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南京信息工程大學(xué)2019考研大綱：702數(shù)學(xué)分析
科目代碼：702
科目名稱：數(shù)學(xué)分析
第一部分 大綱內(nèi)容
一、實(shí)數(shù)集與函數(shù)
1 實(shí)數(shù)集及其性質(zhì) 2 確界定義與確界原理 3 函數(shù)概念 4有某些特性的函數(shù)(有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇函數(shù)與偶函數(shù)、周期函數(shù))
二、數(shù)列極限
1 數(shù)列極限概念 2 收斂數(shù)列的性質(zhì)(唯一性、有界性、保號(hào)性、不等式性、迫斂性、四則運(yùn)算) 3 數(shù)列極限存在的條件：包括單調(diào)有界定理與柯西(Cauchy)準(zhǔn)則
三、函數(shù)極限
1 函數(shù)極限概念 2 函數(shù)極限的性質(zhì)(唯一性、局部有界性、局部保號(hào)性、不等式性、迫斂性、四則運(yùn)算) 3 函數(shù)極限存在的條件：包括歸結(jié)原則(Heine 定理)，單調(diào)有界定理與柯西準(zhǔn)則 4 兩個(gè)重要極限 5 無窮小量，無窮大量, 非正常極限，階的比較，曲線的漸近線
四、函數(shù)的連續(xù)性
1 連續(xù)性概念，間斷點(diǎn)及其分類 2 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性、保號(hào)性、連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性、反函數(shù)的連續(xù)性;閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性、取得最大值最小值性、介值性、一致連續(xù)性)3 實(shí)數(shù)集完備性的基本定理的應(yīng)用 4 初等函數(shù)的連續(xù)性
五、導(dǎo)數(shù)與微分
1 導(dǎo)數(shù)的概念 2 求導(dǎo)法則 3 微分概念 4 高階導(dǎo)數(shù)與高階微分 5參量方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
六、微分中值定理及其應(yīng)用
1 中值定理(羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理) 2 不定式極限 3 泰勒公式(及其皮亞諾余項(xiàng)與拉格朗日余項(xiàng)、一些常用初等函數(shù)的泰勒展開式、應(yīng)用于近似計(jì)算) 4 函數(shù)的單調(diào)性、極值、最大值與最小值 5 函數(shù)的凸性與拐點(diǎn) 6 函數(shù)圖象的討論
七 不定積分
1原函數(shù)與不定積分概念，基本積分公式 2 換元積分法與分部積分法 3 有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的積分
八、定積分
1定積分的概念及其幾何意義 2 可積條件的應(yīng)用(包括必要條件，可積準(zhǔn)則)，三類可積函數(shù) 3 定積分的性質(zhì)(線性運(yùn)算法則、區(qū)間可加性、不等式性質(zhì)、絕對(duì)可積性，積分中值定理) 4 微積分學(xué)基本定理，定積分的分部積分法與換元法
九、反常積分
1無窮限反常積分概念、柯西準(zhǔn)則，絕對(duì)收斂與條件收斂 2無窮限反常積分收斂性判別法：比較判別法及p-函數(shù)判別法，狄利克雷(Dirichlet)判別法，阿貝爾(Abel)判別法 3無界函數(shù)反常積分概念，無界函數(shù)反常積分比較判別法及p-函數(shù)判別法
十、定積分的應(yīng)用
1 平面圖形的面積 2 由截面面積求體積、旋轉(zhuǎn)體的體積 3 曲線的弧長與曲率 4 旋轉(zhuǎn)曲面的面積
十一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)
1 級(jí)數(shù)收斂的概念，柯西收斂準(zhǔn)則，收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì) 2 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂判別法(比較判別法、p-級(jí)數(shù)判別法、比式與根式判別法、積分判別法) 3 一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂、交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法，阿貝爾(Abel)判別法與狄利克雷(Dirichlet)判別法，絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)
十二、函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)
1 函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性，柯西準(zhǔn)則，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的維爾斯特拉斯(Weierstrass)優(yōu)級(jí)數(shù)判別法，狄利克雷(Dirichlet)判別法，阿貝爾(Abel)判別法 2 函數(shù)列極限函數(shù)與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)的連續(xù)性、可積性、可微性
十三、冪級(jí)數(shù)
1 冪函數(shù)的收斂性，阿貝爾定理，收斂半徑與收斂域，內(nèi)閉一致收斂性，和函數(shù)的分析性質(zhì) 2 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開
十四、傅里葉級(jí)數(shù)
1 傅里葉級(jí)數(shù)的概念，三角函數(shù)系的正交性 2 以2L為周期的函數(shù)的展開式，奇式與偶式展開 3 收斂定理的證明
十五、多元函數(shù)的極限與連續(xù)
1 平面點(diǎn)集與多元函數(shù) 2 二元函數(shù)的極限，重極限與累次極限 3 二元函數(shù)的連續(xù)性，有界閉域(集)上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)
十六、多元函數(shù)的微分學(xué)
1偏導(dǎo)數(shù)與全微分概念，可微性 2 復(fù)合函數(shù)微分法，高階導(dǎo)數(shù)，高階微分，混合偏導(dǎo)數(shù)與其順序無關(guān)性 3 方向?qū)?shù)與梯度 4 泰勒公式與極值問題
十七、隱函數(shù)定理及其應(yīng)用
1隱函數(shù)的概念，隱函數(shù)定理 2隱函數(shù)組定理，隱函數(shù)組求導(dǎo)、反函數(shù)組與坐標(biāo)變換，函數(shù)行列式及其性質(zhì) 3 幾何應(yīng)用(空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線) 4 條件極值與拉格朗日乘數(shù)法
十八、含參量積分
1 含參量正常積分，連續(xù)性、可積性與可微性 2 含參量反常積分的收斂與一致收斂，柯西準(zhǔn)則，維爾特拉斯(Weierstrass)判別法，狄利克雷(Dirichlet)判別法，阿貝爾(Abel)判別法，含參量無窮積分的連續(xù)性，可積性與可微性 3 歐拉積分
十九、曲線積分
1第一型曲線積分的概念，性質(zhì)和計(jì)算公式 2第二型曲線積分的概念，性質(zhì)和計(jì)算公式，兩類曲線積分之間的關(guān)系
二十、重積分
1 二重積分概念與性質(zhì) 2 二重積分的計(jì)算(化為累次積分)，二重積分的換元法(極坐標(biāo)與一般變換) 3. 格林(Green)公式，曲線積分與路線的無關(guān)性 3 三重積分的概念與計(jì)算，三重積分的換元法(柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)與一般變換) 4 重積分的應(yīng)用(體積、曲面面積等)
二十一、曲面積分
1第一型曲面積分的的概念與計(jì)算 2第二型曲面積分的概念與計(jì)算，兩類曲面積分之間的關(guān)系 3高斯(Gauss)公式，斯托克斯(Stokes)公式
第二部分 說明
1、基本要求：
一元函數(shù)微積分學(xué)：
1. 理解和掌握鄰域，有界集，上下確界 函數(shù)，復(fù)合函數(shù)，反函數(shù)，有界函數(shù)，單調(diào)函數(shù)，奇函數(shù)，偶函數(shù)概念。熟練掌握上下確界，復(fù)合函數(shù)，反函數(shù)的 應(yīng)用。
2. 理解和掌握數(shù)列極限的定義，數(shù)列極限性質(zhì)的原理及推導(dǎo)。單調(diào)有界原理，柯西準(zhǔn)則及應(yīng)用。函數(shù)極限的定義。函數(shù)極限存在的歸結(jié)原理 連續(xù)性的定義及其證明，間斷點(diǎn)及其分類。連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。區(qū)間套定理，柯西準(zhǔn)則聚點(diǎn)定理，有限覆蓋定理原理及證明。閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的原理及證明及應(yīng)用。
3. 熟練掌握數(shù)列極限定義證明，運(yùn)算求極限。函數(shù)極限定義證明，運(yùn)算求極限。函數(shù)極限柯西準(zhǔn)則及應(yīng)用。兩個(gè)重要極限的計(jì)算， 無窮小量，無窮大量概念，無窮小量階的比較及應(yīng)用。一致連續(xù)性及應(yīng)用。
4. 理解和掌握：導(dǎo)數(shù)概念。 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算。反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。求導(dǎo)法則與公式。微分概念，微分的運(yùn)算法則。 高階導(dǎo)數(shù)與高階微分。 參數(shù)方程的一階及 二階導(dǎo)數(shù)。
5. 理解和掌握：不定積分的運(yùn)算法則， 換元積分，分步積分法，有理函數(shù)的積分，三角函數(shù)的積分。定積分的定義，可積必要及充分條件，可積函數(shù)類。熟練掌握定積分的性質(zhì)原理，微積分基本定理，換元積分法，分步積分法及應(yīng)用。掌握非正常積分的定義，性質(zhì)，熟練掌握非正常積分判別準(zhǔn)則。
6. 理解和熟練掌握：級(jí)數(shù)一般判別原則，比較及根式判別方法，積分判別方法原理及使用。交錯(cuò)級(jí)數(shù)， 絕對(duì)收斂，阿貝爾判別法，阿貝爾。狄里克里判別法原理及應(yīng)用。 函數(shù)列的一致收斂性，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法原理及應(yīng)用。一致收斂性函數(shù)列及函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)分析性質(zhì)原理及應(yīng)用。熟練掌握： 阿貝爾定理，收斂區(qū)間判別方法，冪級(jí)數(shù)的分析性質(zhì)，泰勒級(jí)數(shù)，冪級(jí)數(shù)的展開原理及應(yīng)用。
7. 熟練掌握： 為周期的傅里葉級(jí)數(shù)展開，收斂定理證明。 為周期的傅里葉級(jí)數(shù)展開。 為周期的傅里葉級(jí)數(shù)，偶函數(shù)與奇函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)。
多元函數(shù)微積分學(xué)：
8. 掌握平面點(diǎn)集，函數(shù)概念。理解 完備性定理。熟練掌握二元函數(shù)的極限的計(jì)算，累次極限的計(jì)算。熟練掌握 連續(xù)性概念，閉域連續(xù)性的性質(zhì)及應(yīng)用。
9. 掌握可微性，全微分，偏導(dǎo)數(shù)，可微性條件概念。熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)的全微分。理解方向?qū)?shù)與梯度概念。熟練掌握：高階偏導(dǎo)數(shù)， 中值定理和泰勒公式， 極值的充分及必要條件原理及應(yīng)用。熟練掌握隱函數(shù)， 隱函數(shù)組的求導(dǎo)原理及應(yīng)用。
10. 掌握二重積分概念，二重積分可積條件。三重積分概念。曲面面積，重心，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，引力。第一型曲線積分與第一型曲面積分概念。第二型曲線積分概念。
11. 熟練掌握 二重積分的計(jì)算：累次積分，換元積分，參量積分求導(dǎo)。三重積分累次積分，換元積分的計(jì)算。理解和掌握：含參變量非正常積分判別方法，分析性質(zhì)。歐拉積分概念及性質(zhì)。熟練掌握第一型曲線積分與第一型曲面積分計(jì)算公式，第二型曲線積分計(jì)算公式，第二型曲面積分計(jì)算公式。格林公式，路徑無關(guān)定理。高斯公式及原理，斯托克斯公式及原理。
2、分值比例：一元函數(shù)微積分學(xué)占75%，多元函數(shù)微積分學(xué)占25%。
3、題型分布：計(jì)算題+證明題。
4、其他規(guī)定：重點(diǎn)難點(diǎn)集中在一元函數(shù)微積分學(xué)部分，多元函數(shù)積分要理解其物理意義。
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