高一數(shù)學(xué)《用二分法求方程的近似解》教案
教學(xué)目標(biāo)
知識(shí)與技能 通過(guò)具體實(shí)例理解二分法的概念及其適用條件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，從中體會(huì)函數(shù)與方程之間的聯(lián)系及其在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用.
過(guò)程與方法 能借助計(jì)算器用二分法求方程的近似解，并了解這一數(shù)學(xué)思想，為學(xué)習(xí)算法做準(zhǔn)備.
情感、態(tài)度、價(jià)值觀 體會(huì)數(shù)學(xué)逼近過(guò)程，感受精確與近似的相對(duì)統(tǒng)一.
教學(xué)重點(diǎn)
通過(guò)用二分法求方程的近似解，體會(huì)函數(shù)的零點(diǎn)與方程根之間的聯(lián)系，初步形成用函數(shù)觀點(diǎn)處理問(wèn)題的意識(shí).
教學(xué)難點(diǎn)
恰當(dāng)?shù)厥褂眯畔⒓夹g(shù)工具，利用二分法求給定精確度的方程的近似解.
教材分析
本節(jié)課注重從學(xué)生已有的基礎(chǔ)(一元二次方程及其根的求法，一元二次函數(shù)及其圖象與性質(zhì))出發(fā)，從具體(一元二次方程的根與對(duì)應(yīng)的一元二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系)到一般，揭示方程的根與對(duì)應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)之間的關(guān)系.在此基礎(chǔ)上，再介紹求函數(shù)零點(diǎn)的近似值的“二分法”，并在總結(jié)“用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的步驟”中滲透算法的思想，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)算法內(nèi)容埋下伏筆.教科書不僅希望學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)與運(yùn)用信息技術(shù)的能力上有所收獲，而且希望學(xué)生感受到數(shù)學(xué)文化方面的熏陶，所以在“閱讀與思考”中，介紹古今中外數(shù)學(xué)家在方程求解中所取得的成就，特別是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展與人類文明的貢獻(xiàn).
學(xué)情分析
通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生在知識(shí)上學(xué)會(huì)用“二分法”求方程的近似解，從中體會(huì)函數(shù)與方程之間的聯(lián)系;在求解的過(guò)程中，由于數(shù)值計(jì)算較為復(fù)雜，因此對(duì)獲得給定精確度的近似解增加了困難，所以希望學(xué)生具備恰當(dāng)?shù)厥褂眯畔⒓夹g(shù)工具解決這一問(wèn)題的能力.這就要求學(xué)生除了能熟練地運(yùn)用計(jì)算器演算以外，還要能借助幾何畫板4.06中文版中的“繪制新函數(shù)”功能畫出基本初等函數(shù)的圖象，掌握Microsoft Excel軟件一些基本的操作.
教學(xué)媒體分析
多媒體微機(jī)室、Authorware7.02中文版、幾何畫板4.06中文版、Microsoft Excel、QBASIC語(yǔ)言應(yīng)用程序
教學(xué)方法
動(dòng)手操作、分組討論、合作交流、課后實(shí)踐
教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)流程圖
教學(xué)設(shè)計(jì)理念
1.構(gòu)建共同基礎(chǔ)，提供發(fā)展平臺(tái);
2.提供多樣解法，適應(yīng)個(gè)性選擇;
3.倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式;
4.注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力;
5.發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí);
6.與時(shí)俱進(jìn)地認(rèn)識(shí)“雙基”;
7.強(qiáng)調(diào)本質(zhì)，注意適度形式化;
8.體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值;
9.注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合;
10.建立合理、科學(xué)的評(píng)價(jià)體系.
教學(xué)過(guò)程與操作設(shè)計(jì)：
環(huán)節(jié)
教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)
師生雙邊互動(dòng)
信息技術(shù)應(yīng)用
中外歷史上的方程求解
在人類用智慧架設(shè)的無(wú)數(shù)座從未知通向已知的金橋中，方程的求解是其中璀璨的一座.雖然今天我們可以從教科書中了解各式各樣方程的解法，但這一切卻經(jīng)歷了相當(dāng)漫長(zhǎng)的歲月.
由于實(shí)際問(wèn)題的需要，我們經(jīng)常需要尋求函數(shù)的零點(diǎn)(即的根)，對(duì)于為一次或二次函數(shù)，我們有熟知的公式解法(二次時(shí)，稱為求根公式).我國(guó)古代數(shù)學(xué)家已比較系統(tǒng)地解決了部分方程求解的問(wèn)題，在《九章算術(shù)》，北宋數(shù)學(xué)家賈憲的《黃帝九章算法細(xì)草》，南宋數(shù)學(xué)家秦九韶的《數(shù)書九章》中均有記載.在十六世紀(jì)，已找到了三次和四次函數(shù)的求根公式，人們?cè)?jīng)希望得到一般的五次以上代數(shù)方程的根式解，但經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的努力仍無(wú)結(jié)果.1824年，挪威年輕數(shù)學(xué)家阿貝爾(N. H. Abel，1802-1829)成功地證明了五次以上一般方程沒(méi)有根式解.1828年，法國(guó)天才數(shù)學(xué)家伽羅瓦(E.Galois，1811-1832)巧妙而簡(jiǎn)潔地證明了存在不能用開方運(yùn)算求解的具體方程.人們認(rèn)識(shí)到高于4次的代數(shù)方程不存在求根公式，因此對(duì)于高次多項(xiàng)式函數(shù)及其它的一些函數(shù)，有必要尋求其零點(diǎn)的近似解的方法，這是一個(gè)在計(jì)算數(shù)學(xué)中十分重要的課題.
師：介紹中外歷史上的方程求解問(wèn)題，從高次代數(shù)方程解的探索歷程引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)引入二分法的意義，從而引入課題.
生：感受到數(shù)學(xué)文化方面的熏陶，最大限度的調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性.
Authorware7.02課件展示
這節(jié)課就讓我們來(lái)共同學(xué)習(xí)一下 §3.1.2《用二分法求方程的近似解》
想一想
我們已經(jīng)知道，函數(shù)在區(qū)間(2，3)內(nèi)有零點(diǎn)，且<0，>0.進(jìn)一步的問(wèn)題是，如何找出這個(gè)零點(diǎn)?
做一做
第一步：取區(qū)間(2，3)的中點(diǎn)2.5，用計(jì)算器算得(2.5)≈-0.084.因?yàn)?(2.5)·<0，所以零點(diǎn)在區(qū)間(2.5，3)內(nèi).
第二步：取區(qū)間(2.5，3)的中點(diǎn)2.75，用計(jì)算器算得(2.75)≈0.512. 因?yàn)?(2.5)·(2.75)<0，所以零點(diǎn)在區(qū)間(2.5，2.75)內(nèi).
結(jié)論:由于(2，3) (2.5，3) (2.5，2.75)，所以零點(diǎn)所在的范圍確實(shí)越來(lái)越小了.如果重復(fù)上述步驟，那么零點(diǎn)所在的范圍會(huì)越來(lái)越小(見下表和圖)
師：一個(gè)直觀的想法是:如果能夠?qū)⒘泓c(diǎn)所在的范圍盡量縮小，那么在一定精確度的要求下，我們可以得到零點(diǎn)的近似值.為了方便，下面我們通過(guò)“取中點(diǎn)”的方法逐步縮小零點(diǎn)所在的范圍.
師：引導(dǎo)學(xué)生分析理解求區(qū)間，的中點(diǎn)的方法.
生：用計(jì)算器算得
(2.5)≈-0.084
(2.75)≈0.512
幾何畫板4.06中文版演示計(jì)算結(jié)果
師：這樣，在一定精確度下，我們可以在有限次重復(fù)相同步驟后，將所得的零點(diǎn)所在區(qū)間內(nèi)的任意一點(diǎn)作為函數(shù)零點(diǎn)的近似值，特別地，可以將區(qū)間端點(diǎn)作為零點(diǎn)的近似值.
例如，當(dāng)精確度為0.01時(shí)，由于|2.5390625-2.53125|=0.0078125<0.01，所以，我們可以將=2.53125作為函數(shù)零點(diǎn)的近似值，也即方程根的近似值.
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議一議：你能說(shuō)出二分法的意義及用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟嗎?
1.二分法的意義
對(duì)于在區(qū)間[，]上連續(xù)不斷且滿足·<0的函數(shù)，通過(guò)不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的 區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法(bisection).
2.給定精確度，用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟如下：
(1)確定區(qū)間，，驗(yàn)證·<0，給定精確度;
(2)求區(qū)間，的中點(diǎn);
(3)計(jì)算：
1若=，則就是函數(shù)的零點(diǎn);
2若·<0，則令=(此時(shí)零點(diǎn));
3若·<0，則令=(此時(shí)零點(diǎn));
(4)判斷是否達(dá)到精確度;即若<，則得到零點(diǎn)近似值(或);否則重復(fù)步驟2-4.
結(jié)論: 由函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程根的關(guān)系，我們可用二分法來(lái)求方程的近似解.
思考：為什么由<，便可判斷零點(diǎn)的近似值為(或)?
師：闡述二分法的逼近原理，引導(dǎo)學(xué)生理解二分法的算法思想，明確二分法求函數(shù)近似零點(diǎn)的具體步驟.
師：分析條件
“·<0”、“精確度”、“區(qū)間中點(diǎn)”及“<”的意義.
生：結(jié)合求函數(shù)
在區(qū)間(2，3)內(nèi)的零點(diǎn)，理解二分法的算法思想與計(jì)算原理.
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由于計(jì)算量較大，而且是重復(fù)相同的步驟，因此，我們可以借助幾何畫板4.06中文版軟件和Microsoft Excel軟件來(lái)完成計(jì)算.
我們還是以求函數(shù)的零點(diǎn)為例
學(xué)生在教師引導(dǎo)下操作
師：
第一步：打開幾何畫板4.06中文版軟件.
第二步：點(diǎn)擊工具欄中的“圖表”，選中“繪制新函數(shù)(Ctrl+G)”，或在工作區(qū)中點(diǎn)擊右鍵，選中“繪制新函數(shù)”.
第三步：在彈出的對(duì)話框中輸入
，點(diǎn)擊“確定”.
幾何畫板4.06中文版
環(huán)節(jié)
教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)
師生雙邊互動(dòng)
信息技術(shù)應(yīng)用
第四步：觀察函數(shù)圖象，確定零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為(2，3).
幾何畫板4.06中文版
第五步:打開
Microsoft Excel軟件
第六步: 分別在單元格A1、B1、C1輸入、、
精確度，在C2輸入0.5，分別在A2、A3輸入2、2.5，選中這兩個(gè)單元格后，按住鼠標(biāo)左鍵并向下方拖動(dòng)“填充柄”到單元格內(nèi)出現(xiàn)填充值4時(shí)為止，完成自動(dòng)填充.
Microsoft Excel軟件
環(huán)節(jié)
教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)
師生雙邊互動(dòng)
信息技術(shù)應(yīng)用
第七步: 在B2單元格點(diǎn)擊“粘貼函數(shù)”，
輸入函數(shù)值公式
“=lnA2+2*A2-6”，得到與A2相應(yīng)的函數(shù)值.
第八步:然后雙擊(或拖動(dòng))B2的“填充柄”，得到與第一列相應(yīng)的函數(shù)值.
生：觀察所得函數(shù)值，所以零點(diǎn)在區(qū)間(2.5，3)內(nèi).
第九步：重復(fù)上述操作：將A1、B1、C1復(fù)制到A7、B7、C7，把精確度設(shè)為0.25，在A8、B9分別輸入2.5、2.75，選中這兩個(gè)單元格后，按住鼠標(biāo)左鍵并向下方拖動(dòng)“填充柄”到單元格內(nèi)出現(xiàn)填充值3.25時(shí)為止，完成自動(dòng)填充.復(fù)制B2到B8，得到與A8相應(yīng)的函數(shù)值，然后雙擊(或拖動(dòng))B8的“填充柄”，得到與第一列相應(yīng)的函數(shù)值.
生：觀察所得函數(shù)值，所以零點(diǎn)在區(qū)間(2.5，2.75)內(nèi).
Microsoft Excel軟件
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教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)
師生雙邊互動(dòng)
信息技術(shù)應(yīng)用
結(jié)論：借助信息技術(shù)求方程近似解(函數(shù)零點(diǎn))的步驟如下：
1.利用函數(shù)性質(zhì)或借助計(jì)算機(jī)、計(jì)算器畫出函數(shù)圖象，確定函數(shù)零點(diǎn)所在的大致區(qū)間;
2.利用然后用Microsoft Excel軟件逐步計(jì)算解答.
第十步：重復(fù)上述過(guò)程，將精確度設(shè)為上次操作的一半，直到小于0.01為止，特別地，這時(shí)可以將區(qū)間端點(diǎn)作為零點(diǎn)的近似值.
生：觀察所得
函數(shù)值，并且精確度為
0.0078125<0.01，所以零點(diǎn)在區(qū)間(2.53125 ，2.5390625)內(nèi)，
*=2.53125可以為函數(shù)的零點(diǎn).
生：認(rèn)真思考，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)尋求確定方程近似解的方法，并進(jìn)行討論、交流、歸納、概括、評(píng)析形成結(jié)論.
Microsoft Excel軟件
例題：借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)用二分法求方程的近似解(精確度0.1)
解：(略). 打開幾何畫板 打開Excel
嘗試練習(xí)：
1. 借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)，用二分法求函數(shù)
的零點(diǎn)(精確度0.1)
2. 借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)，用二分法求方程 的近似值(精確度0.01)
師：首先利用幾何畫板4.06中文版軟件畫出函數(shù)圖象，確定函數(shù)零點(diǎn)所在的大致區(qū)間，然后用Microsoft Excel軟件逐步計(jì)算解答.
生：獨(dú)立完成解答，并進(jìn)行交流、討論、評(píng)析.
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幾何畫板4.06中文版
Microsoft Excel軟件
我們也可以借助QBASIC語(yǔ)言編寫一定的程序來(lái)求方程的近似解.(精確到0.01)
程序框圖：
師：介紹學(xué)生感興趣的計(jì)算機(jī)編程問(wèn)題，滲透算法的思想，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)算法內(nèi)容埋下伏筆.
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師生雙邊互動(dòng)
信息技術(shù)應(yīng)用
程序語(yǔ)句：
INPUT “，，=”;，，
DO
*=(+)/2
=LOG()+2*-6
=LOG(*)+2**-6
IF *>0 THEN
=*
ELSE
=*
END IF
LOOP UNTIL ABS(-) < OR =0
PRINT
END
打開QBASIC文件
師：輸入零點(diǎn)的大致區(qū)間和精確度，執(zhí)行程序，檢驗(yàn)程序運(yùn)行結(jié)果的正確性.
QBASIC語(yǔ)言
應(yīng)用程序
1.有興趣的同學(xué)可以自學(xué)QBASIC語(yǔ)言或其他計(jì)算機(jī)語(yǔ)言，編寫程序，來(lái)檢驗(yàn)做題結(jié)果正確與否.
2.查找有關(guān)資料或利用Internet查找有關(guān)高次代數(shù)方程的解的研究史料，追尋阿貝爾(Abel)和伽羅瓦(Galois)，增強(qiáng)探索精神，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí). 3.談?wù)勍ㄟ^(guò)學(xué)習(xí)求函數(shù)的零點(diǎn)和求方程的近似解，對(duì)數(shù)學(xué)有了哪些新的認(rèn)識(shí)? 將你這節(jié)課的收獲與感受寫成一篇小報(bào)告或小論文的形式，發(fā)表在學(xué)校的數(shù)學(xué)論壇上.
師：繼續(xù)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情;感受數(shù)學(xué)文化方面的熏陶;充分地利用學(xué)校資源進(jìn)行后續(xù)學(xué)習(xí)和交流.
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教案設(shè)計(jì)頻道小編推薦：高中數(shù)學(xué)教案 | 高一數(shù)學(xué)教案 | 高一數(shù)學(xué)教學(xué)計(jì)劃
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教學(xué)目標(biāo)
知識(shí)與技能 通過(guò)具體實(shí)例理解二分法的概念及其適用條件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，從中體會(huì)函數(shù)與方程之間的聯(lián)系及其在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用.
過(guò)程與方法 能借助計(jì)算器用二分法求方程的近似解，并了解這一數(shù)學(xué)思想，為學(xué)習(xí)算法做準(zhǔn)備.
情感、態(tài)度、價(jià)值觀 體會(huì)數(shù)學(xué)逼近過(guò)程，感受精確與近似的相對(duì)統(tǒng)一.
教學(xué)重點(diǎn)
通過(guò)用二分法求方程的近似解，體會(huì)函數(shù)的零點(diǎn)與方程根之間的聯(lián)系，初步形成用函數(shù)觀點(diǎn)處理問(wèn)題的意識(shí).
教學(xué)難點(diǎn)
恰當(dāng)?shù)厥褂眯畔⒓夹g(shù)工具，利用二分法求給定精確度的方程的近似解.
教材分析
本節(jié)課注重從學(xué)生已有的基礎(chǔ)(一元二次方程及其根的求法，一元二次函數(shù)及其圖象與性質(zhì))出發(fā)，從具體(一元二次方程的根與對(duì)應(yīng)的一元二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系)到一般，揭示方程的根與對(duì)應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)之間的關(guān)系.在此基礎(chǔ)上，再介紹求函數(shù)零點(diǎn)的近似值的“二分法”，并在總結(jié)“用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的步驟”中滲透算法的思想，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)算法內(nèi)容埋下伏筆.教科書不僅希望學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)與運(yùn)用信息技術(shù)的能力上有所收獲，而且希望學(xué)生感受到數(shù)學(xué)文化方面的熏陶，所以在“閱讀與思考”中，介紹古今中外數(shù)學(xué)家在方程求解中所取得的成就，特別是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展與人類文明的貢獻(xiàn).
學(xué)情分析
通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生在知識(shí)上學(xué)會(huì)用“二分法”求方程的近似解，從中體會(huì)函數(shù)與方程之間的聯(lián)系;在求解的過(guò)程中，由于數(shù)值計(jì)算較為復(fù)雜，因此對(duì)獲得給定精確度的近似解增加了困難，所以希望學(xué)生具備恰當(dāng)?shù)厥褂眯畔⒓夹g(shù)工具解決這一問(wèn)題的能力.這就要求學(xué)生除了能熟練地運(yùn)用計(jì)算器演算以外，還要能借助幾何畫板4.06中文版中的“繪制新函數(shù)”功能畫出基本初等函數(shù)的圖象，掌握Microsoft Excel軟件一些基本的操作.
教學(xué)媒體分析
多媒體微機(jī)室、Authorware7.02中文版、幾何畫板4.06中文版、Microsoft Excel、QBASIC語(yǔ)言應(yīng)用程序
教學(xué)方法
動(dòng)手操作、分組討論、合作交流、課后實(shí)踐
教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)流程圖
教學(xué)設(shè)計(jì)理念
1.構(gòu)建共同基礎(chǔ)，提供發(fā)展平臺(tái);
2.提供多樣解法，適應(yīng)個(gè)性選擇;
3.倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式;
4.注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力;
5.發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí);
6.與時(shí)俱進(jìn)地認(rèn)識(shí)“雙基”;
7.強(qiáng)調(diào)本質(zhì)，注意適度形式化;
8.體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值;
9.注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合;
10.建立合理、科學(xué)的評(píng)價(jià)體系.
教學(xué)過(guò)程與操作設(shè)計(jì)：
環(huán)節(jié)
教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)
師生雙邊互動(dòng)
信息技術(shù)應(yīng)用
中外歷史上的方程求解
在人類用智慧架設(shè)的無(wú)數(shù)座從未知通向已知的金橋中，方程的求解是其中璀璨的一座.雖然今天我們可以從教科書中了解各式各樣方程的解法，但這一切卻經(jīng)歷了相當(dāng)漫長(zhǎng)的歲月.
由于實(shí)際問(wèn)題的需要，我們經(jīng)常需要尋求函數(shù)的零點(diǎn)(即的根)，對(duì)于為一次或二次函數(shù)，我們有熟知的公式解法(二次時(shí)，稱為求根公式).我國(guó)古代數(shù)學(xué)家已比較系統(tǒng)地解決了部分方程求解的問(wèn)題，在《九章算術(shù)》，北宋數(shù)學(xué)家賈憲的《黃帝九章算法細(xì)草》，南宋數(shù)學(xué)家秦九韶的《數(shù)書九章》中均有記載.在十六世紀(jì)，已找到了三次和四次函數(shù)的求根公式，人們?cè)?jīng)希望得到一般的五次以上代數(shù)方程的根式解，但經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的努力仍無(wú)結(jié)果.1824年，挪威年輕數(shù)學(xué)家阿貝爾(N. H. Abel，1802-1829)成功地證明了五次以上一般方程沒(méi)有根式解.1828年，法國(guó)天才數(shù)學(xué)家伽羅瓦(E.Galois，1811-1832)巧妙而簡(jiǎn)潔地證明了存在不能用開方運(yùn)算求解的具體方程.人們認(rèn)識(shí)到高于4次的代數(shù)方程不存在求根公式，因此對(duì)于高次多項(xiàng)式函數(shù)及其它的一些函數(shù)，有必要尋求其零點(diǎn)的近似解的方法，這是一個(gè)在計(jì)算數(shù)學(xué)中十分重要的課題.
師：介紹中外歷史上的方程求解問(wèn)題，從高次代數(shù)方程解的探索歷程引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)引入二分法的意義，從而引入課題.
生：感受到數(shù)學(xué)文化方面的熏陶，最大限度的調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性.
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這節(jié)課就讓我們來(lái)共同學(xué)習(xí)一下 §3.1.2《用二分法求方程的近似解》
想一想
我們已經(jīng)知道，函數(shù)在區(qū)間(2，3)內(nèi)有零點(diǎn)，且<0，>0.進(jìn)一步的問(wèn)題是，如何找出這個(gè)零點(diǎn)?
做一做
第一步：取區(qū)間(2，3)的中點(diǎn)2.5，用計(jì)算器算得(2.5)≈-0.084.因?yàn)?(2.5)·<0，所以零點(diǎn)在區(qū)間(2.5，3)內(nèi).
第二步：取區(qū)間(2.5，3)的中點(diǎn)2.75，用計(jì)算器算得(2.75)≈0.512. 因?yàn)?(2.5)·(2.75)<0，所以零點(diǎn)在區(qū)間(2.5，2.75)內(nèi).
結(jié)論:由于(2，3) (2.5，3) (2.5，2.75)，所以零點(diǎn)所在的范圍確實(shí)越來(lái)越小了.如果重復(fù)上述步驟，那么零點(diǎn)所在的范圍會(huì)越來(lái)越小(見下表和圖)
師：一個(gè)直觀的想法是:如果能夠?qū)⒘泓c(diǎn)所在的范圍盡量縮小，那么在一定精確度的要求下，我們可以得到零點(diǎn)的近似值.為了方便，下面我們通過(guò)“取中點(diǎn)”的方法逐步縮小零點(diǎn)所在的范圍.
師：引導(dǎo)學(xué)生分析理解求區(qū)間，的中點(diǎn)的方法.
生：用計(jì)算器算得
(2.5)≈-0.084
(2.75)≈0.512
幾何畫板4.06中文版演示計(jì)算結(jié)果
師：這樣，在一定精確度下，我們可以在有限次重復(fù)相同步驟后，將所得的零點(diǎn)所在區(qū)間內(nèi)的任意一點(diǎn)作為函數(shù)零點(diǎn)的近似值，特別地，可以將區(qū)間端點(diǎn)作為零點(diǎn)的近似值.
例如，當(dāng)精確度為0.01時(shí)，由于|2.5390625-2.53125|=0.0078125<0.01，所以，我們可以將=2.53125作為函數(shù)零點(diǎn)的近似值，也即方程根的近似值.
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議一議：你能說(shuō)出二分法的意義及用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟嗎?
1.二分法的意義
對(duì)于在區(qū)間[，]上連續(xù)不斷且滿足·<0的函數(shù)，通過(guò)不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的 區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法(bisection).
2.給定精確度，用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的步驟如下：
(1)確定區(qū)間，，驗(yàn)證·<0，給定精確度;
(2)求區(qū)間，的中點(diǎn);
(3)計(jì)算：
1若=，則就是函數(shù)的零點(diǎn);
2若·<0，則令=(此時(shí)零點(diǎn));
3若·<0，則令=(此時(shí)零點(diǎn));
(4)判斷是否達(dá)到精確度;即若<，則得到零點(diǎn)近似值(或);否則重復(fù)步驟2-4.
結(jié)論: 由函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程根的關(guān)系，我們可用二分法來(lái)求方程的近似解.
思考：為什么由<，便可判斷零點(diǎn)的近似值為(或)?
師：闡述二分法的逼近原理，引導(dǎo)學(xué)生理解二分法的算法思想，明確二分法求函數(shù)近似零點(diǎn)的具體步驟.
師：分析條件
“·<0”、“精確度”、“區(qū)間中點(diǎn)”及“<”的意義.
生：結(jié)合求函數(shù)
在區(qū)間(2，3)內(nèi)的零點(diǎn)，理解二分法的算法思想與計(jì)算原理.
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由于計(jì)算量較大，而且是重復(fù)相同的步驟，因此，我們可以借助幾何畫板4.06中文版軟件和Microsoft Excel軟件來(lái)完成計(jì)算.
我們還是以求函數(shù)的零點(diǎn)為例
學(xué)生在教師引導(dǎo)下操作
師：
第一步：打開幾何畫板4.06中文版軟件.
第二步：點(diǎn)擊工具欄中的“圖表”，選中“繪制新函數(shù)(Ctrl+G)”，或在工作區(qū)中點(diǎn)擊右鍵，選中“繪制新函數(shù)”.
第三步：在彈出的對(duì)話框中輸入
，點(diǎn)擊“確定”.
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環(huán)節(jié)
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第四步：觀察函數(shù)圖象，確定零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為(2，3).
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第五步:打開
Microsoft Excel軟件
第六步: 分別在單元格A1、B1、C1輸入、、
精確度，在C2輸入0.5，分別在A2、A3輸入2、2.5，選中這兩個(gè)單元格后，按住鼠標(biāo)左鍵并向下方拖動(dòng)“填充柄”到單元格內(nèi)出現(xiàn)填充值4時(shí)為止，完成自動(dòng)填充.
Microsoft Excel軟件
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第七步: 在B2單元格點(diǎn)擊“粘貼函數(shù)”，
輸入函數(shù)值公式
“=lnA2+2*A2-6”，得到與A2相應(yīng)的函數(shù)值.
第八步:然后雙擊(或拖動(dòng))B2的“填充柄”，得到與第一列相應(yīng)的函數(shù)值.
生：觀察所得函數(shù)值，所以零點(diǎn)在區(qū)間(2.5，3)內(nèi).
第九步：重復(fù)上述操作：將A1、B1、C1復(fù)制到A7、B7、C7，把精確度設(shè)為0.25，在A8、B9分別輸入2.5、2.75，選中這兩個(gè)單元格后，按住鼠標(biāo)左鍵并向下方拖動(dòng)“填充柄”到單元格內(nèi)出現(xiàn)填充值3.25時(shí)為止，完成自動(dòng)填充.復(fù)制B2到B8，得到與A8相應(yīng)的函數(shù)值，然后雙擊(或拖動(dòng))B8的“填充柄”，得到與第一列相應(yīng)的函數(shù)值.
生：觀察所得函數(shù)值，所以零點(diǎn)在區(qū)間(2.5，2.75)內(nèi).
Microsoft Excel軟件
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結(jié)論：借助信息技術(shù)求方程近似解(函數(shù)零點(diǎn))的步驟如下：
1.利用函數(shù)性質(zhì)或借助計(jì)算機(jī)、計(jì)算器畫出函數(shù)圖象，確定函數(shù)零點(diǎn)所在的大致區(qū)間;
2.利用然后用Microsoft Excel軟件逐步計(jì)算解答.
第十步：重復(fù)上述過(guò)程，將精確度設(shè)為上次操作的一半，直到小于0.01為止，特別地，這時(shí)可以將區(qū)間端點(diǎn)作為零點(diǎn)的近似值.
生：觀察所得
函數(shù)值，并且精確度為
0.0078125<0.01，所以零點(diǎn)在區(qū)間(2.53125 ，2.5390625)內(nèi)，
*=2.53125可以為函數(shù)的零點(diǎn).
生：認(rèn)真思考，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)尋求確定方程近似解的方法，并進(jìn)行討論、交流、歸納、概括、評(píng)析形成結(jié)論.
Microsoft Excel軟件
例題：借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)用二分法求方程的近似解(精確度0.1)
解：(略). 打開幾何畫板 打開Excel
嘗試練習(xí)：
1. 借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)，用二分法求函數(shù)
的零點(diǎn)(精確度0.1)
2. 借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)，用二分法求方程 的近似值(精確度0.01)
師：首先利用幾何畫板4.06中文版軟件畫出函數(shù)圖象，確定函數(shù)零點(diǎn)所在的大致區(qū)間，然后用Microsoft Excel軟件逐步計(jì)算解答.
生：獨(dú)立完成解答，并進(jìn)行交流、討論、評(píng)析.
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幾何畫板4.06中文版
Microsoft Excel軟件
我們也可以借助QBASIC語(yǔ)言編寫一定的程序來(lái)求方程的近似解.(精確到0.01)
程序框圖：
師：介紹學(xué)生感興趣的計(jì)算機(jī)編程問(wèn)題，滲透算法的思想，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)算法內(nèi)容埋下伏筆.
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環(huán)節(jié)
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程序語(yǔ)句：
INPUT “，，=”;，，
DO
*=(+)/2
=LOG()+2*-6
=LOG(*)+2**-6
IF *>0 THEN
=*
ELSE
=*
END IF
LOOP UNTIL ABS(-) < OR =0
END
打開QBASIC文件
師：輸入零點(diǎn)的大致區(qū)間和精確度，執(zhí)行程序，檢驗(yàn)程序運(yùn)行結(jié)果的正確性.
QBASIC語(yǔ)言
應(yīng)用程序
1.有興趣的同學(xué)可以自學(xué)QBASIC語(yǔ)言或其他計(jì)算機(jī)語(yǔ)言，編寫程序，來(lái)檢驗(yàn)做題結(jié)果正確與否.
2.查找有關(guān)資料或利用Internet查找有關(guān)高次代數(shù)方程的解的研究史料，追尋阿貝爾(Abel)和伽羅瓦(Galois)，增強(qiáng)探索精神，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí). 3.談?wù)勍ㄟ^(guò)學(xué)習(xí)求函數(shù)的零點(diǎn)和求方程的近似解，對(duì)數(shù)學(xué)有了哪些新的認(rèn)識(shí)? 將你這節(jié)課的收獲與感受寫成一篇小報(bào)告或小論文的形式，發(fā)表在學(xué)校的數(shù)學(xué)論壇上.
師：繼續(xù)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情;感受數(shù)學(xué)文化方面的熏陶;充分地利用學(xué)校資源進(jìn)行后續(xù)學(xué)習(xí)和交流.
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