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2019年中考數(shù)學(xué)壓軸題精選精析
1.(14分)如圖,四邊形OABC是矩形,點(diǎn)A、C坐標(biāo)分別為(3,0)(0,1),點(diǎn)D是線段BC上動(dòng)點(diǎn)(與B、C不重合),過(guò)點(diǎn)D作=-+交OAB于點(diǎn)E.
(1)記△ODE的面積為S,求S與的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí),若矩形OABC關(guān)于直線DE的對(duì)稱圖形為四邊形OA1B1C1,試探究OA1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積是否發(fā)生變化,若不變,求出該重疊部分的面積;若改變,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【分析】(1)要表示出△ODE的面積,要分兩種情況討論,①如果點(diǎn)E在OA邊上,只需求出這個(gè)三角形的底邊OE長(zhǎng)(E點(diǎn)橫坐標(biāo))和高(D點(diǎn)縱坐標(biāo)),代入三角形面積公式即可;②如果點(diǎn)E在AB邊上,這時(shí)△ODE的面積可用長(zhǎng)方形OABC的面積減去△OCD、△OAE、△BDE的面積;
(2)重疊部分是一個(gè)平行四邊形,由于這個(gè)平行四邊形上下邊上的高不變,因此決定重疊部分面積是否變化的因素就是看這個(gè)平行四邊形落在OA邊上的線段長(zhǎng)度是否變化.
【答案】(1)由題意得B(3,1). 若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,0)時(shí),則b=
(2)如圖3,設(shè)O1A1與CB相交于點(diǎn)M,OA與C1B1相交于點(diǎn)N,則矩形OA1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積即為四邊形DNEM的面積。
由題意知,DM∥NE,DN∥ME,∴四邊形DNEM為平行四邊形
根據(jù)軸對(duì)稱知,∠MED=∠NED 又∠MDE=∠NED,
∴∠MED=∠MDE,∴MD=ME,∴平行四邊形DNEM為菱形.
過(guò)點(diǎn)D作DH⊥OA于H,由題易知,tan∠DEN=,DH=1,∴HE=2,
設(shè)菱形DNEM 的邊長(zhǎng)為a,則在Rt△DHM中,
由勾股定理知:,∴ ∴S四邊形DNEM=NE·DH=
∴矩形OA1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積不發(fā)生變化,面積始終為.
【涉及知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱 四邊形 勾股定理
【點(diǎn)評(píng)】本題是一個(gè)動(dòng)態(tài)圖形中的面積是否變化的問(wèn)題,看一個(gè)圖形的面積是否變化,關(guān)鍵是看決定這個(gè)面積的幾個(gè)量是否變化,本題題型新穎是個(gè)不可多得的好題,有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力,但難度較大,具有明顯的區(qū)分度.
【推薦指數(shù)】★★★★★
2.如圖拋物線y=-x2+x+4交x軸正半軸于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)B.
(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo),并求直線AB的解析式;
(2)設(shè)P(x,y)(x>0)是直線y=x上的一點(diǎn),Q是OP的中點(diǎn)(O是原點(diǎn)),以PQ為對(duì)角線作正方形PEQF,若正方形PEQF與直線AB有公共點(diǎn),求x的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,記正方形PEQF與△OAB公共部分的面積為S,求S關(guān)于x的函數(shù)解析式,并探究S的最大值.
3.(12分)如圖, 已知拋物線與y軸相交于C,與x軸相交于A、B,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-1).
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)E是線段AC上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作DE⊥x軸于點(diǎn)D,連結(jié)DC,當(dāng)△DCE的面積最大時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)在直線BC上是否存在一點(diǎn)P,使△ACP為等腰三角形,若存在,求點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,說(shuō)明理由.
4.(本題滿分l2分)將直角邊長(zhǎng)為6的等腰Rt△AOC放在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)C、A分別在x、y軸的正半軸上,一條拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C及點(diǎn)B(–3,0).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線交AC于點(diǎn)E,連接AP,當(dāng)
△APE的面積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點(diǎn)G,使△AGC的面積與(2)中△APE的最
大面積相等?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)G的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
5、如圖1、在平面直角坐標(biāo)系中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),□ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,),點(diǎn)B在軸的正半軸上,點(diǎn)E為線段AD的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E的直線與軸交于點(diǎn)F,與射線DC交于點(diǎn)G。
(1)求的度數(shù);
(2)連結(jié)OE,以O(shè)E所在直線為對(duì)稱軸,△OEF經(jīng)軸對(duì)稱變換后得到△,記直線與射線DC的交點(diǎn)為H。
①如圖2,當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)H的左側(cè)時(shí),求證:△DEG∽△DHE;
②若△EHG的面積為,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)。