第二章 數(shù)字推理
第一節(jié) 基本數(shù)列及其變式剖析及真題點撥
一、等差數(shù)列及其變式
等差數(shù)列是指相鄰兩數(shù)字之間的差值相等，整列數(shù)字是依次遞增、遞減或恒為常數(shù)的一組數(shù)字。等差數(shù)列中相鄰兩數(shù)字之差為公差，通常用字母d來表示，等差數(shù)列的通項公式為an＝a1＋(n－1)d(n為自然數(shù))。例如：2,4,6,8,10,12……
等差數(shù)列的特點是數(shù)列各項依次遞增或遞減，各項數(shù)字之間的變化幅度不大。二級等差數(shù)列：后一項減前一項所得的新數(shù)列是一個等差數(shù)列。多級等差數(shù)列：一個數(shù)列經(jīng)過兩次以上(包括兩次)的后項減前項的變化后，所得到的新數(shù)列是一個等差數(shù)列。等差數(shù)列是數(shù)字推理題目中最基礎(chǔ)的題型，也是解答數(shù)字推理題目的“第一切入角度”。所謂“第一切入角度”是指進行任何數(shù)字推理解題時都要首先想到等差數(shù)列及其變式，即從數(shù)與數(shù)之間差的關(guān)系進行推理。
例題1.(2007年中央第44題)
0,4,16,40,80，( )
A.160 B.128
C.136 D.140
【解析】此題考查三級等差數(shù)列。原數(shù)列的后一項減去前一項得到第一個新數(shù)列為4,12,24,40，新數(shù)列的后一項減去前一項得到第二個新數(shù)列為8,12,16，因此第二個新數(shù)列的下一項為20，第一個新數(shù)列的下一項為60，則未知項為80＋60＝140。故選D。
例題2.(2005年中央(一類)第33題)
1,10,31,70,133，( )
A.136 B.186
C.226 D.256
【解析】此題考查三級等差數(shù)列。原數(shù)列的第(n＋1)項減去第n項的值分別是9,21,39,63，此新數(shù)列的后一項減前一項的差分別是12,18,24，此數(shù)列是以6為公差的等差數(shù)列，則下一項應(yīng)為30，因此63的后一項為63＋30＝93，即原數(shù)列的未知項為133＋93＝226。故選C。
例題3.(2002年中央(A類)第3題)
2,5,11,20,32，( )
A.43 B.45
C.47 D.49
【解析】此題考查二級等差數(shù)列。第(n＋1)項減去第n項，可以得出一個新數(shù)列：3,6,9,12，這是一個以3為公差的等差數(shù)列，新數(shù)列的下個數(shù)字是12＋3＝15，因此，原數(shù)列的未知項為32＋15＝47。故選C。
例題4.(2007年江蘇省(A類)第4題)
1 200,200,40，( )，103
A.10 B.20
C.30 D.5
【解析】此題考查等差數(shù)列的變式。前項除以后項得出一個新數(shù)列6,5，(4)，(3)，則未知項應(yīng)為10。故選A。
例題5.(2008年北京市(應(yīng)屆)第5題)
1,8,20,42,79，( )
A.126 B.128
C.132 D.136
【解析】此題考查三級等差數(shù)列。8－1＝7,20－8＝12,42－20＝22,79－42＝37。再次做差12－7＝5,22－12＝10,37－22＝15，構(gòu)成公差為5的等差數(shù)列，下一項應(yīng)該為20，則未知項應(yīng)填20＋37＋79＝136。故選D。
例題6.(2007年浙江省第1題)
0.5,2，92，8，( )
A.12.5 B.272
C.1412 D.16
【解析】此題考查二級等差數(shù)列。后項減前項得新數(shù)列1.5，2.5，3.5，新數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，其后一項為4.5，即未知項為4.5＋8＝12.5。故選A。
例題7.(2004年福建省第10題)
34,56,78，( )
A.910 B.190
C.150 D.100
【解析】此題考查簡單的等差數(shù)列。這是一個公差為22的等差數(shù)列，即56－34＝22,78－56＝22，所以 ( )內(nèi)之?dāng)?shù)為78＋22＝100。故選D。
二、等比數(shù)列及其變式
等比數(shù)列是指相鄰兩數(shù)字之間的比為常數(shù)的數(shù)列，這個比值被稱為公比，用字母q來表示。等比數(shù)列的通項公式為an＝a1qn－1(q≠0，n為自然數(shù))。例如：5,10,20,40,80……
等比數(shù)列的概念構(gòu)建與等差數(shù)列的概念構(gòu)建基本一致，所以要對比學(xué)習(xí)與記憶。注意等比數(shù)列中不可能出現(xiàn)“0”這個常數(shù)，若數(shù)列中有“0”肯定不是等比數(shù)列。當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比是負(fù)數(shù)時，這個數(shù)列就會是正數(shù)與負(fù)數(shù)交替出現(xiàn)。
例題1.(2008年北京市(應(yīng)屆)第1題)
64,48,36,27，814，( )
A.976 B.12338
C.17912 D.24316
【解析】該數(shù)列是典型的等比數(shù)列，公比為34，因此其下一項應(yīng)該為814×34＝24316。故選D。
例題2.(2008年北京市(應(yīng)屆)第4題)
32,48,40,44,42，( )
A.43 B.45
C.47 D.49
【解析】該數(shù)列是等比數(shù)列的變式。前項減去后項得出一個新數(shù)列－16，8，－4,2，新數(shù)列是以－12為公比的等比數(shù)列，下一項為－1，則未知項應(yīng)為43。故選A。
例題3.(2007年江蘇省(A類)第2題)
5,13,37,109，( )
A.136 B.231
C.325 D.408
【解析】該數(shù)列是一個等比數(shù)列的變式，后項減去前項形成一個以3為公比的等比數(shù)列，該數(shù)列為8,24,72，其下一項為216，則未知項應(yīng)為109＋216＝325。故選C。
例題4.(2007年浙江省第7題)
36,24，( )，323，649
A.43127 B.1409
C.493 D.16
【解析】該數(shù)列是以23為公比的等比數(shù)列，未知項應(yīng)為24×23＝16。故選D。
例題5.(2007年河南省第31題)
2,8,32,128，( )
A.256 B.169
C.512 D.626
【解析】該數(shù)列是典型的等比數(shù)列，公比為4，其下一項應(yīng)為512。故選C。
例題6.(2007年黑龍江省(A類)第6題)
5，55，115，1155，( )
A.225 B.2255
C.1215 D.12155
【解析】該數(shù)列是典型的等比數(shù)列。公比為11，則未知項為1215。故選C。
三、和差數(shù)列及其變式
和差數(shù)列是指前兩項相加或者相減的結(jié)果等于下一項。和差數(shù)列的變式是指相鄰兩項相加或者相減的結(jié)果經(jīng)過變化之后得到下一項，這種變化可能是加、減、乘、除某一常數(shù)(如1、2、3、4、5等)；或者相鄰兩項相加之和(之差)與項數(shù)之間具有某種關(guān)系；或者其相鄰兩項相加(相減)得到某一等差數(shù)列、等比數(shù)列、平方數(shù)列、立方數(shù)列等形式。
例題1.(2008年中央第41題)
157,65,27,11,5，( )
A.4 B.3
C.2 D.1
【解析】該數(shù)列是和數(shù)列，但不是和數(shù)列的簡單形式。仔細(xì)觀察數(shù)字的變化可以看出此數(shù)列的規(guī)律為：an＝an＋1×2＋an＋2，代入式子中驗算正確后，即可用此式來計算未知項，即11＝5×2＋( )，未知項應(yīng)為1。故選D。
例題2.(2007年北京市(應(yīng)屆)第3題)
14,6,2,0，( )
A.－2 B.－1
C.0 D.1
【解析】該數(shù)列是一個和數(shù)列，但不是和數(shù)列的簡單形式，其數(shù)列變化規(guī)律為：14＝6×2＋2,6＝2×2＋2，那么0＝( )×2＋2，空缺處應(yīng)為－1。故選B。
例題3.(2007年浙江省第3題)
85,52，( ),19,14
A.28 B.33
C.37 D.41
【解析】該數(shù)列是典型的差數(shù)列。該數(shù)列規(guī)律為：前項減去后項等于第三項，85－52＝33,33－19＝14，即空缺項為33。故選B。
例題4.(2007年河南省第34題)
6,7,3,0,3,3,6,9，( )
A.5 B.6
C.7 D.8
【解析】該數(shù)列的規(guī)律為相鄰兩項的和的個位數(shù)字為后一項，6＋9＝15，個位數(shù)字是5。故選A。
例題5.(2007年山東省第41題)
44,52,59,73,83,94，( )
A.107 B.101
C.105 D.113
【解析】該數(shù)列規(guī)律為：44＋4＋4＝52,52＋5＋2＝59,59＋5＋9＝73,73＋7＋3＝83,83＋8＋3＝94,94＋9＋4＝( )＝107。故選A。
例題6.(2007年黑龍江省(A類)第7題)
25,15,10,5,5，( )
A.－5 B.0
C.5 D.10
【解析】該數(shù)列是差數(shù)列。前項減去后項等于第三項，未知項應(yīng)為0。故選B。
第一節(jié) 基本數(shù)列及其變式剖析及真題點撥
一、等差數(shù)列及其變式
等差數(shù)列是指相鄰兩數(shù)字之間的差值相等，整列數(shù)字是依次遞增、遞減或恒為常數(shù)的一組數(shù)字。等差數(shù)列中相鄰兩數(shù)字之差為公差，通常用字母d來表示，等差數(shù)列的通項公式為an＝a1＋(n－1)d(n為自然數(shù))。例如：2,4,6,8,10,12……
等差數(shù)列的特點是數(shù)列各項依次遞增或遞減，各項數(shù)字之間的變化幅度不大。二級等差數(shù)列：后一項減前一項所得的新數(shù)列是一個等差數(shù)列。多級等差數(shù)列：一個數(shù)列經(jīng)過兩次以上(包括兩次)的后項減前項的變化后，所得到的新數(shù)列是一個等差數(shù)列。等差數(shù)列是數(shù)字推理題目中最基礎(chǔ)的題型，也是解答數(shù)字推理題目的“第一切入角度”。所謂“第一切入角度”是指進行任何數(shù)字推理解題時都要首先想到等差數(shù)列及其變式，即從數(shù)與數(shù)之間差的關(guān)系進行推理。
例題1.(2007年中央第44題)
0,4,16,40,80，( )
A.160 B.128
C.136 D.140
【解析】此題考查三級等差數(shù)列。原數(shù)列的后一項減去前一項得到第一個新數(shù)列為4,12,24,40，新數(shù)列的后一項減去前一項得到第二個新數(shù)列為8,12,16，因此第二個新數(shù)列的下一項為20，第一個新數(shù)列的下一項為60，則未知項為80＋60＝140。故選D。
例題2.(2005年中央(一類)第33題)
1,10,31,70,133，( )
A.136 B.186
C.226 D.256
【解析】此題考查三級等差數(shù)列。原數(shù)列的第(n＋1)項減去第n項的值分別是9,21,39,63，此新數(shù)列的后一項減前一項的差分別是12,18,24，此數(shù)列是以6為公差的等差數(shù)列，則下一項應(yīng)為30，因此63的后一項為63＋30＝93，即原數(shù)列的未知項為133＋93＝226。故選C。
例題3.(2002年中央(A類)第3題)
2,5,11,20,32，( )
A.43 B.45
C.47 D.49
【解析】此題考查二級等差數(shù)列。第(n＋1)項減去第n項，可以得出一個新數(shù)列：3,6,9,12，這是一個以3為公差的等差數(shù)列，新數(shù)列的下個數(shù)字是12＋3＝15，因此，原數(shù)列的未知項為32＋15＝47。故選C。
例題4.(2007年江蘇省(A類)第4題)
1 200,200,40，( )，103
A.10 B.20
C.30 D.5
【解析】此題考查等差數(shù)列的變式。前項除以后項得出一個新數(shù)列6,5，(4)，(3)，則未知項應(yīng)為10。故選A。
例題5.(2008年北京市(應(yīng)屆)第5題)
1,8,20,42,79，( )
A.126 B.128
C.132 D.136
【解析】此題考查三級等差數(shù)列。8－1＝7,20－8＝12,42－20＝22,79－42＝37。再次做差12－7＝5,22－12＝10,37－22＝15，構(gòu)成公差為5的等差數(shù)列，下一項應(yīng)該為20，則未知項應(yīng)填20＋37＋79＝136。故選D。
例題6.(2007年浙江省第1題)
0.5,2，92，8，( )
A.12.5 B.272
C.1412 D.16
【解析】此題考查二級等差數(shù)列。后項減前項得新數(shù)列1.5，2.5，3.5，新數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，其后一項為4.5，即未知項為4.5＋8＝12.5。故選A。
例題7.(2004年福建省第10題)
34,56,78，( )
A.910 B.190
C.150 D.100
【解析】此題考查簡單的等差數(shù)列。這是一個公差為22的等差數(shù)列，即56－34＝22,78－56＝22，所以 ( )內(nèi)之?dāng)?shù)為78＋22＝100。故選D。
二、等比數(shù)列及其變式
等比數(shù)列是指相鄰兩數(shù)字之間的比為常數(shù)的數(shù)列，這個比值被稱為公比，用字母q來表示。等比數(shù)列的通項公式為an＝a1qn－1(q≠0，n為自然數(shù))。例如：5,10,20,40,80……
等比數(shù)列的概念構(gòu)建與等差數(shù)列的概念構(gòu)建基本一致，所以要對比學(xué)習(xí)與記憶。注意等比數(shù)列中不可能出現(xiàn)“0”這個常數(shù)，若數(shù)列中有“0”肯定不是等比數(shù)列。當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比是負(fù)數(shù)時，這個數(shù)列就會是正數(shù)與負(fù)數(shù)交替出現(xiàn)。
例題1.(2008年北京市(應(yīng)屆)第1題)
64,48,36,27，814，( )
A.976 B.12338
C.17912 D.24316
【解析】該數(shù)列是典型的等比數(shù)列，公比為34，因此其下一項應(yīng)該為814×34＝24316。故選D。
例題2.(2008年北京市(應(yīng)屆)第4題)
32,48,40,44,42，( )
A.43 B.45
C.47 D.49
【解析】該數(shù)列是等比數(shù)列的變式。前項減去后項得出一個新數(shù)列－16，8，－4,2，新數(shù)列是以－12為公比的等比數(shù)列，下一項為－1，則未知項應(yīng)為43。故選A。
例題3.(2007年江蘇省(A類)第2題)
5,13,37,109，( )
A.136 B.231
C.325 D.408
【解析】該數(shù)列是一個等比數(shù)列的變式，后項減去前項形成一個以3為公比的等比數(shù)列，該數(shù)列為8,24,72，其下一項為216，則未知項應(yīng)為109＋216＝325。故選C。
例題4.(2007年浙江省第7題)
36,24，( )，323，649
A.43127 B.1409
C.493 D.16
【解析】該數(shù)列是以23為公比的等比數(shù)列，未知項應(yīng)為24×23＝16。故選D。
例題5.(2007年河南省第31題)
2,8,32,128，( )
A.256 B.169
C.512 D.626
【解析】該數(shù)列是典型的等比數(shù)列，公比為4，其下一項應(yīng)為512。故選C。
例題6.(2007年黑龍江省(A類)第6題)
5，55，115，1155，( )
A.225 B.2255
C.1215 D.12155
【解析】該數(shù)列是典型的等比數(shù)列。公比為11，則未知項為1215。故選C。
三、和差數(shù)列及其變式
和差數(shù)列是指前兩項相加或者相減的結(jié)果等于下一項。和差數(shù)列的變式是指相鄰兩項相加或者相減的結(jié)果經(jīng)過變化之后得到下一項，這種變化可能是加、減、乘、除某一常數(shù)(如1、2、3、4、5等)；或者相鄰兩項相加之和(之差)與項數(shù)之間具有某種關(guān)系；或者其相鄰兩項相加(相減)得到某一等差數(shù)列、等比數(shù)列、平方數(shù)列、立方數(shù)列等形式。
例題1.(2008年中央第41題)
157,65,27,11,5，( )
A.4 B.3
C.2 D.1
【解析】該數(shù)列是和數(shù)列，但不是和數(shù)列的簡單形式。仔細(xì)觀察數(shù)字的變化可以看出此數(shù)列的規(guī)律為：an＝an＋1×2＋an＋2，代入式子中驗算正確后，即可用此式來計算未知項，即11＝5×2＋( )，未知項應(yīng)為1。故選D。
例題2.(2007年北京市(應(yīng)屆)第3題)
14,6,2,0，( )
A.－2 B.－1
C.0 D.1
【解析】該數(shù)列是一個和數(shù)列，但不是和數(shù)列的簡單形式，其數(shù)列變化規(guī)律為：14＝6×2＋2,6＝2×2＋2，那么0＝( )×2＋2，空缺處應(yīng)為－1。故選B。
例題3.(2007年浙江省第3題)
85,52，( ),19,14
A.28 B.33
C.37 D.41
【解析】該數(shù)列是典型的差數(shù)列。該數(shù)列規(guī)律為：前項減去后項等于第三項，85－52＝33,33－19＝14，即空缺項為33。故選B。
例題4.(2007年河南省第34題)
6,7,3,0,3,3,6,9，( )
A.5 B.6
C.7 D.8
【解析】該數(shù)列的規(guī)律為相鄰兩項的和的個位數(shù)字為后一項，6＋9＝15，個位數(shù)字是5。故選A。
例題5.(2007年山東省第41題)
44,52,59,73,83,94，( )
A.107 B.101
C.105 D.113
【解析】該數(shù)列規(guī)律為：44＋4＋4＝52,52＋5＋2＝59,59＋5＋9＝73,73＋7＋3＝83,83＋8＋3＝94,94＋9＋4＝( )＝107。故選A。
例題6.(2007年黑龍江省(A類)第7題)
25,15,10,5,5，( )
A.－5 B.0
C.5 D.10
【解析】該數(shù)列是差數(shù)列。前項減去后項等于第三項，未知項應(yīng)為0。故選B。