探究直線左右平移后的函數(shù)解析式
湖北省黃石市下陸中學(xué) 周國(guó)強(qiáng) 湖北省黃石市鵬程中學(xué) 陳貴芳
大家知道，在平面直角坐標(biāo)系中，一條直線向上或向下平移n個(gè)單位長(zhǎng)度后，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式分別為y＝kx+b＋n或y＝kx+b－n（k、b為常數(shù)且k≠0，n＞0）．那么，你知道當(dāng)一條直線向左或向右平移n個(gè)單位長(zhǎng)度后，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式怎樣求嗎？
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我們先不妨以直線y＝2x＋3為例來(lái)作一探索：
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將函數(shù)解析式y(tǒng)＝2x＋3變形為x＝
，當(dāng)直線y＝2x＋3向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，直線上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)（y）不變，橫坐標(biāo)（x）都相應(yīng)減少2個(gè)單位長(zhǎng)度，所以x＝－2，變形得y＝2x＋7，即y＝2x＋3＋2×2；當(dāng)直線y＝2x＋3向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，直線上各點(diǎn)的縱標(biāo)（y）不變，橫坐標(biāo)（x）都相應(yīng)增加2個(gè)單位長(zhǎng)度，就有x＝＋2，變形得y＝2x－1，即y＝2x＋3－2×2．?
那么，對(duì)于任一直線y＝kx+b(k、b為常數(shù)且k≠0) ，如果該直線向左或向右平移 n（n＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，仿上，先將y＝kx+b變形為x＝
，當(dāng)直線y＝kx＋b向左平移n個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí),所得函數(shù)解析式為x＝－n，變形得y＝kx+b＋k n；當(dāng)直線y＝kx＋b向右平移n個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí),所得函數(shù)解析式為x＝＋n，變形得y＝kx+b－k n．?
于是,得到以下兩個(gè)結(jié)論：
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⑴如果直線y＝kx+b向左平移n （n＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，那么所得直線的解析式為
y＝kx+b＋kn；
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⑵如果直線y＝kx+b向右平移n（n＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，那么所得直線的解析式為y＝kx+b－kn．
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將直線左右平移與直線上下平移對(duì)比一下，還不難發(fā)現(xiàn)以下四個(gè)規(guī)律：
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⑴直線y＝kx+b（k＞0）向左平移n個(gè)單位長(zhǎng)度所得到的函數(shù)解析式y(tǒng)＝kx+b＋kn，相當(dāng)于把該直線向上平移n個(gè)單位長(zhǎng)度后所得函數(shù)解析式y(tǒng)＝kx+b＋n中的“n”改寫為“k n”
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如，求直線y＝3x＋1向左平移2（這里k =3，n=2）個(gè)單位長(zhǎng)度后所得到的解析式，可先計(jì)算kn =3×2 = 6，于是，直線y＝3x＋1向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到的解析式，就是該直線向上平移6個(gè)單位長(zhǎng)度（k＞0時(shí)，記 k n＞0表示向上平移）得到的解析式y(tǒng)＝3x＋1＋6，即y＝3x＋7．
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⑵直線y＝kx+b（k＞0）向右平移n個(gè)單位長(zhǎng)度所得到的函數(shù)解析式y(tǒng)＝kx+b－kn，相當(dāng)于把該直線向下平移n個(gè)單位長(zhǎng)度后所得到函數(shù)解析式y(tǒng)＝kx+b－n
中的“－n”改寫為“－k n”．
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如，將直線y＝3x＋1向右平移2（這里k =3，n=2）個(gè)單位長(zhǎng)度后所得到的解析式，可先計(jì)算－k n =－3×2＝－6，于是，直線y＝3x＋1向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度所得到的解析式，就是該直線向下平移6個(gè)單位長(zhǎng)度（k＞0時(shí)，記－k n＜0表示向下平移）所得到的解析式y(tǒng)＝3x＋1－6，即y＝3x－5．
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⑶直線y＝kx+b（k＜0）向左平移n個(gè)單位長(zhǎng)度所得到的函數(shù)解析式y(tǒng)＝kx+b＋kn，相當(dāng)于把該直線向下平移n個(gè)單位長(zhǎng)度后所得到的函數(shù)解析式y(tǒng)＝kx+b－n
中的“－n”改寫為“＋k n” ．
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如，將直線y＝－3x＋4向左平移2（這里k =－3，n=2）個(gè)單位長(zhǎng)度后所得到的解析式，可先計(jì)算k n = －3×2＝－6，于是，直線y＝－3x＋1向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度所得到的解析式，就是該直線向下平移6個(gè)單位長(zhǎng)度（k＜0時(shí)，記 k n＜0表示向下平移）所得到的解析式y(tǒng)＝－3x＋4－6，即y＝－3x－2．
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⑷直線y＝kx+b（k＜0）向右平移n個(gè)單位長(zhǎng)度所得到的函數(shù)解析式y(tǒng)＝kx+b－kn
，相當(dāng)于把該直線向上平移n個(gè)單位長(zhǎng)度后所得到函數(shù)解析式y(tǒng)＝kx+b＋n中的“＋n”改寫為“－k n”．
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如，將直線y＝－3x＋1向右平移2（這里k =－3，n=2）個(gè)單位長(zhǎng)度后所得到的解析式，可先計(jì)算－k n ＝ －（－3）×2＝6，于是，直線y＝－3x＋1向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度所得到的解析式，就是該直線向上平移6個(gè)單位長(zhǎng)度（k＜0時(shí)，記－k n＞0表示向上平移）所得到的解析式y(tǒng)＝－3x＋1+6，即y＝－3x+7．
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例題 在平面直角坐標(biāo)系中,將直線y＝－3x－2：
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⑴向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,所得直線的解析式為_(kāi)______________．
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⑵向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,所得直線的解析式為_(kāi)______________．
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⑶先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,所得直線的解析式為_(kāi)_________．
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⑷先將直線向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,所得直線的解析式為_(kāi)_________．
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解法1（運(yùn)用結(jié)論解答）：
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⑴ y＝－3x－2+（－3）×2，??? 即y＝－3x－8；
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⑵ y＝－3x－2－（－3）×3 ；?即y＝－3x＋7；
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⑶ y＝－3x－2－（－3）×1－2，即y＝－3x－1；
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⑷ y＝－3x－2＋（－3）×2+3， 即y＝－3x－5．
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解法2（利用規(guī)律解答）：
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????? ⑴ 因?yàn)閗 =－3＜0，k n＝－3×2＝－6，所以直線
向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度所得到的解析式，就是該直線向下平移6個(gè)單位長(zhǎng)度所得到的解析式y(tǒng)＝－3x－2－6，即y＝－3x－8；
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????? ⑵ 因?yàn)閗 =－3＜0，－k n＝3×3＝9，所以直線向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度所得到的解析式，就是該直線向上平移9個(gè)單位長(zhǎng)度所得到的解析式y(tǒng)＝－3x－2+9，即y＝－3x+7；
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????? ⑶ 因?yàn)閗 =－3＜0，－k n＝3×1＝3，所以直線向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度所得到的解析式，就是該直線向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度所得到的解析式y(tǒng)＝－3x－2+3，即y＝－3x+1；再將直線y＝－3x+1向下平移2個(gè)單位，所得直線的解析式為y＝－3x+1－2，即y＝－3x－1；
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????? ⑷ 因?yàn)閗 =－3＜0，k n＝－3×2＝－6，所以直線向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度所得到的解析式，就是該直線向下平移6個(gè)單位長(zhǎng)度所得到的解析式y(tǒng)＝－3x－2－6，即y＝－3x－8；再將直線y＝－3x－8向上平移3個(gè)單位，所得直線的解析式為y＝－3x－8+3，即y＝－3x－5．
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練習(xí)：在平面直角坐標(biāo)系中，將直線y＝－
x＋4作如下平移，寫出平移后直線的解析式：?⑴ 先向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度；?
?????? ????????⑵ 先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度．
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答案：⑴ y＝－
x +5；???? ⑵ y＝－x＋1．| 中考政策 | 中考狀元 | 中考飲食 | 中考備考輔導(dǎo) | 中考復(fù)習(xí)資料 |