李正元：我覺得從高數(shù)我也看到這些題目，今年的高數(shù)題目的難易程度應(yīng)該來說比去年略有點(diǎn)提高，比方說有四道解答題這里面一共有四道，第一道題是求具體的一個二元函數(shù)，在給定的有界閉區(qū)域上的大值和小值，這道是基本的題目，當(dāng)然以前考的并不多，但是這個題目算是基本的。第二道題我講的是計(jì)算題，是求的第二類曲面積分，是計(jì)算第二類在一個具體的曲面上的積分。曲面不封閉，可以添加輔助面，利用高斯公式或者直接計(jì)算都是可行的，這題屬于考試頻率比較高的一個題目，當(dāng)然題目不是非常簡單，應(yīng)該說不是一個很難的題，也是屬于考試頻率比較高的一個題目。第三個是一個證明題，在一定條件下證明兩個函數(shù)，在中間某一點(diǎn)，二階導(dǎo)數(shù)是相等的，這與證明不等式相比這個要比那個要難。當(dāng)然有一些方法，我們經(jīng)常還是用到了一些基本的方法，跟不等式的比較，這個證明應(yīng)該算是實(shí)際上要難些。因?yàn)樗吘挂幸恍┻壿嬎季S，特別是如何來證明，所謂一個函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)取值為零。第四道題是一個級數(shù)問題，可以說是一個某種意義上新的題型，給定一個冪級數(shù)，和函數(shù)滿足二階線性變系數(shù)方程，求這個和函數(shù)的表達(dá)式。這個在某種意義上跟以往考試來說有一種新的題型，大綱上雖然并不要求所謂二階線性方程的冪級數(shù)解法，這個大綱上是不要求的，它不是直接考這個題，而是告訴你這個滿足一個二階方程，你求導(dǎo)兩次后代進(jìn)去之后，比較系數(shù)就可得到所證的遞推公式。所以這個題型應(yīng)該相對來說是跟以往比較是新一點(diǎn)，所以這四個解答題比較而言，它的難度比去年要略為高點(diǎn)。我通過四道題的比較，兩道也是算是一個常見題型。第三道題型從題型本身，所謂證明函數(shù)的零點(diǎn)存在性這個問題是多見的，但是它的方法比較靈活。然后從選擇題里面也有一些題目，你是需要動一些腦子的，并不是一眼可以看出來的。現(xiàn)在有一些題目多需要動腦子，加以仔細(xì)分析，才能得到結(jié)論。
李永樂：線性代數(shù)，我想今年大的一個特點(diǎn)就是從數(shù)一到數(shù)四考題全一樣。往年的話，代數(shù)題雖然重復(fù)的題比較多，但是還是有一些題不一樣。今年是五道題全都一樣，數(shù)一數(shù)二數(shù)三數(shù)四，五道題完全一樣。這是一個新的情況。我想反映的就是在代數(shù)這兒要求是統(tǒng)一的。從難易度來看，我想跟06年大體持平，題目難易度大體持平。數(shù)二跟數(shù)四因?yàn)榭荚嚧缶V的變化，增加了一個二次型，今年考題里面反映出的就考了一個合同的概念。我想對數(shù)二跟數(shù)四考生來說，如果沒有上輔導(dǎo)班，或者自己沒有很好復(fù)習(xí)的話，可能這個題要出毛病。如果沒有很好復(fù)習(xí)這個題目會有困難。數(shù)一跟數(shù)三這種題往年都考過。兩個解答題，我想有一個解答題是跟往年的考題有些類似的地方，但是它進(jìn)行了變化，有一些新的知識點(diǎn)在里面。就是考兩個方程組公共解問題。這個公共解以往考過，但是我想今年這道考題還是有一些新的信息在里面。另外一道是代數(shù)里面重要的，就是特征值考的是實(shí)對稱矩陣特征值。要找出兩個相關(guān)聯(lián)矩陣特征值之間的相互聯(lián)系和轉(zhuǎn)換。這種思想方法我想在代數(shù)里面是基本的。從兩個解答題來看，我想出的還是比較有意思。如果同學(xué)很好復(fù)習(xí)的話，做這樣的題不應(yīng)當(dāng)有太大的困難。
李正元：我再補(bǔ)充一點(diǎn)，不僅代數(shù)如此，高等數(shù)學(xué)今年的趨向，比如像06年高數(shù)，數(shù)三數(shù)四基本一樣，不一樣的就是一個級數(shù)，數(shù)三沒有級數(shù)，今年這個證明題，數(shù)一數(shù)二數(shù)三數(shù)四全部都用上了，證明題全部都一樣的，只不過數(shù)一沒有分兩問，就是難度降一點(diǎn)，基本上算一樣。選擇填空也有相當(dāng)一部分是一樣的。就是一種看法了，也就是說高數(shù)之間它們的區(qū)別一個是多少的區(qū)別，例如，積分學(xué)數(shù)一要求就多得多。有同樣要求的地方難易程度題目可能是一樣的，區(qū)別應(yīng)該是以多少，而不是以共同要求的難易程度，就很難說到區(qū)別，大綱上有些地方只是強(qiáng)弱不一樣，實(shí)際上這就很難在題目上體現(xiàn)出來。大綱上就是所謂的了解，所謂的理解有的區(qū)別，這個在考試上只意味著頻率，并不意味著難度。
袁蔭棠：從整個試卷來看，各個題型的數(shù)種和次序今年都有變化，就是選擇題由往年8個變成10個，我覺得解答題的減少和選擇題的增加，是要加強(qiáng)對基本概念、基本方法、基本理論的要求，這方面基礎(chǔ)的東西要注意加強(qiáng)。另外就是從題目的題型來看，過去數(shù)三是兩個填空一個選擇，現(xiàn)在數(shù)三跟數(shù)一跟數(shù)四完全統(tǒng)一了。統(tǒng)一成兩個選擇，一個填空，而且數(shù)一、數(shù)三、數(shù)四的選擇題、填空題完全一樣，所以我同意剛才兩位老師說的，只要是考試大綱上的內(nèi)容，不管在文字上要求的程度有什么區(qū)別。比如了解這個知識，還是理解這個知識，是知道這個知識，還是要掌握這個知識，實(shí)際上只要有了這個內(nèi)容，那么作為數(shù)一、數(shù)三、數(shù)四這個概率的考試應(yīng)該是同樣的。因?yàn)樗}目完全一樣。再有一個分值也有變化。比如說概率的題，就是數(shù)三、數(shù)四的解答題從13分降到11分，那么數(shù)一得解答題從9分增加到11分，所以完全一樣了，所以解答題就沒有什么區(qū)別了，過去數(shù)一數(shù)三即使有相同的題，數(shù)一是兩問，數(shù)三是三問，現(xiàn)在要兩問都兩問，要一問都一問。那么從題目本身來看，我覺得今年概率難易程度跟去年差別不是很大，但是計(jì)算量比去年多一點(diǎn)。特別是積分的運(yùn)算，重積分做題要花比較多的時間，而且這個做錯的話，會直接影響到卷子的分?jǐn)?shù)，因?yàn)閿?shù)一和數(shù)三填空題和解答題里面幾乎都是用了積分的運(yùn)算。數(shù)一和數(shù)三，還有數(shù)四的選擇題有一個題就第一個題，就關(guān)于獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的那個題，那個題是過去經(jīng)?？嫉?，也是比較熟悉的題的，那個題大家應(yīng)該都會。那么第二個題出得特別好，考的X和Y的不相關(guān)，一般來說，不相關(guān)的話，并不等于獨(dú)立，但是只有對二維正態(tài)的時候X，Y不相關(guān)，才和X，Y獨(dú)立是等價的，如果這點(diǎn)要是知道的話，這個選擇題應(yīng)該很容易，否則這個題就不太好辦了，而且像這個題就考二維正態(tài)分布的性質(zhì)，這個題從題目給了這個條件的目的到底是要考我什么？所以一見到二維正態(tài)分布馬上就要想到有關(guān)它的一些性質(zhì)和知識。數(shù)一和數(shù)三這兩個大題都是涉及連續(xù)性隨機(jī)變量。那么從題型來看是屬于常見的題型，比如給了一個聯(lián)合分布，計(jì)算某一個事件相關(guān)的概率。再有就是給了一個二維隨機(jī)變量計(jì)算，這兩個隨機(jī)變量函數(shù)的分布，這都是過去的常見的題型。但是呢，同樣是常見的題型，那么怎么做可能就會直接影響到解題的時間。像23題的第二問，求X+Y的概率密度，數(shù)一的同學(xué)有可能比較熟悉，不獨(dú)立和的卷積公式，那么做起來可能比較快。如果用分布函數(shù)再求密度，這個積分可能就會花比較長的時間。24題也是一個常見題型，不過過去就是求點(diǎn)估計(jì)的題，一般考試考大似然估計(jì)考得比較多。那么這個考的是矩估計(jì)，也并不難，只要把矩和參數(shù)之間的關(guān)系求出來，應(yīng)該是不困難的，但就是計(jì)算量要比較大。數(shù)四的24題考的是離散型的兩個隨機(jī)變量函數(shù)的分布，這個題比較容易，是屬于基本知識，應(yīng)該說大部分同學(xué)應(yīng)該都會做。
李正元：今年第說解答題少了一道，改為兩道選擇，或者是選擇填空，我們事先根據(jù)他們樣卷解答題應(yīng)該少掉計(jì)算題的，現(xiàn)在考試結(jié)果確實(shí)是這樣的，證明題保留了，少掉的把一個大的計(jì)算題拆成兩個選擇，或者是選擇填空，這點(diǎn)我想在以后的證明題，仍然還會有。其實(shí)我的看法，把解答題少了，選擇題增加了對考試并不利。理由是因?yàn)橹灰墙獯痤}，我會做幾步，我肯定有分?jǐn)?shù)，比方說像剛才那個證明題，實(shí)際上我如果寫對一半還有一半的分?jǐn)?shù)，那么選擇題不會。哪怕會一點(diǎn)，會一部分但是結(jié)果錯了，一分沒有。只不過少解答題，多選擇題對改卷方便，但是對學(xué)生并不利，所以學(xué)生更要注意做選擇填空題，會做的一定要做對，會做，丟三落四，后少了一個符號，實(shí)際你會做卻一分沒有。
李正元：但是選擇題多了，考概念不會那么多，不好出，所以有很多是計(jì)算型的選擇題。
主持人：剛才已經(jīng)談到命題方面的變動了，那么今后這種數(shù)學(xué)考試，這種趨勢還會延續(xù)下去嗎？
李永樂：我想可能應(yīng)當(dāng)，同學(xué)一定要全面復(fù)習(xí)，實(shí)際上題量增多了，所以考點(diǎn)應(yīng)該是增加了。所以復(fù)習(xí)的過程一定要全面，不能有遺漏，再有一個可能要更加重視基本的概念，基本的方法，而且計(jì)算要準(zhǔn)確。選擇題考概念，選擇題也有計(jì)算型的選擇題，有一些基本計(jì)算，如果不熟練的話，那么做題就比較耽誤時間。
李正元：我想說這里面一個證明題，這也是一個解題應(yīng)該注意的一些技巧。也許可能你并不能完整寫出證明，但是可以寫出一部分，也可以得到分?jǐn)?shù)，比如這里面的19題。設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在（a、b）上連續(xù)，在（a、b）內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的大值。f（a）=g（b），證明：存在c（a，b），使得f（g）=g（x）。這個題目首先要知道它是證明所謂的零點(diǎn)的存在性，如果我們引進(jìn)一個函數(shù)，也就是把F（x），寫作f（X）-g（x），由條件知道F（a）=F（b）=0，要證明存在一點(diǎn)C屬于AB，那么（a，b），F(xiàn)在C點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)為零。要證明這個函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)是零，只要證明它的一階導(dǎo)數(shù)有兩個點(diǎn)相等，或者等于零也可以。要證明有兩個一階導(dǎo)數(shù)相等，因?yàn)檫@里已經(jīng)有兩個函數(shù)值相等了，F(xiàn)（a）=F（b）=0，我只要再證明一個函數(shù)值取值為零，這個問題就基本解決了，所以第一步就先歸結(jié)為證明存在一點(diǎn)屬于（a，b），F(xiàn)在這一點(diǎn)取值為零，現(xiàn)在有這三個點(diǎn)函數(shù)值是零了。能夠想到這一步，就有分?jǐn)?shù)了。如果說三點(diǎn)都是零，我們知道兩點(diǎn)之間一定有導(dǎo)數(shù)是零，那么就得到兩點(diǎn)導(dǎo)數(shù)是零，就可證明這中間有一點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)是零。證明存在這一點(diǎn)F是零，變成了這個題的一個關(guān)鍵，也就是一步一步把這個問題做一個轉(zhuǎn)換。這是我們的基本的一個想法，所以現(xiàn)在就變成了第一步，我們?nèi)绾巫C明有這一點(diǎn)，函數(shù)值是零，題目條件還沒有用上來。我們這里還有一個條件，f與g在（a，b）有相等的大值，圖3
就是第一步就是先證明這句話。（如圖3）數(shù)三、數(shù)四把這個題目分成兩步，第一步就是證明中間有一個零點(diǎn)，然后在這個基礎(chǔ)上，如果第一道題不會做，你利用第一道題證明第二道題，那么第二道題也應(yīng)該得分。數(shù)一沒有分成兩道題。數(shù)三、數(shù)四分成了兩道題，按照我這樣相當(dāng)于分成兩道題。假如第一道不會答，第二道可以用第一道的結(jié)果證明第二道題，就是有分?jǐn)?shù)。如果它沒分，如果分成兩步，第一步不會，這步會了同樣有分?jǐn)?shù)，所以自己做證明題的時候，一定要自己分析，要思路清楚，要分解成若干步驟，我覺得關(guān)鍵步驟在評分上都有分?jǐn)?shù)。這是做證明題一個重要的技巧，一個問題必須把它分成若干步驟。每一步都是關(guān)鍵的地方，如果都解決了，就全部證明完了。能解決一部分也有一部分的分?jǐn)?shù)?？荚?yán)锩孢@道題算是比較有難度的題目了。
主持人：李老師的分布解題思路可以給許多網(wǎng)友提供一下借鑒，那其他老師呢？
李永樂：我講一道選擇題吧，今年代數(shù)的選擇題有這樣一道題，給出的A和B兩個矩陣，要判斷這兩個矩陣，是不是合同，是不是相似。那么像這道題，主要是考察同學(xué)判斷相似和判斷合同的基本方法，要判斷相似的話，我想一個就是要用相似的必要條件來進(jìn)行排除。那么像這道考題的話，給出的這兩個矩陣不相似是很容易看出來的，因?yàn)锳和B這兩個矩陣，他們主對角線元素的和不相等。所以這樣兩個矩陣肯定是不相似的，所以這個不相似應(yīng)該很容易看出來。那么它們倆合同不合同呢？兩個矩陣合同不合同，就是要檢查它們的二次型的正負(fù)慣性指數(shù)，不是相同。那么要檢查二次型正慣性指數(shù)，和負(fù)慣性指數(shù)，我想應(yīng)當(dāng)有兩個基本的方法，一個方法就是用配方法，把二次型化成標(biāo)準(zhǔn)型，然后讀正慣性指數(shù)，和負(fù)慣性指數(shù)。另外一個方法就是求出它們的特征值。根據(jù)特征值正負(fù)的情況，來決定正負(fù)慣性指數(shù)，那么作為這道考題，矩陣A的特征值很容易求，我想大家具體求一下，這道題矩陣A的特征值應(yīng)當(dāng)是3、3、0。這樣表明矩陣A正慣性指數(shù)應(yīng)當(dāng)是2，負(fù)慣性指數(shù)應(yīng)當(dāng)是0。這和矩陣B二次型正慣性指數(shù)2，負(fù)慣性指數(shù)0是完全一樣的。既然是這樣的A和B這兩個正負(fù)慣性指數(shù)一定是相同的，所以對這道考題來說，正確的選項(xiàng)應(yīng)當(dāng)是B，合同但是不相似。
袁蔭棠：數(shù)一和數(shù)三的概率題，一共是五個題，四個題都涉及到連續(xù)性隨機(jī)變量，連續(xù)性隨機(jī)變量就涉及到積分的問題，多數(shù)情況下，如果我們遇到連續(xù)性隨機(jī)變量，需要求概率和積分的時候，好事先畫一個草圖，把草圖畫出來以后，那么就有利于幫助我們正確的來確定積分線，或者正確的計(jì)算相應(yīng)的概率。比如說第23題，設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=2-x-y，0小于x小于1，0小于y小于1。f（x，y）=0，其他，（1）求P（X大于2Y）。（2）求Z=X+Y的概率密度fz（z）（圖二）。這個題目是二維連續(xù)型隨機(jī)變量有關(guān)的題目，這第一問要求概率，求一個跟二維連續(xù)型隨機(jī)變量有關(guān)的概率，那么實(shí)際上就是在對這個聯(lián)合密度，在一個相應(yīng)的區(qū)域上的重積分。所以這樣我們必須把這個圖畫出來，這樣才好將二重積分畫成單積分，如圖，首先把X等于2Y這條線畫出來，那么X大于2Y就應(yīng)該是圖中陰影部分。所以第一問，這個概率就是PX大于2Y的這個概率，這個基本的辦法就是求概率在相應(yīng)熟慮上的積分，應(yīng)該是聯(lián)合密度XY，積分的區(qū)域，就是X大于2Y的這個區(qū)域，所以就是G，G這個區(qū)域是三個條件，一個是x要大于2y，同時還要有x在（0，1）之間，那么y也要在（0，1）之間，把重積分化成單積分，有這個圖就幫助我們正確的確定積分線。那么第二問仍然是個基本題，就是求兩個隨機(jī)變量函數(shù)的分布。兩個隨機(jī)變量的函數(shù)，考得比較多的就是兩個隨機(jī)變量的和，差，還有絕對值，大值、小值等等。還考過兩個隨機(jī)變量的乘積。那么兩個隨機(jī)變量和的分布，基本的方法是求隨機(jī)變量函數(shù)的分布函數(shù)。不管是一維隨機(jī)變量，還是二維隨機(jī)變量都應(yīng)該先求分布函數(shù)，也就是要計(jì)算這樣一個概率：F（z）=P（Z小于等于z）=P（X+Y小于等于z）。那么求這個分布函數(shù)，仍然是計(jì)算概率，就是計(jì)算X加Y小于等于Z這個概率，計(jì)算這個事件的概率，跟第一問是同樣的方法，要對聯(lián)合分布密度，在這個區(qū)域上進(jìn)行一個二重積分，然后再把它化成單積分，然后具體的去做。那么這個題要注意的是什么呢，要注意的就是這個積分在z的不同的取值范圍里面積分是不同的，要分段來做，Z在（0，1）之間，和Z在（1，2）之間這個積分的區(qū)域是不同的。如果是熟練的，準(zhǔn)確的能夠把積分算出來，那么這個題沒有什么方法上的難度。但是要花比較多的時間，但是我們除了基本的分布函數(shù)法以外，還有一個方法，對于兩個隨機(jī)變量函數(shù)之和，我們還有一個特殊的方法，就是卷積公式，大家比較熟悉的是兩個獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的卷積公式，不獨(dú)立和的卷積公式大家會運(yùn)用的話，這個和的密度的計(jì)算是很簡單的。但是要注意積分線正確的選取。直接求密度，這是公式，我先把公式寫出來，所以這個分?jǐn)?shù)肯定有，下面要把聯(lián)合密度，要換成具體的表達(dá)式，那么f（x，z-x）僅在某一個區(qū)域上不為零，所以要把f（x，z- x）要是換成具體的表達(dá)式的時候，對x的積分線不是負(fù)無窮到正無窮。這個時候要特別注意積分線的選擇，x，z-x都要在（0，1）內(nèi)，這個z應(yīng)該是x到1+x之間，這個時候要用卷積公式應(yīng)該再畫另外一個圖，如圖，這個區(qū)域應(yīng)該是平行四邊形，所以就要分段，當(dāng)z在（0，1）內(nèi)的時候，x應(yīng)該是從零積到z=x這條線，當(dāng)是z是（1，2）的時候，x應(yīng)該是z-1積到1，所以寫的時候要分段。后求出來的密度函數(shù)應(yīng)該是三段。如果把圖畫得準(zhǔn)確的話，那么對于幫助我們做題很有意的。另外選擇你自己熟悉的方法，正確率會提高，選擇比較簡便的方法，會節(jié)約你解題的時間。
李正元：對于08年考生首先要全面復(fù)習(xí)，掌握基本的概念，每年這個還是不變的，我想它考試的面還是比較寬的，知識面覆蓋還是比較寬的。今年的題沒有偏題，怪題。
袁蔭棠：堅(jiān)持基本概念，基本理論，基本方法，還有全面復(fù)習(xí)。另外今年沒考的并不等于以后不考，今年像概率，大數(shù)定率經(jīng)?？?，但是今年數(shù)四，定率是新增加的大綱，所以它都沒考。
李永樂：復(fù)習(xí)的過程一定不能浮躁，心態(tài)上一定要平和一點(diǎn)，復(fù)習(xí)的時候一定要認(rèn)認(rèn)真真，不能夠老惦記著投機(jī)取巧。這個時候?qū)靖拍钜埠茫痉椒ㄒ埠?，一定要重視。因?yàn)楝F(xiàn)在考試就按照考試大綱，題目是很基本的。所以千萬不要眼高手低，好像覺得每道題都會，要不就是復(fù)習(xí)的時候不認(rèn)真，另外我想復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)是一個慢工程，它不是一下子復(fù)習(xí)就可以復(fù)習(xí)好的。有些同學(xué)可能原來學(xué)習(xí)得不太好，再有一個考研的話，我想肯定比本科的學(xué)習(xí)的題目要難，不能夠以校內(nèi)的考題為標(biāo)準(zhǔn)，不能以校內(nèi)的考題難易度為標(biāo)準(zhǔn)來衡量自己準(zhǔn)備好沒有，要提高一部分，像08年同學(xué)一定要抓緊，因?yàn)楸热?1月份，12月份，總有同學(xué)好像很多東西還沒有復(fù)習(xí)，這本書也來不及看，那本書也來不及看，這個題也來不及，那個題也來不及，就反映動手動得比較晚，歷年的真題一定要做，要做基本題。另外08年還要注意做好歷年的真題。因?yàn)榭佳忻}有連貫性，盡管年年會有一點(diǎn)新的花樣，但是它的變化是在原來的基礎(chǔ)上。所以就是要重視這個，要重視基本的東西。
李永樂：線性代數(shù)，我想今年大的一個特點(diǎn)就是從數(shù)一到數(shù)四考題全一樣。往年的話，代數(shù)題雖然重復(fù)的題比較多，但是還是有一些題不一樣。今年是五道題全都一樣，數(shù)一數(shù)二數(shù)三數(shù)四，五道題完全一樣。這是一個新的情況。我想反映的就是在代數(shù)這兒要求是統(tǒng)一的。從難易度來看，我想跟06年大體持平，題目難易度大體持平。數(shù)二跟數(shù)四因?yàn)榭荚嚧缶V的變化，增加了一個二次型，今年考題里面反映出的就考了一個合同的概念。我想對數(shù)二跟數(shù)四考生來說，如果沒有上輔導(dǎo)班，或者自己沒有很好復(fù)習(xí)的話，可能這個題要出毛病。如果沒有很好復(fù)習(xí)這個題目會有困難。數(shù)一跟數(shù)三這種題往年都考過。兩個解答題，我想有一個解答題是跟往年的考題有些類似的地方，但是它進(jìn)行了變化，有一些新的知識點(diǎn)在里面。就是考兩個方程組公共解問題。這個公共解以往考過，但是我想今年這道考題還是有一些新的信息在里面。另外一道是代數(shù)里面重要的，就是特征值考的是實(shí)對稱矩陣特征值。要找出兩個相關(guān)聯(lián)矩陣特征值之間的相互聯(lián)系和轉(zhuǎn)換。這種思想方法我想在代數(shù)里面是基本的。從兩個解答題來看，我想出的還是比較有意思。如果同學(xué)很好復(fù)習(xí)的話，做這樣的題不應(yīng)當(dāng)有太大的困難。
李正元：我再補(bǔ)充一點(diǎn)，不僅代數(shù)如此，高等數(shù)學(xué)今年的趨向，比如像06年高數(shù)，數(shù)三數(shù)四基本一樣，不一樣的就是一個級數(shù)，數(shù)三沒有級數(shù)，今年這個證明題，數(shù)一數(shù)二數(shù)三數(shù)四全部都用上了，證明題全部都一樣的，只不過數(shù)一沒有分兩問，就是難度降一點(diǎn)，基本上算一樣。選擇填空也有相當(dāng)一部分是一樣的。就是一種看法了，也就是說高數(shù)之間它們的區(qū)別一個是多少的區(qū)別，例如，積分學(xué)數(shù)一要求就多得多。有同樣要求的地方難易程度題目可能是一樣的，區(qū)別應(yīng)該是以多少，而不是以共同要求的難易程度，就很難說到區(qū)別，大綱上有些地方只是強(qiáng)弱不一樣，實(shí)際上這就很難在題目上體現(xiàn)出來。大綱上就是所謂的了解，所謂的理解有的區(qū)別，這個在考試上只意味著頻率，并不意味著難度。
袁蔭棠：從整個試卷來看，各個題型的數(shù)種和次序今年都有變化，就是選擇題由往年8個變成10個，我覺得解答題的減少和選擇題的增加，是要加強(qiáng)對基本概念、基本方法、基本理論的要求，這方面基礎(chǔ)的東西要注意加強(qiáng)。另外就是從題目的題型來看，過去數(shù)三是兩個填空一個選擇，現(xiàn)在數(shù)三跟數(shù)一跟數(shù)四完全統(tǒng)一了。統(tǒng)一成兩個選擇，一個填空，而且數(shù)一、數(shù)三、數(shù)四的選擇題、填空題完全一樣，所以我同意剛才兩位老師說的，只要是考試大綱上的內(nèi)容，不管在文字上要求的程度有什么區(qū)別。比如了解這個知識，還是理解這個知識，是知道這個知識，還是要掌握這個知識，實(shí)際上只要有了這個內(nèi)容，那么作為數(shù)一、數(shù)三、數(shù)四這個概率的考試應(yīng)該是同樣的。因?yàn)樗}目完全一樣。再有一個分值也有變化。比如說概率的題，就是數(shù)三、數(shù)四的解答題從13分降到11分，那么數(shù)一得解答題從9分增加到11分，所以完全一樣了，所以解答題就沒有什么區(qū)別了，過去數(shù)一數(shù)三即使有相同的題，數(shù)一是兩問，數(shù)三是三問，現(xiàn)在要兩問都兩問，要一問都一問。那么從題目本身來看，我覺得今年概率難易程度跟去年差別不是很大，但是計(jì)算量比去年多一點(diǎn)。特別是積分的運(yùn)算，重積分做題要花比較多的時間，而且這個做錯的話，會直接影響到卷子的分?jǐn)?shù)，因?yàn)閿?shù)一和數(shù)三填空題和解答題里面幾乎都是用了積分的運(yùn)算。數(shù)一和數(shù)三，還有數(shù)四的選擇題有一個題就第一個題，就關(guān)于獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的那個題，那個題是過去經(jīng)?？嫉?，也是比較熟悉的題的，那個題大家應(yīng)該都會。那么第二個題出得特別好，考的X和Y的不相關(guān)，一般來說，不相關(guān)的話，并不等于獨(dú)立，但是只有對二維正態(tài)的時候X，Y不相關(guān)，才和X，Y獨(dú)立是等價的，如果這點(diǎn)要是知道的話，這個選擇題應(yīng)該很容易，否則這個題就不太好辦了，而且像這個題就考二維正態(tài)分布的性質(zhì)，這個題從題目給了這個條件的目的到底是要考我什么？所以一見到二維正態(tài)分布馬上就要想到有關(guān)它的一些性質(zhì)和知識。數(shù)一和數(shù)三這兩個大題都是涉及連續(xù)性隨機(jī)變量。那么從題型來看是屬于常見的題型，比如給了一個聯(lián)合分布，計(jì)算某一個事件相關(guān)的概率。再有就是給了一個二維隨機(jī)變量計(jì)算，這兩個隨機(jī)變量函數(shù)的分布，這都是過去的常見的題型。但是呢，同樣是常見的題型，那么怎么做可能就會直接影響到解題的時間。像23題的第二問，求X+Y的概率密度，數(shù)一的同學(xué)有可能比較熟悉，不獨(dú)立和的卷積公式，那么做起來可能比較快。如果用分布函數(shù)再求密度，這個積分可能就會花比較長的時間。24題也是一個常見題型，不過過去就是求點(diǎn)估計(jì)的題，一般考試考大似然估計(jì)考得比較多。那么這個考的是矩估計(jì)，也并不難，只要把矩和參數(shù)之間的關(guān)系求出來，應(yīng)該是不困難的，但就是計(jì)算量要比較大。數(shù)四的24題考的是離散型的兩個隨機(jī)變量函數(shù)的分布，這個題比較容易，是屬于基本知識，應(yīng)該說大部分同學(xué)應(yīng)該都會做。
李正元：今年第說解答題少了一道，改為兩道選擇，或者是選擇填空，我們事先根據(jù)他們樣卷解答題應(yīng)該少掉計(jì)算題的，現(xiàn)在考試結(jié)果確實(shí)是這樣的，證明題保留了，少掉的把一個大的計(jì)算題拆成兩個選擇，或者是選擇填空，這點(diǎn)我想在以后的證明題，仍然還會有。其實(shí)我的看法，把解答題少了，選擇題增加了對考試并不利。理由是因?yàn)橹灰墙獯痤}，我會做幾步，我肯定有分?jǐn)?shù)，比方說像剛才那個證明題，實(shí)際上我如果寫對一半還有一半的分?jǐn)?shù)，那么選擇題不會。哪怕會一點(diǎn)，會一部分但是結(jié)果錯了，一分沒有。只不過少解答題，多選擇題對改卷方便，但是對學(xué)生并不利，所以學(xué)生更要注意做選擇填空題，會做的一定要做對，會做，丟三落四，后少了一個符號，實(shí)際你會做卻一分沒有。
李正元：但是選擇題多了，考概念不會那么多，不好出，所以有很多是計(jì)算型的選擇題。
主持人：剛才已經(jīng)談到命題方面的變動了，那么今后這種數(shù)學(xué)考試，這種趨勢還會延續(xù)下去嗎？
李永樂：我想可能應(yīng)當(dāng)，同學(xué)一定要全面復(fù)習(xí)，實(shí)際上題量增多了，所以考點(diǎn)應(yīng)該是增加了。所以復(fù)習(xí)的過程一定要全面，不能有遺漏，再有一個可能要更加重視基本的概念，基本的方法，而且計(jì)算要準(zhǔn)確。選擇題考概念，選擇題也有計(jì)算型的選擇題，有一些基本計(jì)算，如果不熟練的話，那么做題就比較耽誤時間。
李正元：我想說這里面一個證明題，這也是一個解題應(yīng)該注意的一些技巧。也許可能你并不能完整寫出證明，但是可以寫出一部分，也可以得到分?jǐn)?shù)，比如這里面的19題。設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在（a、b）上連續(xù)，在（a、b）內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的大值。f（a）=g（b），證明：存在c（a，b），使得f（g）=g（x）。這個題目首先要知道它是證明所謂的零點(diǎn)的存在性，如果我們引進(jìn)一個函數(shù)，也就是把F（x），寫作f（X）-g（x），由條件知道F（a）=F（b）=0，要證明存在一點(diǎn)C屬于AB，那么（a，b），F(xiàn)在C點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)為零。要證明這個函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)是零，只要證明它的一階導(dǎo)數(shù)有兩個點(diǎn)相等，或者等于零也可以。要證明有兩個一階導(dǎo)數(shù)相等，因?yàn)檫@里已經(jīng)有兩個函數(shù)值相等了，F(xiàn)（a）=F（b）=0，我只要再證明一個函數(shù)值取值為零，這個問題就基本解決了，所以第一步就先歸結(jié)為證明存在一點(diǎn)屬于（a，b），F(xiàn)在這一點(diǎn)取值為零，現(xiàn)在有這三個點(diǎn)函數(shù)值是零了。能夠想到這一步，就有分?jǐn)?shù)了。如果說三點(diǎn)都是零，我們知道兩點(diǎn)之間一定有導(dǎo)數(shù)是零，那么就得到兩點(diǎn)導(dǎo)數(shù)是零，就可證明這中間有一點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)是零。證明存在這一點(diǎn)F是零，變成了這個題的一個關(guān)鍵，也就是一步一步把這個問題做一個轉(zhuǎn)換。這是我們的基本的一個想法，所以現(xiàn)在就變成了第一步，我們?nèi)绾巫C明有這一點(diǎn)，函數(shù)值是零，題目條件還沒有用上來。我們這里還有一個條件，f與g在（a，b）有相等的大值，圖3
就是第一步就是先證明這句話。（如圖3）數(shù)三、數(shù)四把這個題目分成兩步，第一步就是證明中間有一個零點(diǎn)，然后在這個基礎(chǔ)上，如果第一道題不會做，你利用第一道題證明第二道題，那么第二道題也應(yīng)該得分。數(shù)一沒有分成兩道題。數(shù)三、數(shù)四分成了兩道題，按照我這樣相當(dāng)于分成兩道題。假如第一道不會答，第二道可以用第一道的結(jié)果證明第二道題，就是有分?jǐn)?shù)。如果它沒分，如果分成兩步，第一步不會，這步會了同樣有分?jǐn)?shù)，所以自己做證明題的時候，一定要自己分析，要思路清楚，要分解成若干步驟，我覺得關(guān)鍵步驟在評分上都有分?jǐn)?shù)。這是做證明題一個重要的技巧，一個問題必須把它分成若干步驟。每一步都是關(guān)鍵的地方，如果都解決了，就全部證明完了。能解決一部分也有一部分的分?jǐn)?shù)?？荚?yán)锩孢@道題算是比較有難度的題目了。
主持人：李老師的分布解題思路可以給許多網(wǎng)友提供一下借鑒，那其他老師呢？
李永樂：我講一道選擇題吧，今年代數(shù)的選擇題有這樣一道題，給出的A和B兩個矩陣，要判斷這兩個矩陣，是不是合同，是不是相似。那么像這道題，主要是考察同學(xué)判斷相似和判斷合同的基本方法，要判斷相似的話，我想一個就是要用相似的必要條件來進(jìn)行排除。那么像這道考題的話，給出的這兩個矩陣不相似是很容易看出來的，因?yàn)锳和B這兩個矩陣，他們主對角線元素的和不相等。所以這樣兩個矩陣肯定是不相似的，所以這個不相似應(yīng)該很容易看出來。那么它們倆合同不合同呢？兩個矩陣合同不合同，就是要檢查它們的二次型的正負(fù)慣性指數(shù)，不是相同。那么要檢查二次型正慣性指數(shù)，和負(fù)慣性指數(shù)，我想應(yīng)當(dāng)有兩個基本的方法，一個方法就是用配方法，把二次型化成標(biāo)準(zhǔn)型，然后讀正慣性指數(shù)，和負(fù)慣性指數(shù)。另外一個方法就是求出它們的特征值。根據(jù)特征值正負(fù)的情況，來決定正負(fù)慣性指數(shù)，那么作為這道考題，矩陣A的特征值很容易求，我想大家具體求一下，這道題矩陣A的特征值應(yīng)當(dāng)是3、3、0。這樣表明矩陣A正慣性指數(shù)應(yīng)當(dāng)是2，負(fù)慣性指數(shù)應(yīng)當(dāng)是0。這和矩陣B二次型正慣性指數(shù)2，負(fù)慣性指數(shù)0是完全一樣的。既然是這樣的A和B這兩個正負(fù)慣性指數(shù)一定是相同的，所以對這道考題來說，正確的選項(xiàng)應(yīng)當(dāng)是B，合同但是不相似。
袁蔭棠：數(shù)一和數(shù)三的概率題，一共是五個題，四個題都涉及到連續(xù)性隨機(jī)變量，連續(xù)性隨機(jī)變量就涉及到積分的問題，多數(shù)情況下，如果我們遇到連續(xù)性隨機(jī)變量，需要求概率和積分的時候，好事先畫一個草圖，把草圖畫出來以后，那么就有利于幫助我們正確的來確定積分線，或者正確的計(jì)算相應(yīng)的概率。比如說第23題，設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=2-x-y，0小于x小于1，0小于y小于1。f（x，y）=0，其他，（1）求P（X大于2Y）。（2）求Z=X+Y的概率密度fz（z）（圖二）。這個題目是二維連續(xù)型隨機(jī)變量有關(guān)的題目，這第一問要求概率，求一個跟二維連續(xù)型隨機(jī)變量有關(guān)的概率，那么實(shí)際上就是在對這個聯(lián)合密度，在一個相應(yīng)的區(qū)域上的重積分。所以這樣我們必須把這個圖畫出來，這樣才好將二重積分畫成單積分，如圖，首先把X等于2Y這條線畫出來，那么X大于2Y就應(yīng)該是圖中陰影部分。所以第一問，這個概率就是PX大于2Y的這個概率，這個基本的辦法就是求概率在相應(yīng)熟慮上的積分，應(yīng)該是聯(lián)合密度XY，積分的區(qū)域，就是X大于2Y的這個區(qū)域，所以就是G，G這個區(qū)域是三個條件，一個是x要大于2y，同時還要有x在（0，1）之間，那么y也要在（0，1）之間，把重積分化成單積分，有這個圖就幫助我們正確的確定積分線。那么第二問仍然是個基本題，就是求兩個隨機(jī)變量函數(shù)的分布。兩個隨機(jī)變量的函數(shù)，考得比較多的就是兩個隨機(jī)變量的和，差，還有絕對值，大值、小值等等。還考過兩個隨機(jī)變量的乘積。那么兩個隨機(jī)變量和的分布，基本的方法是求隨機(jī)變量函數(shù)的分布函數(shù)。不管是一維隨機(jī)變量，還是二維隨機(jī)變量都應(yīng)該先求分布函數(shù)，也就是要計(jì)算這樣一個概率：F（z）=P（Z小于等于z）=P（X+Y小于等于z）。那么求這個分布函數(shù)，仍然是計(jì)算概率，就是計(jì)算X加Y小于等于Z這個概率，計(jì)算這個事件的概率，跟第一問是同樣的方法，要對聯(lián)合分布密度，在這個區(qū)域上進(jìn)行一個二重積分，然后再把它化成單積分，然后具體的去做。那么這個題要注意的是什么呢，要注意的就是這個積分在z的不同的取值范圍里面積分是不同的，要分段來做，Z在（0，1）之間，和Z在（1，2）之間這個積分的區(qū)域是不同的。如果是熟練的，準(zhǔn)確的能夠把積分算出來，那么這個題沒有什么方法上的難度。但是要花比較多的時間，但是我們除了基本的分布函數(shù)法以外，還有一個方法，對于兩個隨機(jī)變量函數(shù)之和，我們還有一個特殊的方法，就是卷積公式，大家比較熟悉的是兩個獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的卷積公式，不獨(dú)立和的卷積公式大家會運(yùn)用的話，這個和的密度的計(jì)算是很簡單的。但是要注意積分線正確的選取。直接求密度，這是公式，我先把公式寫出來，所以這個分?jǐn)?shù)肯定有，下面要把聯(lián)合密度，要換成具體的表達(dá)式，那么f（x，z-x）僅在某一個區(qū)域上不為零，所以要把f（x，z- x）要是換成具體的表達(dá)式的時候，對x的積分線不是負(fù)無窮到正無窮。這個時候要特別注意積分線的選擇，x，z-x都要在（0，1）內(nèi)，這個z應(yīng)該是x到1+x之間，這個時候要用卷積公式應(yīng)該再畫另外一個圖，如圖，這個區(qū)域應(yīng)該是平行四邊形，所以就要分段，當(dāng)z在（0，1）內(nèi)的時候，x應(yīng)該是從零積到z=x這條線，當(dāng)是z是（1，2）的時候，x應(yīng)該是z-1積到1，所以寫的時候要分段。后求出來的密度函數(shù)應(yīng)該是三段。如果把圖畫得準(zhǔn)確的話，那么對于幫助我們做題很有意的。另外選擇你自己熟悉的方法，正確率會提高，選擇比較簡便的方法，會節(jié)約你解題的時間。
李正元：對于08年考生首先要全面復(fù)習(xí)，掌握基本的概念，每年這個還是不變的，我想它考試的面還是比較寬的，知識面覆蓋還是比較寬的。今年的題沒有偏題，怪題。
袁蔭棠：堅(jiān)持基本概念，基本理論，基本方法，還有全面復(fù)習(xí)。另外今年沒考的并不等于以后不考，今年像概率，大數(shù)定率經(jīng)?？?，但是今年數(shù)四，定率是新增加的大綱，所以它都沒考。
李永樂：復(fù)習(xí)的過程一定不能浮躁，心態(tài)上一定要平和一點(diǎn)，復(fù)習(xí)的時候一定要認(rèn)認(rèn)真真，不能夠老惦記著投機(jī)取巧。這個時候?qū)靖拍钜埠茫痉椒ㄒ埠?，一定要重視。因?yàn)楝F(xiàn)在考試就按照考試大綱，題目是很基本的。所以千萬不要眼高手低，好像覺得每道題都會，要不就是復(fù)習(xí)的時候不認(rèn)真，另外我想復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)是一個慢工程，它不是一下子復(fù)習(xí)就可以復(fù)習(xí)好的。有些同學(xué)可能原來學(xué)習(xí)得不太好，再有一個考研的話，我想肯定比本科的學(xué)習(xí)的題目要難，不能夠以校內(nèi)的考題為標(biāo)準(zhǔn)，不能以校內(nèi)的考題難易度為標(biāo)準(zhǔn)來衡量自己準(zhǔn)備好沒有，要提高一部分，像08年同學(xué)一定要抓緊，因?yàn)楸热?1月份，12月份，總有同學(xué)好像很多東西還沒有復(fù)習(xí)，這本書也來不及看，那本書也來不及看，這個題也來不及，那個題也來不及，就反映動手動得比較晚，歷年的真題一定要做，要做基本題。另外08年還要注意做好歷年的真題。因?yàn)榭佳忻}有連貫性，盡管年年會有一點(diǎn)新的花樣，但是它的變化是在原來的基礎(chǔ)上。所以就是要重視這個，要重視基本的東西。