2015江西省重點(diǎn)中學(xué)四校聯(lián)考數(shù)學(xué)理試題及答案

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    泰和中學(xué)  吉安縣中吉水中學(xué)  永豐中學(xué)  2015屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)(理科)試卷
    命題人:吉水中學(xué)  周湖平  吉安縣中  曾廣述
    一、選擇題(共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。)
    1.已知集合 ,集合 ,則 (   )
     A.[-1,0] B.[0,1] C.[0,2] D.[-1,1]
    2.已知 ,若Z為實(shí)數(shù),則正整數(shù)n的最小值為(   )
     A.2 B.3 C.4 D.5
    3.設(shè) (   )
     A.  B.  C.  D.
    4.下列命題正確的個(gè)數(shù)有(   )
    (1)存在 ,使得
    (2)“ ”是“ ”的充要條件
    (3)若 ,則
    (4)若函數(shù) 在 有極值 ,
    則
     A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
    5.已知某種程序框圖如圖所示,則執(zhí)行該程序后輸出的結(jié)果是(   )
     A.     B.   
     C.    D.
    6.在集合 的所有非空子集中,任取一個(gè)集合 ,恰好滿足條件“若 ,則 ”的概率是(   )
     A.    B.      C.     D.
    7.已知下面正三棱柱的俯視圖如右圖所示,則這個(gè)三棱柱外接球的體積為(   )
     
     A.28  B.  C.  D.  
    8.向邊長為2米的正方形木框ABCD內(nèi)隨機(jī)投擲一粒綠豆,記綠豆落在P點(diǎn),則
    ∠DPC∈(0, )的概率為(   )
     A. 1-  B.1-  C.  D.
    9.雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為 恰 為拋物線 的焦點(diǎn),設(shè)雙曲線C與該拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為A,若 是以A 為底邊的等腰三角形,則雙曲線C的離心率為(   )
     A.   B.  C.  D.
    10.若非零向量 滿足 ,則(    )
     A.  B.  C.  D.
    11.已知函數(shù) 有4個(gè)零點(diǎn) ,且 ,則
     (   )
     A.0 B.1 C.2 D.32
    12.已知數(shù)列 是等差數(shù)列,且 , , ,則 的取值范圍為(   )
     A.    B.    C.    D.
    二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)
    13.使 的展開式中系數(shù)大于200的項(xiàng)共有   項(xiàng). 
    14.設(shè)橢圓 的左焦點(diǎn)為 ,右焦點(diǎn)為 ,以 為直徑的圓與橢圓在 軸上方部分交于點(diǎn) ,則 =          .
    15.在 中,內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是 ,若 ,且  ,則  _____________。
    16. 氣象意義上從春季進(jìn)入夏季的標(biāo)志為“連續(xù)5天的平均溫度均不低于22 ”,現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)(記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù))
    (1)甲地:5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24,眾數(shù)為22
    (2)乙地:5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27,總體均值為24
    (3)丙地:5個(gè)數(shù)據(jù)中有一個(gè)數(shù)據(jù)是32,總體均值為26,總體方差為10.8,則肯定進(jìn)入夏季的地區(qū)是     .
    三、解答題(本大題共5小題,每小題12分,共60分,解答應(yīng)寫出文明說明、證明過程或演算步驟。)
    17.已知 ,  ,其中 ,若函數(shù) ,且 的對(duì)稱中心到 對(duì)稱軸的最近距離不小于 。
     (1)求 的取值范圍。
     (2)在 中, 分別是角A、B、C的對(duì)邊,且 ,當(dāng) 取最大值時(shí), ,求 的面積。
    18.某工廠生產(chǎn)A、B兩種型號(hào)的玩具,其質(zhì)量按測試指標(biāo)劃分為:指標(biāo)大于或等于83為正品,小于83為次品,現(xiàn)隨機(jī)取這兩種玩具進(jìn)行檢測,檢測結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下:
    測試指標(biāo) [70,76) [76,83) [83,88) [88,94) [94,100)
    玩具A(件)
     8
     12
     40
     32
     8
    玩具B(件) 7 18 40 29 6
    (1)試分別估計(jì)玩具A為正品的概率和玩具B為正品的概率;
    (2)生產(chǎn)1件玩具A,若是正品可盈利40元,若是次品則虧損5元;生產(chǎn)1件玩具B,若是正品可盈利50元,若是次品則虧損10元,在(1)的前提下,
    (i)記 為生產(chǎn)1件玩具A和1件玩具B所得的總利潤,求隨機(jī)變量 的分布列和數(shù)學(xué)期望;
    (ii)求生產(chǎn)5件玩具B所獲得的利潤不少于140元的概率.
    19.如圖,在 中, , ,點(diǎn) 在線段  上,且 平分 ,將 沿 折成二面角 (點(diǎn)B與S重合),且 .
    (1)求證:平面 平面 ;
    (2)求二面角 的正弦值.
     
     
     
    20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓E的中心為原點(diǎn), 分別為E的左、右焦點(diǎn),過F1的直線l交E于A、B兩點(diǎn),且 。
     (1)求橢圓E的方程;
     (2)過圓O: 上任意一點(diǎn)P作橢圓E的兩條切線,若切線斜率都存在,試探究這兩條切線斜率之間的關(guān)系。
    21.已知函數(shù)
    (1)當(dāng)a=1時(shí),求 在點(diǎn) 處的切線方程,判斷切線與 圖象的公共點(diǎn)個(gè)數(shù),并說明理由;
    (2)若 有兩個(gè)不同的零點(diǎn) ,求證: .
     
    四、選做題(請(qǐng)考生從22、23、24三題中任選一題作答。如果多做,則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分,作答時(shí)請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上將所選題號(hào)后的方框涂黑,共10分)
    22.如圖,已知AD為圓O的直 徑,直線BA與圓O相切于點(diǎn)A,直線OB與弦AC垂直并相交于點(diǎn)G,與弧AC相交于M,連接DC,AB=10,AC=12
    (1)求證:BA DC=GC AD ;              
    (2)求BM.
     
     
     
     
    23.在直角坐標(biāo)系 中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以 軸正半軸為極軸,與直角坐標(biāo)系 取相同的長度單位,建立極坐標(biāo)系,已知點(diǎn)P的極坐標(biāo)為 ,直線 的極坐標(biāo)方程為 cos =a,且點(diǎn)P在直線 上。
    (1)求a的值及直線 的直角坐標(biāo)方程;
    (2)設(shè)曲線C的參數(shù)方程 ( 為參數(shù)),求曲線C上的點(diǎn)到直線 的最大值.
     
    24.已知關(guān)于 的不等式
    (1)當(dāng) ,求此不等式的解集;
    (2)若對(duì)任意的 ,不等式 恒成立,求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
     
    泰和中學(xué)  吉安縣中吉水中學(xué)  永豐中學(xué)2015屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(理科)答題卡
    一、選擇題(共12小題,每小題5分,共60分)
    題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
    答案            
    二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)
    13.___________________  14.__________________
    15.___________________  16.__________________
    三、解答題(共70分)
    17.(12分)
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    18.(12分)
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    19.(12分)
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    20.(12分)
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    21.(12分)
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    選做題(22、23、24中選一題做)(10分)
    22. □    23. □   24. □  
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    泰和中學(xué)  吉安縣中吉水中學(xué)  永豐中學(xué)  2015屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)(理科)答案
    1-6     B C D B D C
    7-12    D A A D B B
    13.   2        14.             15.            16.   甲和丙
    17.
     
          
              
              由余弦定理得:
               ………………12分
    18、(1)估計(jì)玩具A為正品的概率為  ……1分
    估計(jì)玩具B為正品的概率為  ……2分
    (2)①隨機(jī)變量 的所有可能取值為90,45,30, 。
        
          ……6分
    所以,隨機(jī)變量 的分布列為:
     
    90 45 30 
    P 
      
     
      ……8分
    ②設(shè)生產(chǎn)的5件玩具B中正品有 件,則次品有( )件,依題意得 解得 ,所以 或 ,設(shè)“生產(chǎn)5件玩具B所獲得利潤不小于140元”為事件C,則 。……12分
    19. 解:(1)過點(diǎn)S作SH CP于H,連AH,則
     ,又 
     
    又 即
      又
      平面ACP, 平面SPC平面APC      ……6分
    (2)方法一:以H為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則 .
      , ,
      ,設(shè)平面SPC與平面SCA的法向量分別為 ,則顯然 ,計(jì)算易得 .設(shè)二面角 的大小為 ,則 .
         ……12分
    方法二:過H作 交AC于點(diǎn)M,則 平面SCP,過H作 于點(diǎn)N,連接MN,則 為二面角 的平面角,又
     . ……12分
    20.解:(1)設(shè)橢圓E的方和是
                知
                 …………………………………………………………5分
           (2)兩切線互相垂直………………………………………………………6分
                設(shè)點(diǎn) 且與橢圓E相切的切線 的方程為
                聯(lián)立
                
                
                設(shè)滿足題意的切線的斜率為k1、k2,則
                
                 兩條切線相互垂直?!?2分
    21、解: (1)當(dāng) 時(shí), ,
     ,又  切線方程為  ……2分
    切線 與 的圖象只有一個(gè)交點(diǎn),證明如下:
    當(dāng) 時(shí), , 單調(diào)遞增 ;當(dāng) 時(shí), , 單調(diào)遞減,所以 ,所以切線 與 的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)?!?分
    (2)不妨設(shè) ,因?yàn)?,所以 , ,可得 ,要證明 ,即證明 ,也就是 。因?yàn)?,所以即證明 ,即 ,令 ,則 ,于是 。
    令 ,則 ,故函數(shù) 在 是增函數(shù),所以 ,即 ,所以原不等式成立。……12分
    四、選考題:在22、23、24三題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題記分.
    22、解:(1)  ,
               ,則 ,
        而 ,……5分
     
         (2)  , ,則 , , ,即 ,  , ,延長BO交 O于點(diǎn)N,則 
              ,解得  ……10分
    23、解:(1)  直線 :
             , ,則
              ……5分
      (2)
              ……10分
    24、解:(1) 時(shí),原不等式可化為 ,即
        (i) 時(shí), ,則  
        (ii) 時(shí), ,則 , 
    綜上原不等式的解集為 或  ……5分
        (2)依題意, 在 上恒成立,
    由圖象可得只需 或 ,即 或  ……10分
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