo)系原點，于是，空間任意一個向量與它的終點坐標(biāo)一一對應(yīng)。
⑤一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo)。
設(shè) ， ，
則：
(3)空間向量的直角坐標(biāo)運算：
⑦空間兩點間距離： ;
⑧空間線段 的中點M(x，y，z)的坐標(biāo)： ;
⑨球面方程：
二、復(fù)習(xí)點睛：
4、過定點O，作三條互相垂直的數(shù)軸，它們都以O(shè)為原點且一般具有相同的長度單位。這三條軸分別叫做z軸(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸);統(tǒng)稱坐標(biāo)軸。通常把x軸和y軸配置在水平面上，而z軸則是鉛垂線;它們的正方向要符合右手規(guī)則，即以這樣的三條坐標(biāo)軸就組成了一個空間直角坐標(biāo)系，點O叫做坐標(biāo)原點。
5、空間直角坐標(biāo)系中的特殊點:
(1)點(原點)的坐標(biāo)：(0,0,0);
(2)線(坐標(biāo)軸)上的點的坐標(biāo)：x軸上的坐標(biāo)為(x,0,0)，y軸上的坐標(biāo)為(0,y,0)，z軸上的坐標(biāo)為(0,0,z);
(3)面(xOy平面、yOz平面、zOx平面)內(nèi)的點的坐標(biāo)：平面上的坐標(biāo)為(x,y,0)、平面上的坐標(biāo)為(0,y,z)、平面上的坐標(biāo)為(x,0,z)
6、要使向量 與z軸垂直，只要z=0即可。事實上，要使向量 與哪一個坐標(biāo)軸垂直，只要向量 的相應(yīng)坐標(biāo)為0即可。
7、空間直角坐標(biāo)系中，方程x=0表示yOz平面、方程y=0表示zOx平面、方程z=0表示xOy平面，方程x=a表示平行于平面yOz的平面、方程y=b表示平行于平面zOx的平面、方程z=c表示平行于平面xOy平面;
8、只要將 和 代入，即可證明空間向量的運算法則與平面向量一樣;
9、由空間向量基本定理可知，空間任一向量均可以由空間不共面的三個向量生成.任意不共面的三個向量 都可以構(gòu)成空間的一個基底，此定理是空間向量分解的基礎(chǔ)。
一、考點概要：
1、空間向量及其運算
(1)空間向量的基本知識：
①定義：空間向量的定義和平面向量一樣，那些具有大小和方向的量叫做向量，并且仍用有向線段表示空間向量，且方向相同、長度相等的有向線段表示相同向量或相等的向量。
②空間向量基本定理：
ⅰ定理：如果三個向量 不共面，那么對于空間任一向量 ，存在的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使 。且把 叫做空間的一個基底， 都叫基向量。
ⅱ正交基底：如果空間一個基底的三個基向量是兩兩相互垂直，那么這個基底叫正交基底。
ⅲ 單位正交基底：當(dāng)一個正交基底的三個基向量都是單位向量時，稱為單位正交基底，通常用 表示。
ⅳ 空間四點共面：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點，則對空間中任意一點P，都存在的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使 。
③共線向量(平行向量)：
ⅰ定義：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，記作 。
ⅱ規(guī)定：零向量與任意向量共線;
ⅲ共線向量定理：對空間任意兩個向量 平行的充要條件是：存在實數(shù)λ，使 。
④共面向量：
ⅰ定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量;空間的任意兩個向量都是共面向量。
ⅱ向量與平面平行：如果直線OA平行于平面或 在α內(nèi)，則說向量 平行于平面α，記作 。平行于同一平面的向量，也是共面向量。
ⅲ共面向量定理：如果兩個向量 、 不共線，則向量 與向量 、 共面的充要條件是：存在實數(shù)對x、y，使 。
ⅳ空間的三個向量共面的條件：當(dāng) 、 、 都是非零向量時，共面向量定理實際上也是 、 、 所在的三條直線共面的充要條件，但用于判定時，還需要證明其中一條直線上有一點在另兩條直線所確定的平面內(nèi)。
ⅴ共面向量定理的推論：空間一點P在平面MAB內(nèi)的充要條件是：存在有序?qū)崝?shù)對x、y，使得 ，或?qū)τ诳臻g任意一定點O，有 。
⑤空間兩向量的夾角：已知兩個非零向量 、 ，在空間任取一點O，作 ， (兩個向量的起點一定要相同)，則叫做向量 與 的夾角，記作 ，且 。
⑥兩個向量的數(shù)量積：
ⅰ定義：已知空間兩個非零向量 、 ，則 叫做向量 、 的數(shù)量積，記作 ，即： 。
ⅱ規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0。
ⅲ注意：兩個向量的數(shù)量積也叫向量 、 的點積(或內(nèi)積)，它的結(jié)果是一個實數(shù)，它等于兩向量的模與其夾角的余弦值。
ⅳ數(shù)量積的幾何意義： 叫做向量 在 方向上的投影(其中θ為向量 和 的夾角)。
即：數(shù)量積 等于向量 的模與向量 在 方向上的投影的乘積。
ⅴ基本性質(zhì)：
ⅵ運算律：
(2)空間向量的線性運算：
①定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運算如下：
②加法：
③減法：
④數(shù)乘向量：
⑤運算律：
ⅰ加法交換律：
ⅱ加法結(jié)合律：
ⅲ數(shù)乘分配律： 二、復(fù)習(xí)點睛：
1、立體幾何初步是側(cè)重于定性研究，而空間向量則側(cè)重于定量研究?？臻g向量的引入，為解決三維空間中圖形的位置關(guān)系與度量問題提供了一個十分有效的工具。
2、根據(jù)空間向量的基本定理，出現(xiàn)了用基向量解決立體幾何問題的向量法，建立空間直角坐標(biāo)系，形成了用空間坐標(biāo)研究空間圖形的坐標(biāo)法，它們的解答通常遵循“三步”：一化向量問題，二進行向量運算，三回到圖形問題。其實質(zhì)是數(shù)形結(jié)合思想與等價轉(zhuǎn)化思想的運用。
3、實數(shù)的運算與向量的運算既有聯(lián)系又有區(qū)別，向量的數(shù)量積滿足交換律和分配律，但不滿足結(jié)合律，因此在進行數(shù)量積相關(guān)運算的過程中不可以隨意組合。值得一提的是：完全平方公式和平方差公式仍然適用，數(shù)量積的運算在許多方面和多項式的運算如出一轍，尤其去括號就顯得更為突出，下面兩個公式較為常用，請務(wù)必記住并學(xué)會應(yīng)用： 。
2、空間向量的坐標(biāo)表示：
(1)空間直角坐標(biāo)系：
①空間直角坐標(biāo)系O-xyz，在空間選定一點O和一個單位正交基底 ，以點O為原點，分別以 的方向為正方向建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，點O叫做原點，向量 叫做坐標(biāo)向量，通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為xOy平面，yOz平面，zOx平面。
②右手直角坐標(biāo)系：右手握住z軸，當(dāng)右手的四指從正向x軸以90°角度轉(zhuǎn)向正向y軸時，大拇指的指向就是z軸的正向;
③構(gòu)成元素：點(原點)、線(x、y、z軸)、面(xOy平面，yOz平面，zOx平面);
④空間直角坐標(biāo)系的畫法：作空間直角坐標(biāo)系O-xyz時，一般使∠xOy=135°(或45°), ∠yOz=90°，z軸垂直于y軸，z軸、y軸的單位長度相同，x軸上的單位長度為y軸(或z軸)的一半;
(2)空間向量的坐標(biāo)表示：
①已知空間直角坐標(biāo)系和向量 ，且設(shè) 為坐標(biāo)向量(如圖)，
由空間向量基本定理知，存在的有序?qū)崝?shù)組 叫做向量在此直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作 。
②在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，對于空間任一點A，對應(yīng)一個向量 ，若 ，則有序數(shù)組(x，y，z)叫做點在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記為A(x，y，z)，其中x叫做點A的橫坐標(biāo)， y叫做點A的縱坐標(biāo)，z叫做點A的豎坐標(biāo)，寫點的坐標(biāo)時，三個坐標(biāo)間的順序不能變。
③空間任一點的坐標(biāo)的確定：過P分別作三個與坐標(biāo)平面平行的平面(或垂面)，分別交坐標(biāo)軸于A、B、C三點，│x│=│OA│，│y│=│OB│，│z│=│OC│，當(dāng) 與 的方向相同時，x>0，當(dāng) 與 的方向相反時，x<0，同理可確y、z(如圖)。
④規(guī)定：一切空間向量的起點都是坐標(biāo)系原點，于是，空間任意一個向量與它的終點坐標(biāo)一一對應(yīng)。
⑤一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo)。
設(shè) ， ，
則：
(3)空間向量的直角坐標(biāo)運算：
⑦空間兩點間距離： ;
⑧空間線段 的中點M(x，y，z)的坐標(biāo)： ;
⑨球面方程：
二、復(fù)習(xí)點睛：
4、過定點O，作三條互相垂直的數(shù)軸，它們都以O(shè)為原點且一般具有相同的長度單位。這三條軸分別叫做z軸(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸);統(tǒng)稱坐標(biāo)軸。通常把x軸和y軸配置在水平面上，而z軸則是鉛垂線;它們的正方向要符合右手規(guī)則，即以這樣的三條坐標(biāo)軸就組成了一個空間直角坐標(biāo)系，點O叫做坐標(biāo)原點。
5、空間直角坐標(biāo)系中的特殊點:
(1)點(原點)的坐標(biāo)：(0,0,0);
(2)線(坐標(biāo)軸)上的點的坐標(biāo)：x軸上的坐標(biāo)為(x,0,0)，y軸上的坐標(biāo)為(0,y,0)，z軸上的坐標(biāo)為(0,0,z);
(3)面(xOy平面、yOz平面、zOx平面)內(nèi)的點的坐標(biāo)：平面上的坐標(biāo)為(x,y,0)、平面上的坐標(biāo)為(0,y,z)、平面上的坐標(biāo)為(x,0,z)
6、要使向量 與z軸垂直，只要z=0即可。事實上，要使向量 與哪一個坐標(biāo)軸垂直，只要向量 的相應(yīng)坐標(biāo)為0即可。
7、空間直角坐標(biāo)系中，方程x=0表示yOz平面、方程y=0表示zOx平面、方程z=0表示xOy平面，方程x=a表示平行于平面yOz的平面、方程y=b表示平行于平面zOx的平面、方程z=c表示平行于平面xOy平面;
8、只要將 和 代入，即可證明空間向量的運算法則與平面向量一樣;
9、由空間向量基本定理可知，空間任一向量均可以由空間不共面的三個向量生成.任意不共面的三個向量 都可以構(gòu)成空間的一個基底，此定理是空間向量分解的基礎(chǔ)。