倍角三角形中的一個結論
湖北省黃石市下陸中學 宋毓彬
例1（天津市中考題）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對應的邊分別用a、b、c表示。
⑴如圖1，在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A=60°。求證：a2=b（b+c）
⑵如果一個三角形的一個內角等于另一個內角的2倍，我們稱這樣的三角形為“倍角三角形”。本題第一問中的三角形是一個特殊的倍角三角形，那么對于任意的倍角△ABC，如圖2，∠A=2∠B，關系式a2=b（b+c）是否仍然成立？并證明你的結論。
?
分析：⑴在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A=60°，△ABC為Rt△，∠C=90°。
?
證法1：Rt△ACB中a=
c，b=
c，所以a2=（
c）2=
，b（b+c）=c（c+c）=，所以a2=b（b+c）。
⑵對于任意的倍角△ABC，∠A=2∠B，關系式a2=b（b+c）仍然成立。
如圖2，延長BA至D，使AD=AC=b，連CD。
則∠CAB=2∠D，∴∠B=∠D，BC=CD=a，
由△ADC∽△CDB??
，即
。所以a2=b（b+c）。
?
由以上的證明，可以得到關于倍角三角形的一個結論：一個三角形中有一個角等于另一個角的兩倍，2倍角所對邊的平方等于一倍角所對邊乘該邊與第三邊的和。
（例2中另外兩種證法同樣可證得a
2=b（b+c）。）
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例2(2009年全國初中數學聯(lián)賽)在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的2倍，且AB=7，AC=8。則BC=（?? ）
（A）7
?? （B）10?? （C）
??? （D）7
?
分析：此題由例1中的結論，則BC2=7（7+8）=105，所以BC=
。?
以下還可以提供幾種解法供參考。
解法一：分割法。
如圖1，作∠CAB的平分線AD交BC于D。
△ABC∽△DBA，
=
=
，∴
解得
∴ x+y=。?
評析：解法一的思路是常規(guī)思路，平分倍角構造相似三角形，通過相似比得到方程組求出線段長，進而求出BC的長。但這種方法中，二元二次方程組的計算較為復雜。
?
解法二：構造法。
如圖2，延長CA至點D，使AD=AB。
則∠D=∠ABD=
∠CAB=∠C，△CBD∽△DAB，
=
，∴BD2=AB·CD=7×（8+7）=105，BD=
，又∠C=∠D，∴BC=BD=
。?
評析：利用二倍角為外角構造等腰三角形也是常見的作輔助線的技巧。BD為相似三角形比例中項，與方法一相比，計算相對簡單。
?
解法三：綜合法
作∠CAB的平分線AD交BC于D。作BE∥AD。
△ADC∽△BAE，
=
，①△ADC∽△EBC，
=
，②①×②，
=
，（x+y）2=7×15，x+y=。解析：由△ADC∽△BAE，BE∥AD，方法三事實上已將方法一、方法二統(tǒng)一了起來。所反映的本質是相同的。
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