旋轉(zhuǎn)或平移情形下求圖形陰影部分的面積
湖北省黃石市下陸中學(xué) 周國強
教學(xué)中常遇見旋轉(zhuǎn)或平移情形下求圖形陰影部分的面積類問題，其中的陰影部分或成一個整體或是零散分布，其形狀或是規(guī)則圖形或是不規(guī)則圖形，其狀態(tài)往往是動態(tài)的．解決此類問題的關(guān)鍵是以靜制動，化不規(guī)則圖形為規(guī)則圖形，再用相應(yīng)規(guī)則圖形的面積公式求解．
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一、點旋轉(zhuǎn)
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例1 如圖1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，將點C繞點D逆時針旋
90
至點E，連接AE，若AD＝3，BC＝5，則△ADE的面積是 ________．?????????????????????????????????
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析解：已知梯形的上下底長，這個梯形的形狀、大小是不能確定的，所以腰長也不能確定，從而△ADE的形狀、大小亦不能確定，似乎△ADE的面積不可求．但據(jù)“點E是點C繞點D逆時針旋90
得到，且梯形是直角梯形”在這樣的特定條件下，考慮到梯形的上下底之差為一定值“2”，作EF⊥AD，交AD的延長線于F，作CG⊥AD交AD的延長線于G，則四邊形ABCG是矩形，DG＝2，易證Rt△DEF≌Rt△CDG(角、角、邊)，所以EF＝DG＝2，故△ADE的面積等于
×AD×EF＝×3×2＝3．?
二、點平移
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例2 如圖2，半圓O的直徑為10，C、D是半圓的三分點，點P是直徑AB上任一點，則陰影部分的面積是_______．
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析解：由于點P在直徑AB上平移（C、D點的位置不動），陰影部分的形狀不規(guī)則且是不確定．考慮到當(dāng)點P運動到圓心O這一特殊位置時，所求圖形面積是一扇形面積，故可將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形的面積來求．于是連OC、OD、CD，因C、D是半圓的三等分點，所以∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60
，所以△OCD是等邊三角形，所以CD∥AB，所以S
＝S
，從而S
＝S
，故陰影部分的面積＝扇形OCD的面積＝
＝
．?
三、線段旋轉(zhuǎn)
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例3 如圖3，矩形ABCD的對角線AC和BD相交點O，過點O的直線繞點O旋轉(zhuǎn)，分別交AD和BC于點E、F，若AB＝4，BC＝7，則圖中陰影部分的面積是_____．
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析解：乍看，隨著直線EF繞點O旋轉(zhuǎn)，陰影部分總是零散分布且△AOE和△BOF的形狀、大小都未確定，但因矩形對邊平行，不難看出，只要點E不與點A或D重合，點F不與點B或C重合，總有S
＝S
或S
＝S
（因為△BOF≌△DOE，△AOE≌△COF），故可將零散分布的三塊（陰影部分）集中到同一三角形△ACD或△BCD中去，即圖中陰影部分的面積等于矩形面積的一半：×7×4＝14，事實上，當(dāng)點E或F與矩形端點重合時，三塊陰影部分變成兩塊陰影部分，其面積正好也等于△ACD或△BCD面積．?
四、線段平移
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例4 如圖4，在菱形ABCD中，對角線AC和BD的長分別為8和6，將BD沿CB方向平移，使D與A重合，B與CB延長線上的E點重合，求陰影部分的面積．
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析解：本題雖有動態(tài)條件，但因菱形是確定的，所以陰影部分的形狀、大小是確定的．若整體求之，需知其形狀到底是哪類四邊形，由平移知，AE∥BD，AD∥EB，且AE＝BD＝6，因為AC⊥BD，所以AD＝BC＝
＝
＝5，又AE∥BD，所以陰影部分的形狀實際上是一個直角梯形，故其面積＝（3+6）×4＝18；若分割求之，則可分別求得兩個三角形的面積后，再相加（同學(xué)們不妨試試）．?
五、圖形的旋轉(zhuǎn)
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例5 如圖5，汽車在雨中行駛時，司機為看清前方的道路，要啟動擋風(fēng)玻璃前的雨刷．圖是一個汽車雨刷示意圖，雨刷桿AB與雨刷CD在B處固定連接（不能轉(zhuǎn)動），當(dāng)桿AB繞A點轉(zhuǎn)動90
時，雨刷CD掃過的面積是多少呢？某同學(xué)仔細觀察了雨刷的轉(zhuǎn)動情況，量得CD＝8cm,∠DBA＝20,端點C和D與A的距離是115cm和35cm．他經(jīng)認真考慮，只選用了其中部分數(shù)據(jù)就求得了結(jié)果．請你也幫助他算一算雨刷掃過的面積．
析解：雨刷掃過的面積是一個不規(guī)則圖形的面積，需轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積來計算．連AC、AD
，不難看出：陰影部分的面積＝扇形ACC的面積+△ADC的面積－△ADC的面積－扇形ADD的面積，由于△ADC是△ADC繞點A旋轉(zhuǎn)90得到的，所以△ADC的面積＝△ADC的面積，故陰影部分的面積＝扇形ACC的面積－扇形ADD的面積＝
（115
－32）＝300．?
六、圖形平移
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例6 如圖6，將⊙O
沿直線L平移得到⊙O
和⊙O
，且其中一個圓經(jīng)過另一個圓的圓心，若⊙O的半徑為4，求圖中陰影部分的面積．
析解：顯然，由⊙O
平移知，圖中陰影部分的面積等于一個圓的面積減去空白部分AOB O的面積的2倍（空白部分是對稱的）．連AB、O O、OA、OB，則AB與O O互相垂直平分（設(shè)垂足為C），因為OC＝ OA，所以∠∠OAC＝30，從而∠A OB＝120，那么這個空白部分的面積等于
－×2×4sin60＝
－2
，故圖中陰影部分的面積為
－2（－2）＝＋4．?
事實上，由于圖形陰影部分千姿百態(tài)，且題型多樣，設(shè)及的知識面廣，所以求圖形中陰影部分面積是一項復(fù)雜的“工程”，受學(xué)段和本人水平所限，本文僅是投石問路、拋磚引玉罷了．
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