在日常生活中，做某一件事，制造某種產(chǎn)品，完成某項任務(wù)，完成某項工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作時間這三個量，它們之間的基本數(shù)量關(guān)系是
工作量=工作效率×?xí)r間
在數(shù)學(xué)中，探討這三個數(shù)量之間關(guān)系的應(yīng)用題，我們都叫做“工程問題”
舉一個簡單例子
一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.問兩人合作幾天可以完成？
一件工作看成1個整體，因此可以把工作量算作1.所謂工作效率，就是單位時間內(nèi)完成的工作量，我們用的時間單位是“天”，1天就是一個單位，
再根據(jù)基本數(shù)量關(guān)系式，得到 所需時間=工作量÷工作效率
=6（天）兩人合作需要6天
這是工程問題中最基本的問題，這一講介紹的許多例子都是從這一問題發(fā)展產(chǎn)生的
為了計算整數(shù)化（盡可能用整數(shù)進(jìn)行計算），如第三講例3和例8所用方法，把工作量多設(shè)份額.還是上題，10與15的最小公倍數(shù)是30.設(shè)全部工作量為30份.那么甲每天完成3份，乙每天完成2份.兩人合作所需天數(shù)是
30÷（3+ 2）= 6（天）
數(shù)計算，就方便些
∶2.或者說“工作量固定，工作效率與時間成反比例”.甲、乙工作效率的比是15∶10=3∶2.當(dāng)知道了兩者工作效率之比，從比例角度考慮問題，也
需時間是
因此，在下面例題的講述中，不完全采用通常教科書中“把工作量設(shè)為整體1”的做法，而偏重于“整數(shù)化”或“從比例角度出發(fā)”，也許會使我們的解題思路更靈活一些
一、兩個人的工程問題
標(biāo)題上說的“兩個人”，也可以是兩個組、兩個隊等等的兩個集體
例1 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.現(xiàn)在甲先做了3天，余下的工作由乙繼續(xù)完成.乙需要做幾天可以完成全部工作？
答：乙需要做4天可完成全部工作
解二：9與6的最小公倍數(shù)是18.設(shè)全部工作量是18份。甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需時間是
（18- 2 × 3）÷ 3= 4（天）
解三：甲與乙的工作效率之比是
6∶ 9= 2∶ 3
甲做了3天，相當(dāng)于乙做了2天.乙完成余下工作所需時間是6-2=4（天）
例2 一件工作，甲、乙兩人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲離開了，由乙繼續(xù)做了40天才完成.如果這件工作由甲或乙單獨(dú)完成各需要多少天？
解：共做了6天后，
原來，甲做 24天，乙做 24天，
現(xiàn)在，甲做0天，乙做40=（24+16）天
這說明原來甲24天做的工作，可由乙做16天來代替.因此甲的工作效率
如果乙獨(dú)做，所需時間是
如果甲獨(dú)做，所需時間是
答：甲或乙獨(dú)做所需時間分別是75天和50天
例3 某工程先由甲獨(dú)做63天，再由乙單獨(dú)做28天即可完成；如果由甲、乙兩人合作，需48天完成.現(xiàn)在甲先單獨(dú)做42天，然后再由乙來單獨(dú)完成，那么乙還需要做多少天？
解：先對比如下：
甲做63天，乙做28天；
甲做48天，乙做48天
就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的
甲先單獨(dú)做42天，比63天少做了63-42=21（天），相當(dāng)于乙要做
因此，乙還要做28+28= 56 （天）
答：乙還需要做 56天
例4 一件工程，甲隊單獨(dú)做10天完成，乙隊單獨(dú)做30天完成.現(xiàn)在兩隊合作，其間甲隊休息了2天，乙隊休息了8天（不存在兩隊同一天休息）問開始到完工共用了多少天時間？
解一：甲隊單獨(dú)做8天，乙隊單獨(dú)做2天，共完成工作量
余下的工作量是兩隊共同合作的，需要的天數(shù)是 2+8+ 1= 11（天）
答：從開始到完工共用了11天
解二：設(shè)全部工作量為30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲隊單獨(dú)做8天，乙隊單獨(dú)做2天之后，還需兩隊合作
（30- 3 × 8- 1× 2）÷（3+1）= 1（天）
解三：甲隊做1天相當(dāng)于乙隊做3天
在甲隊單獨(dú)做 8天后，還余下（甲隊） 10-8= 2（天）工作量.相當(dāng)于乙隊要做2×3=6（天）乙隊單獨(dú)做2天后，還余下（乙隊）6-2=4（天）工作量。
4=3+1， 其中3天可由甲隊1天完成，因此兩隊只需再合作1天
例5 一項工程，甲隊單獨(dú)做20天完成，乙隊單獨(dú)做30天完成.現(xiàn)在他們兩隊一起做，其間甲隊休息了3天，乙隊休息了若干天.從開始到完成共用了16天.問乙隊休息了多少天？
解一：如果16天兩隊都不休息，可以完成的工作量是
由于兩隊休息期間未做的工作量是
乙隊休息期間未做的工作量是
乙隊休息的天數(shù)是
答：乙隊休息了5天半
解二：設(shè)全部工作量為60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份
兩隊休息期間未做的工作量是
（3+2）×16- 60= 20（份）
因此乙休息天數(shù)是
（20- 3 × 3）÷ 2= 5．5（天）
解三：甲隊做2天，相當(dāng)于乙隊做3天
甲隊休息3天，相當(dāng)于乙隊休息4．5天
如果甲隊16天都不休息，只余下甲隊4天工作量，相當(dāng)于乙隊6天工作量，乙休息天數(shù)是
16-6-4．5=5．5（天）
例6 有甲、乙兩項工作，張單獨(dú)完成甲工作要10天，單獨(dú)完成乙工作要15天；李單獨(dú)完成甲工作要 8天，單獨(dú)完成乙工作要20天.如果每項工作都可以由兩人合作，那么這兩項工作都完成最少需要多少天？
解：很明顯，李做甲工作的工作效率高，張做乙工作的工作效率高.因此讓李先做甲，張先做乙。
設(shè)乙的工作量為60份（15與20的最小公倍數(shù)），張每天完成4份，李每天完成3份。
8天，李就能完成甲工作.此時張還余下乙工作（60-4×8）份.由張、李合作需要
（60-4×8）÷（4+3）=4（天）
8+4=12（天）
答：這兩項工作都完成最少需要12天
例7 一項工程，甲獨(dú)做需10天，乙獨(dú)做需15天，如果兩人合作，他
要8天完成這項工程，兩人合作天數(shù)盡可能少，那么兩人要合作多少天？
解：設(shè)這項工程的工作量為30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份
兩人合作，共完成
3× 0.8 + 2 × 0.9= 4.2（份）
因?yàn)閮扇撕献魈鞌?shù)要盡可能少，獨(dú)做的應(yīng)是工作效率較高的甲.因?yàn)橐?天內(nèi)完成，所以兩人合作的天數(shù)是
（30-3×8）÷（4.2-3）=5（天）
很明顯，最后轉(zhuǎn)化成“雞兔同籠”型問題
例8 甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比單獨(dú)做時
如果這件工作始終由甲一人單獨(dú)來做，需要多少小時？
解：乙6小時單獨(dú)工作完成的工作量是
乙每小時完成的工作量是
兩人合作6小時，甲完成的工作量是
甲單獨(dú)做時每小時完成的工作量
甲單獨(dú)做這件工作需要的時間是
答：甲單獨(dú)完成這件工作需要33小時
這一節(jié)的多數(shù)例題都進(jìn)行了“整數(shù)化”的處理.但是，“整數(shù)化”并不能使所有工程問題的計算簡便.例8就是如此.例8也可以整數(shù)化，當(dāng)求出乙每
有一點(diǎn)方便，但好處不大.不必多此一舉二、多人的工程問題
我們說的多人，至少有3個人，當(dāng)然多人問題要比2人問題復(fù)雜一些，但是解題的基本思路還是差不多
例9 一件工作，甲、乙兩人合作36天完成，乙、丙兩人合作45天完成，甲、丙兩人合作要60天完成.問甲一人獨(dú)做需要多少天完成？
解：設(shè)這件工作的工作量是1
甲、乙、丙三人合作每天完成
減去乙、丙兩人每天完成的工作量，甲每天完成
答：甲一人獨(dú)做需要90天完成
也可以整數(shù)化，設(shè)全部工作量為180份，甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每天完成4份，甲、丙合作每天完成3份.請試一試，計算是否會方便些？例10 一件工作，甲獨(dú)做要12天，乙獨(dú)做要18天，丙獨(dú)做要24天.這件工作由甲先做了若干天，然后由乙接著做，乙做的天數(shù)是甲做的天數(shù)的3倍，再由丙接著做，丙做的天數(shù)是乙做的天數(shù)的2倍，終于做完了這件工作.問總共用了多少天？
解：甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=6（天）
說明甲做了2天，乙做了2×3=6（天），丙做2×6=12(天），三人一共做了 2+6+12=20（天）
答：完成這項工作用了20天
本題整數(shù)化會帶來計算上的方便.12，18，24這三數(shù)有一個易求出的最小公倍數(shù)72.可設(shè)全部工作量為72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.總共用了
例11 一項工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙兩人合作1天.問這項工程由甲獨(dú)做需要多少天？
解：丙2天的工作量，相當(dāng)乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，與乙做4天一樣.也就是甲做1天，相當(dāng)于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍
他們共同做13天的工作量，由甲單獨(dú)完成，甲需要
答：甲獨(dú)做需要26天
事實(shí)上，當(dāng)我們算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3∶2∶1，就知甲做1天，相當(dāng)于乙、丙合作1天.三人合作需13天，其中乙、丙兩人完成的工作量，可轉(zhuǎn)化為甲再做13天來完成。
例12 某項工作，甲組3人8天能完成工作，乙組4人7天也能完成工作.問甲組2人和乙組7人合作多少時間能完成這項工作？
解一：設(shè)這項工作的工作量是1
甲組每人每天能完成
乙組每人每天能完成
甲組2人和乙組7人每天能完成
答：合作3天能完成這項工作
解二：甲組3人8天能完成，因此2人12天能完成；乙組4人7天能完成，因此7人4天能完成
現(xiàn)在已不需顧及人數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為：甲組獨(dú)做12天，乙組獨(dú)做4天，問合作幾天完成？
要充分利用給出數(shù)據(jù)的特殊性.解二是比例靈活運(yùn)用的典型，如果你心算較好，很快就能得出答數(shù)
例13 制作一批零件，甲車間要10天完成，如果甲車間與乙車間一起做只要6天就能完成.乙車間與丙車間一起做，需要8天才能完成.現(xiàn)在三個車間一起做，完成后發(fā)現(xiàn)甲車間比乙車間多制作零件2400個.問丙車間制作了多少個零件？
解一：仍設(shè)總工作量為1
甲每天比乙多完成
因此這批零件的總數(shù)是
丙車間制作的零件數(shù)目是
答：丙車間制作了4200個零件
解二：10與6最小公倍數(shù)是30.設(shè)制作零件全部工作量為30份.甲每天完成 3份，甲、乙一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2份
乙、丙一起，8天完成.乙完成8×2=16（份），丙完成30-16=14（份），就知 乙、丙工作效率之比是16∶14=8∶7
已知甲、乙工作效率之比是 3∶2= 12∶8 綜合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是12∶8∶7
當(dāng)三個車間一起做時，丙制作的零件個數(shù)是2400÷（12- 8）× 7= 4200（個）
例14 搬運(yùn)一個倉庫的貨物，甲需要10小時，乙需要12小時，丙需要15小時.有同樣的倉庫A和B，甲在A倉庫、乙在B倉庫同時開始搬運(yùn)貨物，丙開始幫助甲搬運(yùn)，中途又轉(zhuǎn)向幫助乙搬運(yùn).最后兩個倉庫貨物同時搬完.問丙幫助甲、乙各多少時間？
解：設(shè)搬運(yùn)一個倉庫的貨物的工作量是1.現(xiàn)在相當(dāng)于三人共同完成工作量2，所需時間是
答：丙幫助甲搬運(yùn)3小時，幫助乙搬運(yùn)5小時
解本題的關(guān)鍵，是先算出三人共同搬運(yùn)兩個倉庫的時間.本題計算當(dāng)然也可以整數(shù)化，設(shè)搬運(yùn)一個倉庫全部工作量為 60.甲每小時搬運(yùn) 6，乙每小時搬運(yùn) 5，丙每小時搬運(yùn)4
三人共同搬完，需要
60 × 2÷（6+ 5+ 4）= 8（小時）
甲需丙幫助搬運(yùn)
（60- 6× 8）÷ 4= 3（小時）
乙需丙幫助搬運(yùn)
（60- 5× 8）÷4= 5（小時）
| 行測真題 | 行測答案 | 行測答題技巧 | 行測題庫 | 模擬試題 |