應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系莫忘判別式
湖北省黃石市下陸中學(xué) 宋毓彬
一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系稱作韋達(dá)定理。韋達(dá)定理在解決與一元二次方程有關(guān)的實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用。但在應(yīng)用韋達(dá)定理時(shí)，很多同學(xué)往往忽視一個重要制約條件，這就是要先保證該一元二次方程有實(shí)數(shù)根（滿足根的判別式），如果一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，則也不存在根與系數(shù)的關(guān)系。因此，我們在應(yīng)用韋達(dá)定理時(shí)要牢記判別式條件。
?
例1 已知x
、x
是方程2x
－2x+1－3m=0的兩個實(shí)數(shù)根，且xx+2（ x+x）＞0，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是????????? 。?
解析：⑴方程有兩個實(shí)數(shù)根，則（-2）
－4×2（1－3m）≥0，∴m≥
?
⑵由韋達(dá)定理x
+x=1，xx=
，又xx+2（ x+x）＞0?
即有
+2＞0?? ∴m＜
?? ????∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是≤m≤?
點(diǎn)撥：應(yīng)用韋達(dá)定理的前提是要保證方程存在實(shí)數(shù)根。
?
例2 若關(guān)于x的一元二次方程3x
+3（a+b）x+4ab=0的兩個實(shí)數(shù)根x、x滿足關(guān)系式x（ x+1）+ x（x+1）=（x+1）（x+1），判斷（a+b）≤4是否正確？若正確，請加以證明；若不正確，請舉一反例。?
解析：⑴由x
（ x+1）+ x（x+1）=（x+1）（x+1）， 變形得：?
（x
+x）－3 xx－1=0?? 由韋達(dá)定理有x+x=－（a+b），xx=
ab?
即有（a+b）
－4ab－1=0?? ∴（a+b）=4ab+1?
⑵方程有兩個實(shí)數(shù)根，由根的判別式9（a+b）
－48ab≥0，∴（a+b）≥
ab?
∴4ab+1≥
ab，可得4ab≤3???? ∴（a+b）=4ab+1≤4。?
點(diǎn)撥：由根的判別式作中間條件推導(dǎo)出4ab≤3是本題的解題關(guān)鍵。
?
例3 設(shè)x
、x是方程2x－4mx+2m+3m－2=0的兩個實(shí)數(shù)根，當(dāng)m為何值時(shí)x+x有最小值？并求出這個最小值。?
解析：⑴由根的判別式16 m
－8（2m+3m－2）≥0，?∴m≤
?
⑵由韋達(dá)定理有x
+x=2m，xx=
?
設(shè)y= x
+x=（x+x）－2 xx=4 m－（2m+3m－2）?
?? =2 m
－3m+2=2（m－
）+
?
y關(guān)于m的二次函數(shù)對稱軸m=
，m≤＜時(shí)，y隨m的增大而減小?
∴m=
時(shí)，y有最小值，即x+x有最小值。最小值為：2（－）+=
?
點(diǎn)撥：由根的判別式確定m的取值范圍，從而正確地確定二次函數(shù)區(qū)間上的最小值。
?
練習(xí)：
?
1．若關(guān)于x的方程2x
－2x+3m－1=0有兩個實(shí)數(shù)根x、x，且xx＞x+x－4，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（??? ）。?
A．m＞
；? B。m≤
；? C。m＜； D。＜m≤?
2．△ABC的一邊長為5，另兩邊長恰為方程2x
－12x+m=0的兩根，則m的取值范圍是????????? 。?
（1．參考答案：B；2．點(diǎn)撥：由方程兩根之差小于第三邊，結(jié)合韋達(dá)定理、判別式可求得
＜m≤18）?
作者簡介：宋毓彬，男，43歲，中學(xué)數(shù)學(xué)高級教師。在《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》、《數(shù)理天地》、《中學(xué)生數(shù)學(xué)》、《數(shù)理化學(xué)習(xí)》、《數(shù)理化解題研究》、《中學(xué)課程輔導(dǎo)》、《數(shù)學(xué)周報(bào)》、《數(shù)學(xué)輔導(dǎo)報(bào)》、《數(shù)理報(bào)》、《少年智力開發(fā)報(bào)》、《學(xué)習(xí)報(bào)》、《小博士報(bào)》等報(bào)刊發(fā)表教學(xué)輔導(dǎo)類文章60多篇。主要致力于初中數(shù)學(xué)中考及解題方法、技巧等教學(xué)方面的研究。
| 中考政策 | 中考狀元 | 中考飲食 | 中考備考輔導(dǎo) | 中考復(fù)習(xí)資料 |