第二章 分組題
按照一定的限制條件把若干個(gè)元素分成兩組或多組的題稱為分組題。分組問題都是僅次于排列問題的第二大類型。分組問題就是把若干元素分成不同的組或從若干元素中選取出某些元素組合出不同的組，通過元素之間相容或不相容等約束條件來確定各組的成員。與排列不同的是，分組不講究元素之間的次序、隊(duì)列等問題，而只考慮何種組合才是可能的，何種組合是不可能的，每組中所包含的元素個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵所在。
一、兩分組
兩分組是分組題中最簡(jiǎn)單也是最常見的分組方式，它是把題目中所出現(xiàn)的元素分成兩組，且每個(gè)元素只能在一個(gè)組的分組方式。其解題思路為確定一組，求另一組中的元素。
習(xí)題五
條件表達(dá)：
(1)(JK)(J和K在同一隊(duì))
(2)K/N(K和N不在同一隊(duì))
(3)R＜P(不管R和P是否在同一隊(duì)，R都在P的前面跑)
(4)(MN)=Y(M和N都在Y這一隊(duì))
(5)J、M≠3(J和M都不跑第三圈)
(6)K、L=2(K和L都跑第二圈)
(7)O=4(O跑第四圈)
條件分析：
概據(jù)條件(2)和條件(4)可知K在X隊(duì)中；由條件(1)可知J也在X隊(duì)中；
X
JK
Y
MNL
根據(jù)條件(3)R＜P可知R不可能跑第四圈，P不可能跑第一圈，因?yàn)閮蓚€(gè)隊(duì)的第二圈已經(jīng)分別被K和L所占據(jù)，所以R只能跑第一和第三圈，而P只能跑第三和第四圈?？煞炙姆N情況進(jìn)行討論：(1)R在X隊(duì)中跑第一圈；(2)R在X隊(duì)中跑第三圈；(3)R在Y中跑第一圈；(4)R在Y中跑第三圈。若R在Y中跑第三圈時(shí)，P和O這兩個(gè)人都得跑第四圈，也就是P和O中至少要有一個(gè)人在Y隊(duì)中，但這是不可能的，因?yàn)榇藭r(shí)Y中已經(jīng)有L、M、N和R四個(gè)人，所以第四種情況是不存在的。前三種情況下每隊(duì)中各個(gè)運(yùn)動(dòng)員的占位情況如下表所示：
1
2
3
4
（1）
X
R
K
P
J
Y
M
L
N
O
（2）
X
J
K
R
P/O
Y
M
L
N
O/P
（3）
X
J
K
P
O
Y
R
L
N
M
（4）
X
K
O/P
不可能
Y
M N
L
R
P/O
二、多次分組
多次分組：元素出現(xiàn)的次數(shù)大于等于1次，且組的個(gè)數(shù)不定。此時(shí)考慮的是每個(gè)元素出現(xiàn)的次數(shù)和總次數(shù)。這類題目實(shí)際上是在考數(shù)目問題。
習(xí)題六
條件表達(dá)：
(1)J=H,S(表示J具有H和S兩種癥狀)
(2)J/K(表示J和K不具有相同的癥狀)
(3)(JL)≥1(表示J和L至少有一種相同的癥狀)
(4)L＞K(表示L的癥狀數(shù)比K的多)
(5)L/N(表示L和N不具有相同的癥狀)
(6)M＞J(表示M的癥狀數(shù)比J的多)
條件分析：
讀完題后我們發(fā)現(xiàn)本題是5個(gè)元素分成3組，且每個(gè)元素可出現(xiàn)多次的多次分組題?？疾榈闹攸c(diǎn)是每個(gè)元素出現(xiàn)的總次數(shù)。根據(jù)條件(1)和(2)可知K僅有1種癥狀F。根據(jù)條件（4）和(5)可知L具有2種癥狀，N具有1種癥狀，根據(jù)條件(1)和條件(6)可知M具有3種癥狀。5個(gè)元素出現(xiàn)的次數(shù)如下表所示：
疾病名
J
K
L
M
N
癥狀數(shù)
2
1
2
3
1
癥狀名
H S
F
H S F
由表格可知這5種疾病一共出現(xiàn)了9次。