2012中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)知識(shí)歸納 84

    
    
    上小學(xué)的趙亮放學(xué)回家說：“今天的作業(yè)是剪圖形，老師讓剪三角形、正方形、長方形、平行四邊形、梯形…，還讓把剪好的圖形拼成新的圖形．”
     
    在幫孩子完成作業(yè)的同時(shí)，我發(fā)現(xiàn)剪拼圖形也挺有意思的做了一些研究，下面拿出來與大家分享．
     
    注　這里講的“剪”，只能沿直線剪；這里講的“拼”，指圖形拼完后不能有重疊部分，也不能有剩余部分．
    １．平行四邊形剪拼成一個(gè)三角形．
     
    用“面積不變”的思想，平行四邊形變?nèi)切斡袃纱箢惙椒?，每一大類都有無數(shù)種拼法．如圖3，圖7．
     
    1.1一般的方法：
     
    如圖１，找出ＡＢ邊中點(diǎn)Ｅ，作射線DA、射線CE，兩條射線交與點(diǎn)D′．易證△AED′≌△BEC,將△BEC繞點(diǎn)Ｅ旋轉(zhuǎn)180°，就和△AED′重合．這樣將平行四邊形ABCD沿CE剪開就可以拼成一個(gè)三角形（△DCD′）．
     
    如圖２，也可以在ＢＣ邊上找中點(diǎn)，作法同上．
    　　
    圖１　　　　　　　圖２
    那么是否只有這兩種做法呢？當(dāng)然不是，它的做法有無數(shù)種呀！下面我們來看一看．
     
    1.２以動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)看問題：
     
    如圖３，找出AD、BC的中點(diǎn)G、H,而D′點(diǎn)是AB上任意一點(diǎn)（動(dòng)點(diǎn)），作射線D′G和射線D′H，分別交DC所在的直線于E、F，易證△DGE≌AGD′,△HBD′≌△HCF, 這樣平行四邊形ABCD就可以拼成一個(gè)三角形（△EFD′）．
     
    當(dāng)點(diǎn)D′在AB上移動(dòng)時(shí)，產(chǎn)生的△EFD′也在變化，所以也就產(chǎn)生無數(shù)個(gè)三角形△EFD′也就有無數(shù)種剪拼方法．
    　　
    圖３　　　　　　　　　　　　圖４
     
    　　
    圖５　　　　　　　　　　　　　　　圖６
    1.2.1當(dāng)點(diǎn)D′在AB上運(yùn)動(dòng)到圖4位置時(shí)，△EFD′為銳角三角形．
     
    1.2.2當(dāng)點(diǎn)D′在AB上運(yùn)動(dòng)到圖5位置時(shí)，△EFD′為直角三角形．
     
    1.2.3當(dāng)點(diǎn)D′在AB上運(yùn)動(dòng)到圖6位置時(shí)，△EFD′為等腰(鈍角)三角形．
     
    1.2.4當(dāng)點(diǎn)D′在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△EFD′能否為等邊三角形？若不能什么條件下能？
     
    1.３同樣以動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)看問題，又有以下方法：
     
    該方法實(shí)際上是1.1方法的一般化．
    利用剪拼后“面積不變”Ｓ=ah＝a（2h）還可以有如圖７作法．D′點(diǎn)是AB上任意一點(diǎn)（動(dòng)點(diǎn)），過D′點(diǎn)作D′A′平行且等于DA，易證△EAD≌ED′A′,△FA′D′≌△FCB, 這樣平行四邊形ABCD就可以拼成一個(gè)三角形（△DCA′）．
     
    當(dāng)點(diǎn)D′在AB上移動(dòng)時(shí)，產(chǎn)生的△DCA′也在變化，所以也就產(chǎn)生無數(shù)個(gè)三角形△DCA′也就有無數(shù)種剪拼方法．
     
    同理，也可以將動(dòng)點(diǎn)D′選在BC(或AD)上，方法原理同上面一樣．
    
    圖７
    ２．平行四邊形剪拼成一個(gè)特殊四邊形．
     
    2.1平行四邊形剪拼成長方形．
     
    如圖8,過A點(diǎn)作AF⊥DC與F．易證Rt△ADF≌Rt△BCE,將△ADF剪下平移到△BCE的位置就拼成了長方形．
    
    　圖８
    2.2平行四邊形剪拼成正方形．
     
    平行四邊形剪拼成正方形的過程較復(fù)雜，要先將平行四邊形拼成長方形，再把長方形拼成正方形．下面通過圖像來說明怎么把長方形剪拼成正方形的方法．
     
    用“面積不變”的思路，我們可以將給定的矩形剪拼成正方形，如圖９所示．請(qǐng)大家探討有沒有更好的方法．
    
    2.3平行四邊形剪拼成梯形．
     
    同樣以動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)看問題，有下述方法．
     
    用“面積不變”的思路平行四邊形變梯形的方法．如圖10所示．
     
    點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AB上一動(dòng)點(diǎn)（Ｆ不與A、B兩點(diǎn)重合，思考為什么？），易證△FBE≌△GCE,將△FBE剪下使它和△GCE重合即拼成了梯形．（因?yàn)槭莿?dòng)態(tài)的所以有無數(shù)種剪拼成梯形的方法．）
     
    2.3.1當(dāng)F點(diǎn)移動(dòng)到A點(diǎn)位置時(shí)可拼成為三角形即1.1的情況．
     
    2.3.2當(dāng)F點(diǎn)移動(dòng)到圖11位置時(shí)可拼成為直角梯形．
     
    2.3.3當(dāng)F點(diǎn)移動(dòng)到圖12位置時(shí)可拼成為等腰梯形．
     
    2.3.4如圖13，另外以點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，G為BC上一動(dòng)點(diǎn)，G在BC上運(yùn)動(dòng)（不包括B、C兩點(diǎn)），原理同上也可以剪拼梯形．因?yàn)镚在BC上運(yùn)動(dòng)，所以有無數(shù)種剪拼成梯形的方法．特別的當(dāng)Ｇ運(yùn)動(dòng)到圖13位置時(shí)，能剪拼成直角梯形．
    
     
    2.４平行四邊形剪拼成任意四邊形．
     
    如圖14，在平行四邊形ABCD的AC邊上任取一點(diǎn)E（或者說點(diǎn)E是AC上一動(dòng)點(diǎn)）,過Ｅ點(diǎn)作AB的平行線，交BD于點(diǎn)F．在線段EF上任取兩點(diǎn)G、H（或者說點(diǎn)G、H是線段EF上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，不能到點(diǎn)E、點(diǎn)F的位置）．分別過G、H作AC的平行線，交CD于K,交AB于L，作H點(diǎn)關(guān)于AB的反射點(diǎn)H′, 作G點(diǎn)關(guān)于CD的反射點(diǎn)G′,易證圖中的相關(guān)三角形全等，從而得以剪拼成功．（因?yàn)槭莿?dòng)態(tài)的所以有無數(shù)種剪拼成梯形的方法．）
    
    3．任意四邊形剪拼成平行四邊形的方法．
     
    將2.4的過程反過來則就成了將任意四邊形剪拼成平行四邊形的方法了．
    ４．任意四邊形剪拼成長方形的方法．
     
    只需要圖14中，GG′⊥EF,　HH′⊥EF剪拼的結(jié)果就是矩形．
    ５．梯形的剪拼．
     
    

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