第三章 數(shù)學運算
第一節(jié) 算式題剖析及真題點撥
一、 利用“巧算法”
1.湊整法
湊整法一般包括以下三種：
加/減湊整法，通過交換運算次序，把可以通過加/減得到較整的數(shù)先進行運算的方法。
乘/除湊整法，通過交換運算次序，把可以通過乘/除法得到較整的數(shù)先進行運算的方法。
參照湊整法，將一個數(shù)看成與之接近的另外一個較整的數(shù)來計算，然后進行修正的方法。
湊整法不僅僅是一種“運算方法”，更重要的是一種“運算思想”，需要考生靈活應用并學會拓展。
例題1.(2002年中央(A類)第9題)
12.5×0.76×0.4×8×2.5的值是( )。
A.7.6 B.8
C.76 D.80
【解析】本題采用乘數(shù)湊整法。0.4×2.5＝1,8×12.5＝100，則原式＝100×0.76＝76。故選C。
例題2.(2002年中央(A類)第10題)
3×999＋8×99＋4×9＋8＋7的值是( )。
A.3 840 B.3 855
C.3 866 D.3 877
【解析】本題采用整數(shù)湊整法。此題可變形為3×(999＋1)－3＋8×(99＋1)－8＋4×(9＋1)－4＋8＋7，抵消后為3 000＋800＋40＝3 840。故選A。
例題3.(2003年黑龍江省第13題)
求4.18＋1.72＋0.82＋0.28的值。( )
A.7 B.8
C.9 D.10
【解析】這是道小數(shù)湊整題，原式＝(4.18＋0.82)＋(1.72＋0.28)，可先將4.18＋0.82＝5與1.72＋0.28＝2心算出來，然后再將5＋2＝7心算出來。故選A。
例題4.(2003年廣東省第10題)
求1999＋199＋19的值。( )
A.2 220 B.2 218
C.2 217 D.2 216
【解析】這是道整數(shù)湊整題。可將各項加1，使算式變成2 000＋200＋20＝2 220，再減去3后得到正確答案，即2 220－3＝2 217。故選C。
2.觀察尾數(shù)法
觀察尾數(shù)法是解答算式選擇題的一個重要方法，即當四個答案的尾數(shù)都不相同時，可采用觀察尾數(shù)法，最后選擇出正確答案。自然數(shù)n次方的尾數(shù)變化情況如下：
2n的尾數(shù)是以“4”為周期變化的，即21,25,29…24n＋1的尾數(shù)都是相同的
3n的尾數(shù)是以“4”為周期變化的，分別為3,9,7,1，…
4n的尾數(shù)是以“2”為周期變化的，分別為4,6，…
5n和6n的尾數(shù)不變
7n的尾數(shù)是以“4”為周期變化的，分別為7,9,3,1，…
8n的尾數(shù)是以“4”為周期變化的，分別為8,4,2,6，…
9n的尾數(shù)是以“2”為周期變化的，分別為9,1，…
例題1.(2007年浙江省第11題)
12007＋32007＋52007＋72007＋92007的值的個位數(shù)是( )。
A.5 B.6
C.8 D.9
【解析】此題采用尾數(shù)法。12007尾數(shù)為1,32007的尾數(shù)與33相同為7,52007尾數(shù)為5,72007尾數(shù)與73相同為3,92007尾數(shù)與93相同為9,1＋7＋5＋3＋9＝25，即個位數(shù)為5。故選A。
例題2.(2006年浙江省第31題)
92006的個位數(shù)是( )。
A.1 B.2
C.8 D.9
【解析】此題采用尾數(shù)法?？疾?的次冪變化周期規(guī)律，這些知識要記憶。9的奇數(shù)次方尾數(shù)為9，偶數(shù)次方尾數(shù)為1。故選A。
例題3.(2003年江蘇省第11題)
求12×13×14的值。( )
A.2 183 B.2 188
C.2 182 D.未給出
【解析】此題采用觀察尾數(shù)法。將2×3×4＝24，但前三個選項皆錯，所以是未給出正確答案，故只有選項D為正確選項。故選D。
例題4.(2005年中央(一類)第38題)
19991998的末位數(shù)字是( )。
A.1 B.3
C.7 D.9
【解析】這是一道比較復雜的觀察尾數(shù)題。此題只需求91998的末位數(shù)字即可。9的奇數(shù)次方的末位數(shù)為9,9的偶數(shù)次方的末位數(shù)為1，正確答案是1。故選A。
例題5.(2005年中央(二類)第38題)
173×173×173－162×162×162＝( )。
A.926 183 B.936 185
C.926 187 D.926 189
【解析】此題可用觀察尾數(shù)的方法。觀察四個選項可知不需計算出精確結果，只要能推知結果的個位數(shù)的值即可。173×173×173的值的個位數(shù)是7，而162×162×162的值的個位數(shù)是8，則兩者之差的值為9。故選D。
例題6.(2002年中央(A類)第11題，(B類)第15題)
(1.1)2＋(1.2)2＋(1.3)2＋(1.4)2的值是( )。
A.5.04 B.5.49
C.6.06 D.6.30
【解析】各選項小數(shù)點后第二位數(shù)均不相同，只需考慮尾數(shù)即可知道答案。由各項平方后最末一位數(shù)相加，即1＋4＋9＋6＝20，可知尾數(shù)是0，正確答案是6.30。故選D。
二、 利用公式法
常見的數(shù)學公式有：
第一類：乘法與因式分解
a2－b2＝(a＋b)(a－b)；
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；
(a－b)2＝a2－2ab＋b2；
a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)；
a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)；
ba(a＋b)＝1a－1a＋b
第二類：求和
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋…＋n＝n(n＋1)(n為自然數(shù))；
2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋…＋2n＝n(n＋1)(n為自然數(shù))；
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋…＋(2n－1)＝n2(n為自然數(shù))；
12＋22＋32＋42＋52＋62＋72＋82＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)6(n為自然數(shù))；
13＋23＋33＋43＋53＋63＋…＋n3＝n2(n＋1)24(n為自然數(shù))；
1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋5×6＋6×7＋…＋n(n＋1)＝n(n＋1)(n＋2)3(n為自然數(shù))；
等差數(shù)列求和公式：Sn＝na1＋n(n－1)2×d＝n(a1＋an)2(n為自然數(shù))；
等比數(shù)列求和公式：Sn＝na1(q＝1)(n為自然數(shù))；
Sn＝a1(1－qn)1－q(q≠1，an≠0)(n為自然數(shù))。
例題1.(2007年福建省第31題)
12－22＋32－42＋52－62＋……＋92－102＝( )。
A.－55 B.－45
C.45 D.55
【解析】本題考查平方差公式的運用。原式＝(1＋2)(1－2)＋(3＋4)(3－4)＋……＋(9＋10)(9－10)＝－(3＋7＋11…＋19)＝－(3＋19)×52＝－55。故選A。
例題2.(2005年江蘇省第11題)
12＋34＋78＋1516＋…(2100－1)2100＝( )。
A.99 B.98.8
C.97.6 D.95
【解析】本題可用等比數(shù)列求和公式，
原式＝1－12＋1－14＋1－18＋…＋1－12100
＝100－12＋14＋18＋…＋12100
＝100－12×1－121001－12
≈99
故選A。
例題3.(2004年山東省第15題)
782＋222＋2×78×22的值是( )。
A.10 000 B.1 000
C.1 500 D.20 000
【解析】本題可用公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，原式＝(78＋22)2＝10 000。故選A。
例題4.(2003年四川省第10題)
求1＋2＋3…98＋99＋100的和。( )
A.5 030 B.5 040
C.5 050 D.5 060
【解析】該題利用求等差數(shù)列之和的公式。和＝(首項＋末項)÷2×項數(shù)，項數(shù)＝(末項－首項)÷公差＋1。根據(jù)該公式，此題的項數(shù)是(100－1)÷1＋1＝99＋1＝100，該數(shù)列之和＝(1＋100)÷2×100＝5 050。故選C。
三、因式分解法
因式分解是進行復雜四則運算的基本方法，而公因數(shù)的選擇問題則是因式分解的關鍵。因式分解法以數(shù)字構造具有一定規(guī)律和特點為基礎(即數(shù)字可以變換成因式相乘的形式)，在進行“大數(shù)”的四則運算時要有“因式分解的意識”。
例題1.(2005年中央(二類)第36題)
2 004×(2.3×47＋2.4)÷(2.4×47－2.3)的值為( )。
A.2 003 B.2 004
C.2 005 D.2 006
【解析】此題考查對數(shù)字敏感度。利用因式分解原式可變形為原式＝2 004×(2.3×47＋2.4)÷(2.3×47＋4.7－2.3)＝2 004×(2.3×47＋2.4)÷(2.3×47＋2.4)＝2 004。故選B。
例題2.(2001年中央第6題)
1 235×6 788與1 234×6 789的差值是( )。
A.5 444 B.5 454
C.5 544 D.5 554
【解析】此題利用因式分解。即 ab＋ac＝a(b＋c)。原式＝1 235×6 788－1 234×6 788－1 234＝6 788×(1 235－1 234)－1 234＝6 788－1 234＝5 554。故選D。
例題3.(2004年江西省第13題)
求12×35＋12×45的值。( )
A.955 B.960
C.965 D.970
【解析】此題利用因式分解。即ab＋ac＝a(b＋c)。根據(jù)該公式，12×(35＋45)＝12×80＝960。故選B。
例題4.(2003年浙江省第15題)
如果Q＝3×5×8×242，則下列哪一項可能是整數(shù)？( )
A.45Q30 B.97Q31
C.125Q34 D.167Q47
【解析】此題是道因式分解題。所使用的解題方法是，將分母分解為被Q的因數(shù)所包含之數(shù)，抵消之后分母變成1了，該數(shù)當然就是整數(shù)了。請注意，此類題千萬不要計算其實際值，只要將分子、分母約分，使分母為1。根據(jù)該原理，此題的四個選項，B、C、D三選項的分母不能分解成與分子Q完全抵消或約分的因式。只有A選項的分母30可分解為3×5×2，與分子中的3×5抵消，而2與分子中的8約分后8變成4，而分母中的2變成1了，這樣整個分母就變成1了。故選A。
第一節(jié) 算式題剖析及真題點撥
一、 利用“巧算法”
1.湊整法
湊整法一般包括以下三種：
加/減湊整法，通過交換運算次序，把可以通過加/減得到較整的數(shù)先進行運算的方法。
乘/除湊整法，通過交換運算次序，把可以通過乘/除法得到較整的數(shù)先進行運算的方法。
參照湊整法，將一個數(shù)看成與之接近的另外一個較整的數(shù)來計算，然后進行修正的方法。
湊整法不僅僅是一種“運算方法”，更重要的是一種“運算思想”，需要考生靈活應用并學會拓展。
例題1.(2002年中央(A類)第9題)
12.5×0.76×0.4×8×2.5的值是( )。
A.7.6 B.8
C.76 D.80
【解析】本題采用乘數(shù)湊整法。0.4×2.5＝1,8×12.5＝100，則原式＝100×0.76＝76。故選C。
例題2.(2002年中央(A類)第10題)
3×999＋8×99＋4×9＋8＋7的值是( )。
A.3 840 B.3 855
C.3 866 D.3 877
【解析】本題采用整數(shù)湊整法。此題可變形為3×(999＋1)－3＋8×(99＋1)－8＋4×(9＋1)－4＋8＋7，抵消后為3 000＋800＋40＝3 840。故選A。
例題3.(2003年黑龍江省第13題)
求4.18＋1.72＋0.82＋0.28的值。( )
A.7 B.8
C.9 D.10
【解析】這是道小數(shù)湊整題，原式＝(4.18＋0.82)＋(1.72＋0.28)，可先將4.18＋0.82＝5與1.72＋0.28＝2心算出來，然后再將5＋2＝7心算出來。故選A。
例題4.(2003年廣東省第10題)
求1999＋199＋19的值。( )
A.2 220 B.2 218
C.2 217 D.2 216
【解析】這是道整數(shù)湊整題。可將各項加1，使算式變成2 000＋200＋20＝2 220，再減去3后得到正確答案，即2 220－3＝2 217。故選C。
2.觀察尾數(shù)法
觀察尾數(shù)法是解答算式選擇題的一個重要方法，即當四個答案的尾數(shù)都不相同時，可采用觀察尾數(shù)法，最后選擇出正確答案。自然數(shù)n次方的尾數(shù)變化情況如下：
2n的尾數(shù)是以“4”為周期變化的，即21,25,29…24n＋1的尾數(shù)都是相同的
3n的尾數(shù)是以“4”為周期變化的，分別為3,9,7,1，…
4n的尾數(shù)是以“2”為周期變化的，分別為4,6，…
5n和6n的尾數(shù)不變
7n的尾數(shù)是以“4”為周期變化的，分別為7,9,3,1，…
8n的尾數(shù)是以“4”為周期變化的，分別為8,4,2,6，…
9n的尾數(shù)是以“2”為周期變化的，分別為9,1，…
例題1.(2007年浙江省第11題)
12007＋32007＋52007＋72007＋92007的值的個位數(shù)是( )。
A.5 B.6
C.8 D.9
【解析】此題采用尾數(shù)法。12007尾數(shù)為1,32007的尾數(shù)與33相同為7,52007尾數(shù)為5,72007尾數(shù)與73相同為3,92007尾數(shù)與93相同為9,1＋7＋5＋3＋9＝25，即個位數(shù)為5。故選A。
例題2.(2006年浙江省第31題)
92006的個位數(shù)是( )。
A.1 B.2
C.8 D.9
【解析】此題采用尾數(shù)法?？疾?的次冪變化周期規(guī)律，這些知識要記憶。9的奇數(shù)次方尾數(shù)為9，偶數(shù)次方尾數(shù)為1。故選A。
例題3.(2003年江蘇省第11題)
求12×13×14的值。( )
A.2 183 B.2 188
C.2 182 D.未給出
【解析】此題采用觀察尾數(shù)法。將2×3×4＝24，但前三個選項皆錯，所以是未給出正確答案，故只有選項D為正確選項。故選D。
例題4.(2005年中央(一類)第38題)
19991998的末位數(shù)字是( )。
A.1 B.3
C.7 D.9
【解析】這是一道比較復雜的觀察尾數(shù)題。此題只需求91998的末位數(shù)字即可。9的奇數(shù)次方的末位數(shù)為9,9的偶數(shù)次方的末位數(shù)為1，正確答案是1。故選A。
例題5.(2005年中央(二類)第38題)
173×173×173－162×162×162＝( )。
A.926 183 B.936 185
C.926 187 D.926 189
【解析】此題可用觀察尾數(shù)的方法。觀察四個選項可知不需計算出精確結果，只要能推知結果的個位數(shù)的值即可。173×173×173的值的個位數(shù)是7，而162×162×162的值的個位數(shù)是8，則兩者之差的值為9。故選D。
例題6.(2002年中央(A類)第11題，(B類)第15題)
(1.1)2＋(1.2)2＋(1.3)2＋(1.4)2的值是( )。
A.5.04 B.5.49
C.6.06 D.6.30
【解析】各選項小數(shù)點后第二位數(shù)均不相同，只需考慮尾數(shù)即可知道答案。由各項平方后最末一位數(shù)相加，即1＋4＋9＋6＝20，可知尾數(shù)是0，正確答案是6.30。故選D。
二、 利用公式法
常見的數(shù)學公式有：
第一類：乘法與因式分解
a2－b2＝(a＋b)(a－b)；
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；
(a－b)2＝a2－2ab＋b2；
a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)；
a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)；
ba(a＋b)＝1a－1a＋b
第二類：求和
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋…＋n＝n(n＋1)(n為自然數(shù))；
2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋…＋2n＝n(n＋1)(n為自然數(shù))；
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋…＋(2n－1)＝n2(n為自然數(shù))；
12＋22＋32＋42＋52＋62＋72＋82＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)6(n為自然數(shù))；
13＋23＋33＋43＋53＋63＋…＋n3＝n2(n＋1)24(n為自然數(shù))；
1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋5×6＋6×7＋…＋n(n＋1)＝n(n＋1)(n＋2)3(n為自然數(shù))；
等差數(shù)列求和公式：Sn＝na1＋n(n－1)2×d＝n(a1＋an)2(n為自然數(shù))；
等比數(shù)列求和公式：Sn＝na1(q＝1)(n為自然數(shù))；
Sn＝a1(1－qn)1－q(q≠1，an≠0)(n為自然數(shù))。
例題1.(2007年福建省第31題)
12－22＋32－42＋52－62＋……＋92－102＝( )。
A.－55 B.－45
C.45 D.55
【解析】本題考查平方差公式的運用。原式＝(1＋2)(1－2)＋(3＋4)(3－4)＋……＋(9＋10)(9－10)＝－(3＋7＋11…＋19)＝－(3＋19)×52＝－55。故選A。
例題2.(2005年江蘇省第11題)
12＋34＋78＋1516＋…(2100－1)2100＝( )。
A.99 B.98.8
C.97.6 D.95
【解析】本題可用等比數(shù)列求和公式，
原式＝1－12＋1－14＋1－18＋…＋1－12100
＝100－12＋14＋18＋…＋12100
＝100－12×1－121001－12
≈99
故選A。
例題3.(2004年山東省第15題)
782＋222＋2×78×22的值是( )。
A.10 000 B.1 000
C.1 500 D.20 000
【解析】本題可用公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，原式＝(78＋22)2＝10 000。故選A。
例題4.(2003年四川省第10題)
求1＋2＋3…98＋99＋100的和。( )
A.5 030 B.5 040
C.5 050 D.5 060
【解析】該題利用求等差數(shù)列之和的公式。和＝(首項＋末項)÷2×項數(shù)，項數(shù)＝(末項－首項)÷公差＋1。根據(jù)該公式，此題的項數(shù)是(100－1)÷1＋1＝99＋1＝100，該數(shù)列之和＝(1＋100)÷2×100＝5 050。故選C。
三、因式分解法
因式分解是進行復雜四則運算的基本方法，而公因數(shù)的選擇問題則是因式分解的關鍵。因式分解法以數(shù)字構造具有一定規(guī)律和特點為基礎(即數(shù)字可以變換成因式相乘的形式)，在進行“大數(shù)”的四則運算時要有“因式分解的意識”。
例題1.(2005年中央(二類)第36題)
2 004×(2.3×47＋2.4)÷(2.4×47－2.3)的值為( )。
A.2 003 B.2 004
C.2 005 D.2 006
【解析】此題考查對數(shù)字敏感度。利用因式分解原式可變形為原式＝2 004×(2.3×47＋2.4)÷(2.3×47＋4.7－2.3)＝2 004×(2.3×47＋2.4)÷(2.3×47＋2.4)＝2 004。故選B。
例題2.(2001年中央第6題)
1 235×6 788與1 234×6 789的差值是( )。
A.5 444 B.5 454
C.5 544 D.5 554
【解析】此題利用因式分解。即 ab＋ac＝a(b＋c)。原式＝1 235×6 788－1 234×6 788－1 234＝6 788×(1 235－1 234)－1 234＝6 788－1 234＝5 554。故選D。
例題3.(2004年江西省第13題)
求12×35＋12×45的值。( )
A.955 B.960
C.965 D.970
【解析】此題利用因式分解。即ab＋ac＝a(b＋c)。根據(jù)該公式，12×(35＋45)＝12×80＝960。故選B。
例題4.(2003年浙江省第15題)
如果Q＝3×5×8×242，則下列哪一項可能是整數(shù)？( )
A.45Q30 B.97Q31
C.125Q34 D.167Q47
【解析】此題是道因式分解題。所使用的解題方法是，將分母分解為被Q的因數(shù)所包含之數(shù)，抵消之后分母變成1了，該數(shù)當然就是整數(shù)了。請注意，此類題千萬不要計算其實際值，只要將分子、分母約分，使分母為1。根據(jù)該原理，此題的四個選項，B、C、D三選項的分母不能分解成與分子Q完全抵消或約分的因式。只有A選項的分母30可分解為3×5×2，與分子中的3×5抵消，而2與分子中的8約分后8變成4，而分母中的2變成1了，這樣整個分母就變成1了。故選A。