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高等數(shù)學課件 篇1
第二講(4課時)Ⅰ.授課題目（章節(jié)）
§1.2 數(shù)列的極限 §1.3 函數(shù)的極限 Ⅱ.教學目的與要求
1.理解數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念；明確極限是描述變量的變化趨勢；了解極限的??N,???,??X定義中的?,N,?,X的含義
2.理解極限的性質(zhì) Ⅲ.教學重點與難點：
重點：數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念 難點：極限的定義 Ⅳ.講授內(nèi)容：
§1.1數(shù)列極限的定義 一． 列極限的定義
定義：設?xn?為一數(shù)列，如果存在常數(shù)a，對于任意給定的正數(shù)?（不論它多么?。偞嬖谡麛?shù)N，使得n>N時,不等式xn?a??都成立,那么就常數(shù)a是數(shù)列?xn?的極限,或者稱數(shù)列?xn?收斂與a,記為limxnn???a或xn?a(n??).如果不存在這樣的常數(shù)a,就說數(shù)列?xn?沒有極限,或者說數(shù)列?xn?是 發(fā)散的,習慣上也說lim存在.143n?(?1)例1.證明數(shù)列2，，?,234nn?1xnn??不,?的極限是1.證:xn?a?1n1n1n?(?1)nn?1?1?1n,為了使xn?a小于任意給定的正數(shù)?,只要??或??.所以,??n?(?1)?1??0,取N???,則當n>N時,就有
n???n?1
n??例2.設q?1,證明等比數(shù)列1,q,q2,?,qn?1,?的極限是0.證:???0（設,??1),因為
xn?0?qn?1?0?qn?1,要使xn?0??,只要qn?1??取自
ln?lnq然對
???數(shù),得(n?1)lnq?ln?.因q?1,lnq?0,故n?1?,取N??1?ln???,則當n?N時,lnq??就有qn?1?0??,即limqn?1?0.n??
二． 斂數(shù)列的性質(zhì)
定理1（極限的唯一性）：如果?xn?收斂，則它的極限唯一
證明 用反證法.假設同時有xn?a及xn?b,且a?b.取??limxn?a,故?正整數(shù)N1,當n?N1時,不等式xn?a?n??a?b2.因為
b?a2都成立.同理,因為
b?a2limxn?b,故?正整數(shù)N2,當n?N2時,不等式xn?b?n??都成立.取N?max?N1,N2?(這式子表示N是N1和N2中較大的那個數(shù)),則當n?N時,(2)式及(3)式會同時成立.但由(2)式有xn?這矛盾證明了本定理的斷言.數(shù)列的有界性概念
a?b2,由(3)式有xn?a?b2，這是不可能的.定義：對于數(shù)列?xn?,如果存在著正數(shù)M ,使得對于一切xn都滿足不等式xn?M,則稱數(shù)列?xn?是有界的;如果這樣的正數(shù)M不存在,就說數(shù)列?xn?是無界的.定理2（收斂數(shù)列的有界性）如果?xn?收斂，則數(shù)列?xn?一定有界 定理3：（收斂數(shù)列的保號性）
如果limxn?a且a>0（或a0，當n>N時，都有xn>0（或xn
n??推論：如果?xn?從某項起有xn?0（或xn?0）且limxn?a,則a?0(或a?0)
n??子數(shù)列的概念：在數(shù)列?xn?中任意抽取無限多項并保持這些項在原數(shù)列?xn?中的先后次序,這樣得到的一個數(shù)列稱為原數(shù)列?xn?的子數(shù)列(或子列).設在數(shù)列?xn?中,第一次抽取xn,第二次在xn后抽取xn,第三次在xn后抽取
1122xn3???,這樣無休止地抽取下去,得到一個數(shù)列xn,xn,xn,?,這個數(shù)列?xn?就是
12k?xn?的一個子數(shù)列.定理4.（收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關系）
如果?xn?收斂于a，則它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也是a §1.3 函數(shù)的極限
一、函數(shù)極限的定義
1.自變量趨于有限值時函數(shù)的極限
定義1：設函數(shù)f(x)在點x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義.如果存在常數(shù)A,對于任意給定的正數(shù)?(不論它多么小),總存在正數(shù)?,使得當x滿足不等式0?x?x0??時,對應的函數(shù)值f(x)都滿足不等式f(x)?A??,那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當x?x0時的極限,記作limf(x)?A或f(x)?A(當x?x0).x?x0例1.證明limx?1x?12x?1?2
證明:這里,函數(shù)在點x=1是沒有定義的餓，但是函數(shù)當x?1是的極限存在或不存在與它并無關系.事實上,???0,不等式x?1x?12??約去非零因子x-1，就化為
x?1?2?x?1??，因此，只要取???，那么當0?x?1??時，就有
x?1x?12 ?2??
所以 limx?1x?12x?1?2 單側(cè)極限的概念：上述x?x0時函數(shù)f(x)的極限概念中，x是既從x0的左側(cè)也從x0的右側(cè)趨于x0的.但有時只能或只需考慮x僅從x0的左側(cè)趨于x0(記作x?x0)的情形,或x僅從x0的右側(cè)趨于x0(記作x?x0)的情形.在x?x0的情形,x在x0的左側(cè),x?x0.在limf(x)?A的定義中,把0?x?x0??改為x0???x?x0,那么x?x0???A就叫做函數(shù)f(x)當x?x0時的左極限,記作limf(x)?A或f(x0)?A.x?x0??類似的,在limf(x)?A的定義中,把0?x?x0??改為x0?x?x0??,那么A就x?x0叫做函數(shù)f(x)當x?x0時的右極限,記作limf(x)?A或f(x0)?A.x?x0??右極限與左極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限.解:仿例3可證當x?0時f(x)的左極限limf(x)?lim(x?1)??1
x?x0?x?0?而右極限limf(x)?lim(x?1)?1, x?x0?x?0?因為左極限和右極限存在但不相等,所以limf(x)不存在.x?0
2.自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限
定義2：設函數(shù)f(x)當x大于某一正數(shù)時有定義.如果存在常數(shù)A,對于任意給定的正數(shù)?(不論它多么小),總存在著正數(shù)X,使得當x滿足不等式x?X時,對應的函數(shù)值f(x)都滿足不等式f(x)?A??,那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當x??時的極限,記作limf(x)?A或f(x)?A（當x??）.x??定義2可簡單地表達為:limf(x)?A????0,?X?0,當x?X時有
x??f(x)?A??.例3:證明lim1xx???0.證：???0,要證?X?0，當x?X時，不等式1x1x?0??成立.因這個不等式相當于??或x?1?
由此可知,如果取X?1?,那么當x?X?1x1?時,不等式1x?0??成立.這就證明了limx???0.一． 數(shù)極限的性質(zhì)：
定理1（函數(shù)極限的唯一性）：如果limf(x)存在，則這極限必唯一
x?x0定理2（函數(shù)極限的局部有界性）:如果limf(x)?A,那么存在常數(shù)M>0和??0,x?x0使得當0?x?x0??時，有f（x）?M.證:因為limf(x)=A,所以取?=1,則???0,當0?x?x0??時,有x?x0f（x）?A?1?f(x)?f(x)?A?A?A?1, 記M?A?1,則定理2就獲證明.定理3（函數(shù)極限的局部保號性）:如果limf(x)?A,而且A?0(或A?0),那么存
x?x0在常數(shù)??0,使得當0?x?x0??時,有f(x)?（或0f（x）?0).如果limf(x)=A，而且A>0（或A0，使得當0?x?x0??時，x?x0有f(x)>0(或f(x)
x?x0A?0(或A?0), 定理4（函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系）
如果極限limf(x)存在，?xn?為函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意收斂于x0的數(shù)列，且滿x?x0足：xn?x(n?N?)，那么相應的函數(shù)列?f(xn)?必收斂，且limf(xn)?limf(x)
0n??x?x0Ⅴ.小結(jié)與提問：
小結(jié)：極限定義是本講的難點，必須結(jié)合極限的直觀描述和集合解釋弄懂其本質(zhì)。要逐步掌握放大法的技巧。提問：
思考題1：數(shù)列?xn?是否可以同時以A和B（A?B）為其極限？
思考題2：如果數(shù)列?xn?與i?xnj?為數(shù)列?xn?的兩個子列，nlimxni?A,limxnj?B且A?B，能否判定limxn不存在？
j??xj??n??思考題3：如果?x2n?和?x2n?1?都以A為極限，是否必定有l(wèi)imxn?A
n??Ⅵ.課外作業(yè)：
P30 2.3（2）（3）.4.5 P37 1（1）（4）2（1）3.4.6
設
高等數(shù)學課件 篇2
口訣1：函數(shù)概念五要素，定義關系最核心。
口訣2：分段函數(shù)分段點，左右運算要先行。
口訣3：變限積分是函數(shù)，遇到之后先求導。
口訣4：奇偶函數(shù)常遇到，對稱性質(zhì)不可忘。
口訣5：單調(diào)增加與減少，先算導數(shù)正與負。
口訣6：正反函數(shù)連續(xù)用，最后只留原變量。
口訣7：一步不行接力棒，最終處理見分曉。
口訣8：極限為零無窮小，乘有限仍無窮小。
口訣9：冪指函數(shù)最復雜，指數(shù)對數(shù)一起上。
口訣10：待定極限七類型，分層處理洛必達。
口訣11：數(shù)列極限洛必達，必須轉(zhuǎn)化連續(xù)型。
口訣12：數(shù)列極限逢絕境，轉(zhuǎn)化積分見光明。
口訣13：無窮大比無窮大，最高階項除上下。
口訣14：n項相加先合并，不行估計上下界。
口訣15：變量替換第一寶，由繁化簡常找它。
口訣16：遞推數(shù)列求極限，單調(diào)有界要先證，兩邊極限一起上，方程之中把值找。
口訣17：函數(shù)為零要論證，介值定理定乾坤。
口訣18：切線斜率是導數(shù)，法線斜率負倒數(shù)。
口訣19：可導可微互等價，它們都比連續(xù)強。
口訣20：有理函數(shù)要運算，最簡分式要先行。
口訣21：高次三角要運算，降次處理先開路。
口訣22;導數(shù)為零欲論證，羅爾定理負重任。
口訣23：函數(shù)之差化導數(shù)，拉氏定理顯神通。
口訣24：導數(shù)函數(shù)合(組合)為零，輔助函數(shù)用羅爾。
口訣25：尋找ξη無約束，柯西拉氏先后上。
口訣26：尋找ξη有約束，兩個區(qū)間用拉氏。
口訣27：端點、駐點、非導點，函數(shù)值中定最值。
口訣28：凸凹切線在上下，凸凹轉(zhuǎn)化在拐點。
口訣29：數(shù)字不等式難證，函數(shù)不等式先行。
口訣30：第一換元經(jīng)常用，微分公式要背透。
口訣31：第二換元去根號，規(guī)范模式可依靠。
口訣32：分部積分難變易，弄清u、v是關鍵。
口訣33：變限積分雙變量，先求偏導后求導。
口訣34：定積分化重積分，廣闊天地有作為。
口訣35：微分方程要規(guī)范，變換，求導，函數(shù)反。
口訣36：多元復合求偏導，鎖鏈公式不可忘。
口訣37：多元隱函求偏導，交叉偏導加負號。
口訣38：多重積分的計算，累次積分是關鍵。
口訣39：交換積分的順序，先要化為重積分。
口訣40：無窮級數(shù)不神秘，部分和后求極限。
口訣41：正項級數(shù)判別法，比較、比值和根值。
口訣42：冪級數(shù)求和有招，公式、等比、列方程。
高等數(shù)學課件 篇3
第一章
緒論
高等教育研究大致經(jīng)歷了個別研究階段、組織研究階段和系統(tǒng)研究階段。
第一節(jié)
高等教育發(fā)展簡況
一、成長中的高等教育
（一）高等教育的萌芽階段
古巴比倫的“寺廟學?！卑褜W問分成兩級，一為初級教育，傳授讀寫知識；二為高級教育，出讀寫訓練外，還有文法、蘇美爾文字等
古埃及也有“寺廟學?！?，由精通數(shù)學、天文知識的僧侶執(zhí)教，以傳授知識與探討學問并重。
雅典的教育得到了很大的發(fā)展。雅典大學：通常包括修辭學校、阿卡德米學園、哲學學?！皡慰税阂约八苟喔鹋蓜?chuàng)立的學校和伊壁鳩魯派創(chuàng)立的學校。
中國殷周時期，便有“右學”、辟雍、泮宮等高等次的學問傳授中心。奴隸社會想封建社會過渡的春秋戰(zhàn)國時期，出現(xiàn)了世界上第一所真正的高等學府——稷下學宮。
高等教育機構(gòu)性質(zhì)不明確，教育職能不確定，專業(yè)教育性質(zhì)模糊，學生年齡參差不齊。非正式的教學形式。
（二）高等教育的雛形階段
主要指形成與歐洲中世紀大學教育和中國漢代的太學及唐、宋的書院教育。行會組織是中世紀大學的內(nèi)部管理和學術(shù)活動組織的最重要影響力量。在中國漢代的太學為高等教育從萌芽走上雛形奠定了基礎。書院教育是高等教育從萌芽走向雛形的標志。中國書院為近現(xiàn)代的高等教育組織形式澆鑄了初始模型。
（三）高等教育的成型階段
始于文藝復興默契和資產(chǎn)階段革命初期。
英國人文主義教育家哥勒16世紀初創(chuàng)辦了圣保羅學校，成為新型文法學校的樣板。
（四）高等教育的完善階段
從單一走向多樣。1810年柏林大學首先突出了通過研究進行教學、教學與可言統(tǒng)一和獨立與自由統(tǒng)一的新型教育原則。
贈地學院。提出為教育服務社會。初級學院，研究生院在美國的誕生
二、擴張中的高等教育
（一）規(guī)?；ｑR丁·特羅三段論。精英、大眾和普及
（二）中心化
（三）綜合化?？茖W與人文結(jié)合
（四）國際化
（五）職業(yè)化
（六）終身化
（七）多元化 第二節(jié) 高等教育研究與高等教育學
我國漢代編撰的《禮記》、《大學》《學記》都有關大學教育的論述
一、個別研究階段。捷克教育家夸美紐斯的《大教學論》，英國紐曼的《大學的理想》，俄國皮洛戈夫的《大學問題》，美國哈帕的《高等教育的傾向》
二、組織研究階段。1880年法國的“高等教育研究會”。中國第一個正軌的高等教育科學研究機構(gòu)——廈門大學高等教育科學研究室成立。
三、系統(tǒng)研究階段。1984年1月國務院學位委員會批準夏大高教所為高等教育學專業(yè)的碩士點，顴骨哦第一個高等教育學專業(yè)碩士點。1986年7月夏大高教所又被批準為全部哦第一個高等教育學專業(yè)的博士點。
第三節(jié) 認識高等教育學
二、高等教育學的發(fā)展動因
（一）高等教育事業(yè)的發(fā)展推動著高等教育學的產(chǎn)生和成熟
（二）高等教育的內(nèi)部矛盾促使高等教育學的研究不斷升華
（三）相關學科的協(xié)同效應推動著高等教育學的發(fā)展
三、國內(nèi)高等教育學的學科體系
1984年潘懋元的《高等教育學》上下。全國第一套《高等教育學》被認為是該學科最早、影響較大的一本專著。
第四節(jié)
高等教育的研究方法
多學科研究法 文獻研究法 案例分析法 反思批判法 體悟總結(jié)法
第二章
高等教育本質(zhì) 第一節(jié)
教育與高等教育
高等教育功能：
1、高深學問選擇、傳遞和創(chuàng)造
高等教育基本功能的三個明顯特征： 穩(wěn)定性、潛在性和表現(xiàn)形式多樣性 第二節(jié) 國內(nèi)外高等教育結(jié)構(gòu)
二、我國高教育結(jié)構(gòu)的歷史與現(xiàn)狀
1、層次結(jié)構(gòu)。?？啤⒈究坪脱芯可?BR> 2、科類和專業(yè)結(jié)構(gòu)
3、形式結(jié)構(gòu)。全日制普通高等學校和成人高等學校。20世紀80年代的全國高等教育自學考試制度是我國高等教育的一大創(chuàng)舉。
4、地區(qū)結(jié)構(gòu)
我國高等教育結(jié)構(gòu)的調(diào)整策略
1、層次結(jié)構(gòu)調(diào)整：建設少數(shù)一流大學，大力發(fā)展職業(yè)教育
2、科類專業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整：實現(xiàn)科類結(jié)構(gòu)與產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)一致，大力推進學科專業(yè)綜合化
3、形式結(jié)構(gòu)調(diào)整：完善終身教育體系，形成多樣的投資結(jié)構(gòu)
4、地區(qū)結(jié)構(gòu)調(diào)整：加強西部地區(qū)高等學校的發(fā)展 高等教育功能的使命
1、培養(yǎng)人才。薩萊諾大學、波隆那大學、巴黎大學
2、發(fā)展科學。洪堡創(chuàng)辦的柏林大學。通過研究進行教育和教學與科研統(tǒng)一。
3、社會服務。林肯的莫里爾法案，求實精神注入大學辦學思想和實踐中。贈地學院。
威斯康星大學思想：把學生培養(yǎng)成有知識，能工作的公民，進行科學研究，發(fā)展新知識，新科技，傳播知識給廣大民眾，解決社會生產(chǎn)，生活中的問題。
高等學校的職能體系：
1、培養(yǎng)人才
2、發(fā)展科學
3、社會服務
4、職能的新發(fā)展。引導社會的職能、創(chuàng)造新職業(yè)的職能、國際合作的職能。
培養(yǎng)人才是高等學校的本體職能，發(fā)展知識是高等學校的附屬職能、服務社會是其附屬職能。
第五章 高等學校教師與學生
第一節(jié)，高等學校學生主體性發(fā)展的階段性
1、人的主體性 人本身的自然力，為主體所掌握并進入主體活動領域的知識和能力，對實現(xiàn)主體活動目的的起積極作用的情感和意志等要素有機結(jié)合而成的復雜整體，就是人的主體性。完整的主體性涵蓋四個方面：道德主體性、認知主體性、審美主體性、實踐主體性
2、大學生主體性發(fā)展的階段性
1、低年級：接受性學習階段為主階段
2、中年級：接受性學習向發(fā)展性學習的轉(zhuǎn)變期
3、、高年級：發(fā)展性學習為主階段
第二節(jié)：高等學校教師的素質(zhì)要求與角色特征
一、高等學校教師的素質(zhì)要求
1、文化素質(zhì)。專業(yè)知識、教育智慧
2、心理素質(zhì)。情感品質(zhì)、意志品質(zhì)、個性品質(zhì)
3、道德品質(zhì)。熱愛學生、為人師表、學而不厭、團結(jié)協(xié)作、4、能力結(jié)構(gòu)。教學能力、科研能力、組織能力
二、高等學校教師的角色特征 教師角色即教師行為
教師角色即教師的社會地位 教師角色即對教師的期望
1、大學生增長知識和完滿心靈的導師
2、大學生熱愛學習和終身發(fā)展的楷模
3、人類文化和社會生產(chǎn)力發(fā)展的推動者
第三節(jié) 高等學校教師與學生的關系
一、高等學校教師與學生關系現(xiàn)狀
1、以教師為主導和中心
2、師生關系比較淡漠
3、師生關系有些異化
二、教師與學生在教育過程中的不同關系理論
1、教師中心論與學生中心論
赫爾巴特為代表認為的教師中心論。強調(diào)教師在教育過程中的絕對支配地位。
盧梭、杜威等為代表的學生中心論。主張兒童身心發(fā)展規(guī)律為基礎，學生在教育、教學中處于支配地位，起決定作用。并認為學生的發(fā)展是一種主動過程，教師的作用只在于引導學生的學習興趣，以滿足學生的需要，而不是直接干預學生的學習。
2、主導——主體論與雙主體論
主導——主體論即教育過程中教師是主導，學生是主體，成為我國教育理論和實踐中流行的一種觀點。
3、教育主體的一體兩面性質(zhì)
教育過程是教師和學生共同參與的雙邊性活動。
三、創(chuàng)設高等學校良好師生關系
1、教育質(zhì)量的前提調(diào)動“一體兩面”的積極性
1、調(diào)動教師的積極性
2、調(diào)動學生的積極性
2、創(chuàng)設良好師生關系的途徑
1、民主與平等
2、交流與理解
3、自由與寬容
第六章 高等學校教育
第一節(jié) 高等學校學科、專業(yè)、課程與教學內(nèi)容
一、高等學校學科與專業(yè)
1、高等學校學科分類及特征
科學是進過或經(jīng)歷論證的知識，規(guī)范化的知識體系
學科是根據(jù)某科學領域里研究對象和性質(zhì)的差別來分門別類進行研究和學習的知識體系。
2、高等學校的專業(yè)設置 專業(yè)，廣義上是指知識的專門化領域，狹義上是指與培養(yǎng)人的活動相聯(lián)系的一種培養(yǎng)人才的基本單位。或是一種教育尸體。專業(yè)是根據(jù)學科分類和社會職業(yè)分工需要分門別類進行高深專門知識教與學活動的基本單位。
1、專業(yè)設置的影響因素
相應學科對專業(yè)設置的影響
經(jīng)濟與社會發(fā)展需要對專業(yè)設置的影響 個人自身發(fā)展需要對專業(yè)設置的影響
2、專業(yè)設置的原則
超前性原則
靈活性原則 可行性原則 結(jié)構(gòu)優(yōu)化原則 寬口徑原則 發(fā)展特色原則
二、高等學校課程設置的特點
1、高等學校課程能更深刻、更及時第反映出一個國家的教育信息和時代特征。
2、高等教育一直以培養(yǎng)高級專門人才，研究，探求高深學問為主要任務
3、高等教育是在青年人接受基礎教育的基礎上，在心理、身體發(fā)展趨向成熟時期所接受的更高級的專業(yè)教育。
三、高等學校的教學計劃與教學大綱
1、教學計劃及其修訂
課程體系結(jié)構(gòu)的方案，是國家為保證培養(yǎng)人才的規(guī)格而制定的關于學習的科目和范圍的文件。教學計劃規(guī)定教學科目、學科的順序、各門科學的教學時數(shù)、學年編制與學周的安排。
修訂：重點解決素質(zhì)教育尤其是文化素質(zhì)教育問題
重點解決課程內(nèi)容和體系的整合問題
重點解決可持續(xù)發(fā)展能力的培養(yǎng)問題
重點解決鼓勵學生個性發(fā)展問題
2、教學大綱及其編制
是一門課程的綱要結(jié)構(gòu)，是以綱要的形式規(guī)定有關科學內(nèi)容的指導性文件，它規(guī)定了各門學科的目的、任務、內(nèi)容、范圍、體系、教學進度，時間安排以及對教學方法的要求等。
教學大綱的編制原則：
1、符合教學計劃，體現(xiàn)培養(yǎng)目標
2、符合該學科在整個教學計劃中的地位和作用以及任務
3、高度的科學性、思想性和實踐性。
4、建立科學嚴密的體系
5、符合學生事跡，貫徹少而精的原則
6、文字精煉，語言明確。
四、高等學校教學內(nèi)容的選擇與組織
1、教學內(nèi)容與課程
p151 兩個不同的概念，但有著密切的聯(lián)系，課程：教學的內(nèi)容，安排，進程，時限，也包括大綱和教材，課程也不只是教學內(nèi)容，還有對內(nèi)容的安排、進程和時限等。
教學內(nèi)容：是學校教育過程的基本因素質(zhì)之一，是教學過程中教師的教與學生的學的雙邊活動的中介，學校的教學內(nèi)容是以教學計劃，教學大綱，教材或講義，活動安排等具體形式表現(xiàn)出來的知識、技能、價值觀念及行為。
2、選擇和組織教學內(nèi)容應遵循的原則
適時原則 完整原則
發(fā)展學生個性原則 寬口徑原則
調(diào)動教師積極性的原則
第二節(jié)
高等學校教學過程與教學原則
一、教育過程的概念
在教師有目的、有計劃的引導下，學生主動、積極地掌握知識技能、發(fā)展智能、形成思想政治道德品質(zhì)的過程，是教師的教和學生的學相結(jié)合的雙邊活動過程。
二、高等學校教學過程的特點
1、專業(yè)化程度逐步提高
2、學習主體性逐漸增強
3、教學與科研的緊密結(jié)合
4、教學與生產(chǎn)、生活聯(lián)系逐步增加
二、高等學校教學過程的規(guī)律
1、教學相長規(guī)律
2、教學與科研互動規(guī)律
3、教學的發(fā)展性規(guī)律
4、、教學的教育性規(guī)律
高等學校教學過程的組織與實施 教學過程三個典型環(huán)節(jié)：
1、備課
2、課堂教學
3、考核評定
三、高等學校教學原則及其體系
1、科學態(tài)度與人本精神有機統(tǒng)一的原則
2、師生互動合作與自覺制約有機統(tǒng)一的原則
3、科學穩(wěn)定性與適時更新性有機統(tǒng)一的原則
4、堅持廣泛開發(fā)、選擇與便利有效運用有機統(tǒng)一的原則
5、堅持直觀形象感知與邏輯實質(zhì)認知有機統(tǒng)一的原則
6、堅持專業(yè)化、定型化、常規(guī)化、開放化、變通化、靈活化有機統(tǒng)一的原則
7、全面教學質(zhì)量管理與突出關鍵環(huán)節(jié)有機統(tǒng)一的原則
第三節(jié)
高等學校教學方法與教學手段
高等學校教學方法及其特點 高扽各學校教學方法的特殊性：
1、又注重教法轉(zhuǎn)向注重學法
2、具有很強的探索性
歸納法、推理法、演繹法等邏輯抽想法
3、具有很強的專業(yè)針對性
二、高等學校教學方法的運用原則 教學有法，但無定法.6 1 教法與學法的統(tǒng)一 講習知識方法與訓練智能方法的統(tǒng)一
3、常規(guī)教學方法與現(xiàn)代化教學手段的統(tǒng)一。
三、高等學校教學方法舉隅 高校常用的教學方法有：
1）課堂教學方法，包括講授法、討論法、實驗法、練習法等
2）自習與自學指導的方法，包括讀書指導法，復習法，輔導等 3）現(xiàn)場教學的方法，包括觀察法，調(diào)查法，實習法等，4）科研訓練法。
1、發(fā)現(xiàn)教學法。布魯納的教育過程
1）確立學生興趣問題。2把問題分解成若干有聯(lián)系的提問。3）提出可能的答案。4）搜集和組織有感資料。5）鉆研和討論這些資料。6）證實結(jié)論
2、問題教學法
1）提出問題，創(chuàng)設情境
2）教師引導下，學生獨立活動
3）提出新問題
3、研討式教學法
第一階段
探索階段。1）確定研討課題
2）查閱資料
3）從已確定的課題或問題出發(fā)進行研究，調(diào)查，實驗，論證。4）撰寫研究報告
第二階段
報告討論階段。1）設立研討式教學的籌備小組。2）向全班宣告專題報告和分組討論的程序。3）進行小組專題報告和討論。4）各小組代表向研討全體做報告。5）教師或召集人進行總結(jié)。
4、掌握學習
5、學導式教學法
6、個性化教學
四、高等學校教學手段的發(fā)展
1、建立了現(xiàn)代化的數(shù)字圖書館校園
2、開發(fā)了適應新教學手段的教材體系
3、構(gòu)建了先進的教育網(wǎng)絡系統(tǒng)
第四節(jié)
高等學校教學設計與教學評價
一、高等學校教學設計的內(nèi)涵與基本程序
1、教學設計的內(nèi)涵
教育實踐工作者為達到一定的教學目標，對教學活動進行的系統(tǒng)規(guī)劃、安排與決策。
2、教學設計的基本程序
1）規(guī)定教學的預期目標，分析教學任務，預測教學結(jié)果 2）確定學生起點狀態(tài)，分析學生原知識結(jié)構(gòu)水平3）分析學生起點狀態(tài)和掌握知識的能力結(jié)構(gòu) 4）思考教學方法和手段 5）如何對教學結(jié)果評價 6）分析教材
二、高等學校教學設計的模式與內(nèi)容
1、模式
1）系統(tǒng)分析模式 2）目標模式 3）過程模式
2、內(nèi)容
高等學校教學設計的內(nèi)容包括：教學目標設計、教學起點設計、教學內(nèi)容設計、教學時間設計、教學措施設計、教學評價設計。
三、高等學校教學評價的內(nèi)涵與分類
1、教學評價的內(nèi)涵
在廣泛收集各種信息的基礎上對教學活動進行價值判斷，為教學決策提供依據(jù)，從而實現(xiàn)對教學活動的控制，以達到預期教學目標的過程。
2、教學評價的分類
1）按評價的對象。整體教學水平評價、專業(yè)教學質(zhì)量評價、課程評價、單項評價等 2）按評價主體分。自我評價、政府評價、中介機構(gòu)評價
3）按評價時間和作用分。診斷性評價、形成性評價、總結(jié)性評價 4）按評價基準分。相對評價和絕對評價
5）按評價的性質(zhì)分。需要評價、可行性評價和配量性評價。
四、高等學校教學評價的作用 1）管理作用 2）導向作用 3）鑒定作用 4）激勵作用 5）改進作用
第五節(jié)
教學風格及其形成途徑
一、教學風格及其意義
教學風格是指教師在長期教學藝術(shù)實踐中逐步形成的、富有成效的一貫的教學觀念，教學技巧和教學作風的獨特結(jié)合表現(xiàn)。是教學藝術(shù)個性化的穩(wěn)定狀態(tài)之標志
二、教學風格的基本特點 1）獨特性 2）多樣性 3）穩(wěn)定性 4)發(fā)展性
三、教學風格的形成途徑
1）學校領導更新教育觀念，發(fā)揚教學民主，鼓勵教師建立自己個人的教學風格 2）形成獨特的教學風格是每位教師應有的自覺追求。
培養(yǎng)樂教精神
掌握教育教學規(guī)律，教學基本功提升
注意揚長避短
定向發(fā)展
把繼承和發(fā)展，學習和創(chuàng)新結(jié)合起來
第六節(jié) 高等學校教學改革
一、高等學校教學改革的過程理論 1）自上而下的模式 2）自下而上的模式
二、高等學校教學改革的發(fā)展趨勢 1）教學改革國家化趨勢 2）學科綜合化趨勢增強 3）教學趨勢個性化 4）教學管理活性化 5）倡導自主性學習
6）圍繞培養(yǎng)創(chuàng)新人才展開 7）強調(diào)教學內(nèi)容的更新
三、高等學校教學改革的策略
1）更新教學觀念，樹立人格平等意識 2）依法治教，促進教學規(guī)范化 3）優(yōu)化教學內(nèi)容與課程體系 4）改進教學方法與手段 5)提高教師綜合素質(zhì) 6）改革教學管理
第七章
高等學?？茖W研究
第一節(jié)
高等學校科學研究的意義和任務
一、高等學校科學研究的意義
1、內(nèi)部意義 1）人才培養(yǎng)意義 2）教師隊伍建設意義 3）學科建設意義 4）經(jīng)費籌措意義
2、外部意義
1）提升國家的科技水平，繁榮學術(shù)文化 2）服務社會
3）解決國際學術(shù)難題
二、高等學?？茖W研究的任務 1）承擔國家的重大科研課題
2）進行經(jīng)濟社會發(fā)展中的重大理論和政策問題研究 3）以基礎研究為重點，積極開展應用研究和開發(fā)研究4）優(yōu)化資源配置，直接為經(jīng)濟社會發(fā)展服務
5）開展教育科研研究
第二節(jié)
高等學?？茖W研究的類型與課題申報
一、高等學校科研研究的類型
1、從課題來源分
自主性研究和立項課題研究
2、從課題性質(zhì)分
理論性研究。為了獲得關于現(xiàn)象和可觀察事實的基本原理的新知識而進行的實驗性或理論性的研究活動。
實踐性研究。為了獲得新的知識并服務于應用目的而進行的創(chuàng)造性的研究活動。
二、高等學校科學按就課題申報 1）科研選題
1、基礎研究選題主要以科學發(fā)展為導向，應用研究和技術(shù)開發(fā)的選題以市場需要為導向，基礎性應用研究選題以市場導向和科學發(fā)展導向相結(jié)合。
2、科研選題的方法。問題法、移植法、交叉法
3、科研選題的步驟。閱讀有關項目申報通知材料，閱讀文獻，研究項目意向的內(nèi)涵與外延以及相關因素。2）項目設計
申報項目命題。靈魂、核心、主題，研究的出發(fā)點和歸宿。
項目組成人員
合作單位選擇
項目研究基礎
項目立項依據(jù)
研究內(nèi)容，方法和手段
項目意見填寫
第三節(jié)
高等學?？蒲醒芯康脑瓌t與組織
1、教學與科研互促性原則
2、社會經(jīng)濟效益與學術(shù)水平相統(tǒng)一的原則
3、以應用研究、開發(fā)研究支撐基礎研究的原則
4、遵循項目指南與尊重自由選題相結(jié)合的原則
5、多層次，多模式相結(jié)合的原則
第八章
高等學校服務社會
第一節(jié)
高等學校服務社會的意義
一、對辦學方向的意義
二、對促進教學、科研的意義
三、對高等教育發(fā)展的意義
第二節(jié)
美國高等學校服務社會的借鑒
一、美國高等學校服務社會的兩種模式
1、美國都市大學
美國都市大學也稱合作大學，相互作用大學，始于20世紀中期，80年代末。其基本戰(zhàn)略是使學校與它所在的shequ 的企業(yè)界，公眾及政界的領導建立一種積極的、雙向作用的伙伴關系，為實現(xiàn)社區(qū)經(jīng)濟繁榮和社會公正的共同目標努力。
2、專業(yè)發(fā)展學校
20世紀80年代中期后形成的一種新型的教師培養(yǎng)模式。其核心是大學與基礎學校之間建構(gòu)性伙伴關系的建立與獲得，以及在教師pei樣過程中學院氣氛的淡化和實踐氛圍的濃厚。
二、美國高等學校服務社會對我國的啟示
1、大學做出象牙塔是歷史發(fā)展的必然結(jié)果
2、學術(shù)性與實用性的矛盾是服務社會過程中的首要難題
第三節(jié)
高等學校服務社會的內(nèi)容與管理
一、高等學校服務社會的內(nèi)容
1、教學服務。是高等學校為社會提供的直接服務中最簡單的一種，廈門大學潘懋元先生將教學服務定義為：教學服務，就是通過教學活動開展社會服務，面向社會傳播，推廣科學文化知識和新技術(shù)，不拘一格的培養(yǎng)各種應用性人才。
2、科研服務。指高校發(fā)揮自身的科研優(yōu)勢，為解決社會生產(chǎn)生活中出現(xiàn)的一些實際問提供直接支持，如進行基礎研究的應用性開發(fā)、參加國家或地區(qū)的聯(lián)合科研攻關項目或直接為企業(yè)或農(nóng)村提供科技咨詢等。
3、通過信息和設備資源共享為社會服務。高等學校作為社會的“信息庫”“思想庫”，同時也是地區(qū)的資源中心，集中了一個地區(qū)最先進的智力資源、信息資源、設備資源、人才資源等。
二、高等學校服務社會的管理
1、社會（政府）對高等學校服務社會的管理 1）政策支持
2）法律保障和約束 3）資金鼓勵
2、高等學校服務社會過程中的自我管理 1）強調(diào)校長的職業(yè)素質(zhì) 2）統(tǒng)籌安排服務活動
3）加強服務人員的隊伍建設 4）建立服務行為的激勵機制
第九章
高等學校管理
第一節(jié)
高等學校管理體制
一、高等學校的內(nèi)部決策與領導體制 體制是社會活動的組織方式，是指運用什么手段把構(gòu)成社會活動的各要素組織起來，使其正常運行。
1、高等學校內(nèi)部領導層的構(gòu)成 1）高等學校的校長。
高等學校的校長通常也是學校對外的法人代表，負有對高等學校全面管理的職責。
高等學校校長的產(chǎn)生和任命方式，因國家高等教育管理體制的不同而不同。
在規(guī)模較大的高等學校中，校長作為對全校工作的全面負責者，需要配社一定的助手 國際上不少大學校長的活動，重點在于學校辦學資金的籌集。2）高等學校的幾種決策權(quán)利機構(gòu)
董事會
理事會或校務委員會
學術(shù)委員會或?qū)W術(shù)評議會
2、高等學校的幾種決策模式
1）科層制模式。學校實際決策權(quán)利傾斜于學校行政管理人員。2）學術(shù)團體模式。決策權(quán)利傾向于學校學術(shù)人員。3）雙重組織模式
3、我國高等學校的內(nèi)部領導體制
1）建國以來我國高等學校領導體制的演變、1950-1956年的校長負責制
1956-1961年黨委領導下的校務委員會負責制
1961-1966年黨委領導下以校長為首的校務委員會負責制
1971-1976年的黨委“一元化”領導
1978-1985年黨委領導下的校長分工負責制
1985-1989年逐步實行校長負責制的試點
1989年至今黨委領導下的校長負責制
二、高等教育宏觀管理體制與運行機制
1、高等教育宏觀管理體制 1）政府干預為主的運作體制 2）以社會力量為主的運作體制 3）以高校自主辦學為主的運作體制
2、我國高等教育宏觀管理體制
1）我國高等教育宏觀管理體制的歷史沿革
2）我國高等教育宏觀管理體制改革的重點和趨勢
擴大省級部門對屬地高校的統(tǒng)籌權(quán)
鼓勵社會廣泛參與辦學
擴大高校辦學自主權(quán)
3、高等學校組織結(jié)構(gòu)與校內(nèi)管理機制 1）高等學校的組織結(jié)構(gòu)與系統(tǒng)特性
高等學校的組織結(jié)構(gòu)：從功能上劃分，分為決策領導結(jié)構(gòu)、職能管理部門、教學科研單位和有關附屬單位。
在管理層次上，有的分為校、系兩級，有的則認為校、院、系三級或校、系、教研室三級。
管理權(quán)力結(jié)構(gòu)上，高校采用直線—職能制的形式。2）高等學校的系統(tǒng)特性
組織結(jié)構(gòu)的學科性和國際性。內(nèi)部分工很大程度上是與一定的科學結(jié)構(gòu)相關的。
組織目標的多樣性和模糊性
組織成員活動的高智力性和相對獨立性
（二）我國高等學校內(nèi)部管理體制改革的內(nèi)容
1、內(nèi)部管理的中心宜放在院系一級
2、管理過程盡可能吸收教學、科研人員民主參與
3、建立適合高等學校特點的激勵機制
4、加強規(guī)章制度建設，建立有效的調(diào)控機制
第二節(jié)
高等學校管理系統(tǒng)的要素及特性
一、高等學校管理系統(tǒng)的要素
（一）管理主體
（二）管理客體
（三）管理方式
（四）管理目的
（五）管理環(huán)境
二、高等學校管理的特性
（一）管理組織的松散型
（二）管理權(quán)威的雙重性
（三）、管理結(jié)構(gòu)的多樣性
（四）管理準則、規(guī)范的矛盾性和含糊性
（五）管理主客體的相對性
三、高等學校管理的目標
第三節(jié)
高等學校管理的原則與內(nèi)容
一、高等學校管理的原則體系
（一）一般管理原則
1、系統(tǒng)原則
2、分工協(xié)作原則
3、反饋原則
4、能級原則
5、封閉原則
6、動態(tài)原則
7、激勵原則、8、彈性原則
（二）學校管理原則
1、方向性原則，2、教育性原則，3、民主性原則，4、效益性原則
（三）高等學校管理原則
1、入學機會均等與擇優(yōu)培養(yǎng)原則
2、學術(shù)自由與教育責任原則
3、學術(shù)自治與社會參與原則
二、高等學校管理的內(nèi)容
（一）人力資源管理
（二）教學管理
（三）科研管理
（四）財力和物力資源管理
第十章 高等學校教育制度 第一節(jié) 高等學校的學制
高等學校的學制是指各類各層次高等學校的系統(tǒng)，是國家整個學校教育制度的一個組成部分。
一、學制概述
指一個國家的各級各類學校的系統(tǒng)，包括：有哪些種類的學校，這些學校由誰來主辦和管理，學校的性質(zhì)和任務是什么，實際的入學條件，修業(yè)年限以及各級各類學校的關系如何等等。
（一）學制的建立受制于社會的生產(chǎn)力和科學技術(shù)的發(fā)展水平
（二）學制的建立受到社會政治制度的制約
（三）學制的建立須適應學習者的年齡特征和發(fā)展水平
二、國外高等學校學制概況
（一）、美國高等學校學制
美國的高等教育已成了三級結(jié)構(gòu)，第一級為兩年制初級學院，畢業(yè)后可獲得副學士學位；第二級為四年制綜合大學和各種專業(yè)學院，畢業(yè)后可獲得學士學位；第三級為研究生院和高級專業(yè)教育。研究生可在不同年限和水平上獲得碩士、博士學位。
（二）日本高等學校學制
1、短期大學
2、高等專門學校
3、本科大學
（三）法國高等學校學制
1、大學技術(shù)學院和高級技術(shù)員班
2、大學。綜合性大學。
3、大學校。屬長學制的高等職業(yè)教育機構(gòu)。
（四）、德國高等學校學制
1、職業(yè)學院和?？拼髮W
2、大學
（五）英國高等學校學制
三、我國高等學校學制結(jié)構(gòu)
高等學校學制結(jié)構(gòu)一般是指高等學校的形式結(jié)構(gòu)和層次結(jié)構(gòu)。形式結(jié)構(gòu)，有普通高等學校和成人高等學校。從層次結(jié)構(gòu)上，專科、本科和研究生。
（一）全日制高等學校
1、普通高等學校（1）高等專科學校（2）大學和專門學院（3）研究生院
2、職業(yè)高等學校
（二）成人高等學校
第二節(jié)
高等學校招生和畢業(yè)生就業(yè)指導制度
一、高等學校招生制度
是高等學校教育制度的重要組成部分，它規(guī)定著不同層次、不同類別的高等學校在人才選拔中所擁有的權(quán)限，人才選拔的標準、形式和范圍等。
（一）各國高等學校招生制度
1、統(tǒng)一的入學考試方式
2、有大學單獨組織入學考試的方式
3、統(tǒng)一考試和單獨考試的相結(jié)合的方式
4、直接從中學招生，不舉行考試
（二）我國高等學校的招生制度
1、招生手段上實行高中會考和統(tǒng)考相結(jié)合的制度
2、實行多渠道的招生制度。收費制度是指國家本著成本分擔的原則，由高等教育的受益者自己承擔部分培養(yǎng)費用，畢業(yè)生自主擇業(yè)。高等教育屬于非義務教育。
3、我國高校招生制度改革的方向
擴大高校和地方招生自主權(quán)
錄取時參考學生的綜合素質(zhì)
進一步完善高校招生收費制度，通過輔之以獎學金、貸學金、助學金和勤工儉學基金等制度，保證高校招生制度得以順利有效地實施
二、高等學校畢業(yè)生就業(yè)指導制度 計劃分配——雙向選擇——自主擇業(yè)
（二）高校畢業(yè)生就業(yè)制度的改革方向
1、規(guī)范畢業(yè)生就業(yè)市場，創(chuàng)造公平競爭的用人環(huán)境
2、明確政府在畢業(yè)生就業(yè)市場中的角色定位
宏觀調(diào)控者、市場引導著、人才需求規(guī)劃者和信息服務與咨詢者
3、發(fā)揮高校就業(yè)指導的主渠道作用。
合理設置專業(yè)、適應社會需求，強化職業(yè)技能培養(yǎng)
積極采取相應措施
建立全國畢業(yè)生就業(yè)信息網(wǎng)，加強就業(yè)信息的收集和發(fā)布，為畢業(yè)生就業(yè)創(chuàng)造更好的條件。
5、畢業(yè)生樹立正確的就業(yè)觀念，做好充分的職業(yè)準備。
第十一章
高等學校建設
第一節(jié)
高等學校教師隊伍建設
一、高等學校需要合理的教師隊伍結(jié)構(gòu)
（一）切合實際的職稱結(jié)構(gòu)
（二）多樣動態(tài)的專業(yè)結(jié)構(gòu)
（三）充滿活力的年齡結(jié)構(gòu)
（四）不斷優(yōu)化的學歷結(jié)構(gòu)
（五）多元互補的學源結(jié)構(gòu)
（六）凝聚人心的團粒結(jié)構(gòu)
二、教師聘任制和資格制度
（一）教師聘任制。按照教授、副教授、講師、助教的職稱來聘任教師。所謂完全意義上的聘任制，就是要使教師和學校雙方變?nèi)松栏疥P系為平等的合同管理。
（二）教師資格制度
1、教師資格制度的性質(zhì)及其與教師聘任的關系問題。教師資格制度的本質(zhì)是國家實行的一種法定的教師職業(yè)許可制度，是公民獲得教師崗位的前提條件，教師資格知識教師聘任的必要條件，而不是充分條件，具有教師資格的人能否被安排擔任教師工作還要受教師編制】教師隊伍年齡、學科、學科、地區(qū)分布、職務等方面結(jié)構(gòu)和個人實際水平及特長等方面職業(yè)
三、確立三大理念：改善教師隊伍結(jié)構(gòu)的前提 確立教師為本的辦學觀，堅定教師的主體地位 立海納百川的師聘觀，廣延國內(nèi)外名師 確立中西交融的師培觀，提高隊伍整體素質(zhì)
第二節(jié) 高等學校學科、專業(yè)和課程建設
高等學校的學科建設和師資建設聯(lián)系起來構(gòu)成了高等學校建設的中心問題。學科建設抓喲是從科學和學術(shù)意義上說的，專業(yè)建設是從教學學意義上說的。課程建設包括課程結(jié)構(gòu)，單門課程建設。
一、學科建設在人才培養(yǎng)中的意義
（一）學科建設是人才培養(yǎng)的基礎
（二）學科建設對人才培養(yǎng)模式產(chǎn)生直接影響
（三）人才培養(yǎng)的質(zhì)量取決于學校學科發(fā)展的水平
二、學科、專業(yè)建設方略
（一）合理規(guī)劃，確立學科建設的定位和目標
（二）理順學科體系，優(yōu)化學科結(jié)構(gòu)
（三）重視學術(shù)梯隊建設
（四）加強與外界的交流和合作
三、高等學校課程建設的內(nèi)容及其評價
（一）課程建設的內(nèi)容
優(yōu)化課程體系，更新課程內(nèi)容
改革教學方法和教學手段
重視課程管理
（二）課程建設的評價
課程建設評價的過程（自由評、院系評、校評和整改）
課程建設評價指標。課程改革、教學條件、師資水平、教學效果、教學職責 課程建設評價的原則
課程建設評價要處理好的幾個問題（硬件與軟件建設的不同特性；學生參與課程建設評價問題；校際之間差距）
第三節(jié)
高等學校教學基礎建設
一、高等學校文獻信息資源建設
（一）傳統(tǒng)文獻信息資源建設
（二）電子文獻信息資源建設
（三）共享也是一種建設
二、高等學校教學、試驗裝備建設、（一）合理規(guī)劃是教學、試驗裝備建設的基礎
（二）強化項目管理是教學、時間裝備建設的關鍵
（三）建立靈活的投資機制是教學，試驗裝備建設的保障
（四）健全管理制度是教學、試驗裝備建設的保障
三、高等學校教育、實習基地建設
（一）教育、實習基地的功能
提供理論聯(lián)系實際的場所
激發(fā)學生的創(chuàng)新思維、培養(yǎng)創(chuàng)造新能力的練兵場
學生職業(yè)道德和個性品質(zhì)的養(yǎng)成所
溝通學校與社會的橋梁
（三）教育、實習基地的建立與管理
第四節(jié)
高等學校校園文化建設
一、校園文化的涵義及意義、是指高校校園區(qū)域中，由廣大師生員工在教育、教學、管理、服務等活動中創(chuàng)造形成的一切物質(zhì)形態(tài)、精神財富及其創(chuàng)造形成過程。
物質(zhì)文化層
觀念文化層
制度文化層、方式文化層
二、校園文化的意義
1、校園文化輻射社會精神文明
2、校園文化養(yǎng)成大學生素質(zhì)
3、校園文化奠基教育現(xiàn)代化
二、校園文化的特征及功能
1、認同與超越
2、交融與批判
3、吸收與輻射
4、教育與自我教育
5、對外的獨特性與對內(nèi)的一致性
校園文化的功能：
1、導向目標；
2、啟迪智慧；
3、塑造人格；
4、規(guī)范行為
三、校園文化建設的內(nèi)容及途徑
（一）共創(chuàng)校園精神
（二）發(fā)展智能結(jié)構(gòu)
（三）培養(yǎng)健全人格
（四）豐富業(yè)余生活
第十二章
高等教育發(fā)展
第一節(jié)
高等教育發(fā)展的內(nèi)涵
一、高等教育的全面發(fā)展
一方面是指高等教育應積極主動地適應經(jīng)濟與社會發(fā)展的需要，與社會其他系統(tǒng)協(xié)調(diào)發(fā)展；另一方面，在高等教育系統(tǒng)內(nèi)，各部分要按合理的比例均衡發(fā)展，正確處理規(guī)模、結(jié)構(gòu)、質(zhì)量、效益的關系。
（一）高等教育的加快發(fā)展與適度規(guī)模
（二）高等教育結(jié)構(gòu)多樣化，多層次，低重心
（三）學科和課程結(jié)構(gòu)日益綜合化
二、高等教育的可持續(xù)發(fā)展
（一）可持續(xù)發(fā)展思想對高等教育的指導意義
（二）高等教育與社會的可持續(xù)發(fā)展
（三）高等教育自身的可持續(xù)發(fā)展。在于它是否遵循高等教育自身發(fā)展規(guī)律，即高等教育的內(nèi)外部規(guī)律。
1、高等教育的超前性。首先成立廣泛參與的規(guī)劃機構(gòu)，其次，正確的預測是高等教育規(guī)劃超前的基礎；再次，正確處理預見性與可行性的關系，預見性必須建立在科學的基礎上，遵循高教發(fā)展的客觀規(guī)律。
2、高等教育的整體性。高等教育功能的整體性是指高等教育社會功能和個體發(fā)展功能彼此獨立，各具特殊效用，又相互聯(lián)系，相互促進，相輔相成，形成高等教育功能的整合效應。
3、高等教育的全面性。
三、高等教育的發(fā)展觀
（一）高等教育質(zhì)量與發(fā)展密切相連
（二）高等教育質(zhì)量衡量標準
（三）質(zhì)量關與發(fā)展觀
第二節(jié)
高等教育發(fā)展的趨勢
一、高等教育大眾化
（一）高等教育大眾化的概念。
高等教育大中哈uyouyige世界公認的數(shù)量指標，就是高等教育毛入學率道道15%---50%。馬丁·特羅總結(jié)發(fā)達國家大眾化進程的規(guī)律。15%以內(nèi)為精英階段
15%--50%以內(nèi)為大眾階段 50%以上為普及階段
（二）高等教育大眾化是社會發(fā)展的必然選擇
（三）高等教育大眾化的途徑和方式
1、辦學主體多元化
2、高教結(jié)構(gòu)多樣化
3、專業(yè)設置多樣化
4、民辦高教規(guī)范化
二、高等教育國際化
（一）高等教育國際化的內(nèi)涵
1、活動方法
2、能力方法
3、精神氣質(zhì)方法
4、過程方法
（二）高等教育國際化的主要內(nèi)容
1、國際化的教育概念
2、國家化的培養(yǎng)目標
3、國際化的課程內(nèi)容
4、人員的國際交流
5、國際學術(shù)交流和合作研究
6、國際化的教育評估
三、高等教育現(xiàn)代化
高等教育現(xiàn)代化的實質(zhì)是要以整個社會現(xiàn)代化的客觀需要為動力，以社會文化的全部最新成就武裝高等教育各個層面，從而使教育自身具備適應和促進整個社會現(xiàn)代化的能動力量。
（一）高等教育實體的現(xiàn)代化
1、高等教育思想現(xiàn)代化
2、高等教育制度現(xiàn)代化
3、高等教育教學內(nèi)容、教學手段和教學技術(shù)現(xiàn)代化
4、高等教育管理現(xiàn)代化
（二）高等教育現(xiàn)代化的本質(zhì)是人的現(xiàn)代化
1、對自己本質(zhì)真正占有
2、具有自我批判和自我超越精神
3、具備面向未來的開放性和創(chuàng)造精神
（三）我國實現(xiàn)高等教育現(xiàn)代化面臨的問題
1、傳統(tǒng)文化限制高等教育現(xiàn)代化的發(fā)展
2、現(xiàn)實國情制約高等教育現(xiàn)代化的步伐
第三節(jié)
高等教育發(fā)展的戰(zhàn)略
一、科教興國與高等教育發(fā)展
19(一)高等教育在科教興國戰(zhàn)略中的作用
（二）實施科教興國戰(zhàn)略是中國高等教育的發(fā)展舉措
1、首要的是確保高等教育全面、可持續(xù)發(fā)展
2、重點建設若干所具有世界先進水平的一流大學
3、重點發(fā)展高等教育的創(chuàng)新能力
二、國家創(chuàng)新體系與高等教育發(fā)展
高等教育是國家創(chuàng)新體系的重要組成部分
由于高等學校在國家創(chuàng)新體系中的基本職能主要是傳播知識和培養(yǎng)人才，而國家創(chuàng)新體系中的每一個部分，就其運轉(zhuǎn)來說都離不開具有知識創(chuàng)新和技術(shù)創(chuàng)新能力的人才的參與。
當具備了一定的創(chuàng)新條件，創(chuàng)新則主要取決于個人的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力以及實干，敢于承擔風險，樂于交流以及對環(huán)境保持敏銳的洞察力等品質(zhì)。
高水平的高等學校，尤其是綜合性大學，還以其多學科的融合，教學和科研的相互促進的便利、良好的國際學術(shù)交流與合作的環(huán)境等特殊的又是。
三、思想觀念轉(zhuǎn)變與高等教育發(fā)展
思想是行動的指南
宏觀層次的高等教育思想是人們對整個高等教育所持的系統(tǒng)看法。
微觀層次的高等教育觀念是人們對高等教育中某個主要部分或緩解所持的看法。
高等教育是遺傳適應和制度創(chuàng)新相融合的產(chǎn)物。
高等數(shù)學課件 篇4
高等數(shù)學教案
定積分的應用
教學目的 第六章
定積分的應用
1、理解元素法的基本思想；
2、掌握用定積分表達和計算一些幾何量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積）。
3、掌握用定積分表達和計算一些物理量（變力做功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等）。教學重點：
1、計算平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積。
2、計算變力所做的功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等。教學難點：
1、截面面積為已知的立體體積。
2、引力。
§6? 1 定積分的元素法
回憶曲邊梯形的面積?
設y?f(x)?0(x?[a? b])? 如果說積分?
A??af(x)dx
b是以[a? b]為底的曲邊梯形的面積? 則積分上限函數(shù)
A(x)??af(t)dt
x就是以[a? x]為底的曲邊梯形的面積? 而微分dA(x)?f(x)dx 表示點x處以dx為寬的小曲邊梯形面積的近似值?A?f(x)dx??f(x)dx稱為曲邊梯形的面積元素?
以[a? b]為底的曲邊梯形的面積A就是以面積元素f(x)dx為被積表達式? 以 [a? b]為積分區(qū)間的定積分?
A??af(x)dx ?
b
一般情況下? 為求某一量U? 先將此量分布在某一區(qū)間[a? b]上? 分布在[a? x]上的量用函數(shù)U(x)表示? 再求這一量的元素dU(x)? 設dU(x)?u(x)dx? 然后以u(x)dx為被積表達式? 以[a? b]為積分區(qū)間求定積分即得
U??af(x)dx?
b
用這一方法求一量的值的方法稱為微元法(或元素法)?
三峽大學高等數(shù)學課程建設組
高等數(shù)學教案
定積分的應用
§6? 2 定積分在幾何上的應用
一、平面圖形的面積
1．直角坐標情形
設平面圖形由上下兩條曲線y?f上(x)與y?f下(x)及左右兩條直線x?a與x?b所圍成? 則面積元素為[f上(x)? f下(x)]dx? 于是平面圖形的面積為
S??a[f上(x)?f下(x)]dx? ?
類似地??由左右兩條曲線x??左(y)與x??右(y)及上下兩條直線y?d與y?c所圍成設平面圖形的面積為?
S??c[?右(y)??左(y)]dy?
例1 計算拋物線y2?x、y?x2所圍成的圖形的面積??
解(1)畫圖??
(2)確定在x軸上的投影區(qū)間: [0? 1]??(3)確定上下曲線???f上(x)?x, f下(x)?x2?
(4)計算積分 db1??
S??(x?x)dx?[2x2?1x3]1?0033321
3例2 計算拋物線y2?2x與直線y?x?4所圍成的圖形的面積??
解(1)畫圖??
(2)確定在y軸上的投影區(qū)間: [?2? 4]??(3)確定左右曲線???左(y)?1y2, ?右(y)?y?4?
2(4)計算積分?4?18?
S???2(y?4?1y2)dy?[1y2?4y?1y3]426?222y 例3 求橢圓x2?2?1所圍成的圖形的面積?
ab 解 設整個橢圓的面積是橢圓在第一象限部分的四倍? 橢圓在第一象限部分在x 軸上的投影區(qū)間為[0? a]? 因為面積元素為ydx?
所以 2S?4?0ydx? a橢圓的參數(shù)方程為: x?a cos t ? y?b sin t ?
于是
S?4?0ydx?4??bsintd(acost)
2a0三峽大學高等數(shù)學課程建設組
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定積分的應用
??4ab??sintdt?2ab?02(1?cos2t)dt?2ab???ab??
2202?
2．極坐標情形
曲邊扇形及曲邊扇形的面積元素?
由曲線???(?)及射線? ??? ? ??圍成的圖形稱為曲邊扇形? 曲邊扇形的面積元素為 dS?1[?(?)]2d?? 2曲邊扇形的面積為
?S???1[?(?)]2d?? 2
例4.計算阿基米德螺線??a?(a >0)上相應于?從0變到2? 的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積?
2?2??4a2?3?
解: S??01(a?)2d??1a2[1?3]02332
例5.計算心形線??a(1?cos?)(a>0)所圍成的圖形的面積?
?? 解: S?2?01[a(1?cos?]2d??a2?0(1?2cos??1cos2?)d?
22232
?a2[3??2sin??1sin2?]?0?a??
242
二、體 積
1．旋轉(zhuǎn)體的體積
旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體? 這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸?
常見的旋轉(zhuǎn)體? 圓柱、圓錐、圓臺、球體?
旋轉(zhuǎn)體都可以看作是由連續(xù)曲線y?f(x)、直線x?a、a?b 及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體?
設過區(qū)間[a? b]內(nèi)點x 且垂直于x軸的平面左側(cè)的旋轉(zhuǎn)體的體積為V(x)? 當平面左右平移dx后? 體積的增量近似為?V??[f(x)]2dx ?
于是體積元素為
dV ? ?[f(x)]2dx ?
旋轉(zhuǎn)體的體積為
V??a?[f(x)]2dx?
例
1連接坐標原點O及點P(h? r)的直線、直線x?h 及x 軸圍成一個直角三角形? 將它繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個底半徑為r、高為h的圓錐體? 計算這圓錐體的體積?
解: 直角三角形斜邊的直線方程為y?rx?
h
所求圓錐體的體積為
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b高等數(shù)學教案
定積分的應用
22hr?r?1?hr2?
V??0?(x)dx?2[1x3]0h3h32y2x 例2? 計算由橢圓2?2?1所成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體(旋轉(zhuǎn)橢球體)的體積?
ab
解: 這個旋轉(zhuǎn)橢球體也可以看作是由半個橢圓 h
y?ba2?x2
a及x軸圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體? 體積元素為dV? ? y 2dx ?
于是所求旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為
22a2 V???b2(a2?x2)dx??b2[a2x?1x3]a?a??ab?
?a33aa
例3 計算由擺線x?a(t?sin t)? y?a(1?cos t)的一拱? 直線y?0所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積?
解
所給圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為
Vx??0?y2dx???0a2(1?cost)2?a(1?cost)dt
??a3?0(1?3cost?3cos2t?cos3t)dt
?5? 2a 3?
所給圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積是兩個旋轉(zhuǎn)體體積的差? 設曲線左半邊為x=x1(y)、右半邊為x=x2(y)? 則
22(y)dy??0?x1(y)dy
Vy??0?x22a2a2?2?a2?
???2?a2(t?sint)2?asintdt???0a2(t?sint)2?asintdt
???a3?0(t?sint)2sintdt?6? 3a 3 ?
2．平行截面面積為已知的立體的體積
設立體在x軸的投影區(qū)間為[a? b]? 過點x 且垂直于x軸的平面與立體相截? 截面面積為A(x)? 則體積元素為A(x)dx ? 立體的體積為
V??aA(x)dx?
例4 一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心? 并與底面交成角?? 計算這平面截圓柱所得立體的體積?
解? 取這平面與圓柱體的底面的交線為x軸? 底面上過圓中心、且垂直于x軸的直線為y軸? 那么底圓的方程為x 2 ?y 2?R 2? 立體中過點x且垂直于x軸的截面是一個直角三角形? 兩個直角邊分別為R2?x2及R2?x2tan?? 因而截面積為
三峽大學高等數(shù)學課程建設組
b2???高等數(shù)學教案
定積分的應用
A(x)?1(R2?x2)tan?? 于是所求的立體體積為
2RR2R3tan??
V???R1(R2?x2)tan?dx?1tan?[R2x?1x3]?R?223
3例5? 求以半徑為R的圓為底、平行且等于底圓直徑的線段為頂、高為h的正劈錐體的體積?
解: 取底圓所在的平面為x O y平面? 圓心為原點? 并使x軸與正劈錐的頂平行? 底圓的方程為x 2 ?y 2?R 2? 過x軸上的點x(?RA(x)?h?y?hR2?x2?于是所求正劈錐體的體積為V???RhR2?x2dx?2R2h?2co2s?d??1?R2h??02R?三、平面曲線的弧長設A? B 是曲線弧上的兩個端點? 在弧AB上任取分點A?M0? M1? M2? ? ? ? ? Mi?1? Mi? ? ? ?? Mn?1? Mn?B ? 并依次連接相鄰的分點得一內(nèi)接折線? 當分點的數(shù)目無限增加且每個小段Mi?1Mi都縮向一點時? 如果此折線的長?|Mi?1Mi|的極限存在? 則稱此極限為曲線弧AB的弧長? 并稱此曲線i?1n弧AB是可求長的?定理光滑曲線弧是可求長的?1．直角坐標情形設曲線弧由直角坐標方程y?f(x)(a?x?b)給出? 其中f(x)在區(qū)間[a? b]上具有一階連續(xù)導數(shù)? 現(xiàn)在來計算這曲線弧的長度?取橫坐標x為積分變量? 它的變化區(qū)間為[a? b]? 曲線y?f(x)上相應于[a? b]上任一小區(qū)間[x? x?dx]的一段弧的長度? 可以用該曲線在點(x? f(x))處的切線上相應的一小段的長度來近似代替? 而切線上這相應的小段的長度為(dx)2?(dy)2?1?y?2dx?從而得弧長元素(即弧微分)ds?1?y?2dx?以1?y?2dx為被積表達式? 在閉區(qū)間[a? b]上作定積分? 便得所求的弧長為s??a1?y?2dx?三峽大學高等數(shù)學課程建設組b高等數(shù)學教案定積分的應用在曲率一節(jié)中? 我們已經(jīng)知道弧微分的表達式為ds?1?y?2dx??這也就是弧長元素??因此例1? 計算曲線y?2x2上相應于x從a到b的一段弧的長度?3解? y??x2? 從而弧長元素 13ds?1?y?2dx?1?xdx?因此? 所求弧長為s??ab2221?xdx?[2(1?x)2]ba?[(1?b)?(1?a)]?33333例2? 計算懸鏈線y?cchx上介于x??b與x?b之間一段弧的長度?c解? y??shx? 從而弧長元素為cds?1?sh2xdx?chxdx?cc因此? 所求弧長為bbb?s???bchxdx?2?0chxdx?2c[shxdx]b0?2cshcccc2．參數(shù)方程情形設曲線弧由參數(shù)方程x??(t)、y??(t)(??t??)給出? 其中?(t)、?(t)在[?? ?]上具有連續(xù)導數(shù)?dy??(t)因為? dx???(t)d t ? 所以弧長元素為 ?dx??(t)??2(t)ds?1?2??(t)dt???2(t)???2(t)dt???(t)所求弧長為s?????2(t)???2(t)dt??例3? 計算擺線x?a(??sin?)? y?a(1?cos?)的一拱(0 ?? ?2?)的長度??解? 弧長元素為?ds?a2(1?cos?)2?a2sin2?d??a2(1?cos?)d??2asind??2所求弧長為2?s??02asin?d??2a[?2cos?]0?8a?222?三峽大學高等數(shù)學課程建設組高等數(shù)學教案定積分的應用3．極坐標情形設曲線弧由極坐標方程???(?)(? ? ? ? ?)給出? 其中r(?)在[?? ?]上具有連續(xù)導數(shù)? 由直角坐標與極坐標的關系可得x??(?)cos???y??(?)sin?(? ?? ? ?)? 于是得弧長元素為ds?x?2(?)?y?2(?)d???2(?)???2(?)d??從而所求弧長為s?????2(?)???2(?)d??例4?求阿基米德螺線??a?(a>0)相應于? 從0到2? 一段的弧長?解?弧長元素為ds?a2?2?a2d??a1??2d??于是所求弧長為2?s??0a1??2d??a[2?1?4?2?ln(2??1?4?2)]?作業(yè)：P284：2（2）（4），3，4，5（1），10，12，15（2），18，22，23，29，30三峽大學高等數(shù)學課程建設組高等數(shù)學教案定積分的應用§6? 3 功水壓力和引力一、變力沿直線所作的功例1把一個帶?q電量的點電荷放在r軸上坐標原點O處? 它產(chǎn)生一個電場? 這個電場對周圍的電荷有作用力? 由物理學知道? 如果有一個單位正電荷放在這個電場中距離原點O為r的地方? 那么電場對它的作用力的大小為F?kq(k是常數(shù))?r2當這個單位正電荷在電場中從r?a處沿r軸移動到r?b(a解: 在r軸上? 當單位正電荷從r移動到r+dr時?電場力對它所作的功近似為k即功元素為dW?k于是所求的功為 qdr?r2qdr?r2bkq2W??a11dr?kq[?1]ba?kq(?)?rabr例2?在底面積為S的圓柱形容器中盛有一定量的氣體? 在等溫條件下? 由于氣體的膨脹?把容器中的一個活塞(面積為S)從點a處推移到點b處? 計算在移動過程中? 氣體壓力所作的功?解? 取坐標系如圖? 活塞的位置可以用坐標x來表示? 由物理學知道? 一定量的氣體在等溫條件下? 壓強p與體積V的乘積是常數(shù)k ? 即pV?k 或p?k?V在點x處? 因為V?xS? 所以作在活塞上的力為F?p?S?k?S?k?xSx當活塞從x移動到x?dx時? 變力所作的功近似為kdx? x即功元素為dW?kdx?x于是所求的功為bbW??akdx?k[lnx]ba?kln?xa例3? 一圓柱形的貯水桶高為5m? 底圓半徑為3m? 桶內(nèi)盛滿了水? 試問要把桶內(nèi)的水全部吸出需作多少功？解? 作x軸如圖? 取深度x 為積分變量? 它的變化區(qū)間為[0? 5]? 相應于[0? 5]上任小區(qū)間[x? x?dx]的一薄層水的高度為dx? 水的比重為9?8kN/m3? 因此如x的單位為m? 這薄層水的重力為9?8??32dx? 這薄層水吸出桶外需作的功近似地為三峽大學高等數(shù)學課程建設組高等數(shù)學教案定積分的應用dW?88?2??x?dx?此即功元素? 于是所求的功為225(kj)?xW??088.2?xdx?88.2?[]50?88.2??225二、水壓力從物理學知道? 在水深為h處的壓強為p??h ? 這里 ? 是水的比重? 如果有一面積為A 的平板水平地放置在水深為h處? 那么?平板一側(cè)所受的水壓力為P?p?A?如果這個平板鉛直放置在水中? 那么? 由于水深不同的點處壓強p不相等? 所以平板所受水的壓力就不能用上述方法計算?例4? 一個橫放著的圓柱形水桶? 桶內(nèi)盛有半桶水? 設桶的底半徑為R? 水的比重為 ? ?計算桶的一個端面上所受的壓力?解? 桶的一個端面是圓片? 與水接觸的是下半圓? 取坐標系如圖?在水深x處于圓片上取一窄條? 其寬為dx ? 得壓力元素為dP?2?xR2?x2dx?所求壓力為P??02 ? xR?xdx????(R03R?2rR3????[2(R2?x2)2]033R22R2122?x)d(R2?x2)三、引力從物理學知道? 質(zhì)量分別為m1、m 2? 相距為r的兩質(zhì)點間的引力的大小為F?Gm1m2?r2其中G為引力系數(shù)? 引力的方向沿著兩質(zhì)點連線方向?如果要計算一根細棒對一個質(zhì)點的引力? 那么? 由于細棒上各點與該質(zhì)點的距離是變化的? 且各點對該質(zhì)點的引力的方向也是變化的? 就不能用上述公式來計算?例5? 設有一長度為l、線密度為?的均勻細直棒? 在其中垂線上距棒a單位處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點M? 試計算該棒對質(zhì)點M的引力?解? 取坐標系如圖? 使棒位于y軸上? 質(zhì)點M位于x軸上? 棒的中點為原點O? 由對稱性知? 引力在垂直方向上的分量為零? 所以只需求引力在水平方向的分量? 取y為積分變量? 它的變化區(qū)間為[?l, l]? 在[?l, l]上y點取長為dy 的一小段? 其質(zhì)量為?dy? 與M相距r?a2?y2? 于2222是在水平方向上? 引力元素為dFx?Gm?dyam?dy?a????Ga2?y2a2?y2(a2?y2)3/2三峽大學高等數(shù)學課程建設組高等數(shù)學教案定積分的應用引力在水平方向的分量為Fx???2lG?2l2Gm?lam?dy1????223/222a(a?y)4a?l作業(yè)：P292：3（2），6三峽大學高等數(shù)學課程建設組
高等數(shù)學課件 篇5
-----[xn?1 , xn]，A??A1??A2????An，?xi?xi?xi?1(i?1 , 2 , ? , n).②在每個小區(qū)間[xi?1 , xi]上任取一點?i，?Ai?f(?i)??xi，A??f(?i)?xi.i?1n③??max{?x1 , ?x2 , ? , ?xn}.A?lim?f(?i)?xi.??0i?
1-----高等數(shù)學教案-----
n2.變速直線運動的路程: 設速度v?v(t)是時間間隔[T1 , T2]上t的連續(xù)函數(shù)，路程記為s.①把區(qū)間[T1 , T2]分成n個小區(qū)間:，…，[t0 , t1] [tn?1 , tn]，[t1 , t2]，s??s1??s2????sn，?ti?ti?ti?1(i?1 , 2 , ? , n).②在每個小區(qū)間[ti?1 , ti]上任取一點?i，?si?v(?i)??ti，-----高等數(shù)學教案-----s??v(?i)?ti.i?1n③??max{?t1 , ?t2 , ? , ?tn}.s?lim?v(?i)?ti.??0i?1n3.定積分定義: 設y?f(x)在[a , b]上有界.①把區(qū)間[a , b]分成n個小區(qū)間:，[x1 , x2]，…，[x0 , x1]
[xn?1 , xn]，-----高等數(shù)學教案-----?xi?xi?xi?1(i?1 , 2 , ? , n).②在每個小區(qū)間[xi?1 , xi]上任取一點?i，?f(?i)?xi.i?1n③??max{?x1 , ?x2 , ? , ?xn}.如果
lim?f(?i)?xi
??0i?1n存在，且此極限不依賴于對區(qū)間[a , b]的分法和在[xi?1 , xi]上
-----高等數(shù)學教案-----
則稱此極限為f(x)?i點的取法，在[a , b]上的定積分，記為
f(?i)?xi.??af(x)dx?lim??0bi?1n注意：定積分? af(x)dx只與被積函數(shù)f(x)﹑積分區(qū)間[a , b]有關，而與積分變量用什么字母表示無關，即
b? af(x)dx?? af(t)dt?? af(u)du b b b.4.(必要條件).如果f(x , y)在D上可積，則f(x , y)在D上
-----高等數(shù)學教案-----有界.5.(充分條件): ①如果f(x)在[a , b]上連續(xù)，則f(x)在[a , b]上可積.②如果f(x)在[a , b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在[a , b]上可積.6.定積分的幾何意義：
①如果f(x)在[a , b]上連續(xù)，且f(x)?0，則
b? af(x)dx?s
(S是曲邊梯
-----高等數(shù)學教案-----形的面積).②.如果f(x)在[a , b]上連續(xù)，且f(x)?0，則 b? af(x)dx??s
(S是曲邊梯形的面積).③如果f(x)在[a , b]上連續(xù)，且f(x)的值有正有負，則 b? af(x)dx等于x軸上方的曲邊梯形面積減去x軸下方的曲邊梯形面積.7.規(guī)定:
-----高等數(shù)學教案-----
①當a?b時，? af(x)dx?0.a?b
②當時，ba? af(x)dx???bf(x)dx.7.定積分的性質(zhì)：
①??f(x)?g(x)?dx??f(x)dx??g(x)dx.b b②? akf(x)dx?k? af(x)dx.③ b c b? af(x)dx?? af(x)dx?? cf(x)dx.④如果在[a , b]上f(x)?1，則
b b? a1dx?? adx?b?a.b b b b a a a
-----高等數(shù)學教案-----⑤如果在[a , b]上f(x)?0，則
b? af(x)dx?0.如果在[a , b]上f(x)?g(x)，則
b b? af(x)dx?? ag(x)dx，? af(x)dx?? af(x)dx.b b⑥設m?f(x)?M，則
bm(b?a)?? af(x)dx?M(b?.⑦(積分中值定理)如果f(x)
-----高等數(shù)學教案-----在[a , b]上連續(xù)，則在[a , b]上至少存在一點?，使得
b? af(x)dx?f(?)?(b?a).證:由于f(x)在[a , b]上連續(xù)，所以存在最大值M和最小值m，使得
m?f(x)?M，bm(b?a)?? af(x)dx?M(b?a)，f(x)dx? am??M，b?a
-----高等數(shù)學教案-----
b故在[a , b]上至少存在一點?，使得
b? af(x)dx?f(?)b?a即
b? af(x)dx?f(?)?(b?a).b1稱為在f(x)dxf(x)? ab?a[a , b]上的平均值.P23511.證: 對任意實數(shù)?，有 12? 0[??f(x)]dx?0，1 122??2?? 0f(x)dx?? 0f(x)dx?0
-----高等數(shù)學教案-----，所以
12??4?? 0f(x)dx??4? 0f(x)dx?0，即
? 0f(x)dx??? 0f(x)dx?.練習1.設f(x)在[a , b]上連續(xù)，且f(x)?0，證明: 12 121? af(x)dx? af(x)dx?(b?a)b b.§5.2微積分基本公式
1.積分上限的函數(shù)(變上限
-----高等數(shù)學教案-----積分): f(x)在[a , b]上連續(xù)，稱
x?(x)?? af(t)dt x?[a , b] 為積分上限的函數(shù).2.如果f(x)在[a , b]上連續(xù)，x則?(x)?? af(t)dt可導，且
xd??(x)?f(t)dt?f(x)? adx.x例1.求F(x)?? 0tsintdt的導數(shù).解: F?(x)?xsinx.-----高等數(shù)學教案-----
sintdt?sinx 0例2.lim ?lim2x?0x?02xx1?.2 x例3.tedt??lim xx???xe2x??? x2 0t2elim?x2tedt?x x2 0t2x?limx???(1?2
x?limx???1?
2-----高等數(shù)學教案-----
?
3.?? ?(x)f(t)dt?
?f[?(x)]??(x)?f[?(x)]??(x)?(x)1?.2.x?bd
例4.? x?af(t)dt dx?f[(x?b)]?f[(x?a)].例
15.(? xedt)??e??e?2x xx?1?2xe.lnx2tlnxx22
-----高等數(shù)學教案-----例6.設f(x)在[a , b]上連續(xù)，且單調(diào)增加，證明:
x1 F(x)?f(t)dt? ax?a在(a , b]內(nèi)單調(diào)增加.證: 當x?(a , b)時，f(x)(x?a)?? af(t)dtF?(x)? 2(x?a)f(x)(x?a)?f(?)(x?a)?2(x?a)x
f(x)?f(?)?(x?a)
-----高等數(shù)學教案-----
(a???x).由于f(x)在[a , b]上單調(diào)增加，而a???x，所以
f(x)?f(?)F?(x)??0，(x?a)故F(x)在(a , b]內(nèi)單調(diào)增加.4.微積分基本公式(牛頓—萊布尼茨公式): 如果f(x)在[a , b]上連續(xù)，且F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則
b? af(x)dx?F(b)?F(a)?F(.-----高等數(shù)學教案-----
為F(x)、x?(x)?? af(t)dt都是f(x)的原函數(shù)，所以?(x)?F(x)?C.由于
?(a)?F(a)?C，a?(a)?? af(t)dt?0，得
C??F(a)，?(x)?F(x)?F(a)，?(b)?F(b)?F(a)，b即
?(b)?? af(x)dx
?F(b)?F(a)
?F(x).ba
-----高等數(shù)學教案-----證: 因
?1
1例7.? ?2dx?lnx?2
x?ln1?ln2 ??ln2.?1
例 2 1 28.? 01?xdx?? 0(1?x)dx?? 1(x?1)dx
221xx?(x?)0?(?x)22
?1.例9.設
?x , x?[0 , 1), f(x)???x , x?[1 , 2] ，-----高等數(shù)學教案-----2求?(x)?? 0f(t)dt在[0 , 2]上的表達式.x解(x)???? x2 0tdt , x?[0 , 1)?? 12dt?? x 0t 1tdt , x?[1 ,?x3 , ???3??13?12(x2?1), ?x3 ??, ?3??1-----高等數(shù)學教案 6 ,-----
:
2] x?[0 ,x?[1 , 2x?[0 , x?[1 , 2?
例10.求
x f(x)??0tdt 在(?? , ??)上的表達式.??0?tdt , x?0解: f(x)??x
tdt , x?0??02??x , x?0?2 ??2x? , x?0.?2x§5.3 定積分的換元法和分部積分法
-----高等數(shù)學教案-----1.定積分的換元法:
b?? af(x)dx x??(t)??f[?(t)]??（其中f(x)連續(xù)，?(t)有連續(xù)的導數(shù)，a??(?)，b??(?)，.例1.? 0 4x?2dx 2x?11t2?32 32t?12 x? ? 1 tdt 2t 321?? 1(t?3)dt 2331t?(?3t)1
3-----高等數(shù)學教案-----例 例
?223.2.? 1dx 34 1?x?1 x??(t2?2t)? ?1?(2t?2)?12 t??2? ?112?1 ?(1t)dt ??2(t?lnt)?1?12
?1?2ln2.3.2? 111?x 2 x2dx x?sint ? ?cost ?24
-----高等數(shù)學教案-----
sin2tcostdt
2? 例
??2 ? cottdt
4?? ?2(csc2 ?t?1)dt
4?(?cott?t)?2?
4?1??4.? ?5 02sinx?cosxdx
??? ?5 02cosxdcosx
?(?16?6cosx)20
?16.-----高等數(shù)學教案-----
4.例5.? 0x(2?x)dx
12421??? 0(2?x)d(2?x)2
25111
??[(2?x)]0
2531
?.102.設f(x)在[?a , a]上連續(xù)且為偶函數(shù)，則
a a? ?af(x)dx?2? 0f(x)dx.證: a 0 a? ?af(x)dx?? ?af(x)dx?? 0f(x)dx.12
4-----高等數(shù)學教案-----? ?af(x)dx x??t ? af(?t)(? 0 0
??? af(t)dt ?? 0f(t)dt ?? 0f(x)dx.a a 0所
以
a a a? ?af(x)dx?? 0f(x)dx?? 0f(x)dx
?2? 0f(x)dx.a3.設f(x)在[?a , a]上連續(xù)且
a為奇函數(shù)，則
? ?af(x)dx?0.xsinxdx.例6.求? ?242x?3x?1 2
-----高等數(shù)學教案-----
32xsinx解: 由于f(x)?42x?3x?132是 2奇3函2數(shù)，所以
xsinxdx?0.? ?242x?3x?1例7.求 1sinx?(arctanx).dx? ?121?x解: 原式1sinx 1(arctanx).?? ?1dx?dx?22 ?11?x1?xsinx由于f(x)?2是奇函數(shù)，1?x
-----高等數(shù)學教案-----以(arctanx)是偶函數(shù)，所g(x)?21?x(arctanx)原式?0?2? 0 dx21?x 12?2? 0(arctanx)d(arctanx)122
312?[(arctanx)]0
332??()3496例8.設f(x)在[0 , a]上連續(xù)，-----高等數(shù)學教案-----?.?3證明: ? 0f(x)dx?? 0f(a?x)dx.a a證? 0f(x)dx 0 x?a?t ? af(a?t)(?dt)a:
??? af(a?t)dt ?? 0f(a?t)dt ?? 0f(a?x)dx.a 0 a
例9.若f(x)在[0 , 1]上連續(xù)，證明: ?f(sinx)dx?
-----高等數(shù)學教案-----?2 0?f(cosx)dx.2 0? 證: ?f(sinx)dx
? x??t 2 ?2 0f(cost)(?d? ?2 0
??f(cost)dt
?2 0??f(cosx)dx.?2 0
例10.若f(x)在[0 , 1]上連續(xù)，證明: ? 0xf(sinx)dx? ??.f(sinx)dx? 02 ?
-----高等數(shù)學教案-----證: ? 0xf(sinx)dx
0 x???t ? ?(??t)f(sint)?
?? 0(??t)f(sint)dt ??? 0f(sint)dt?? 0tf(sint)dt
??? 0f(sinx)dx?? 0xf(sinx)dx.? ? ? ? ?解? 0 ?得
.f(sinx)dx? 02例11.若f(x)為連續(xù)函數(shù)，??xf(sinx)dx?
-----高等數(shù)學教案-----且?ef(x?t)dt?xe，求f(x)的表達式.xt證: ? 0ef(x?t)dt xt 0x t?x?u ? xe 0x?uf(u)(?du)
??e?ef(u)du x x?u?e? 0ef(u)du.?ux 0 x所以e?ef(u)du?xe，得
x?u? 0ef(u)du?x.將上式兩邊對x求導數(shù)，得
?x ef(x)?1，x x 0?ux
-----高等數(shù)學教案-----即
f(x)?e.4.定積分的分部積分法:
x
? auv?dx?(uv)?? au?vdx.bba b
例12.? 1lnxdx?(xlnx)?? 1dx
5?5ln5?x1 5515?5ln5?4.例13.? 0xedx?(xe)?? 0edx
x1?e?e0 1xx10 1x?1.例14.若f(x)是以T為周期的連續(xù)函數(shù)，證明:
-----高等數(shù)學教案-----? af(x)dx?? 0f(x)dx 其中a為常數(shù).a?T T證: ? a 0 a?Tf(x)dx?
T a?T? af(x)dx?? 0f(x)dx?? T a?T? Tf(x)dx
af(x)dx
x?u?T ? 0f(u?T)du ?? 0f(u)du ?? 0f(x)dx ??? af(x)dx.0 a a所以
? a a?T 0f(x)dx?
T 0? af(x)dx?? 0f(x)dx?? af(x)dx
-----高等數(shù)學教案-----?? 0f(x)dx.T例15.設f(x)在(?? , ??)上連續(xù)，證明: 1lim?[f(x?h)?f(x)]dx?f(b)?f(a)
bh?0h a證: 設f(x)的一個原函數(shù)為F(x)，則
b1lim?a [f(x?h)?f(x)]dx h?0h[F(x?h)?F(x)]?lim h?0hF(b?h)?F(b)?limh?0hF(a?h)?F(a)?limh?0h
-----高等數(shù)學教案-----
ba?F?(b)?F?(a)?f(b)?f(a).§5.4 反常積分 1.無窮限的反常積分: ①設f(x)在[a , ??)上連續(xù)，存在，f(x)dxt?a，如果tlim? a???則稱反常義積分? af(x)dx收斂，且
??t
? af(x)dx?tlim.f(x)dx? a??? ??t否則稱反常積分? af(x)dx發(fā)散.??
-----高等數(shù)學教案-----②設f(x)在(?? , b]上連續(xù)，t?b，如果lim?tf(x)dx存在，t???b則稱反常義積分???f(x)dx收斂，且
b
???f(x)dx?tlim.f(x)dx????tb b否則稱反常積分???f(x)dx發(fā)散.③設f(x)在(?? , ??)上連 0 ??續(xù)，如果? ??f(x)dx與? 0f(x)dx都收斂，則稱反常積分 ??? ??f(x)dx收斂，且
b
-----高等數(shù)學教案-----? ??f(x)dx ???? ??f(x)dx?? 0f(x)dx.0 ??否則稱反常積分? ??f(x)dx發(fā)散.2.引入記號:
??F(??)?limF(x)，x???F(??)?limF(x).x???若在[a , ??)上F?(x)?f(x)，則當F(??)存在時，??? af(x)dx?F(??)?F(a)
?[F(x)].??a
-----高等數(shù)學教案-----若在(?? , b]上F?(x)?f(x)，則當F(??)存在時，b???f(x)dx?F(b)?F(??)
?[F(x)].b??若在上(?? , ??)F?(x)?f(x)，則當F(??)與F(??)都存在時，?????f(x)dx?F(??)?F(??)
?[F(x)].????例1.判斷反常積分
???x? 0xedx
2-----高等數(shù)學教案-----是否收斂，若收斂求其值.?x??1解: 原式?(?e)0 2?x11
?xlim(?e)? ???221 ?.2
例2.判斷反常積分
?1? ??cosxdx
22的斂散性.解: 原式?(sinx)
?1???sin(?1)?limsinx.x???sinx不存在，由于xlim所以反???
-----高等數(shù)學教案-----常積分? ??cosxdx發(fā)散.例3.討論反常積分 ?1? ??1 1x?dx.解:? ??1 1x?dx ?(lnx)????1 , ???(11????1??x)1
-----高等數(shù)學教案-----
??1 ??1的斂散性 , ???? , ??1????? , ??1 ????1?1 , ??1? ??1 1x?dx，當???1時發(fā)散.例4.判斷反常積分
? ??1 ??1?x2dx.解: ? ??1 ??1?x2dx
-----高等數(shù)學教案-----
?1所以反常積分時收斂，當 的斂散性 ?(arctanx)0???(arctanx)??0
????
22??.? 1 ??
例5.判斷反常積分
1dx
2x?x ??的斂散性.1dx解: ? 1 2x?x ??11?? 1(?)dx x1?x???[lnx?ln(1?x)]1
-----高等數(shù)學教案-----
??x?[ln]1 1?xx1?limln?ln x???1?x2?ln2.3.如果f(x)在點a的任一鄰域內(nèi)都無界，那么稱點a為f(x)的瑕點.4.無界函數(shù)的反常積分(瑕積分): ①設f(x)在(a , b]上連續(xù)，點a為f(x)的瑕點，t?a.如果lim?tf(x)dx存在，則稱反常積t?a?
-----高等數(shù)學教案-----b分? af(x)dx收斂，且 b
? af(x)dx?lim?tf(x)dx.b bt ?a?否則稱反常積分? af(x)dx發(fā)散.②設f(x)在[a , b)上連續(xù)，點b為f(x)的瑕點，t?b.如果
blim?af(x)dx存在，則稱反常積t?b?t分? af(x)dx收斂，且 b
? af(x)dx?lim?af(x)dx.btt ?b?否則稱反常積分? af(x)dx發(fā)散.③設f(x)在[a , b]上除點c(a?c?b)外連續(xù)，點c為f(x)的 b
-----高等數(shù)學教案-----瑕點.如果兩個反常積分
b c? af(x)dx、? cf(x)dx都收斂，則
b稱反常積分? af(x)dx收斂，且 b c b? af(x)dx?? af(x)dx?? cf(x)dx.b否則稱反常積分? af(x)dx發(fā)散.5.引入記號: ①設F(x)為f(x)在(a , b]上的一個原函數(shù)，a為f(x)的瑕點，則
b? af(x)dx?F(b)?limF(x)
x?a??[F(x)].ba
-----高等數(shù)學教案-----②設F(x)為f(x)在[a , b)上的一個原函數(shù)，b為f(x)的瑕點，則
b? af(x)dx?limF(x)?F(a)
x?b??[F(x)].ba
例6.判斷反常積分? 0lnxdx的斂散性.1解:? 0lnxdx?(xlnx)??0dx 1101?0?lim(xlnx)?x
x ?0?10??1.-----高等數(shù)學教案-----
1例7.討論反常積分? 0?dxx 1的斂散性.解: ? 11 0x?dx
?(lnx)10 , ??1?????(1?11??1 ?x)0 , ??1
??0?limx ?0?lnx , ???1?lim ?0?(1?1?x1???1??x)
-----高等數(shù)學教案-----
??1 ??1 , ?1 , ??1?1??????? , ??1 ??? , ??1?? 11所以反常積分? 0?dx，當??1x時收斂，當??1時發(fā)散.11
例8.判斷反常積分? ?12dxx的斂散性.1解: ? ?12dx x 01 11?? ?12dx?? 02dx
xx 1
-----高等數(shù)學教案-----
高等數(shù)學課件 篇6
高等數(shù)學教案
課程的性質(zhì)與任務
高等數(shù)學是計算機科學與技術(shù)；信息管理與信息系統(tǒng)兩個專業(yè)的一門重要的基礎理論課，通過本課程的學習，也是該專業(yè)的核心課程。要使學生獲得“向量代數(shù)”與“空間解析幾何”，“微積分”，“常微分方程與無窮級數(shù)”等方面的基本概論、基本理論與基本運算；同時要通過各個教學環(huán)節(jié)逐步培訓學生的抽象概括能力、邏輯推理能力、空間想象能力和自學能力。在傳授知識的同時，要著眼于提高學生的數(shù)學素質(zhì)，培養(yǎng)學生用數(shù)學的方法去解決實際問題的意識、興趣和能力。
第一章：函數(shù)與極限
教學目的與要求
18學時
1.解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示方法，并會建立簡單應用問題中的函數(shù)關系式。2.解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。
3.理解復合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。4.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。
5.理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關系。
6.掌握極限的性質(zhì)及四則運算法則。
7.了解極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法。8.理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價無窮小求極限。9.理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點的類型。
10.了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應用這些性質(zhì)。
第一節(jié)：映射與函數(shù)
一、集合
1、集合概念
具有某種特定性質(zhì)的事物的總體叫做集合。組成這個集合的事物稱為該集合的元素 表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素
1)A?{a1,a2,a3,??} 2)A?{xx的性質(zhì)P}
元素與集合的關系：a?A
a?A
一個集合，若它只含有有限個元素，則稱為有限集；不是有限集的集合稱為無限集。常見的數(shù)集：N，Z，Q，R，N+
元素與集合的關系：
A、B是兩個集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集，記作A?B。
如果集合A與集合B互為子集，則稱A與B相等，記作A?B 若作A?B且A?B則稱A是B的真子集?？占?： ??A2、集合的運算
并集A?B ：A?B?{x|x?A或x?B} 交集A?B ：A?B?{x|x?A且x?B}
差集
AB：AB?{x|x?A且x?B
全集I、E
補集AC：
集合的并、交、余運算滿足下列法則： 交換律、A?B?B?A
A?B?B?A 結(jié)合律、(A?B)?C?A?(B?C)
(A?B)?C?A?(B?C)分配律
(A?B)?C?(A?C)?(B?C)
(A?B)?C?(A?C)?(B?C)
對偶律
(A?B)?A?B
(A?B)?A?B 笛卡兒積A×B?{(x,y)|x?A且y?B}
3、區(qū)間和鄰域
開區(qū)間
(a,b)閉區(qū)間
?a,b? 半開半閉區(qū)間
?a,b?有限、無限區(qū)間 cccccc?a,b?
鄰域：U(a)
U(a,?)?{xa???x?a??}
a 鄰域的中心
?鄰域的半徑
?
去心鄰域
U(a,?)
左、右鄰域
二、映射 1.映射概念
定義
設X，Y是兩個非空集合，如果存在一個法則f，使得對X中的每一個元素x，按法則f，在Y中有唯一確定的元素y與之對應，則稱f為從X到Y(jié)的映射，記作
f：X?Y
其中y 稱為元素x的像，并記作f(x)，即
y?f(x)
注意：1）集合X；集合Y；對應法則f
2）每個X有唯一的像；每個Y的原像不唯一
3)單射、滿射、雙射
2、映射、復合映射
三、函數(shù)
1、函數(shù)的概念：
定義：設數(shù)集D?R，則稱映射f:D?R為定義在D上的函數(shù)
記為
y?f(x)x?D
自變量、因變量、定義域、值域、函數(shù)值
用f、g、?
函數(shù)相等：定義域、對應法則相等
自然定義函數(shù)；單值函數(shù)；多值函數(shù)、單值分枝.例：１)ｙ＝２
2)ｙ＝x
3)符號函數(shù)
?1?y??0??1?x?0x?0x?04)取整函數(shù) y??x?
（階梯曲線）
?2x0?x?1x?15)分段函數(shù) y??
2、函數(shù)的幾種特性
?1?x1）函數(shù)的有界性(上界、下界；有界、無界)有界的充要條件：既有上界又有下界。注：不同函數(shù)、不同定義域，有界性變化。
2)函數(shù)的單調(diào)性（單增、單減）在x1、x2點比較函數(shù)值
f(x1)與f(x2)的大?。ㄗⅲ号c區(qū)間有關）3)函數(shù)的奇偶性(定義域?qū)ΨQ、f(x)與f(?x)關系決定)
圖形特點(關于原點、Y軸對稱)
4)函數(shù)的周期性(定義域中成立：f(x?l)?f(x))
3、反函數(shù)與復合函數(shù)
反函數(shù)：函數(shù)f:D?f(D)是單射，則有逆映射f反函數(shù)
函數(shù)與反函數(shù)的圖像關y?x于對稱
復合函數(shù)：函數(shù)u?g(y)定義域為D1，函數(shù)y?f(x)在D上有定義、且f(D)?D1。則u?g(f(x))?g?f(x)為復合函數(shù)。(注意：構(gòu)成條件)
4、函數(shù)的運算
和、差、積、商(注：只有定義域相同的函數(shù)才能運算)
5、初等函數(shù)：
?1(y)?x，稱此映射f?1為f函數(shù)的
1)冪函數(shù)：y?xa
2)指數(shù)函數(shù)：y?ax
3)對數(shù)函數(shù) y?loga(x)
4)三角函數(shù)
()
y?sin(x),y?cos(x),y?tan(x),y?cotx
5)反三角函數(shù)
y?arcsin(x)，y?arccoxs)（y?arctan(x)以上五種函數(shù)為基本初等函數(shù)
6)雙曲函數(shù)
e?e2x?xy?arccot(x)
shx?
chx?xx?x?xe?e2x?x
thx?shxchx?e?ee?e
注：雙曲函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性。
雙曲函數(shù)公式
sh(x?y)?shx?chy?chx?shysh(x?y)?shx?chy?chx?shych(x?y)?chx?chy?shx?shy ch(x?y)?chx?chy?shx?shyy?arshx反雙曲函數(shù)：y?archxy?arthx
作業(yè)： 同步練習冊練習一
第二節(jié)：數(shù)列的極限
一、數(shù)列
數(shù)列就是由數(shù)組成的序列。
1）這個序列中的每個數(shù)都編了號。
2）序列中有無限多個成員。一般寫成：a1縮寫為?un?
例 1 數(shù)列??是這樣一個數(shù)列?xn?，其中
?n??1?a2a3a4??an??
xn?也可寫為：
1121n，n?1,2,3,4,5???
131415????
1n?0 可發(fā)現(xiàn)：這個數(shù)列有個趨勢，數(shù)值越來越小，無限接近0，記為lim1、極限的??N定義：
???0?N?n?Nn??xn?a??則稱數(shù)列?xn?的極限為a，記成
limxn?a
n??也可等價表述：
1）???0
2）???0?N?N?n?N?n?N?(xna)??
xn?O(a?)
極限是數(shù)列中數(shù)的變化總趨勢，因此與數(shù)列中某個、前幾個的值沒有關系。
二、收斂數(shù)列的性質(zhì)
定理1：如果數(shù)列?xn?收斂，那么它的極限是唯一 定理2 如果數(shù)列?xn?收斂，那么數(shù)列?xn?一定有界
定理3：如果limxn?a且a>0(a0，當n>N時，xn?0x??(xn?0)
定理
4、如果數(shù)列{xn}收斂于a那么它的任一子 數(shù)列也收斂,且收斂于a。
第三節(jié)：函數(shù)的極限
一、極限的定義
1、在x0點的極限
1）x0可在函數(shù)的定義域內(nèi)，也可不在，不涉及f在x0有沒有定義，以及函數(shù)值f(x0)的大小。只要滿足：存在某個??0使：(x0??,x0)?(x0,x0??)?D。2）如果自變量x趨于x0時，相應的函數(shù)值 f(x)有一個總趨勢-----以某個實數(shù)A為極限，則記為 ：limf(x)?A。
x?x0形式定義為：
???0?????x(0?x?x0??)注：左、右極限。單側(cè)極限、極限的關系
2、x??的極限
設：y?f(x)x?(??,??)如果當時函數(shù)值 有一個總趨勢------該曲線有一條水平漸近
f(x)?A??
線y?A-----則稱函數(shù)在無限遠點?有極限。記為：limf(x)?A
x??
在無窮遠點?的左右極限：
f(??)?lim關系為： x???f(x)
f(??)?limf(x)
x???limf(x)?A?limf(x)?A?limf(x)
x??x???x???
二、函數(shù)極限的性質(zhì)
1、極限的唯一性
2、函數(shù)極限的局部有界性
3、函數(shù)極限的局部保號性
4、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系
第四節(jié)：無窮小與無窮大
一、無窮小定義
定義：對一個數(shù)列?xn?，如果成立如下的命題： ???0??N??n?N?xn?注：
1、??? 則稱它為無窮小量，即limxn?0
x???的意義；
2、xn??可寫成xn?0??；?(0,xn)??
3、上述命題可翻譯成：對于任意小的正數(shù)?，存在一個號碼N，使在這個號碼以后的所有的號碼n，相應的xn與極限0的距離比這個給定的?還小。它是我們在直觀上對于一個數(shù)列趨于0的認識。
定理1 在自變量的同一變化過程x?x0（或x??)中，函數(shù)f?x?具有極限A的充分必要條件是f(x)?A??，其中?是無窮小。
二、無窮大定義
一個數(shù)列?xn?，如果成立：
?G?0??N??n?N?xn?G那么稱它為無窮大量。記成：limxn??。
x?? 特別地，如果?G?0??N??n?N?xn?G，則稱為正無窮大，記成limxn???
x??特別地，如果?G?0??N??n?N?xn??G，則稱為負無窮大，記成limxn??? x??注：無法區(qū)分正負無窮大時就籠統(tǒng)地稱之為無窮大量。
三、無窮小和無窮大的關系
定理2 在自變量的同一變化過程中，如果f(x)為無窮大，則
1f(x)為無窮小；反之，如果f(x)為無窮小，且f(x)?0則
1f(x)為無窮大
即：非零的無窮小量與無窮大量是倒數(shù)關系：當xn?0時：有
lim?0?limx??1xnx????
lim???limx??1xnx???0
注意是在自變量的同一個變化過程中
第五節(jié)：極限運算法則
1、無窮小的性質(zhì)
設?xn?和?yn?是無窮小量于是：（1）兩個無窮小量的和差也是無窮小量：
limxn?0x??limyn?0?lim(xn?yn)?0
x??x??（2）對于任意常數(shù)C，數(shù)列?c?xn?也是無窮小量：
limxn?0?lim(c?xn)?0 x??x??（3）xn?yn也是無窮小量，兩個無窮小量的積是一個無窮小量。
limxn?0x????limyn?0?lim(xn?yn)?0
x??x??（4）?xn?也是無窮小量：
x?x0limxn?0?limxn?0
x?x0（5）無窮小與有界函數(shù)的積為無窮小。
2、函數(shù)極限的四則運算
1、若函數(shù)f和g在點x0有極限，則
lim(f(x)?g(x))?limf(x)?limg(x)
x?x0x?x0x?x0
2、函數(shù)f在點x0有極限，則對任何常數(shù)a成立
lim(a?f(x))?a?limx?x0x?x0f(x)
3、若函數(shù)f和g在點x0有極限，則
lim(f(x)?g(x))?limf(x)?limg(x)
x?x0x?x0x?x03、若函數(shù)f和g在點x0有極限，并且limg(x)???0，則
x?x0limf(x)?f(x)?x?x0????
lim?
x?x0?g(x)?limg(x)???x?x0極限的四則運算成立的條件是若函數(shù)f和g在點x0有極限 例：求下述極限
lim
x?3x?3x?92limx?12x?3x?5x?42limx??3x?2x?12x?x?5322
4、limx??3x?4x?27x?5x?33232limx??sinxxlimx??2x?x?53x?2x?1232復合函數(shù)的極限運算法則
定理6 設函數(shù)y?f[g(x)}是由函數(shù)y?f(u)與u?g(x)復合而成，f[g(x)]在點x0的 某去心鄰域內(nèi)有定義，若limg(x)?u0，x?x00u?u0limf(u)?A，且存在?0?0，當x?u(x0,?0)時，有
g(x)?u0，則
x?x0limf[g(x)]?limf(u)?Au?u0第六節(jié)：極限存在準則
兩個重要極限
定理1 夾逼定理 ：三數(shù)列?xn?、?yn?和?zn?，如果從某個號碼起成立：1）xn?yn?zn，并且已知?xn?和?zn?收斂，2）limxn?a?limzn，則有結(jié)論：
x??x??limyn?a
x??
定理2 單調(diào)有界數(shù)列一定收斂。
單調(diào)增加有上界的數(shù)列一定收斂；單調(diào)減少有下界的數(shù)列一定收斂。
例：證明：limx?0sinxx?1
例：
limx?0
例：證明：lim(1?x??tanxx
limx?01?cosxxlimx?0arcsinxx
1x)有界。求 lim(1?)x的極限
x??x1x
第七節(jié)：無窮小的比較
定義：若?,?為無窮小
limlim????????0???c?0?c?0?1且
limlimlim
?K??高階、低階、同階、k階、等價?～?
1、若?,?為等價無窮小，則?????(?)
2、若?～?1、?～?1且
lim??11??11存在，則： lim???lim
例：
limx?0tan2xsin5x limx?0sinxx?3xlimx?0(1?x)3?1cosx?12
第八節(jié)：函數(shù)的連續(xù)性與間斷點
一、函數(shù)在一點的連續(xù)性
函數(shù)f在點x0連續(xù)，當且僅當該點的函數(shù)值f(x0)、左極限f(x0?0)與右極限f(x0?0)三者相等：
f(x0?0)?f(x0)?f(x0?0)
或者：當且僅當函數(shù)f在點x0有極限且此極限等于該點的函數(shù)值。
limf(x)?f(x0)
其形式定義如下：
x?x0???0???x(x?x0??)f(x)?f(x0)??
函數(shù)在區(qū)間（a,b）連續(xù)指：區(qū)間中每一點都連續(xù)。函數(shù)在區(qū)間［a,b］連續(xù)時裝意端點。注：左右連續(xù)，在區(qū)間上連續(xù)(注意端點)
連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連續(xù)且不間斷的曲線
二、間斷點
若：f(x0?0)?f(x0)?f(x0?0)中有某一個等式不成立，就間斷，分為：
1、第一類間斷點：
f(x0?0)?f(x0?0)
即函數(shù)在點的左右極限皆存在但不相等，曲線段上出現(xiàn)一個跳躍。、第二類間斷點x0：左極限f(x0?0)與右極限f(x0?0)兩者之中至少有一個不存在
例：見教材
第九節(jié)：連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性
一、連續(xù)函數(shù)的四則運算
1.limf(x)?f(x0)且limg(x)?g(x0)，x?x0x?x0?lim???f(x)???g(x)????f(x0)???g(x0)
x?x02limf(x)?f(x0)且limg(x)?g(x0)，x?x0x?x0?limx?x0?f(x)?g(x)??x?x0f(x0)?g(x0)
3.limf(x)?f(x0)且limg(x)?g(x0)?0，x?x0?limx?xf(x)0g(x)?f(x0)g(x0)
x?Df是嚴格單調(diào)增加（減少）并且連續(xù)
反函數(shù)連續(xù)定理：如果函數(shù)f:y?f(x)的，則存在它的反函數(shù)f并且連續(xù)的。
注： 1）反函數(shù)的定義域就是原來的值域。
?1：x?f?1(y)y?Df并且f?1也是嚴格單調(diào)增加（減少）2）通常慣用X表示自變量，Y表示因變量。反函數(shù)也可表成
y?f?1(x)x?Df?1
復合函數(shù)的連續(xù)性定理：
設函數(shù)f和g滿足復合條件?g?Df，若函數(shù)g在點x0連續(xù)；g(x0)?u0，又若f函數(shù)在點u0連續(xù)，則復合函數(shù)f?g在點x0連續(xù)。
注：復合函數(shù)的連續(xù)性可以保證極限號與函數(shù)符號的交換：
x?x0limf(g(x))?f(limg(x))
x?x0從這些基本初等函數(shù)出,通過若干次四則運算以及復合，得到的種種函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù)，并且：初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。
第十節(jié)：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)
一、最大、最小值
設函數(shù)：y?f(x),x?D在上有界，現(xiàn)在問在值域
D1??yy?f(x),x?D?
中是否有一個最大的實數(shù)？如果存在，譬如說它是某個點x0?D的函數(shù)值 y0?f(x0)，則記y0?max?f(x)?叫做函數(shù)在D上的最大值。
x?D
類似地，如果 Df中有一個最小實數(shù)，譬如說它是某個點x2?Df的函數(shù)值y2?f(x2)，則記y2?min
二、有界性
x?Df?f(x)?稱為函數(shù)在上的最小值。
有界性定理：如果函數(shù)f在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則它在?a,b?上有界。
三、零點、介值定理
最大值和最小值定理：如果函數(shù) f在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)則它在?a,b?上有最大值和最小值，也就是說存在兩個點?和?，使得
f(?)?f(x)?f(?),亦即
x??a,b?
f(?)?min x??a,b??f(x)?
f(?)?max?f(x)?
x??a,b? 若x0使f(x0)?0，則稱x0為函數(shù)的零點
零點定理：
如果函數(shù)f在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，且f在區(qū)間?a,b?的兩個端點異號：f(a)*f(b)?0則至少有一個零點??(a,b)，使f(?)?0
中值定理：
如果函數(shù)f在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則f在?a,b?上能取到它的最大值和最小值之間的任何一個中間值。
作業(yè)：見課后各章節(jié)練習。
高等數(shù)學課件 篇7
高等數(shù)學教案
微分方程
第七章
微分方程
教學目的：
1．了解微分方程及其解、階、通解，初始條件和特等概念。2．熟練掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法。
3．會解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變量代換解某些微分方程。4． 會用降階法解下列微分方程：y(n)?f(x)，y???f(x,y?)和y???f(y,y?)
5． 理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理。
6．掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程。
7.求自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解和通解。
8.會解歐拉方程，會解包含兩個未知函數(shù)的一階常系數(shù)線性微分方程組。9．會解微分方程組（或方程組）解決一些簡單的應用問題。教學重點：
1、可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法
(n)
2、可降階的高階微分方程y?f(x)，y???f(x,y?)和y???f(y,y?)
3、二階常系數(shù)齊次線性微分方程；
4、自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程；
教學難點：
1、齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程；
2、線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理；
3、自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解。
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微分方程
§7? 1 微分方程的基本概念
函數(shù)是客觀事物的內(nèi)部聯(lián)系在數(shù)量方面的反映? 利用函數(shù)關系又可以對客觀事物的規(guī)律性進行研究? 因此如何尋找出所需要的函數(shù)關系? 在實踐中具有重要意義? 在許多問題中? 往往不能直接找出所需要的函數(shù)關系? 但是根據(jù)問題所提供的情況? 有時可以列出含有要找的函數(shù)及其導數(shù)的關系式? 這樣的關系就是所謂微分方程? 微分方程建立以后? 對它進行研究? 找出未知函數(shù)來? 這就是解微分方程?
例1 一曲線通過點(1? 2)? 且在該曲線上任一點M(x? y)處的切線的斜率為2x? 求這曲線的方程?
解 設所求曲線的方程為y?y(x)? 根據(jù)導數(shù)的幾何意義? 可知未知函數(shù)y?y(x)應滿足關系式(稱為微分方程)
dy?2x?
(1)
dx此外? 未知函數(shù)y?y(x)還應滿足下列條件?
x?1時? y?2? 簡記為y|x?1?2?
(2)把(1)式兩端積分? 得(稱為微分方程的通解)
y?2xdx? 即y?x2?C?
(3)其中C是任意常數(shù)?
把條件“x?1時? y?2”代入(3)式? 得
2?12?C?
由此定出C?1? 把C?1代入(3)式? 得所求曲線方程(稱為微分方程滿足條件y|x?1?2的解)?
y?x2?1?
例2 列車在平直線路上以20m/s(相當于72km/h)的速度行駛? 當制動時列車獲得加速度?0?4m/s2? 問開始制動后多少時間列車才能停住? 以及列車在這段時間里行駛了多少路程?
解 設列車在開始制動后t秒時行駛了s米? 根據(jù)題意? 反映制動階段列車運動規(guī)律的函數(shù)s?s(t)應滿足關系式 ?d2s??0.?
(4)dt2此外? 未知函數(shù)s?s(t)還應滿足下列條件?
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微分方程
t?0時? s?0? v?ds?20? 簡記為s|=0? s?|=20?
(5)
t?0t?0dt
把(4)式兩端積分一次? 得
v?ds??0.4t?C?
(6)1dt再積分一次? 得
s??0?2t2 ?C1t ?C2?
(7)這里C1? C2都是任意常數(shù)?
把條件v|t?0?20代入(6)得
20?C1?
把條件s|t?0?0代入(7)得0?C2?
把C1? C2的值代入(6)及(7)式得
v??0?4t ?20?
(8)
s??0?2t2?20t?
(9)在(8)式中令v?0? 得到列車從開始制動到完全停住所需的時間
t?20?50(s)?
0.4再把t?50代入(9)? 得到列車在制動階段行駛的路程
s??0?2?502?20?50?500(m)?
幾個概念?
微分方程? 表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導數(shù)與自變量之間的關系的方程? 叫微分方程?
常微分方程? 未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程? 叫常微分方程?
偏微分方程? 未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程? 叫偏微分方程?
微分方程的階? 微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導數(shù)的階數(shù)? 叫微分方程的階?
x3 y????x2 y???4xy??3x2 ?
y(4)?4y????10y???12y??5y?sin2x?
y(n)?1?0?
一般n階微分方程?
F(x? y? y??
? ? ? ? y(n))?0?
y(n)?f(x? y? y??
? ? ? ? y(n?1))?
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微分方程
微分方程的解? 滿足微分方程的函數(shù)(把函數(shù)代入微分方程能使該方程成為恒等式)叫做該微分方程的解? 確切地說? 設函數(shù)y??(x)在區(qū)間I上有n階連續(xù)導數(shù)? 如果在區(qū)間I上?
F[x? ?(x)? ??(x)? ? ? ?? ?(n)(x)]?0?
那么函數(shù)y??(x)就叫做微分方程F(x? y? y?? ? ? ?? y(n))?0在區(qū)間I上的解?
通解? 如果微分方程的解中含有任意常數(shù)? 且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同? 這樣的解叫做微分方程的通解?
初始條件? 用于確定通解中任意常數(shù)的條件? 稱為初始條件? 如
x?x0 時? y?y0 ? y?? y?0 ?
一般寫成
??
yx?x0?y0? y?x?x0?y0
特解? 確定了通解中的任意常數(shù)以后? 就得到微分方程的特解? 即不含任意常數(shù)的解?
初值問題? 求微分方程滿足初始條件的解的問題稱為初值問題?
如求微分方程y??f(x?
y)滿足初始條件yx?x0?y0的解的問題? 記為
?y??f(x,y)
?? yx?x0?y0?
積分曲線? 微分方程的解的圖形是一條曲線? 叫做微分方程的積分曲線?
d2x?k2x?0
例3 驗證? 函數(shù) x?C1cos kt?C2 sin kt是微分方程
的解?
dt
2解 求所給函數(shù)的導數(shù)?
dx??kCsinkt?kCcoskt? 12dtd2x??k2Ccoskt?k2Csinkt??k2(Ccoskt?Csinkt)
?
1212dt2d2x將2及x的表達式代入所給方程? 得 dt
?k2(C1cos kt?C2sin kt)? k2(C1cos kt?C2sin kt)?0?
d2x?k2x?0
這表明函數(shù)x?C1coskt?C2sinkt 滿足方程2? 因此所給函數(shù)是所給方程的解?
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微分方程
例4 已知函數(shù)x?C1coskt?C2sinkt(k?0)是微分方程
x| t?0 ?A? x?| t?0 ?0 的特解?
解
由條件x| t?0 ?A及x?C1 cos kt?C2 sin kt? 得
C1?A?
再由條件x?| t?0 ?0? 及x?(t)??kC1sin kt?kC2cos kt? 得
C2?0?
把C1、C2的值代入x?C1cos kt?C2sin kt中? 得
x?Acos kt?
作業(yè)：P298：4
d2x?k2x?0的通解? 求滿足初始條件 2dt
§7? 2 可分離變量的微分方程
觀察與分析?
1? 求微分方程y??2x的通解? 為此把方程兩邊積分? 得 y?x2?C?
一般地? 方程y??f(x)的通解為y?f(x)dx?C(此處積分后不再加任意常數(shù))?
2? 求微分方程y??2xy2 的通解?
因為y是未知的? 所以積分2xy2dx無法進行? 方程兩邊直
??接積分不能求出通解?
為求通解可將方程變?yōu)?BR> ? 1dy?2xdx? 兩邊積分? 得
y21?x2?C1? ? 或y??2yx?C三峽大學高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案
微分方程
可以驗證函數(shù)y??1是原方程的通解?
x2?C
一般地? 如果一階微分方程y???(x, y)能寫成 g(y)dy?f(x)dx
形式? 則兩邊積分可得一個不含未知函數(shù)的導數(shù)的方程
G(y)?F(x)?C?
由方程G(y)?F(x)?C所確定的隱函數(shù)就是原方程的通解
對稱形式的一階微分方程?
一階微分方程有時也寫成如下對稱形式?
P(x? y)dx?Q(x? y)dy?0 在這種方程中? 變量x與y 是對稱的?
若把x看作自變量、y看作未知函數(shù)? 則當Q(x,y)?0時? 有
dyP(x,y)???
dxQ(x,y)dx??Q(x,y)?
dyP(x,y)若把y看作自變量、x看作未知函數(shù)? 則當P(x,y)?0時? 有
可分離變量的微分方程?
如果一個一階微分方程能寫成
g(y)dy?f(x)dx(或?qū)懗蓎???(x)?(y))的形式? 就是說? 能把微分方程寫成一端只含y的函數(shù)和dy? 另一端只含x的函數(shù)和dx? 那么原方程就稱為可分離變量的微分方程?
討論? 下列方程中哪些是可分離變量的微分方程？(1)y??2xy?
是? ?y?1dy?2xdx ?(2)3x2?5x?y??0?
是? ?dy?(3x2?5x)dx?(3)(x2?y2)dx?xydy=0?
不是?
(4)y??1?x?y2?xy2? 是? ?y??(1?x)(1?y2)?(5)y??10x?y?
是? ?10?ydy?10xdx?(6)y??x?y?
不是? yx三峽大學高等數(shù)學課程建設組
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微分方程
可分離變量的微分方程的解法?
第一步
分離變量? 將方程寫成g(y)dy ?f(x)dx的形式?
第二步
兩端積分?g(y)dy?f(x)dx? 設積分后得G(y)?F(x)?C?
第三步
求出由G(y)?F(x)?C所確定的隱函數(shù)y??(x)或x??(y)G(y)?F(x)?C ? y??(x)或x??(y)都是方程的通解? 其中G(y)?F(x)?C稱為隱式(通)解?
例1 求微分方程??dy?2xy的通解?
dx
解
此方程為可分離變量方程? 分離變量后得
1dy?2xdx?
y1dy?2xdx?
?y?兩邊積分得
即
ln|y|?x2?C1?
從而
y??ex2?C1??eC1ex? 2因為?eC1仍是任意常數(shù)? 把它記作C? 便得所給方程的通解
y?Cex?
例2 鈾的衰變速度與當時未衰變的原子的含量M成正比? 已知t?0時鈾的含量為M0? 求在衰變過程中鈾含量M(t)隨時間t變化的規(guī)律?
解 鈾的衰變速度就是M(t)對時間t的導數(shù)2dM?
dtdM???M?
dtdM?0?
dt
由于鈾的衰變速度與其含量成正比? 故得微分方程其中?(?>0)是常數(shù)? ?前的曲面號表示當t增加時M單調(diào)減少? 即由題意? 初始條件為 M|t?0?M0?
將方程分離變量得
dM???dt?
M三峽大學高等數(shù)學課程建設組
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兩邊積分? 得dM?(??)dt?
?M?即
lnM???t?lnC? 也即M?Ce??t?
由初始條件? 得M0?Ce0?C?
所以鈾含量M(t)隨時間t變化的規(guī)律M?M0e??t ?
例3 設降落傘從跳傘塔下落后? 所受空氣阻力與速度成正比? 并設降落傘離開跳傘塔時速度為零? 求降落傘下落速度與時間的函數(shù)關系?
解
設降落傘下落速度為v(t)? 降落傘所受外力為F?mg?kv(k為比例系數(shù))? 根據(jù)牛頓第二運動定律F?ma? 得函數(shù)v(t)應滿足的方程為
mdv?mg?kv?
dt初始條件為
v|t?0?0?
方程分離變量? 得
dv?dt?
mg?kvm兩邊積分? 得?mg?kv??m?
t?C?
m1dvdt
?ln(mg?kv)?1k?kC1?ktmg?Cem(C??e即
v?)?
kkmg將初始條件v|t?0?0代入通解得C???
k?ktmg(1?em)?
于是降落傘下落速度與時間的函數(shù)關系為v?kdy?1?x?y2?xy2的通解?
例4 求微分方程dx
解 方程可化為
dy?(1?x)(1?y2)?
dx分離變量得
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1dy?(1?x)dx?
1?y21dy?(1?x)dx? 即1x2?x?C?
arctany??1?y2?2兩邊積分得
于是原方程的通解為y?tan(x2?x?C)?
作業(yè)：P304：1（1）（2）（3）（7）（9）（10），2（2）（4），3
§7? 3 齊次方程
齊次方程?
如果一階微分方程12dy?f(x,y)中的函數(shù)f(x, y)可寫成 dxyy的函數(shù)? 即f(x,y)??()? 則稱這方程為齊次方程?
xx
下列方程哪些是齊次方程？
dyy?y2?x2dyyy
(1)xy??y?y?x?0是齊次方程??????()2?1?
dxxdxxx22dy1?y
2(2)1?xy??1?y不是齊次方程???
?dx1?x222dyx2?y2dyxy?????
(3)(x?y)dx?xydy?0是齊次方程? ?dxxydxyx22
(4)(2x?y?4)dx?(x?y?1)dy?0不是齊次方程??
(5)(2xshdy2x?y?4???
dxx?y?1yyy?3ych)dx?3xchdy?0是齊次方程?
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yy2xsh?3ychdyxx?dy?2thy?y ?
?ydxdx3xx3xchx
齊次方程的解法?
在齊次方程
u?x分離變量? 得
ydyy??()中? 令u?? 即y?ux? 有 dxxxdu??(u)?
dxdu?dx? ?(u)?uxdu?dx??(u)?u?x? 兩端積分? 得
求出積分后? 再用y代替u? 便得所給齊次方程的通解?
xdydy?xy?
dxdx
例1 解方程y2?x2
解
原方程可寫成
y2()dyyx??
?
2ydxxy?x?1x2因此原方程是齊次方程? 令
y?ux? 于是原方程變?yōu)?BR> u?x即
xy?u? 則 xdy?u?xdu?
dxdxdu?u2?
dxu?1du?u?
dxu?1分離變量? 得
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(1?)du?1udx?
x兩邊積分? 得u?ln|u|?C?ln|x|?
或?qū)懗蒷n|xu|?u?C?
以y代上式中的u? 便得所給方程的通解 x
ln|y|?y?C?
x
例2 有旋轉(zhuǎn)曲面形狀的凹鏡? 假設由旋轉(zhuǎn)軸上一點O發(fā)出的一切光線經(jīng)此凹鏡反射后都與旋轉(zhuǎn)軸平行? 求這旋轉(zhuǎn)曲面的方程?
解 設此凹鏡是由xOy面上曲線L? y?y(x)(y>0)繞x軸旋轉(zhuǎn)而成? 光源在原點? 在L上任取一點M(x, y)? 作L的切線交x軸于A? 點O發(fā)出的光線經(jīng)點M反射后是一條平行于x軸射線? 由光學及幾何原理可以證明OA?OM?
因為
OA?AP?OP?PMcot??OP?而
OM?x2?y2?
于是得微分方程
y?x?
y?y?x?x2?y2? y?整理得dx?x?(x)2?1? 這是齊次方程?
dyyydx?x?(x)2?1?
dyyy
問題歸結(jié)為解齊次方程
令即
yx?vdv?v?v2?1? 即x?yv? 得v?y?
dyydv?v2?1? dy分離變量? 得dv?dy?
v2?1yyy, ?(?v)2?v2?1, CC兩邊積分? 得 ln(v?v2?1)?lny?lnC, ?v?v2?1?三峽大學高等數(shù)學課程建設組
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y22yv??1?
C2C以yv?x代入上式? 得y2?2C(x?C)?
2這是以x軸為軸、焦點在原點的拋物線? 它繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為
y2?z2?2C(x?C)? 2這就是所求的旋轉(zhuǎn)曲面方程?
例3 設一條河的兩岸為平行直線? 水流速度為a? 有一鴨子從岸邊點A游向正對岸點O? 設鴨子的游速為b(b>a)? 且鴨子游動方向始終朝著點O? 已知OA?h? 求鴨子游過的跡線的方程?
解 取O為坐標原點? 河岸朝順水方向為x軸? y 軸指向?qū)Π? 設在時刻t鴨子位于點P(x, y)? 則鴨子運動速度
v?(vx, vy)?(dx, dy)? 故有dx?vx?
dyvydtdt?x, ?y)? v?(a?bx, ?by)?
x2?y2x2?y2x2?y2x2?y2另一方面? v?a?b?(a, 0)?b(因此dx?vx??a(x)2?1?x? 即dx??a(x)2?1?x?
dybyydyvybyydx??a(x)2?1?x?
dybyy
問題歸結(jié)為解齊次方程
令
yx?u? 即x?yu? 得 ydu??au2?1? dyb分離變量? 得du??ady?
u2?1by兩邊積分? 得 arshu??(lny?lnC)? bax1[(Cy)1?b?(Cy)1?b]?
將u?代入上式并整理? 得x?y2C三峽大學高等數(shù)學課程建設組
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以x|y?h?0代入上式? 得C?1? 故鴨子游過的軌跡方程為 haay1?by1?bh?()]? 0?y?h?
x?[()2hhb將u?x代入arshu??(lny?lnC)后的整理過程?
yaarshx??b(lny?lnC)
ya???x?shln(Cy)a?x?1[(Cy)a?(Cy)a] yy2b?by1?b1?b1aa?x?[(Cy)?(Cy)]?x?[(Cy)a?(Cy)a]?
2C2bbb作業(yè)：P309：1（1）（3）（5），2
§7.4 線性微分方程
一、線性方程
線性方程?
方程dy?P(x)y?Q(x)叫做一階線性微分方程? ?dxdydy?P(x)y?0叫做對應于非齊次線性方程?P(x)y?Q(x)的齊次線性方程?
dxdxdydy?y??1y?0是齊次線性方程? dxdxx?2如果Q(x)?0 ? 則方程稱為齊次線性方程? 否則方程稱為非齊次線性方程?
方程
下列方程各是什么類型方程？
(1)(x?2)
(2)3x2?5x?5y??0?y??3x2?5x ? 是非齊次線性方程?
(3)y??y cos x?e?sin x ? 是非齊次線性方程?
(4)dy?10x?y? 不是線性方程? dx三峽大學高等數(shù)學課程建設組
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3dy3(y?1)2dydxx?x?0???0或?
(5)(y?1)? 不是線性方程?
dxdydx(y?1)2x
32齊次線性方程的解法?
齊次線性方程
dy?P(x)y?0是變量可分離方程? 分離變量后得 dxdy??P(x)dx?
y兩邊積分? 得
ln|y|??P(x)dx?C1?
?P(x)dx(C??eC1)?
或
y?Ce??這就是齊次線性方程的通解（積分中不再加任意常數(shù)）?
例
1求方程(x?2)dy?y的通解?
dx
解
這是齊次線性方程? 分離變量得
dydx??
yx?2兩邊積分得
ln|y|?ln|x?2|?lnC?
方程的通解為
y?C(x?2)?
非齊次線性方程的解法?
將齊次線性方程通解中的常數(shù)換成x的未知函數(shù)u(x)? 把
?P(x)dx
y?u(x)e?
設想成非齊次線性方程的通解? 代入非齊次線性方程求得
?P(x)dx?P(x)dx?P(x)dx?u(x)e?P(x)?P(x)u(x)e??Q(x)?
u?(x)e?化簡得
u?(x)?Q(x)e?P(x)dx?
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高等數(shù)學教案
微分方程
u(x)?Q(x)e??P(x)dxdx?C?
于是非齊次線性方程的通解為
?P(x)dxP(x)dx
y?e?[Q(x)e?dx?C]? ??P(x)dx?P(x)dxP(x)dx或
y?Ce??e?Q(x)e?dx? ?非齊次線性方程的通解等于對應的齊次線性方程通解與非齊次線性方程的一個特解之和?
5dy2y??(x?1)2的通解?
例2 求方程dxx?1
解
這是一個非齊次線性方程?
先求對應的齊次線性方程分離變量得
dy2y??0的通解?
dxx?1dy2dx??
yx?1兩邊積分得
ln y?2ln(x?1)?ln C?
齊次線性方程的通解為
y?C(x?1)2?
用常數(shù)變易法? 把C換成u? 即令y?u?(x?1)2? 代入所給非齊次線性方程? 得
52u?(x?1)2?(x?1)2
u??(x?1)?2u?(x?1)?x?12
1u??(x?1)2?
兩邊積分? 得 u?(x?1)2?C?
3再把上式代入y?u(x?1)2中? 即得所求方程的通解為 32
y?(x?1)[(x?1)2?C]?
323
例3 有一個電路如圖所示? 其中電源電動勢為E?Emsin?t(Em、?都是常數(shù))? 電阻R和電感L都是常量? 求電流i(t)?
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微分方程
解
由電學知道? 當電流變化時? L上有感應電動勢?L
E?L即
di? 由回路電壓定律得出 dtdi?iR?0?
dtdi?Ri?E?
dtLLdi?Ri?Emsin? t?
dtLL
把E?Emsin? t代入上式? 得
初始條件為
i|t?0?0?
di?Ri?Emsin? t為非齊次線性方程? 其中
dtLLER? t?
P(t)?? Q(t)?msinLL
方程由通解公式? 得
i(t)?e??P(t)dt?dtdtEP(t)dt[?Q(t)e?dt?C]?e?L(?msin? te?Ldt?C)
LRRRttEm?ReL(?sin?teLdt?C)
?L?RtEm(Rsin? t?? Lcos? t)?CeL?
?222R??L其中C為任意常數(shù)?
將初始條件i|t?0?0代入通解? 得C?因此? 所求函數(shù)i(t)為
t? LEm?REmL?e(Rsin? t?? Lcos? t)?
i(t)?2R??2L2R2??2L2? LEm?
R2??2L
2二、伯努利方程
伯努利方程? 方程
dy?P(x)y?Q(x)yn(n?0? 1)dx叫做伯努利方程?
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微分方程
下列方程是什么類型方程？
(1)
(2)dy1?y?1(1?2x)y4? 是伯努利方程? dx33dydy?y?xy5? ??y?xy5? 是伯努利方程? dxdxxy
1(3)y???? ?y??y?xy?1? 是伯努利方程? yxx
(4)dy?2xy?4x? 是線性方程? 不是伯努利方程? dxdy?P(x)y1?n?Q(x)dx
伯努利方程的解法? 以yn除方程的兩邊? 得
y?n令z ?y1?n ? 得線性方程
dz?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x)?
dxdyy??a(lnx)y2的通解?
例4 求方程dxx
解 以y2除方程的兩端? 得
y?2dy1?1?y?alnx?
dxxd(y?1)1?1?y?alnx?
即
?dxx令z?y?1? 則上述方程成為
dz?1z??alnx?
dxxa2這是一個線性方程? 它的通解為
z?x[C?(lnx)2]?
以y?1代z ? 得所求方程的通解為
yx[C?(lnx)2]?1?
經(jīng)過變量代換? 某些方程可以化為變量可分離的方程? 或化為已知其求解方法的方程?
例
5解方程 a2dy?1?
dxx?y三峽大學高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案
微分方程
解
若把所給方程變形為
dx?x?y?
dy即為一階線性方程? 則按一階線性方程的解法可求得通解? 但這里用變量代換來解所給方程?
令x?y?u? 則原方程化為
du?1?1? 即du?u?1?
dxudxu分離變量? 得
udu?dx?
u?1兩端積分得
u?ln|u?1|?x?ln|C|?
以u?x?y代入上式? 得
y?ln|x?y?1|??ln|C|? 或x?Cey?y?1?
作業(yè)：P315：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5），7（1）（2）
§7? 5可降階的高階微分方程
一、y(n)?f(x)型的微分方程
解法? 積分n 次
y(n?1)?f(x)dx?C1? ?
y(n?2)?[f(x)dx?C1]dx?C2? ??
? ? ??
例1 求微分方程y????e2x?cos x 的通解?
解 對所給方程接連積分三次? 得
y???e2x?sinx?C1?
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12高等數(shù)學教案
微分方程
y??e2x?cosx?C1x?C2?
y?e2x?sinx?C1x2?C2x?C3?
這就是所給方程的通解?
或
y???e2x?sinx?2C1?
y??e2x?cosx?2C1x?C2?
y?e2x?sinx?C1x2?C2x?C3?
這就是所給方程的通解?
例2 質(zhì)量為m的質(zhì)點受力F的作用沿Ox軸作直線運動? 設力F僅是時間t的函數(shù)?F?F(t)? 在開始時刻t?0時F(0)?F0? 隨著時間t的增大? 此力F均勻地減小? 直到t?T時? F(T)?0? 如果開始時質(zhì)點位于原點? 且初速度為零? 求這質(zhì)點的運動規(guī)律?
解 設x?x(t)表示在時刻t時質(zhì)點的位置? 根據(jù)牛頓第二定律? 質(zhì)點運動的微分方程為
2dx
m2?F(t)?
dt141812121418由題設? 力F(t)隨t增大而均勻地減小? 且t?0時? F(0)?F0? 所以F(t)?F0?kt? 又當t?T時? F(T)?0? 從而
F(t)?F0(1?)?
于是質(zhì)點運動的微分方程又寫為 tTd2x?F0(1?t)
?
Tdt2mdx|?0? 其初始條件為x|t?0?0?
dtt?0
把微分方程兩邊積分? 得
dx?F0(t?t2)?C
1?
dtm2T再積分一次? 得
F012t x?(t?)?C1t?C2?
m26T由初始條件x|t?0?0? 得C1?C2?0?
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dx|?0?
dtt?0高等數(shù)學教案
微分方程
于是所求質(zhì)點的運動規(guī)律為
x?
二、y??? f(x? y?)型的微分方程
解法? 設y??p則方程化為
p??f(x? p)?
設p??f(x? p)的通解為p??(x?C1)? 則
F012t3(t?)? 0?t?T?
m26Tdy??(x,C1)?
dx原方程的通解為
y??(x,C1)dx?C2?
例3 求微分方程
(1?x2)y???2xy? 滿足初始條件
y|x?0?1? y?|x?0?3 的特解?
解 所給方程是y???f(x? y?)型的? 設y??p? 代入方程并分離變量后? 有
?dp2x?dx?
p1?x2兩邊積分? 得
ln|p|?ln(1?x2)?C?
即
p?y??C1(1?x2)(C1??eC)?
由條件y?|x?0?3? 得C1?3?
所以
y??3(1?x2)?
兩邊再積分? 得 y?x3?3x?C2?
又由條件y|x?0?1? 得C2?1?
于是所求的特解為
y?x3?3x?1?
例4 設有一均勻、柔軟的繩索? 兩端固定? 繩索僅受重力的作用而下垂? 試問該繩索在平衡狀態(tài)時是怎樣的曲線?
三、y???f(y? y?)型的微分方程
解法? 設y??p?有
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微分方程
y???原方程化為 dpdpdydp???p?
dxdydxdydp?f(y,p)?
dydp?f(y,p)的通解為y??p??(y? C1)? 則原方程的通解為 設方程pdy
p
dy??(y,C1)?x?C2?
dp?
dy
例5 求微分yy???y?2?0的通解?
解 設y??p? 則y???p代入方程? 得
ypdp2?p?0?
dy
在y?0、p?0時? 約去p并分離變量? 得
dpdy??
py兩邊積分得
ln|p|?ln|y|?lnc?
即
p?Cy或y??Cy(C??c)?
再分離變量并兩邊積分? 便得原方程的通解為
ln|y|?Cx?lnc1?
或
y?C1eCx(C1??c1)?
作業(yè)：P323：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5）
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微分方程
§7? 6 高階線性微分方程 一、二階線性微分方程舉例
例1 設有一個彈簧? 上端固定? 下端掛一個質(zhì)量為m 的物體? 取x 軸鉛直向下? 并取物體的平衡位置為坐標原點?
給物體一個初始速度v0?0后? 物體在平衡位置附近作上下振動? 在振動過程中? 物體的位置x是t的函數(shù)? x?x(t)?
設彈簧的彈性系數(shù)為c? 則恢復力f??cx?
又設物體在運動過程中受到的阻力的大小與速度成正比? 比例系數(shù)為?? 則
R??dx?
dt
由牛頓第二定律得
md2x??cx??dx?
2dtdt
移項? 并記2n??c? k2??
mmd2x?2ndx?k2x?0則上式化為
?
dtdt2這就是在有阻尼的情況下? 物體自由振動的微分方程?
如果振動物體還受到鉛直擾力
F?Hsin pt 的作用? 則有
d2x?2ndx?k2x?hsinpt
?
dtdt2H其中h?? 這就是強迫振動的微分方程?
m
例2 設有一個由電阻R、自感L、電容C和電源E串聯(lián)組成的電路? 其中R、L、及C為常數(shù)? 電源電動勢是時間t的函數(shù)? E?Emsin?t? 這里Em及?也是常數(shù)?
設電路中的電流為i(t)? 電容器極板上的電量為q(t)? 兩極板間的電壓為uc? 自感電動勢為EL ? 由電學知道
i?qdqdi? uc?? EL??L?
Cdtdt三峽大學高等數(shù)學課程建設組
高等數(shù)學教案
微分方程
根據(jù)回路電壓定律? 得
E?Ldi?q?Ri?0?
dtCd2ucduc?RC?uc?Emsin?t?
即
LC2dtdt或?qū)懗?BR> d2ucducEm2?2???u?sin?t?
0c2dtLCdtR? ??1? 這就是串聯(lián)電路的振蕩方程? 其中??02LLC
如果電容器經(jīng)充電后撤去外電源(E?0)? 則上述成為
d2ucduc2?2???0uc?0?
2dtdt
二階線性微分方程? 二階線性微分方程的一般形式為
y???P(x)y??Q(x)y?f(x)?
若方程右端f(x)?0時? 方程稱為齊次的? 否則稱為非齊次的?
二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)
先討論二階齊次線性方程
d2ydy?Q(x)y?0?
y???P(x)y??Q(x)y?0? 即2?P(x)dxdx
定理
1如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是方程
y???P(x)y??Q(x)y?0?的兩個解? 那么
y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程的解? 其中C1、C2是任意常數(shù)?
齊次線性方程的這個性質(zhì)表明它的解符合疊加原理?
證明 [C1y1?C2y2]??C1 y1??C2 y2??
[C1y1?C2y2]???C1 y1???C2 y2???
因為y1與y2是方程y???P(x)y??Q(x)y?0? 所以有
y1???P(x)y1??Q(x)y1?0及y2???P(x)y2??Q(x)y2?0?
從而
[C1y1?C2y2]???P(x)[ C1y1?C2y2]??Q(x)[ C1y1?C2y2]
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微分方程
?C1[y1???P(x)y1??Q(x)y1]?C2[y2???P(x)y2??Q(x)y2]?0?0?0?
這就證明了y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程y???P(x)y??Q(x)y?0的解
函數(shù)的線性相關與線性無關?
設y1(x)? y2(x)? ? ? ? ? yn(x)為定義在區(qū)間I上的n個函數(shù)? 如果存在n個不全為零的常數(shù)k1? k2? ? ? ? ? kn? 使得當x?I 時有恒等式
k1y1(x)?k2y2(x)?
? ? ? ? knyn(x)?0 成立? 那么稱這n個函數(shù)在區(qū)間I上線性相關? 否則稱為線性無關?
判別兩個函數(shù)線性相關性的方法?
對于兩個函數(shù)? 它們線性相關與否? 只要看它們的比是否為常數(shù)? 如果比為常數(shù)? 那么它們就線性相關? 否則就線性無關?
例如? 1? cos2x ? sin2x 在整個數(shù)軸上是線性相關的? 函數(shù)1? x? x2在任何區(qū)間(a, b)內(nèi)是線性無關的?
定理2 如果如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是方程
y???P(x)y??Q(x)y?0 的兩個線性無關的解? 那么
y?C1y1(x)?C2y2(x)(C1、C2是任意常數(shù))是方程的通解?
例3 驗證y1?cos x與y2?sin x是方程y???y?0的線性無關解? 并寫出其通解?
解 因為
y1???y1??cos x?cos x?0?
y2???y2??sin x?sin x?0?
所以y1?cos x與y2?sin x都是方程的解?
因為對于任意兩個常數(shù)k1、k2? 要使
k1cos x?k2sin x?0?
只有k1?k2?0? 所以cos x與sin x在(??, ??)內(nèi)是線性無關的?
因此y1?cos x與y2?sin x是方程y???y?0的線性無關解?
方程的通解為y?C1cos x?C2sin x?
例4 驗證y1?x與y2?ex是方程(x?1)y???xy??y?0的線性無關解? 并寫出其通解?
解 因為
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微分方程
(x?1)y1???xy1??y1?0?x?x?0?
(x?1)y2???xy2??y2?(x?1)ex?xex?ex?0?
所以y1?x與y2?ex都是方程的解?
因為比值e x/x 不恒為常數(shù)? 所以y1?x與y2?ex在(??, ??)內(nèi)是線性無關的?
因此y1?x 與y2?ex是方程(x?1)y???xy??y?0的線性無關解?
方程的通解為y?C1x?C2e x?
推論 如果y1(x)? y2(x)? ? ? ?? yn(x)是方程
y(n)?a1(x)y(n?1)? ? ? ? ?an?1(x)y?? an(x)y?0 的n個線性無關的解? 那么? 此方程的通解為
y?C1y1(x)?C2y2(x)? ? ? ? ? Cnyn(x)?
其中C1? C2? ? ? ?? Cn為任意常數(shù)?
二階非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)?
我們把方程
y???P(x)y??Q(x)y?0 叫做與非齊次方程
y???P(x)y??Q(x)y?f(x)對應的齊次方程?
定理3 設y*(x)是二階非齊次線性方程
y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的一個特解? Y(x)是對應的齊次方程的通解? 那么
y?Y(x)?y*(x)是二階非齊次線性微分方程的通解?
證明提示? [Y(x)?y*(x)]???P(x)[ Y(x)?y*(x)]??Q(x)[ Y(x)?y*(x)]
? [Y ???P(x)Y ??Q(x)Y ]?[ y* ???P(x)y* ??Q(x)y*]
?0? f(x)? f(x)?
例如? Y?C1cos x?C2sin x 是齊次方程y???y?0的通解? y*?x2?2是y???y?x2 的一個特解? 因此
y?C1cos x?C2sin x?x2?2 是方程y???y?x2的通解?
定理4 設非齊次線性微分方程 y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的右端f(x)幾個函數(shù)之和? 如
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微分方程
y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)? f2(x)?
而y1*(x)與y2*(x)分別是方程
y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)與y???P(x)y??Q(x)y?f2(x)的特解? 那么y1*(x)?y2*(x)就是原方程的特解?
證明提示?
[y1?y2*]???P(x)[ y1*?y2*]??Q(x)[ y1*?y2*]
?[ y1*???P(x)y1*??Q(x)y1*]?[ y2*???P(x)y2*??Q(x)y2*]
?f1(x)?f2(x)?
作業(yè)：P331：1（1）（3）（5）（7），4（1）（3）（5）
§7? 7 二階常系數(shù)齊次線性微分方程
二階常系數(shù)齊次線性微分方程? 方程 y???py??qy?0 稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程? 其中p、q均為常數(shù)?
如果y1、y2是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個線性無關解? 那么y?C1y1?C2y2就是它的通解?
我們看看?
能否適當選取r? 使y?erx
滿足二階常系數(shù)齊次線性微分方程? 為此將y?erx代入方程
y???py??qy?0 得
(r 2?pr?q)erx ?0?
由此可見? 只要r滿足代數(shù)方程r2?pr?q?0? 函數(shù)y?erx就是微分方程的解?
特征方程? 方程r2?pr?q?0叫做微分方程y???py??qy?0的特征方程? 特征方程的兩個根r1、r2可用公式
?p??p2?4q
r 1,2?2求出?
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微分方程
特征方程的根與通解的關系?
(1)特征方程有兩個不相等的實根r1、r2時? 函數(shù)y1?er1x、y2?er2x是方程的兩個線性無關的解?
這是因為?
函數(shù)y1?er1x、y2?er2x是方程的解? 又因此方程的通解為
y?C1er1x?C2er2x?
(2)特征方程有兩個相等的實根r1?r2時? 函數(shù)y1?er1x、y2?xer1x是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個線性無關的解?
這是因為? y1?er1x是方程的解? 又
r1xr1x2r1x
(xer1x)???p(xer1x)??q(xer1x)?(2r1?xr1?xr1)e?p(1)e?qxe r1x
2?er1x(2r1?p)?xe(r1?pr1?q)?0?
y1er1x(r1?r2)x不是常數(shù)?
??ey2er2xy2xer1x??x不是常數(shù)?
所以y2?xe也是方程的解? 且y1er1xr1x
因此方程的通解為
y?C1er1x?C2xer1x?
(3)特征方程有一對共軛復根r1, 2???i?時? 函數(shù)y?e(??i?)x、y?e(??i?)x是微分方程的兩個線性無關的復數(shù)形式的解? 函數(shù)y?e?xcos?x、y?e?xsin?x是微分方程的兩個線性無關的實數(shù)形式的解?
函數(shù)y1?e(??i?)x和y2?e(??i?)x都是方程的解? 而由歐拉公式? 得
y1?e(??i?)x?e?x(cos?x?isin?x)?
y2?e(??i?)x?e?x(cos?x?isin?x)?
1y1?y2?2e?xcos?x? e?xcos?x?(y1?y2)?
2三峽大學高等數(shù)學課程建設組
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微分方程
1y1?y2?2ie?xsin?x? e?xsin?x?(y1?y2)?
2i故e?xcos?x、y2?e?xsin?x也是方程解?
可以驗證? y1?e?xcos?x、y2?e?xsin?x是方程的線性無關解?
因此方程的通解為
y?e?x(C1cos?x?C2sin?x)?
求二階常系數(shù)齊次線性微分方程y???py??qy?0的通解的步驟為?
第一步
寫出微分方程的特征方程
r2?pr?q?0 第二步
求出特征方程的兩個根r1、r2?
第三步
根據(jù)特征方程的兩個根的不同情況? 寫出微分方程的通解?
例1 求微分方程y???2y??3y?0的通解?
解 所給微分方程的特征方程為
r2?2r?3?0? 即(r?1)(r?3)?0?
其根r1??1? r2?3是兩個不相等的實根? 因此所求通解為
y?C1e?x?C2e3x?
例2 求方程y???2y??y?0滿足初始條件y|x?0?
4、y?| x?0??2的特解?
解 所給方程的特征方程為
r2?2r?1?0? 即(r?1)2?0?
其根r1?r2??1是兩個相等的實根? 因此所給微分方程的通解為
y?(C1?C2x)e?x?
將條件y|x?0?4代入通解? 得C1?4? 從而
y?(4?C2x)e?x?
將上式對x求導? 得
y??(C2?4?C2x)e?x?
再把條件y?|x?0??2代入上式? 得C2?2? 于是所求特解為
x?(4?2x)e?x?
例 3 求微分方程y???2y??5y? 0的通解?
解 所給方程的特征方程為
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微分方程
r2?2r?5?0?
特征方程的根為r1?1?2i? r2?1?2i? 是一對共軛復根?
因此所求通解為
y?ex(C1cos2x?C2sin2x)?
n 階常系數(shù)齊次線性微分方程? 方程
y(n)?p1y(n?1)?p2 y(n?2)? ? ? ? ? pn?1y??pny?0?
稱為n 階常系數(shù)齊次線性微分方程? 其中 p1?
p2 ? ? ? ? ? pn?1? pn都是常數(shù)?
二階常系數(shù)齊次線性微分方程所用的方法以及方程的通解形式? 可推廣到n 階常系數(shù)齊次線性微分方程上去?
引入微分算子D? 及微分算子的n次多項式?
L(D)=Dn ?p1Dn?1?p2 Dn?2 ? ? ? ? ? pn?1D?pn? 則n階常系數(shù)齊次線性微分方程可記作
(Dn ?p1Dn?1?p2 Dn?2 ? ? ? ? ? pn?1D?pn)y?0或L(D)y?0? 注? D叫做微分算子D0y?y? Dy?y?? D2y?y??? D3y?y???? ? ? ??Dny?y(n)?
分析? 令y?erx? 則
L(D)y?L(D)erx?(rn ?p1rn?1?p2 rn?2 ? ? ? ? ? pn?1r?pn)erx?L(r)erx?
因此如果r是多項式L(r)的根? 則y?erx是微分方程L(D)y?0的解?
n 階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程?
L(r)?rn ?p1rn?1?p2 rn?2 ? ? ? ? ? pn?1r?pn?0 稱為微分方程L(D)y?0的特征方程?
特征方程的根與通解中項的對應?
單實根r 對應于一項? Cerx ?
一對單復根r1? 2?? ?i? 對應于兩項? e?x(C1cos?x?C2sin?x)?
k重實根r對應于k項? erx(C1?C2x? ? ? ? ?Ck xk?1)?
一對k 重復根r1? 2?? ?i? 對應于2k項?
e?x[(C1?C2x? ? ? ? ?Ck xk?1)cos?x?(D1?D2x? ? ? ? ?Dk xk?1)sin?x]?
例4 求方程y(4)?2y????5y???0 的通解?
解
這里的特征方程為
r4?2r3?5r2?0? 即r2(r2?2r?5)?0?
三峽大學高等數(shù)學課程建設組
高等數(shù)學教案
微分方程
它的根是r1?r2?0和r3? 4?1?2i?
因此所給微分方程的通解為
y?C1?C2x?ex(C3cos2x?C4sin2x)?
例5 求方程y(4)?? 4y?0的通解? 其中??0?
解
這里的特征方程為
r4?? 4?0?
它的根為r1,2??2?(1?i)? r3,4???2(1?i)?
因此所給微分方程的通解為
y?e2x(C1cos?2x?C2sin?2x)?e? ?2x(C3cos?2x?C4sin?2x)?
作業(yè)：P340：1（1）（3）（2）（4）（5）（6）（8），2（2）（4）（6）
§7? 8 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程
二階常系數(shù)非齊次線性微分方程? 方程
y???py??qy?f(x)稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程? 其中p、q是常數(shù)?
二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解是對應的齊次方程 的通解y?Y(x)與非齊次方程本身的一個特解y?y*(x)之和?
y?Y(x)? y*(x)?
當f(x)為兩種特殊形式時? 方程的特解的求法?
一、f(x)?Pm(x)e?x 型
當f(x)?Pm(x)e?x時? 可以猜想? 方程的特解也應具有這種形式? 因此? 設特解形式為y*?Q(x)e?x? 將其代入方程? 得等式
三峽大學高等數(shù)學課程建設組
高等數(shù)學教案
微分方程
Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?
(1)如果?不是特征方程r2?pr?q?0 的根? 則?2?p??q?0? 要使上式成立? Q(x)應設為m 次多項式?
Qm(x)?b0xm?b1xm?1? ? ? ? ?bm?1x?bm ?
通過比較等式兩邊同次項系數(shù)? 可確定b0? b1? ? ? ? ? bm? 并得所求特解
y*?Qm(x)e?x?
(2)如果?是特征方程 r2?pr?q?0 的單根? 則?2?p??q?0? 但2??p?0? 要使等式
Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?
成立? Q(x)應設為m?1 次多項式?
Q(x)?xQm(x)?
Qm(x)?b0xm ?b1xm?1? ? ? ?
?bm?1x?bm ?
通過比較等式兩邊同次項系數(shù)? 可確定b0? b1? ? ? ?
? bm? 并得所求特解
y*?xQm(x)e?x?
(3)如果?是特征方程 r2?pr?q?0的二重根? 則?2?p??q?0? 2??p?0? 要使等式
Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?
成立? Q(x)應設為m?2次多項式?
Q(x)?x2Qm(x)?
Qm(x)?b0xm?b1xm?1? ? ? ? ?bm?1x?bm ?
通過比較等式兩邊同次項系數(shù)? 可確定b0? b1? ? ? ? ? bm ? 并得所求特解
y*?x2Qm(x)e?x?
綜上所述? 我們有如下結(jié)論? 如果f(x)?Pm(x)e?x? 則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y???py??qy ?f(x)有形如
y*?xk Qm(x)e?x 的特解? 其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項式? 而k 按?不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的的重根依次取為0、1或2?
例1 求微分方程y???2y??3y?3x?1的一個特解?
解 這是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程? 且函數(shù)f(x)是Pm(x)e?x型(其中Pm(x)?3x?1? ??0)?
與所給方程對應的齊次方程為
y???2y??3y?0?
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高等數(shù)學教案
微分方程
它的特征方程為
r2?2r?3?0?
由于這里??0不是特征方程的根? 所以應設特解為
y*?b0x?b1?
把它代入所給方程? 得
?3b0x?2b0?3b1?3x?1?
比較兩端x同次冪的系數(shù)? 得
???3b0?3? ?3b0?3? ?2b0?3b1?1? ?2b?3b?101?由此求得b0??1? b1?? 于是求得所給方程的一個特解為
y*??x??
例2 求微分方程y???5y??6y?xe2x的通解?
解 所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程? 且f(x)是Pm(x)e?x型(其中Pm(x)?x? ??2)?
與所給方程對應的齊次方程為
y???5y??6y?0?
它的特征方程為
r2?5r ?6?0?
特征方程有兩個實根r1?2? r2?3? 于是所給方程對應的齊次方程的通解為
Y?C1e2x?C2e3x ?
由于??2是特征方程的單根? 所以應設方程的特解為
y*?x(b0x?b1)e2x?
把它代入所給方程? 得
?2b0x?2b0?b1?x?
比較兩端x同次冪的系數(shù)? 得
?1313??2b0?1? ?2b0?1? 2b0?b1?0? 2b?b?0?01三峽大學高等數(shù)學課程建設組
高等數(shù)學教案
微分方程
由此求得b0??1? b??1? 于是求得所給方程的一個特解為 121 y*?x(?x?1)e2x?
從而所給方程的通解為
y?C1e2x?C2e3x?(x2?2x)e2x?
提示?
y*?x(b0x?b1)e2x?(b0x2?b1x)e2x?
[(b0x2?b1x)e2x]??[(2b0x?b1)?(b0x2?b1x)?2]e2x?
[(b0x2?b1x)e2x]???[2b0?2(2b0x?b1)?2?(b0x2?b1x)?22]e2x?
y*???5y*??6y*?[(b0x2?b1x)e2x]???5[(b0x2?b1x)e2x]??6[(b0x2?b1x)e2x] ?[2b0?2(2b0x?b1)?2?(b0x2?b1x)?22]e2x?5[(2b0x?b1)?(b0x2?b1x)?2]e2x?6(b0x2?b1x)e2x ?[2b0?4(2b0x?b1)?5(2b0x?b1)]e2x?[?2b0x?2b0?b1]e2x?
方程y???py??qy?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]的特解形式
應用歐拉公式可得
e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]
?e?x[Pl(x)12ei? x?e?i? x?P(x)ei? x?e?i? x] n22i
?[Pe(??i?)x?[Pe(??i?)x
l(x)?iPn(x)]l(x)?iPn(x)]
?P(x)e(??i?)x?P(x)e(??i?)x?
其中P(x)?(Pl?Pni)? P(x)?(Pl?Pni)? 而m?max{l? n}?
設方程y???py??qy?P(x)e(??i?)x的特解為y1*?xkQm(x)e(??i?)x?
則y1*?xkQm(x)e(??i?)必是方程y???py??qy?P(x)e(??i?)的特解?
其中k按??i?不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1?
于是方程y???py??qy?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]的特解為
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12121212高等數(shù)學教案
微分方程
y*?xkQm(x)e(??i?)x?xkQm(x)e(??i?)x
?xke?x[Qm(x)(cos?x?isin?x)?Qm(x)(cos?x?isin?x)
?xk e?x[R(1)m(x)cos?x?R(2)m(x)sin?x]?
綜上所述? 我們有如下結(jié)論?
如果f(x)?e?x [Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]? 則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程
y???py??qy?f(x)的特解可設為
y*?xk e?x[R(1)m(x)cos?x?R(2)m(x)sin?x]?
其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多項式? m?max{l? n}? 而k 按??i?(或??i?)不是特征方程的根或是特征方程的單根依次取0或1?
例3 求微分方程y???y?xcos2x的一個特解?
解 所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程?
且f(x)屬于e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型(其中??0? ??2? Pl(x)?x? Pn(x)?0）?
與所給方程對應的齊次方程為
y???y?0?
它的特征方程為
r2?1?0?
由于這里??i??2i 不是特征方程的根? 所以應設特解為
y*?(ax?b)cos2x?(cx?d)sin2x?
把它代入所給方程? 得
(?3ax?3b?4c)cos2x?(3cx?3d?4a)sin2x?xcos2x?
比較兩端同類項的系數(shù)? 得 a??? b?0? c?0? d?于是求得一個特解為 y*??xcos2x?sin2x?
提示?
y*?(ax?b)cos2x?(cx?d)sin2x?
y*??acos2x?2(ax?b)sin2x?csin2x?2(cx?d)cos2x?
三峽大學高等數(shù)學課程建設組
134?
91349高等數(shù)學教案
微分方程
?(2cx?a?2d)cos2x?(?2ax?2b?c)sin2x?
y*???2ccos2x?2(2cx?a?2d)sin2x?2asin2x?2(?2ax?2b?c)cos2x
?(?4ax?4b?4c)cos2x?(?4cx?4a?4d)sin2x?
y*??? y*?(?3ax?3b?4c)cos2x?(?3cx?4a?3d)sin2x?
??3a?1??3b?4c?014由?? 得a??? b?0? c?0? d?? ?3c?039???4a?3d?0作業(yè)：P347：1（1）（2）（5）（9）2（2）（3）（4）
三峽大學高等數(shù)學課程建設組
高等數(shù)學課件 篇8
一、教學背景分析
1．教學內(nèi)容分析
本節(jié)課是高中數(shù)學（北師大版必修5）第一章第3節(jié)第二課時,是“等差數(shù)列的前n項和”與“等比數(shù)列”內(nèi)容的延續(xù)，與函數(shù)等知識有著密切的聯(lián)系，也為以后學數(shù)列的求和，數(shù)學歸納法等做好鋪墊。而且公式推導過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學生今后學習和工作中必備的數(shù)學素養(yǎng)，如在“分期付款”等實際問題中也經(jīng)常涉及到。本節(jié)以數(shù)學文化背境引入課題有助于提升學生的創(chuàng)新思維和探索精神,是提高數(shù)學文化素養(yǎng)和培養(yǎng)學生應用意識的良好載體。
2．學情分析
從學生的思維特點看，很容易把本節(jié)內(nèi)容與等差數(shù)列前n項和從公式的形成、特點等方面進行類比，這是積極因素，應因勢利導。不利因素是，本節(jié)公式的推導與等差數(shù)列前n項和公式的推導有著本質(zhì)的不同，這對學生的思維是一個突破，另外，對于q=1這一特殊情況，學生往往容易忽視，尤其是在后面使用的過程中容易出錯。教學對象是高二理科班的學生，雖然具有一定的分析問題和解決問題的能力，邏輯思維能力也初步形成，但由于年齡的原因，思維盡管活躍、敏捷，卻缺乏冷靜、深刻，因此片面、不完全。
二．教學目標
依據(jù)新課程標準及教材內(nèi)容，結(jié)合學生的認知發(fā)展水平和心理特點，確定本節(jié)課的教學目標如下：
1、知識與技能目標:理解等比數(shù)列前n項和公式推導方法；掌握等比數(shù)列前n項和公式并能運用公式解決一些簡單問題。
2．過程與方法目標：感悟并理解公式的推導過程，感受公式探求過程所蘊涵的從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想及轉(zhuǎn)化思想，優(yōu)化思維品質(zhì)，初步提高學生的建模意識和探究、分析與解決問題的能力。
3、情感與態(tài)度目標：通過經(jīng)歷對公式的探索過程，對學生進行思維嚴謹性的訓練，激發(fā)學生的求知欲，鼓勵學生大膽嘗試、勇于探索、敢于創(chuàng)新，磨練思維品質(zhì)，從中獲得成功的體驗，感受數(shù)學的奇異美、結(jié)構(gòu)的對稱美、形式的簡潔美和數(shù)學的嚴謹美。
三．重點,難點
教學重點：等比數(shù)列前“等比數(shù)列的前n項和”項和公式的推導及其簡單應用。
教學難點：公式的推導思想方法及公式應用中q與1的關系。
四．教學方法
啟發(fā)引導，探索發(fā)現(xiàn)，類比。
五．教學過程
（一）借助數(shù)學文化背境提出問題
在古印度，有個名叫西薩的人，發(fā)明了國際象棋，當時的印度國王大為贊賞，對他說：我可以滿足你的任何要求。西薩說：請給我棋盤的64個方格上，第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第64格。國王令宮廷數(shù)學家計算，結(jié)果出來后，國王大吃一驚。為什么呢？
【設計意圖】：設計這個數(shù)學文化背境目的是在引入課題的同時激發(fā)學生的興趣，調(diào)動學習的積極性。故事內(nèi)容也緊扣本節(jié)課的主題與重點。
問題1：同學們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？
引導學生寫出麥粒總數(shù)“等比數(shù)列的前n項和”
（二）師生互動，探究問題
問題2：“等比數(shù)列的前n項和”
有些學生會說用計算器來求（老師當然肯定這種做法，但學生很快發(fā)現(xiàn)比較難求。）
問題3：同學們，我們來分析一下這個和式有什么特征？
（學生會發(fā)現(xiàn)，后一項都是前一項的2倍）
問題4：如果我們把（1）式每一項都乘以2，就變成了它的后一項，那么我們?nèi)粼诖说仁絻蛇呁?，得到（2）式：
“等比數(shù)列的前n項和”
比較（1）(2）兩式，你有什么發(fā)現(xiàn)？（學生經(jīng)過比較發(fā)現(xiàn)：（1）、（2）兩式有許多相同的項）
問題5：將兩式相減，相同的項就消去了，得到什么呢？。（學生會發(fā)現(xiàn)：“等比數(shù)列的前n項和”
【設計意圖】：這五個問題層層深入，剖析了錯位相減法中減的妙用，使學生容易接受為什么要錯位相減，經(jīng)過繁難的計算之后，突然發(fā)現(xiàn)上述解法，也讓學生感受到這種方法的神奇。
問題6：老師指出這就是錯位相減法，并要求學生縱觀全過程，反思為什么（1）式兩邊要同乘以2呢？
【設計意圖】：經(jīng)過繁難的計算之苦后，突然發(fā)現(xiàn)上述解法，讓學生對錯位相減法有一個深刻的認識，也為探究等比數(shù)列求和公式的推導做好鋪墊。
（三）類比聯(lián)想，構(gòu)建新知
這時我再順勢引導學生將結(jié)論一般化。
問題7：如何求等比數(shù)列“等比數(shù)列的前n項和”的前“等比數(shù)列的前n項和”項和“等比數(shù)列的前n項和”：
即:“等比數(shù)列的前n項和”
(學生相互合作,討論交流，老師巡視課堂，并請學生上臺板演。)
注：學生已有上面問題的處理經(jīng)驗，肯定有不少學生會想到“錯位相減法”，教師可放手讓學生探究。
將“等比數(shù)列的前n項和”兩邊同時乘以公比“等比數(shù)列的前n項和”后會得到“等比數(shù)列的前n項和”，兩個等式相減后，哪些項被消去，還剩下哪些項，剩下項的符號有沒有改變？這些都是用錯位相減法求等比數(shù)列前“等比數(shù)列的前n項和”項和的關鍵所在，讓學生先思考，再討論，最后師在突出強調(diào)，加深印象。
兩式作差得到“等比數(shù)列的前n項和”時，肯定會有學生直接得到“等比數(shù)列的前n項和”，不忙揭露錯誤，后面再反饋這個易錯點，從而掌握公式的本質(zhì)。
【設計意圖】：在教師的指導下，讓學生從特殊到一般，從已知到未知，步步深入，讓學生自己探究公式，從而體驗到學習的成就感。增強學習數(shù)學的興趣和學好數(shù)學的信心。
問題8:由“等比數(shù)列的前n項和”得“等比數(shù)列的前n項和”對不對呢？這里的“等比數(shù)列的前n項和”能不能等于1呀？等比數(shù)列中的公比能不能為1？那么“等比數(shù)列的前n項和”時是什么數(shù)列？此時“等比數(shù)列的前n項和”？你能歸納出等比數(shù)列的前n項和公式嗎？（這里引導學生對“等比數(shù)列的前n項和”進行分類討論，得出公式，同時為后面的例題教學打下基礎。）
再次追問：結(jié)合等比數(shù)列的通項公式“等比數(shù)列的前n項和”,如何把“等比數(shù)列的前n項和”用“等比數(shù)列的前n項和”、“等比數(shù)列的前n項和”、“等比數(shù)列的前n項和”表示出來？（引導學生得出公式的另一形式）
公式：
“等比數(shù)列的前n項和”
注：公式的理解
知三求二：nqa1anSn；
n的含義：項數(shù)（通項公式是qn－1）；
q的含義：公比（注意q=1，分類討論）；
錯位相減法：乘公比（作用是構(gòu)造許多相同項）后錯開一項后再減。
【設計意圖】：通過反問學生歸納，一方面使學生加深對知識的認識，完善知識結(jié)構(gòu)，另一方面使學生由簡單地模仿和接受，變?yōu)閷χR的主動認識，從而進一步提高分析、類比和綜合的能力。這一環(huán)節(jié)非常重要，盡管僅僅幾句話，然而卻有畫龍點睛之妙用。
（四）討論交流，延伸拓展
問題9:探究等比數(shù)列前n項和公式，還有其它方法嗎？
“等比數(shù)列的前n項和”（學生討論交流，老師指導。依學生的認知水平可能會有以下幾種方法）
（1）錯位相減法
“等比數(shù)列的前n項和”（2）提出公比q
“等比數(shù)列的前n項和”（3）累加法
【設計意圖】：以疑導思，激發(fā)學生的探索欲望，營造一個讓學生主動觀察、思考、討論的氛圍、這有非常重要的研究價值，是研究性學習和課外拓展的極佳資源，它源于課本，又高于課本，對學生的思維發(fā)展有促進作用、
(五)應用公式，深化理解
例1：在等比數(shù)列{an}中，
(1)已知a1＝3，q＝2，n＝6，求Sn；
(2)已知a1=8，q=1/2，an=1/2，求Sn；
(3)已知a1=－1、5，a4=96，求q與S4；
(4)已知a1=2，S3＝26，求q與a3。
【設計意圖】：初步應用公式，理解等比數(shù)列的基本量也可“知三求二”，體會方程思想。
例2：等比數(shù)列{an}中，已知a3＝3/2，S3＝9/2，求a1與q。
【設計意圖】：注意公式中的分類討論思想。
例3：求數(shù)列{n+}的前n項和。
【設計意圖】：將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題，進一步體會等比數(shù)列前n項和公式的應用。
練習1：求等比數(shù)列“等比數(shù)列的前n項和”前8項和；
練習2：a3=，S9=，求a1和q；
練習3：求數(shù)列{n+an}的前n項和。
（先由學生獨立求解，然后抽學生板演，教師巡視、指導，講評學生完成情況，尋找學生中的閃光點，給予適時的表揚。)
【設計意圖】：通過練習，深化認識，增加思維的梯度的同時，提高學生的模式識別能力，滲透轉(zhuǎn)化思想．
（六）總結(jié)歸納，加深理解
問題10:這節(jié)課你有什么收獲？學到了哪些知識和方法？
【設計意圖】：以問題的形式出現(xiàn)，引導學生回顧公式、推導方法，鼓勵學生積極回答，然后老師再從知識點及數(shù)學思想方法等方面總結(jié)。以此培養(yǎng)學生的口頭表達能力，歸納概括能力。
（學生小結(jié)歸納，不足之處老師補充說明。）
1．公式：等比數(shù)列前n項和
當q≠1時,Sn==
當q=1時,Sn=na1
2．方法：錯位相減法（乘以公比）
3．思想：分類討論（公式選擇）
（七）故事結(jié)束，首尾呼應
最后我們回到故事中的問題，可以計算出國王獎賞的小麥約為1、84×1019粒，大約7000億噸，用這么多小麥能從地球到太陽鋪設一條寬10米、厚8米的大道，大約是全世界一年糧食產(chǎn)量的459倍，顯然國王兌現(xiàn)不了他的承諾了。
【設計意圖】：把引入課題時的懸念給予釋疑，有助于學生克服疲倦、繼續(xù)積極思維。
（八）課后作業(yè)，分層練習
（1）閱讀本節(jié)內(nèi)容，預習下一節(jié)內(nèi)容；
（2）書面作業(yè)：習題P308、10；
（3）拓展作業(yè)：求和：“等比數(shù)列的前n項和”
【設計意圖】：出選作題的目的是注意分層教學和因材施教，讓學有余力的學生有思考的空間。
高等數(shù)學課件 篇9
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y ,或 {x0?x?a??}?.記為5.點6.點7.函數(shù)是實數(shù)集到實數(shù)集的映射U(a , ?)a?(a?? , a)a?(a , a??)f的左鄰域: 的右鄰域: 中有唯一的實數(shù)
...單值函數(shù)是指對于定義域
Df內(nèi)的任何實數(shù)
x，在值域Rf 其中y與之對應，記作
y?f(x)x?Dfxy，稱為自變量，稱為因變量.，8.函數(shù)的自然定義域: 通常指使得函數(shù)算式有意義的一切實數(shù)組成的集合.9.絕對值函數(shù): ?x , x?0 ,x????x , x?0.10.符號函數(shù):
-----高等數(shù)學教案-----
? 1 , x?0,?sgn(x)?? 0 , x?0,??1 , x?0.?11.取整函數(shù):
?x??n , n?x?n?1(n?0 , ?1 , ?2 , ?)?x? x?3.2??3??3.2???4?3??3?0.5??0.其中表示不超過的最大整數(shù).例如，.，即定義域為
?x?0P4?221?1?x?0?1?x?00?x?1[?1 , 0)?(0 , 1]③.解: 令，得
或
.，練習1.求函數(shù)的定義域.1f(x)?lnx?3.-----高等數(shù)學教案-----??x?3??1 , ?x?2 , 解: 令?x?3?0 , ?得
?x?3 ,即定義域為
?x?3?1 ,?x?4 ,D??(?? , 2)??(2 , 3)?(3 , ?(4 , ??).練習2.求函數(shù)的定義域.y?cosx2.解: 令cosx2?0，得
0?x2??22k???2?x2?2k???2，?x??2?x??2
-----高等數(shù)學教案-----
4)或即定義域為 或
???2k???x??2k??222
或
??2k???x?2k??.的定義域為，數(shù)集
.12.函數(shù)的有界性: 設對任一在對任一在(k?1 , 2 , ?)}f(x)DX?DK1f(x)?K1x?Xf(x)XK1f(x)XK2f(x)?K2x?Xf(x)XK2f(x)XM①.如果存在數(shù)，使得，都成立，則稱
在上有上界，而
為上的一個上界.②.如果存在數(shù)，使得，都成立，則稱
在上有下界，為上的一個下界.③.如果存在正數(shù)，使得
-----高等數(shù)學教案-----對任一④.如果對于任何正數(shù)則稱13.函數(shù)的單調(diào)性: 設①.如果對于區(qū)間則稱②.如果對于區(qū)間則稱14.函數(shù)的奇偶性: 設函數(shù)①.如果對于任一f(x)?Mx?Xf(x)XMx0?Xf(x0)?Mf(x)Xf(x)DI?DIx1x2x1?x2f(x1)?f(x2)f(x)IIx1x2x1?x2f(x1)?f(x2)f(x)If(x)Dx?D，都成立，則稱
在上有界.，總存在，使得，在上無界.的定義域為，區(qū)間上任意兩點
及，當，在區(qū)間
上是單調(diào)增加的.上任意兩點
及，當
時，恒有，在區(qū)間
上是單調(diào)減少的.的定義域
關于原點對稱，.時，恒有
-----高等數(shù)學教案-----恒成立，則稱②.如果對于任一恒成立，則稱15.函數(shù)f(?x)??f(x)f(x)x?Df(?x)?f(x)f(x)y?f(x)Df為奇函數(shù).，為偶函數(shù).的定義域為，值域為
Rf，如果
f是一一映射，則f存在逆映射f?1:
Rf?Df?1，即對于任意
y?Rf?1為，有唯一的記作 x?Df，使得
f(x)?yf，稱，f的反函數(shù)，x?f(y)y?Rf 16.設函數(shù)
.y?f(u)的定義域為的定義域為
Df，且，值域為
Rf;函數(shù)u?g(x)由下式確定的函數(shù)
Dg，值域為
RgRg?Df，則y?f[g(x)] x?Dg，-----高等數(shù)學教案-----稱為由u?g(x)y?f(u)uy與中間變量，因變量.構(gòu)成的復合函數(shù).x自變量，P1422 ④.解：y?ex2.y?e?e?1y?e?e?e，①.冪函數(shù)x2102x2212.17.基本初等函數(shù): y?x?（?為實數(shù)）.②.指數(shù)函數(shù)y?a(a?0 , a?1).x，特例③.對數(shù)函數(shù)特例y?ey?logax(a?0 , a?1)y?logex?lnx.④三角函數(shù) x，y?sinx y?cosxy?tanxy?cotxy?secxy?cscx，，⑤反三角函數(shù)，.-----高等數(shù)學教案-----y?arcsinxy?arccosx y?arctanxy?arccotx，.，18.初等函數(shù): 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和有限次的函數(shù)復合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù).19.雙曲函數(shù)
①雙曲正弦②雙曲余弦③雙曲正切
e?eshx?2x?xe?echx?2x?xshxe?ethx??x?xchxe?e..x?x.§1.2 數(shù)列的極限
1.如果按照某一法則，對每個
n?N?，對應著一個確定的數(shù)照下標nxn，這些實數(shù)
xn按從小到大排列得到的一個序列
叫做數(shù)列，簡記為數(shù)列般項.x1 , x2 , ? , xn , ?nxn?xn?，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做數(shù)列的項，-----
當自變量例如.① xn?f(n)n?Nn?xn?111 , , ? , , ?2n，.依次取1，2，3，…一切正整數(shù)時，對應的函數(shù)值就排成數(shù)列
;
?.②
1?(?1)1 , 0 , 1 , 0 , ? , , ?21 , 2 , ? , n , ?1 , 1 , 1 , ? , 1 , ?n248234n?12 , , , ? , , ?23nnan??xna?xn?xna;③
;④
;⑤
2.深刻理解數(shù)列極限的概念.當無限增大時(即
時)，對應的項
無限接近于某個確定的數(shù)值，稱常數(shù)是數(shù)列的極限.無限接近于
是什么含意? 考察數(shù)列
-----高等數(shù)學教案-----
n?134n?12 , , , ? , , ?23nn?11xn1n??xn?n1xn?1?n0.110n?101xn?1??0.1n0.01100n?1001xn?1??0.01n11?[]n?[]
當時，無限接近于，也就是說
與要多小就有多小.比如說: ①給定，在-----它多么?。偞嬖谡麛?shù)都成立，那么稱常數(shù)Nn?Nxn?a??a?xn??xn?alimxn?axn?a(n??)n??，使得當
時，不等式
是數(shù)列的極限，或者稱數(shù)列
收斂于
或，正整數(shù)，當，則稱數(shù)列
以，記為
.???0?Nn?Nxn?a???xn?alimxn?an?????0?N?xn?a?N1?NxN?a???xn?alim0.999?9?1P3 31?????3'.對于
.4.數(shù)列不以
為極限的定義:，對于
正整數(shù)，使得，則稱數(shù)列
時，為極限，記為，1不以為極限.④證: 等價于
n??n個1lim(1?n)?1n??10.-----高等數(shù)學教案-----對于
只要???011(1?n)?1?n??101011n?lgN?[lg]n?N，要使
?，取
?，當時，1(1?n)?1??101lim(1?n)?1n??10lim0.999?9?1?????n??n個5.有界數(shù)列: 對于數(shù)列，所以，故
.?xn?，如果存在正數(shù)
M，使得對于任意
n，不等式
都成立，那么稱數(shù)列無界數(shù)列: 對于數(shù)列xn?M?xn??xn?
是有界的.，如果對于任意正數(shù)
M，存在正整數(shù)
N，使得不等式
-----高等數(shù)學教案-----成立，那么稱數(shù)列 6.子數(shù)列: 在數(shù)列序,這樣得到的數(shù)列xN?M?xn??xn?xn，是無界的.??k中任意抽取無限多項并保持這些項在原數(shù)列
稱為原數(shù)列
?xn??xn?中的先后次的子數(shù)列.7.收斂數(shù)列的性質(zhì).①唯一性: 如果數(shù)列②有界性: 如果數(shù)列?xn??xn?收斂，那么它的極限唯一.收斂，那么數(shù)列
?xn?一定有界.③保號性: 如果 推論: 如果數(shù)列l(wèi)imxn?aa?0a?0n???Nn?Nxn?0xn?0?xn?xn?0xn?0limxn?aa?0a?0n??，且
(或，當
時，都有
(或
從某項起有
(或，那末
(或).④.數(shù)列)，那末).)，且?xn?斂，且有相同的極限；若
?x??x??x??x??x?與子數(shù)列
n的關系: 若
kn收斂，則
n也收
kn收斂，則
kn不一定收斂.-----高等數(shù)學教案-----P31 5?xn?xn?M 證: 由于
都成立.對于，由于
有界，所以
?M正數(shù)，對于
?n，不等式
當
?n?Nyn?時，yn?0?N???0limn??，所以
正整數(shù)，故當，使得從而所以
M?xnyn?M???Mlimxnyn?0n??P31 6???0x2k?1?a(k??)?N1k?N1x2k?1?a??時，..證：對于，由于，正整數(shù)，使得當
時，n?N.又由于
所以x2k?a(k??)?N2k?N2x2k?a??，正整數(shù)，使得當
時，.-----高等數(shù)學教案-----N?Max{2N1?1 , 2N2}xn?a??n?Nxn?a(n??)x?x?x0x?x0xx0取時，.§1.3 函數(shù)的極限 1.自變量的六種變化趨勢.① :，任意地接近于有限值
.②，當
所以x?xx?x0xx0x?x0x?x0xx0x???xx???xx??xxf(x)x?x0f(x)x0A??0?x?x0??f(x)，任意地接近于有限值
.③ :，任意地接近于有限值
.④⑤
: :
沿著數(shù)軸負向無限遠離原點.沿著數(shù)軸正向無限遠離原點.⑥ : 的絕對值
無限增大.2.函數(shù)當
時的極限: 設函數(shù)
在點一去心鄰域內(nèi)有定義.如果存在常數(shù)，對于任意給定的正數(shù)，使得當
時，對應的函數(shù)值不等式
-----高等數(shù)學教案-----? : 0的某
（不論它多么?。?，總存在正數(shù)
都滿足那么常數(shù)f(x)?A??Af(x)x?x0limf(x)?A，就叫做函數(shù)
當
時的極限，記作
或
取f(x)?A(x?x0)???0P5382x?4?(?4)?x?(?2)??x?20?x?(?2)?????.③.證: 對于，要使，當
時x?x0，某一左鄰域內(nèi)有定義.對于x?4?(?4)?x?(?2)??x?22x?4lim??4x??2x?2f(x)x?x0f(x)x0???0???0.3.函數(shù)當
時的左極限: 設函數(shù)
在點，2，所以的，當
-----高等數(shù)學教案-----0?x0?x???x?x04.函數(shù)
或
時，f(x)?A???0.，則limf(x)?Af(x)?A當
時的右極限: 設函數(shù)某一右鄰域內(nèi)有定義.對于f(x)x?x0f(x)x0???0???00?x?x0??f(x)?A??在點，時，的，當，則limf(x)?Af(x)?A?x?x0或 5.函數(shù)
?0.f(x)x?x0當
時的極限存在的充分必要條件是左極限右極限各自存在且相等，即
limf(x)?A?x?x0
limf(x)?limf(x)?A?x?x0?x?x0.P438limf(x)?lim1?1??.解: ①，x?0x?0
-----高等數(shù)學教案-----limf(x)?lim1?1??x?0于
.由limf(x)?limf(x)?1??x?0x?0.x?0，所以limf(x)?1x?0②
lim?(x)?lim(?1)??1??lim?(x)?lim1?1??x?0x?0由于，x?0x?0.lim?(x)lim?(x)?lim?(x)??x?0，所以
不存在
x?0x?0練習1.設函數(shù)(A)
x?2limf(x)f(x)?x?2x?2?101，則.(B).(C)
.當
時的極限: 設函數(shù)
在為.(D)不存在.[ D ] 6.函數(shù)一正數(shù)時有定義.如果存在常數(shù)使得當f(x)x??f(x)xXA?x?Xf(x)，對于任意給定的正數(shù)
（不論它多么小），總存在正數(shù)時，對應的函數(shù)值
都滿足不等式
大于某，-----高等數(shù)學教案-----那么常數(shù)f(x)?A??Af(x)x??limf(x)?A，就叫做函數(shù)
當
時的極限，記作
或x??一負數(shù)時有定義.對于時，某一正數(shù)時有定義.對于f(x)?A(x??)f(x)x???f(x)x???0?X?0x??Xf(x)?A??limf(x)?Ax???f(x)x???f(x)x???0?X?0x?Xf(x)?A??limf(x)?Ax???f(x)x??x???x???limf(x)?A?x??.7.函數(shù)當
時的極限: 設函數(shù)
在，當，則
.8.函數(shù)當
時的極限: 設函數(shù)
在，當，則
.9.函數(shù)當時極限及當
時極限都存在且相等，即
小于某
大于
時，時的極限存在的充分必要條件是當
-----高等數(shù)學教案-----limf(x)?limf(x)?Ax???x???9.水平漸近線: 若
.limf(x)?cx??或
x???或 limf(x)?climf(x)?c是函數(shù)，x???則稱直線y?cy?f(x)圖形的水平漸近線.10.函數(shù)極限的性質(zhì).①唯一性: 若limf(x)x?x00，當
存在，此極限唯一.②局部有界性: 若limf(x)?Ax?x.，那末存在常數(shù)
M?0時，和??00?x?x0??，且
有 ③局部保號性: 若f(x)?Mlimf(x)?AA?0x?x0），那末存在，當
（或A?0??00?x?x0??時，-----高等數(shù)學教案-----有③'若f(x)?0f(x)?0limf(x)?AA?0（或）.（），那末存在點x?x0x0的某一去心鄰域內(nèi)，使得
Af(x)?2f(x)?0f(x)?0x0A?0A?0limf(x)?Ax?x.推論: 若在點的某一去心鄰域內(nèi)
（，那末
（）.），且0§1.4 無窮小與無窮大
1.無窮小: 若
limf(x)?0x?x0為當
（或取limf(x)?0f(x)x?x0x??x?????0P2421xsin?x??x0?x?????），則稱）時的無窮小.②.證: 對于，要使，當
時
（或，-----高等數(shù)學教案-----2.極限與無窮小的關 系:
11y?xsinxsin?x??xxx?0limf(x)?A?f(x)?A??x?x，所以時的無窮小.①
.為當0②limf(x)?A?f(x)?A??x??為無窮小.在點
.其中 3.無窮大: 設函數(shù)f(x)x0?M?0???00?x?x0??，當?的某一去心鄰域內(nèi)有定義.如果對于時，總有
那f(x)?Mf(x)x?x0limf(x)??，么稱
為
當
.時的無窮大，記作x?x03'.無窮大: 設函數(shù)f(x)x在大于某一正數(shù)時有定義.如果對于
-----高等數(shù)學教案-----?M?0?X?0，那么稱，當
x?X時，總有f(x)?Mf(x)x??為當
時的無窮大，記作limf(x)??.x??P423.① 證: 對于
?M?0，要使
1?x2x?1x?2?M，而 1x?2?1x?2，只要 1x?2?M，x?M1，取??M1?2?2，當
0?x??
-----高等數(shù)學教案-----
時，有 ②取
1?2x1?2x?My?xxx?01??40?x??10?21?2x?1?2xx1??2x，所
以的無窮大.，當
時，為當1??21410?24?10
.-----高等數(shù)學教案-----練習1.若limf(x)??limg(x)??x?xx?x，00則下列式子成立的是
(A)lim[f(x)?g(x)]??x?xlim[f(x)?g(x)]??x?x00.(B).(C)(D)
1lim?0x?xf(x)?g(x)1lim?0x?xf(x)?g(x)0..0[ D ] 4.鉛直漸近線: 如果
limf(x)??x?x0或
limf(x)???x?x0
或 limf(x)???x?x0是函數(shù)，那么稱直線x?x0y?f(x)圖形的鉛直漸近線.-----高等數(shù)學教案-----P342.解：由于
所以
4limf(x)?lim2?0x??x??2?xy?0是水平漸近線.，由于
所以 5.無窮小與無窮大的關系: 在自變量的同一變化過程中，如果
4limf(x)?lim2??x??2x??22?x4limf(x)?lim2??x?2x?22?xx??2x?2f(x)1f(x)f(x)?0f(x)1f(x)，，都是鉛直漸近線.為無窮小；如果
為無窮小，且為無窮大.為無窮大，則，則§1.5 極限運算法則 1.無窮小的性質(zhì): ①有限個無窮小的和也是無窮小.-----高等數(shù)學教案-----②.有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論1.常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論2.有限個無窮小的乘積也是無窮小.P4932.①解: 由于當
x?0x時
是
當
2是無窮小，而
1sinx的無
窮
是有界變量，所以1xsinx?0x21limxsin?0x?0xlimf(x)?Alimg(x)?Blim[f(x)?g(x)]?limf(x)?limg(x)?A?Blim[f(x)?g(x)]?limf(x)?limg(x)?A?Bc時
小，故
.2.極限的四則運算:，.①..②..推論1: 為常數(shù)，-----高等數(shù)學教案-----推論2: ③.lim[c?f(x)]?c?limf(x)?c?Annnnlim[f(x)]?[limf(x)]?Af(x)limf(x)Alim??g(x)limg(x)B(B?0)?(x)??(x)lim?(x)?alim?(x)?ba?bx?x0nn?1f(x)?a0x?a1x???anlimf(x)?f(x0).為正整數(shù)，..3.極限的單調(diào)性: 若，而，則
.4.有理整函數(shù)(多項式)、有理分式函數(shù)當?shù)臉O限: ①.多項式，.，x?x0例1.②.有理分式
?16lim(x?2x?1)?3?2?3?1x?3P(x)F(x)?P(x)Q(x)Q(x)，其中、22.是多項式，-----高等數(shù)學教案-----Q(x0)?00，P(x0)P(x)limF(x)?lim?x?xx?xQ(x)Q(x0)?F(x0)3x?13?2?1lim?lim33x?2x?xx?22?21?22x?1lim?lim(x?1)x??1x?1x??1??22x?3lim2x?1x?3x?20.例2..例3..例4.求
.解: x?3x?21?3?1?2lim?x?12x?32?1?3
-----高等數(shù)學教案-----225.有理分式函數(shù)當?02x?3lim??2x?1x?3x?2x??mm?1a0x?a1x???amlimnn?1x??bx?bx???b01n?a0 , n?m ,?b0???0 , n?m , ?? , n?m.??，.的極限:
例5.??111lim????n???1?22?3n(n?1)???
-----高等數(shù)學教案-----
111?lim[(1?)?(?)??n??223 11?(?)]nn?1例6.1?lim1?n??n?1?1na?1lima?1n?1n??1?a???an?1?1?a???a??a?1??limn?1n??1?a???a?lim(a?1)n??
.（??)
?a?1(A).例7.下列數(shù)列中收斂的是.nan?(?1)n?1n.-----高等數(shù)學教案-----(B)bn?1?2n.(C)(D)?1?1 , n為奇數(shù) ,?n?2Cn??1?1? , n為偶數(shù).?n?1?n , n為奇數(shù) ,?n?1Dn??n? , n為偶數(shù).?1?n
[ C ] 例8.設
x?1lim(?ax?b)?1x??x?1則有(A)(B)2，(C)a??1b?0a?1b??1a?1b?0，，...-----高等數(shù)學教案-----(D)a?1b?1，.[ C ] 例9.設
2x?1lim(?ax?b)?02x??x?1則有(A)(B)3，(C)(D)a?1b?0a??2b?1a??2b?0a?2b?1，.，，...[ C ] 例10.已知
求x?ax?blim?5x?11?xab，的值.2，解: 一方面，lim(x?ax?b)x?122
x?ax?b???lim?(1?x)x?1???1?x?
-----高等數(shù)學教案-----
?5?0?0.另一方面，lim(x?ax?b)?1?a?bx?1所以，即
.故
2.1?a?b?0b??a?12x?ax?blimx?11?x2x?ax?a?1?limx?11?x(x?1)(x?1)?a(x?1)?limx?11?x?lim[?(x?1)?a]x?1
從而 6.復合函數(shù)的極限運算法則: 設函數(shù)??2?a?2?a?5a??7b?6y?f[g(x)].，得，.是由函數(shù)
-----高等數(shù)學教案-----u?g(x)y?f(u)y?f[g(x)]x0limg(x)?u0limf(u)?Ax?xu?u與
復
合在點，而成，的某去心鄰域內(nèi)有定義，若，且存在00?0?0x?U(x0 , ?0)g(x)?u0，當
時，有則
?，limf[g(x)]?limf(u)?Ax?x0u?u0 例如..limln(x?1)u?x?1 limlnux?2u?9§1.6 極限存在準則 兩個重要極限 1.準則I 如果數(shù)列
① ②?ln9?xn??yn??zn?yn?xn?zn(n?1 , 2 , ?)limyn?alimzn?an??n??.、及
滿足:
，，那么limxn?an??.準則I' 如果
-----高等數(shù)學教案-----① ②g(x)?f(x)?h(x)limg(x)?Alimh(x)?A，，那么limf(x)?A.P564②.解: n(1n?n????12n2?n?)??n(11n2???n2)，n2n2?n??原式
?1，而lim2，所以
n??n2n?n??1lim11n??n?n2?????n2?n???1.-----高等數(shù)學教案-----
原
式 2.重要極限I: 例1.例2.例3.sinxlim?1x?0xsin2xsin2xlim?2limx?0x?0x2x?2?1?2tanxsinx1lim?lim(?)x?0x?0xxcosxsinx1?lim?limx?0xx?0cosx?12x2sin1?cosx2lim?lim22x?0x?0xx...-----高等數(shù)學教案-----例4.xsin12?lim2x?0(x)222?sinx?12???lim2x?0?x??2?1?22sin(x?1)limx?1x?12(x?1)sin(x?1)?lim2x?1x?12sin(x?1)?lim(x?1)?lim2x?1x?1x?12
.-----高等數(shù)學教案-----?2例5.求極限.解: sinmxmnlimx??sinnxsinmxlimx??sinnx(，為非零整數(shù)).sin(m??my)x???y limy?0sin(n??ny)m?1
(?1)sin(my)?limn?1y?0(?1)sin(ny)sin(my)m?1(?1)m?my?limy?0n?1sin(ny)(?1)n?nym?nm?(?1)n.3.單調(diào)數(shù)列:
-----高等數(shù)學教案-----①.如果數(shù)列則稱數(shù)列②.如果數(shù)列x1?x2?x3???xn?xn?1???xn??xn?x1?x2?x3???xn?xn?1??，單調(diào)增加.滿足條件: ?xn?滿足條件:，則稱數(shù)列?xn?單調(diào)減少.4.準則II 單調(diào)有界數(shù)列必有極限.例6.利用極限存在準則證明數(shù)列
2，22.，證: 記數(shù)列的通項為 ①有界性: 222xnxn?1?2xn…的極限存在并求此極限.，則時，.當 假設當所以對任意的n?1x1?2?2n?kxk?2n?k?1xk?1?2xk?2?2?2nxn?2xn?0{xn}時，當
時，有，是顯然的，故數(shù)列
有界.②單調(diào)性:
-----高等數(shù)學教案-----xn?1?2xn?xn?xn?xn，所以數(shù)列{xn}單調(diào)增加.由①②可知數(shù)列{xn}的極限存在.設此極限為
a，則
limxn?1?lim2xn，n??n?? a?2a，得a?2.4.重要極限II: limx??(1?1xx)?elim(1?z)1z?e.z?0例7.limx??(1?1x)x?limx???11?(?1?xx)?
-----高等數(shù)學教案-----，例8.t??x limt??t1(1?)t1?e.例9.1?1?x?xx?1lim?limx??x?1x???1?1??x1?lim?xxx??111?1?xx1?2ecsc2xlim(cosx)???????x
????
.x?0
-----高等數(shù)學教案-----?lim(cosx)x?021csc2x2
?2?lim[1?(?sinx)]?x?0?2?1sin2x????12
?? t??sinx lim(1?t)??t?0????e例10.1?12t
?12.x?0lim(1?x)?x?01x
???lim(1?x)(1?x)?1xx?0x?01x
1x ?????lim1?x?lim1?x??
-----高等數(shù)學教案-----
1???lim?lim1?x1xx?0??1?x?? 1xx?0??1e?e
?1.§1.7 無窮小的比較
1.無窮小的比較: 設?、?都是無窮小，且
??0.①如果lim??0，就說
?是比
?高階的無窮小，???(??).②如果lim????，就說
?是比?低階的無窮小.③如果lim???c?0，就說
?與
?是同階無窮小.-----高等數(shù)學教案-----
記作
?limk?c?0??k??lim?1????~?P59 1 ④如果，就說
是關于的 ⑤如果，就說
與..解: 由于
階無窮小.是等價無窮小，記作
x?xx?xlim?lim?02x?02x?xx?02?x，232所以 x?x2x?xP592321?xlim?lim(1?x?x)?3x?11?xx?1是比
高階無窮小..解: 由于 232，所以1?x1?x與3是同階無窮小.由于
-----高等數(shù)學教案-----
1(1?x2)12lim?lim(1?x)?x?11?x2x?1，所以2.3.幾組等價無窮小量: 當1(1?x2)1?x2???????(?)x?0x~sinx~tanx~arcsinx與
是等價無窮小.與是等價無窮的充分必要條件為
.時，~arctanx；
x~ln(1?x)~e?1 ；
x；
121?cosx~x2xa?1~xlna a(1?x)?1~ax(a?0)；
-----高等數(shù)學教案-----
.4.等價無窮小量代換: 若???????~????????~??limlim?lim?????、、、都是無窮小量，且，存在，則，.例1.求limtanx?sinxx?0sin3x.x?022解: 由于當
時，x~sinx?cosx~122x，所以
-----高等數(shù)學教案-----，1limtanx?sinxx?0sin3x?lim1?cosx x?0cosxsin2x12?lim2x
x?0cos21x?x?lim2
x?0?1cosx.例2.求lim(21?arcsinx)3?1x?0etanx?1.解: 由
于
當
x?0
-----高等數(shù)學教案-----
時，(1?arcsinx)3?1~3arcsinxarcsintanxx~x，etanx?1~tanx 所以
lim(~1x? arcsinx)3?1x?0etanx?lim3arcsin?x1 x?0tanx?lim3x
x?0?3x.§1.8 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點 1.引入記號: 對于函數(shù)y?f(x)，當
x?x時，令
?x?x?x0?y?f(x)?0f(x
則 x?x0)，?0??x?yf(x0??x)?f(x0)，-----高等數(shù)學教案-----，，
高等數(shù)學課件 篇10
-----
?3.余項rn?s?sn?un?1?un?2??.?aq?a?aq?aq???aq?n2n?1: 例1.判斷等比級數(shù)(幾何級數(shù))n?0??
(a?0)的斂散性.a?aq解:①q?1時，sn?，1?q?na，收斂，和為limsn?aq?n??1?qn?0a.1?q
-----高等數(shù)學教案-----
na?aq②q?1時，sn?，1?qlimsn??，?aq發(fā)散； n??nn?0??nsn??，③q?1時，sn?na，limn??n?0?aq發(fā)散.n④q??1時，?0 , n為偶數(shù)limsn不存在，sn??，n???a , n為奇數(shù)n?0?aq發(fā)散.n?n?1例2判斷級數(shù)?ln是否收nn?1?
-----高等數(shù)學教案-----斂，若收斂求其和.解: sn?(ln2?ln1)?(ln3?ln2)?
??[ln(n?1)?lnn] ?ln(n?1).P②.3225sn??，所以原級數(shù)發(fā)散.由于limn??sn?11111(1?)?(?)?23235111??(?)22n?12n?111?(1?).22n?1
-----高等數(shù)學教案-----
1sn?，所以原級數(shù)收斂 由于limn??24.收斂級數(shù)的性質(zhì): ①如果?un收斂和為s，則?kunn?1n?1??也收斂，其和為ks；若?un發(fā)散，n?1?則?kun(k?0)也發(fā)散.n?1?②如果?un、?vn均收斂，其和n?1n?1?n?1???，分別為s、則?(un?vn)也收斂，其和為s??.-----高等數(shù)學教案-----
③在級數(shù)中去掉、加上或改變有限項，不會改變級數(shù)的收斂性.④如果?un收斂，則對這級數(shù)n?1?的項任意加括號后所成的級數(shù)(u1???un)?(un?1???un)???
(un?1???un)?? 112k?1k也收斂，且其和不變.如果一個級數(shù)發(fā)散，則加括號后所成的級數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散.如果一個正項級數(shù)發(fā)散，則加
-----高等數(shù)學教案-----括號后所成的級數(shù)一定發(fā)散.⑤級數(shù)收斂的必要條件: 若n?1un?0.?un收斂，則limn???例3證明調(diào)和級數(shù) 1111??????? 23n是發(fā)散的.證: 假設調(diào)和級數(shù)收斂，部分
sn?s.和為sn，和為s，則limn??im(s2n?sn)?s?s?0.一方面，ln??另一方面，-----高等數(shù)學教案-----
111s2n?sn????? n?1n?22n111????? 2n2n2n1?，2(s2n?sn)?0，矛盾，故調(diào)所以limn??和級數(shù)發(fā)散.1P②.由于調(diào)和級數(shù)?發(fā)散，n?1n?1所以?也發(fā)散.n?13n?14P225⑤.由于級數(shù)?n是公比為
n?124225?
-----高等數(shù)學教案-----11q?的幾何級數(shù)，而q??1，所22?1?1以?n收斂；由于級數(shù)?n是公比n?12n?1311為q?的幾何級數(shù)，而q??1，33?1所以?n收斂.n?13?1?1由于?n與?n都收斂，所以n?12n?13?11?(n?n)收斂.n?123§12.2 常數(shù)項級數(shù)的審斂法
-----高等數(shù)學教案-----1.正項級數(shù): ?un(un?0).n?1?2.正項級數(shù)?un的部分和數(shù)列
n?1??sn?單調(diào)增加.3.正項級數(shù)?un收斂?部分和
n?1?數(shù)列?sn?有界.4.比較審斂法: 設?un、?vn都
n?1n?1??是正項級數(shù)，且un?vn.①若?vn收斂，則?un收斂；
n?1?n?1???
②若?un發(fā)散，則?vn發(fā)散.n?1n?-----高等數(shù)學教案-----5.比較審斂法的推論: 設?un、n?1n?1??vn都是正項級數(shù).?n?1?
①若?vn收斂，且存在自然數(shù)N，使當n?N時有un?kvn(k?0)成立，則?un收斂.n?1?
②若?un發(fā)散，且存在自然數(shù)n?1?N，使當n?N時有un?kvn(k?0)成立，則?vn發(fā)散.n?-----高等數(shù)學教案-----?例1.判斷p?級數(shù)
1111?p?p???p?? 23n的斂散性.解: ①當p?1時，由于1np?而??1發(fā)散，所以?n?1n?1n?1np發(fā)散.②當p?1時，對于級數(shù)
1?1112p?3p???np?? 加括號后:
-----高等數(shù)學教案-----
1n，1111111?(p?p)?(p?p?p?p)??234567
它的各項均不大于級數(shù)
1111111?(p?p)?(p?p?p?p224444
11?1?p?1?p?1?? 24的對應項，而后一個級數(shù)是收斂的幾何級數(shù)，所以級數(shù)
-----高等數(shù)學教案-----1111111?(p?p)?(p?p?p?p)??2345671收斂，故正項級數(shù)?p收斂.n?1n?1例2.判斷級數(shù)?lnn的斂散性.n?12?1111解: 由于lnn?logn?，而?nn?1n22?1發(fā)散，所以?lnn發(fā)散.n?12?1例3.判斷級數(shù)?lnn的斂散性.n?13???111解:由于?lnn??ln3，而?ln3n?13n?1nn?1n?1p?ln3?1，是p?級數(shù)，所以?ln3n?1n?1收斂，從而?lnn收斂.n?13?-----高等數(shù)學教案-----例4.若正項級數(shù)?an與?bn均
n?1n?1??收斂，則下列級數(shù)也收斂.①?anbn；②?(an?bn)；③
2n?1n?1??an.?n?1n?證: ①由于?an與?bn均收斂，n?1n?1??所以?(an?bn)收斂，而n?1?an?bn?2anbn，故?anbn收斂.n?1?②由于
-----高等數(shù)學教案-----(an?bn)?an?2anbn?bn，而?an、2?n?1n?1??bn與?anbn均收斂，所以n?12???(an?bn)收斂.n?11③由于?an與?2均收斂，所n?1n?1n?11an以?(an?2)收斂，而an?2?2，n?1nnn?an故?收斂.n?1n??例5.若?an與?bn均收斂，且??n?1n?1an?cn?bn，求證:?cn收斂.n?-----高等數(shù)學教案-----
?證:由于?an與?bn均收斂，所n?1n?1??以?(bn?an)收斂.n?1?由于an?cn?bn，所以
?n?1?bn?an?cn?an?0，而?(bn?an)收斂，故?(cn?an)收斂，而?an收斂，從n?1?n?1而?cn收斂.n?1?6.比較審斂法的極限形式: 設n?1?un、?vn均是正項級數(shù)，n?1??
-----高等數(shù)學教案-----
?un?0，且?vn收斂，則①若limn??n?1vn?un收斂.n?1??un?l(0?l???)，則?vn
②若limn??n?1vn與?un同時收斂和同時發(fā)散.n?1?un???，且?vn發(fā)散，③若limn??n?1vn?則?un發(fā)散.n?1?1例6.判斷級數(shù)?n的斂散
n?1n?n?
-----高等數(shù)學教案-----性.1?n1n?n解:由于l?lim，而?1?n??1n?1nn?1發(fā)散，所以?n發(fā)散.n?1n?n?1n?1例7.判斷級數(shù)?ln的斂
n?1n?2n散性.1lnn?1nn?1解:由于l?lim?2，而n??12n??11n?1收斂.?2收斂，所以?lnn?1n?2nn?2n
-----高等數(shù)學教案-----例8.判斷級數(shù)?(2?1)的斂散
nn?1?性.解: 由于
nn2?12?ln2l?lim?lim?ln2n??n??11n，??1n而?發(fā)散，所以?(2?1)發(fā)散.n?1n?1n7.比值審斂法(達朗貝爾判別法): 設?un為正項級數(shù)，且n?1?
-----高等數(shù)學教案-----un?1lim??.n??un
①若??1，則?un收斂；
n?1?
②若??1或????，則?un發(fā)
n?1?散；
③若??1，則?un可能收斂也
n?1?可能發(fā)散.1例9.判斷級數(shù)?的斂散
n?1(n?1)!?性.-----高等數(shù)學教案-----
1n!?0?1解: 由于??lim，n??1(n?1)!?1所以?收斂.n?1(n?1)!?n!例10.判斷級數(shù)?n的斂散性.n?110: 由于(n?1)!n?1n?110??lim?lim???，所n??n??10n!n10?n!以?n發(fā)散.n?110
-----高等數(shù)學教案-----解8.根值審斂法(柯西判別法): 設?un為正項級數(shù)，且n?1nu??.limnn???
①若??1，則?un收斂；
n?1?
②若??1或????，則?un發(fā)
n?1?散；
③若??1，則?un可能收斂也
n?1?可能發(fā)散.2n?1n例11.判斷級數(shù)?()的n?13n?1?
-----高等數(shù)學教案-----斂散性.解: 由于
2n?1nn(??lim)n??3n?12n()3n?1?limn??nn3n?1，2n?1n所以?()收斂.n?13n?110.交錯級數(shù): ?u1?u2?u3?u4??，或
?u1?u2?u3?u4??，其中u1，u2…都是正數(shù).-----高等數(shù)學教案-----11.萊不尼茲定理: 如果交錯級數(shù)?(?1)un滿足條件: n?1n?1?
①un?un?1；
i?mun?0，②ln?則?(?1)un收斂，其和s?u1，其余n?1n?1?項的絕對值rn?un?1.例12.判斷級數(shù)?(?1)n?1?n?11的斂
n散性.解: 由于
-----高等數(shù)學教案-----11①?，即un?un?1； nn?11?0，即limu?0
②lim，nn??n??n?n?11所以?(?1)收斂.n?1n12.絕對收斂: 如果?un收斂，n?1?則稱?un絕對收斂.n?1?例如，級數(shù)?(?1)n?1?n?11絕對收
2n斂.13.條件收斂: 如果?un收斂，n?-----高等數(shù)學教案-----
?而?un發(fā)散，則稱?un條件收斂.n?1n?1??例如，級數(shù)?(?1)n?1?n?11條件收斂.n?n?114.如果任意項級數(shù)?un的絕對值收斂，則?un收斂.n?1?1
證: 令Vn?(un?un)，21Wn?(un?un)，則un?Vn?0，2un?Wn?0.由于?un收斂，所以?Vn、?Wnn?1n?1n?-----高等數(shù)學教案-----???均收斂，故?(Vn?Wn)??un也收
n?1n?1??斂.15.設?un是任意項級數(shù)，n?1?un?1nu??，如果lim??或limnn??un??n??1，?un發(fā)散，則?un發(fā)散.n?1n?1??n例13.判別級數(shù)?(?1)是n?1n?1否收斂，若收斂是條件收斂，還
?n?1是絕對收斂.-----高等數(shù)學教案-----解: 由于lim(?1)n??以?(?1)n?1?n?1n?1n?0，所
n?1n發(fā)散.n?1?1n?例14.判別級數(shù)?nsin是否
5n?12收斂，若收斂是條件收斂，還是絕對收斂.?1n?11?n，解: 由于nsin而?n
522n?121(是公比為q??1的幾何級數(shù))2?1n?收斂，所以?nsin收斂，故
5n?1-----高等數(shù)學教案-----1n??nsin絕對收斂.5n?12?1例15.判別級數(shù)?(?1)ln(1?)nn?1是否收斂，若收斂是條件收斂，?n還是絕對收斂.11解: 由于ln(1?)?ln(1?)，而
n?1n1limln(1?)?0，所以交錯級數(shù)n??n?1n?(?1)ln(1?)收斂.n?1n由于
-----高等數(shù)學教案-----
1(?1)ln(1?)1 nlim?limnln(1?)n??n??1nnn1n?limln(1?)n??n?1，?1?1n而? 發(fā)散，所以?(?1)ln(1?)發(fā)n?1nn?1n?1n散，故?(?1)ln(1?)條件收斂.n?1n§12.3 冪級數(shù)
1.區(qū)間I上的函數(shù)項級數(shù): u1(x)?u2(x)???un(x)??.-----高等數(shù)學教案-----對于x?x0?I，常數(shù)項級數(shù)
u1(x0)?u2(x0)???un(x0)??
?n?1收斂，則稱x0為?un(x)的收斂點.收斂點的全體稱為收斂域，發(fā)散點的全體稱為發(fā)散域.2.(x?x0)的冪級數(shù): n?0?an(x?x0)?n?a0?a1(x?x0)?a2(x?x0)
2n???an(x?x0)??
-----高等數(shù)學教案-----3.x的冪級數(shù):
n?0?anx?2n?na0?a1x?a2x???anx??.4.阿貝爾定理: 如果?anx當
nn?0?則當x?x0x?x0(x0?0)時收斂，時?anx絕對收斂.反之，如果nn?0n?0???anx當x?x0時發(fā)散，則當nx?x0時?anx發(fā)散.nn?0?
5.阿貝爾定理的推論: 如果
-----高等數(shù)學教案-----n?0?anx不是僅在x?0一點收斂，n?也不是在整個數(shù)軸上收斂，則存在R?0，使得
①當x?R時，冪級數(shù)絕對收斂；
②當x?R時，冪級數(shù)發(fā)散；
③當x?R與x??R時，冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.)為
稱R為收斂半徑，稱(?R , R)、收斂區(qū)間，收斂域是(?R , R[?R , R)、(?R , R]或[?R , R]這四
-----高等數(shù)學教案-----個區(qū)間之一(由x??R處的收斂性決定).規(guī)定冪級數(shù)僅在x?0處收斂時R?0，冪級數(shù)對一切x都收斂時R???.6.對于冪級數(shù)?anx，如果
nn?0?an?1lim??，則 n??an
-----高等數(shù)學教案-----
?1 , ??0且?????R???? , ??0 ,?0 , ????.??
(?1)x例1.求?的收斂域.n?1nn(?1)n?1?1解: 由于??lim，所n?1n??(?1)n1以R??1.?n?1n?
-----高等數(shù)學教案-----
(?1)x1當x??1時，???(?)nnn?1n?1發(fā)散.?(?1)n?1xn?(?1)n?1當x?1時，???nnn?1n?1?(?1)n?1xn條件收斂.因此，?的收
nn?1斂域為(?1 , 1].?n1例2.求?2(3x)的收斂域.n?01?nn??nn13解: ?2(3x)? ?2x.n?01?nn?01?n??n?1n
-----高等數(shù)學教案-----
321?(n?1)??lim?3nn??321?nn?1，1R?.31當時，x??3??(?1)nn1(3x)? 絕對收斂.??22n?01?nn?01?n1當時，x?3??n11?2(3x)? ?2收斂.n?01?nn?01?n?n1因此，?的收斂域為(3x)2n?01?n
-----高等數(shù)學教案-----11[? , ].33(?1)n例3.求?2(x?3)的收斂n?1n?n域.解: 令x?3?t，則
(?1)(?1)nn?2(x?3)? ?2t.n?1nn?1n?(?1)nn對于，?2tn?1nn?1(?1)2(n?1)??lim?1R?1，.nn??(?1)2n??
-----高等數(shù)學教案-----
nn(?1)n1當t??1時，?2t??2收n?1nn?1n??n斂.(?1)n?(?1)?2t??2絕當t?1時，n?1nn?1nn?(?1)n對收斂.因此，?2t的收斂
n?1nn?(?1)n區(qū)間為[?1 , 1]，故?2(x?3)n?1n的收斂域為[2 , 4].?2n?11例4.求?nx 的收斂域.n?03?nn
-----高等數(shù)學教案-----
1x2(n?1)?1n?1213?x解: lim.n??1x2n?13n321令x?1，得?3?x?3，收3斂半徑為R?3.發(fā)散.散.2n?11當x??3時，?nx? ??3n?03n?0??2n?11當x?3時，?nx? ?3發(fā)n?03n?0??2n?11因此，?nx 的收斂域為n?03(?3 , 3).?
-----高等數(shù)學教案-----7.冪級數(shù)的運算: s(x)??anxn?0?nn?0?n和?(x)??bnx的收斂半徑分別為R和R?，則
n?0????anx?nnn?0?bnx?nn?0?(an?bn)x?s(x)??(x)的收斂半徑為R?min?R , R??.8.冪級數(shù)的性質(zhì):
①?anx的和函數(shù)s(x)在其收nn?0?斂域I上連續(xù).-----高等數(shù)學教案-----
②?anx的和函數(shù)s(x)在其收nn?0?斂域I上可積，并有逐項積分公式
?0s(x)dx??0?anxdxn?0xx??n????0anxdx nn?0?xann?1??x(x?In?0n?1?，ann?1?nx與?anx的收斂半徑相?n?0n?0n?1同.?
-----高等數(shù)學教案-----③?anx的和函數(shù)s(x)在其收nn?0?斂區(qū)間(?R , R)內(nèi)可導，并有逐項求導公式
???nns?(x)??anx??(anx)?
?n?0?n?0 ??nanx(x?R)，n?1n?1n?1??nanx?n?1與?anx的收斂半徑相
nn?0?同.n1例5.求?x的和函數(shù).n?1n?
-----高等數(shù)學教案-----
1n?1R?1.?1解: ??lim，n??1n??n1n1當x??1時，?x??(?1)收nn?1n?1n斂.n11當x?1時，?x??發(fā)散.因
n?1nn?1n?n1此，?x的收斂域為[?1 , 1).n?1n?n1令s(x)??x(?1?x?1)，則 n?1n???nn11s?(x)??x??(x)?n?1nn?1n????
-----高等數(shù)學教案-----??x n?1n?1?1?(?1?x?1).1?xs(x)?? x 0s?(x)dx?s(0)
??x10dx?0 ??1ln(?1x?x)(?1?x?1).例6.求??1xn?1在其收斂n?1n?1 , 1)上的和函數(shù).解??1xn?1?x??1xn?x?[?ln(1?x)] n?1nn?1n
-----高等數(shù)學教案-----
: 域[ ??xln(1?x)x?[?1 , 1).例7.求?(n?1)x在其收斂域
nn?1?(?1 , 1)上的和函數(shù).解: 令s(x)??(n?1)x，則
nn?1??0s(x)dx???0(n?1)xdx
nn?1x?x??x
n?1n?1?x? 1?x(?1?x?1).-----高等數(shù)學教案-----
2s(x)?[? 0s(x)dx]?
xx?()? 1?x22x?x?2(1?x)(?1?x?1).2例8.求?nx在其收斂域(?1 , 1)nn?1?上的和函數(shù).解: ?nx??nx??x??x
nnnnn?1n?1n?1nn?1n??????(n?1)x??x
n?1n?1??
-----高等數(shù)學教案-----
2x?xx? ?2(1?x)1?xx
.(?1 , 1)?2(1?x)2例9.求?(n?2)x在其收斂區(qū)
nn?1?間(?1 , 1)上的和函數(shù).解n?1:
?nn?12?(n?2)x??(n?1)x??x nnn?1??2x?x?2(1?x)x ?1?x
-----高等數(shù)學教案-----
3x?2x?2(1?x)2
(?1 , 1).§12.4 函數(shù)展開成冪級數(shù)
1.設f(x)在x0的某一鄰域U(x0)內(nèi)具有各階導數(shù)，冪級數(shù)
??(x0)f2f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)
2!f(x0)n???(x?x0)??
n!稱為f(x)的泰勒級數(shù).(n)
如果泰勒級數(shù)收斂于f(x)，則
-----高等數(shù)學教案-----