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2015年高中畢業(yè)年級(jí)第一次質(zhì)量預(yù)測(cè)
文科數(shù)學(xué)試題卷
本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，考試時(shí)間120分鐘，滿分150分.考生應(yīng)首先閱讀答題卡上的文字信息，然后在答題卡上作答，在試題卷上作答無(wú)效，交卷時(shí)只交答題卡
第I卷
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知命題 ，那么 是( )
A. B.
C. D.
2.已知集合 ， ，若 ，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
3. 設(shè) 是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù) 是純虛數(shù)，則 的值為( )
A. B. C.1 D.3
4.已知點(diǎn) 是拋物線 上一點(diǎn)，焦點(diǎn)為 ， ，則 （ ）
A. 100 B.200 C.360 D.400
5.已知數(shù)列 是等差數(shù)列，其前 項(xiàng)和為 ，若 ，且 ，則 （ ）
A. 2 B.3 C.4 D.5
6.已知長(zhǎng)方體的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，高為 ，其俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形，側(cè)視圖是一個(gè)面積為2的矩形，則該長(zhǎng)方形的正視圖的面積等于（ ）
A.1 B.
C.2 D.
7.如圖所示的程序框圖中，若 ，且 恒成立，則 的最大值是（ ）
A. 0 B. 1 C. 3 D. 4
8.已知點(diǎn) 的坐標(biāo)滿足條件 ，則 的最大值為（ ）
A. 17 B.18 C. 20 D.21
9.已知定義在 上的函數(shù) 滿足 ， 是 的導(dǎo)函數(shù)，且函數(shù) 的圖象如右圖所示，則不等式 的解集是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知函數(shù) 的部分圖象如圖所示，點(diǎn) 是該圖象與 軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) 的直線與該圖象交于 兩點(diǎn)，則 的值為（ ）
A. B.
C. D. 2
11. 設(shè)函數(shù) 的定義域?yàn)?，若對(duì)于任意的 ，當(dāng) 時(shí)，恒有 ，則稱點(diǎn) 為函數(shù) 圖象的對(duì)稱中心.研究函數(shù) 的某一個(gè)對(duì)稱中心，并利用對(duì)稱中心的上述定義，可得到 … ( )
A. 0 B. 2014 C. 4028 D. 4031
12.在 中， ， 是斜邊 上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且 ，則 的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
第II卷
本試卷包括必考題和選考題兩部分，第13-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22-24題為選考題，學(xué)生根據(jù)要求作答.
二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分.
13. 已知數(shù)列 是等比數(shù)列，若 ，則
14. 我市某校組織學(xué)生參加英語(yǔ)測(cè)試，成績(jī)的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為 ，若低于60分的人數(shù)是15人，則該班的人數(shù)是
15. 已知 ，那么
16.給定方程： ，下列命題中：①該方程沒(méi)有小于0的實(shí)數(shù)解；②該方程有無(wú)數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)解；③該方程在 內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；④若 是方程的實(shí)數(shù)根，則 .
正確命題是
三、解答題：解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
17.（本小題滿分12分）
在 中，角 、 、 的對(duì)邊分別為 ，且滿足 ， ， 邊上中線 的長(zhǎng)為 .
（I）求角 和角 的大??；（II）求 的面積.
18.(本小題滿分12分)
在一個(gè)不透明的箱子里裝有5個(gè)完全相同的小球，球上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5.甲先從箱子中摸出一個(gè)小球，記下球上所標(biāo)數(shù)字后，再將該小球放回箱子中搖勻后，乙從該箱子中摸出一個(gè)小球.
（I）若甲、乙兩人誰(shuí)摸出的球上標(biāo)的數(shù)字大誰(shuí)就獲勝（若數(shù)字相同為平局），求甲獲勝的概率；
（II）若規(guī)定:兩人摸到的球上所標(biāo)數(shù)字之和小于6則甲獲勝，否則乙獲勝，這樣規(guī)定公平嗎？
19.（本小題滿分12分）
如圖，在四棱錐 中，底面 為直角梯形， ， 底面 ， ， 為 的中點(diǎn)， 為棱 的中點(diǎn).
（I）證明： 平面 ；
（II）已知 ，求點(diǎn) 到平面 的距離.
20.（本小題滿分12分）
已知?jiǎng)狱c(diǎn) 到定點(diǎn) 和直線 的距離之比為 ，設(shè)動(dòng)點(diǎn) 的軌跡為曲線 ，過(guò)點(diǎn) 作垂直于 軸的直線與曲線 相交于 兩點(diǎn)，直線 與曲線 交于 兩點(diǎn)，與線段 相交于一點(diǎn)（與 不重合）
（I）求曲線 的方程；（II）當(dāng)直線 與圓 相切時(shí)，四邊形 的面積是否有最大值，若有，求出其最大值，及對(duì)應(yīng)的直線 的方程；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.
22. （本小題滿分12分）
設(shè) 是實(shí)數(shù)，函數(shù) .
（I）討論函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；
（II）設(shè)定義在 上的函數(shù) 在點(diǎn) 處的切線方程為 ，當(dāng) 時(shí)，若 在 內(nèi)恒成立，則稱點(diǎn) 為函數(shù) 的“平衡點(diǎn)”. 當(dāng) 時(shí)，試問(wèn)函數(shù) 是否存在“平衡點(diǎn)”？若存在，請(qǐng)求出“平衡點(diǎn)”的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
請(qǐng)考生在第22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分，答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號(hào)涂黑.
22.(本小題滿分10分)選修4-1：幾何證明選講
如圖所示， 交圓于 兩點(diǎn)， 切圓于 ， 為 上一點(diǎn)且 ，連接 并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn) ，作弦 垂直 ，垂足為 .
（I）求證： 為圓的直徑；
（II）若 ，求弦 的長(zhǎng).
23.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系 中，以 為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立直角坐標(biāo)系，圓 的極坐標(biāo)方程為 ，直線 的參數(shù)方程為 （ 為參數(shù)），直線 和圓 交于 兩點(diǎn)， 是圓 上不同于 的任意一點(diǎn).
（I）求圓心的極坐標(biāo)；（II）求 面積的最大值.
24.(本小題滿分10分)選修4-5：不等式選講
已知函數(shù) .
（I）當(dāng) 時(shí)，求不等式 的解集；
（II）若二次函數(shù) 與函數(shù) 的圖象恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
2015年高中畢業(yè)年級(jí)第一次質(zhì)量預(yù)測(cè)
文科數(shù)學(xué) 參考答案
一、選擇題
1-12: CAAD ACCB BDDB
二、填空題
13.96；14.50；15. ；16.2,3,4.
三、解答題
17．解：(1).由 得
………… 4分
由 ，得 . 故 ．………6分
(2).設(shè) ，
由余弦定理得 ，………8分
解得 ，……10分
故 ……………………12分
18.解：用 （ 表示 甲摸到的數(shù)字， 表示乙摸到的數(shù)字）表示甲、乙各摸一球構(gòu)成的基本事件，則基本事件有： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 共25個(gè)； …………………4分
(1).設(shè)：甲獲勝的的事件為A，則事件A包含的基本事件有： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，共有10個(gè)；…………………6分
則 .…………………8分
(2).設(shè)：甲獲勝的的事件為B，乙獲勝的的事件為C. 事件B所包含的基本事件有： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，共有10個(gè)；
則 ，…………………10分
所以 . …………………11分
因?yàn)?，所以這樣規(guī)定不公平. ……………………12分
19.解：(1).連結(jié) 交 于 ，連結(jié) ，因?yàn)?， 為 的中點(diǎn)，所以 為 的中點(diǎn)．…………………2分
當(dāng) 為 的中點(diǎn)，即 時(shí)， 為 的中位線，
故 ，又 平面 ，所以 平面 .…………………5分
(2).由(1)可知， 平面 ，所以點(diǎn) 到平面 的距離等于點(diǎn) 到平面 的距離，所以 ，
取 的中點(diǎn) ，連結(jié) ，所以 ， ，…………7分
又 底面 ，所以 底面 .
又 ， ，所以 ， ， …………………10分
所以 . …………………11分
則點(diǎn) 到平面 的距離 = …………………12分
20.解：(1).設(shè)點(diǎn) ，由題意可得， ，…………………2分
整理可得： .曲線 的方程是 .…………………5分
(2).設(shè) ， ，由已知可得： ，當(dāng) 時(shí)，不合題意.
當(dāng) 時(shí)，由直線 與圓 相切，可得： ，即
聯(lián)立 消去 得 …………………7分
，
所以，
= = ……10分
當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)
經(jīng)檢驗(yàn)可知，直線 和直線 符合題意. ………………12分
21.解：（1）
當(dāng) 時(shí)， 在 上恒成立；…………………2分
當(dāng) 時(shí)，在 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)，
所以，當(dāng) 時(shí)， 的減區(qū)間為(0,+ )；…………………4分
當(dāng) 時(shí)， 的減區(qū)間為 ，增區(qū)間為 . …………………6分
（2）設(shè) 為函數(shù) 圖像上一點(diǎn)，則函數(shù) 在點(diǎn) 處的切線方程為：
即： .…………………8分
令
，
則 ，因?yàn)?BR> 所以，當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)，
即函數(shù) 在 上為減函數(shù)，在 上為增，
所以， …………………10分
那么，當(dāng) 時(shí)， ；
當(dāng) 時(shí)，
因此，函數(shù) 在 不存在“平衡點(diǎn)”. …………………12分
22．證明：(1)因?yàn)?，所以 .
由于 為切線，故 ，…………………2分
又因?yàn)?，所以 ，
所以 ，
從而 .…………………4分
又 所以 ，所以 ，
故 為圓的直徑．…………………5分
(2)連接BC，DC.
由于AB是直徑，故∠BDA＝∠ACB＝90°.
在Rt△BDA與Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，從而得Rt△BDA≌Rt△ACB，
于是∠DAB＝∠CBA. …………………7分
又因?yàn)椤螪CB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB. ………………8分
因?yàn)锳B⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE為直角，…………………9分
所以ED為直徑，又由(1)知AB為圓的直徑，所以 .…………………10分
23.解：(Ⅰ)圓 的普通方程為 ，即 ………2分
所以圓心坐標(biāo)為（1，-1），圓心極坐標(biāo)為 ；…………………5分
(Ⅱ)直線 的普通方程： ，圓心到直線 的距離
，…………………7分
所以
點(diǎn) 直線 距離的最大值為 …………………9分
.…………………10分
24.解：（Ⅰ）當(dāng) 時(shí)， ………………………3分
由 易得不等式解集為 ；………………………5分
（2）由二次函數(shù) ，該函數(shù)在 取得最小值2，
因?yàn)?在 處取得最大值 ，…………………7分
所以要使二次函數(shù) 與函數(shù) 的圖象恒有公共點(diǎn)，只需 ，
即 .……………………………10分
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