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南京信息工程大學(xué)2019考研復(fù)試大綱：F02數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)綜合
科目代碼：F02
科目名稱：數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)綜合
第一部分 大綱內(nèi)容
1. 常微分方程部分：
一) 初等積分法
1). 了解常微分方程產(chǎn)生的背景，它與數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)課程之間的關(guān)系，了解線性方程和非線性方程的判別;
2). 了解變量分量分離方程、齊次方程相關(guān)概念;
3). 了解一階線性方程的相關(guān)定義,如齊次方程、非齊次方程、齊次項(xiàng)和非齊次項(xiàng)等，Bernoulli方程的概念;
4). 了解全微分方程、積分因子的概念;
5). 了解一階隱式方程的定義, 一階隱式方程的四種類型,高階方程的定義;
6). 理解常微分方程相關(guān)概念：常微分方程，解、特解與通解，初始條件，積分曲線等
7). 理解初等積分法的內(nèi)涵，即利用不定積分求微分方程的解;理解微分形式的變量分離方程
8). 理解Bernoulli方程的解法，一階線性方程初始問題的求解公式;
9). 理解全微分方程求解思想，即利用二元函數(shù)微分理論，求二元函數(shù)微分的原函數(shù);積分因子的不唯一性;
10). 理解一階隱式方程與顯示方程的不同之處, 一階隱式方程的求解難點(diǎn), 高階方程的求解難點(diǎn);
11). 掌握變量分離方程的解法;
12). 掌握一階線性齊次方程的解法，常數(shù)變易法，一階線性非齊次方程的解法;
13). 掌握全微分方程的解法，全微分方程的判斷，特殊積分因子的求法;
14). 掌握四種類型的一階隱式方程的求解方法,高階方程的降階法(不顯含自變量的高階方程, 恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程)。
二) 基本定理
1). 了解解的存在與唯一性定理的條件和結(jié)論，解的存在區(qū)間，Picard逐步逼近法等概念;
2). 了解局部Lipschitz條件的概念，函數(shù)是否滿足局部Lipschitz條件的驗(yàn)證，局部國(guó)Lipschitz條件在解的延展過程中的作用，解對(duì)初值的連續(xù)依賴性和可微性;
3). 理解Lipschitz條件的概念，函數(shù)是否滿足Lipschitz條件的驗(yàn)證;Lipschitz條件在存在唯一性定理證明中的作用;
4). 理解飽和解、最大存在區(qū)間的概念，解的延展過程，飽和解的存在區(qū)間與解的漸近的關(guān)系;
5). 掌握解的存在與唯一性定理的證明，Picard解序列的構(gòu)造及收斂性的證明，利用Picard逐步逼近法求近似解。
6). 掌握比較原理和解的延展定理及其證明，初值對(duì)解的存在區(qū)間的影響。
三) 一階線性微分方程組
1). 了解線性微分方程組的有關(guān)概念(系數(shù)矩陣、向量值函數(shù)、方程組的初始問題)、方程組解的存在唯一性定理及證明思路;
2). 了解常系數(shù)線性微分方程組的系數(shù)矩陣的特征方程、特征根、特征向量，特征根、特征向量與解的關(guān)系;
3). 理解向量值函數(shù)線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的概念，Wronsky行列式的概念，基本解組的概念，基本解的Wronsky行列式的性質(zhì)，Liouville公式;
4). 理解利用系數(shù)矩陣的特征根、特征向量求常系數(shù)線性微分方程組的基本解組的方法;
5). 掌握線性(齊次、非齊次)微分方程組解的結(jié)構(gòu)，通解基本定理，常數(shù)變易法;向量值函數(shù)線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的判斷。
6). 掌握常系數(shù)線性微分方程組的解法。
四) n階線性微分方程
1). 了解n階線性微分方程解的存在唯一性定理，函數(shù)組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)，函數(shù)組的Wronsky行列式等概念;
2). 了解n階常系數(shù)線性齊次微分方程的特征方程、特征根;由特征根確定微分方程的解;
3). 了解非齊次項(xiàng)的概念，利用常數(shù)變易法求特解的方法;
4). 了解質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程的物理意義，振動(dòng)、無(wú)阻尼自由振動(dòng)、阻尼自由振動(dòng)、無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)、阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)等概念;
5). 了解Laplace變換及其在微分方程初值問題求解問題中的應(yīng)用;
6). 理解n階線性微分方程與n維線性方程組之間的關(guān)系，即對(duì)任意一個(gè)n階線性微分方程，可將其化為一個(gè)n維線性方程組，且他們的解是等價(jià)的， 基本解組， Liouville公式;
7). 理解由復(fù)特征根如何確定微分方程解的方法;
8). 理解比較系數(shù)法與常數(shù)變易法的差異;
9). 理解微分方程的解與振動(dòng)之間的聯(lián)系，共振概念;
10). 理解冪級(jí)數(shù)解法大意;
11). 掌握函數(shù)組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的證明方法，n階(齊次、非齊次)線性微分方程的通解結(jié)構(gòu)定理的證明;
12). 掌握n階常系數(shù)線性齊次微分方程的解法;
13). 掌握第一類型、第二類型n階常系數(shù)線性非齊次微分方程的解法;
14). 掌握通過求二階常系數(shù)線性方程的通解探討力學(xué)問題中振動(dòng)現(xiàn)象的方法，阻尼項(xiàng)和強(qiáng)迫項(xiàng)對(duì)振動(dòng)的影響;
15). 掌握的相關(guān)定理及其在微分方程初值問題求解問題中的應(yīng)用。
五) 定性、穩(wěn)定性理論簡(jiǎn)介
1). 了解穩(wěn)定性相關(guān)概念
2). 理解簡(jiǎn)單的李雅普諾夫函數(shù)的構(gòu)造方法， 正定函數(shù)、負(fù)定函數(shù)的定義;
3). 掌握李雅普諾夫函數(shù)的定義，通過構(gòu)造簡(jiǎn)單的李雅普諾夫函數(shù)，利用相關(guān)定理，判斷零解的穩(wěn)定性。
2. 數(shù)值分析部分
一) 緒論
1). 了解計(jì)算機(jī)算法的特性;
2). 理解誤差的定性分析與避免誤差的危害、數(shù)值運(yùn)算的誤差估計(jì)、算法的數(shù)值穩(wěn)定性;
3). 掌握誤差的來(lái)源與分類、誤差與有效數(shù)字;
二) 矩陣分析基礎(chǔ)
1). 建立線性空間、賦范線性空間、內(nèi)積空間的概念;
2). 掌握向量和矩陣的范數(shù)、向量和矩陣序列的極限;
3). 掌握內(nèi)積空間中的正交系、矩陣的三角分解、正交分解、奇異值分解;
4). 施密特(Schmidt) 正交化過程、正交多項(xiàng)式;
三) 數(shù)值逼近
1). 了解上述幾種常用插值法的優(yōu)缺點(diǎn)，并能夠根據(jù)實(shí)際問題選擇適當(dāng)?shù)牟逯捣椒ㄟM(jìn)行函數(shù)逼近;
2). 了解三角多項(xiàng)式逼近及快速傅立葉變換;
3). 理解插值法的基本原理;掌握用拉格朗日插值公式、牛頓插值公式進(jìn)行插值的方法;
4). 理解函數(shù)逼近、有理逼近的概念;
5). 掌握分段低次插值、樣條插值、埃爾米特插值及其插值余項(xiàng)和誤差估計(jì)方法;
6). 掌握最佳平方逼近方法、曲線擬合的最小二乘法;對(duì)于給定的一組數(shù)據(jù)，能夠根據(jù)最小二乘原理在某一函數(shù)類中選擇函數(shù)，與其所給數(shù)據(jù)組擬合來(lái)解決一些實(shí)際問題
四) 線性方程組的數(shù)值解法
1). 了解研究求解線性方程組的數(shù)值方法分類及直接法的應(yīng)用范圍;
2). 了解極小化方法：最速下降法、共軛梯度法;
3). 掌握線性方程組的直接解法——高斯主元消去法、 LU三角分解法、平方根法、 追趕法與三對(duì)角方程組的解法;
4). 理解矩陣的譜半徑、矩陣的條件數(shù)等概念，并能利用條件數(shù)判別方程組是否病態(tài)以及對(duì)方程組的直接方法的誤差進(jìn)行估計(jì);
5). 掌握線性方程組的經(jīng)典迭代方法——雅可比迭代法、高斯 - 塞德爾迭代法及 SOR 方法的計(jì)算分量形式、矩陣形式以及迭代法的收斂性判定方法;
6). 掌握線性方程組的Krylov 子空間方法。
五) 非線性方程組求根
1). 了解求解非線性方程和非線性方程組的常用數(shù)值方法;
2). 理解迭代法的基本原理、迭代過程的收斂性及收斂速度;迭代過程的加速原理;
3). 掌握求解非線性方程組的不動(dòng)點(diǎn)迭代法、牛頓法及其收斂性;
六) 數(shù)值積分與數(shù)值微分
1). 了解數(shù)值微分方法的基本思想;高斯-勒讓德等求積公式、多重積分、數(shù)值微分公式;
2). 理解數(shù)值積分公式的一般形式及導(dǎo)出方法、理解自適應(yīng)積分方法;比較牛頓 - 柯特斯求積公式與高斯求積公式的異同點(diǎn);龍貝格算法;
3). 掌握代數(shù)精度的概念、插值型的求積公式、幾種低階求積公式及余項(xiàng)使用
七) 矩陣特征值問題
1). 了解特征值的估計(jì)、正交變換的Givens和Householder變換、矩陣的QR法分解;
2). 理解冪法和反冪法的原理和解決的對(duì)象及其加速方法, 矩陣的QR法分解的原理和變形和同時(shí)過程;
3). 掌握冪法和反冪法和基本的QR法
第二部分 說明
1、基本要求：掌握統(tǒng)計(jì)學(xué)基本概念，理解考試范圍內(nèi)的各種常微分方程與數(shù)值分析的基本理論、方法，掌握各種算法及其應(yīng)用;掌握算法的基本原理和理論基礎(chǔ)。
2、分值比例：試卷滿分為150分，考試時(shí)間180分鐘。試卷內(nèi)容包括：數(shù)值分析 50分;常微分方程 100分。
3、題型分布：簡(jiǎn)答題，約40%;計(jì)算、證明題，約60%。
4、其他規(guī)定：答題方式為閉卷、筆試。允許使用計(jì)算器(僅僅具備四則運(yùn)算和開方運(yùn)算功能的計(jì)算器)，但不得使用帶有公式和文本存儲(chǔ)功能的計(jì)算器。
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