由一道中考試題引發(fā)的思考
山東惠民皂戶李中學 康風星 耿方新
中考試題一般都源于教材，是教材知識的的延伸，或拓展，現舉一例說明。
?
?原題：（人教版七年級下， 26頁第6題 （2） ）
?
????2007年福州市中考試題：
?
如圖2，直線
，連結
，直線
及線段把平面分成①、②、③、④四個部分，規(guī)定：線上各點不屬于任何部分．當動點
落在某個部分時，連結
，構成
，
，
三個角．（提示：有公共端點的兩條重合的射線所組成的角是
角．）?
（1）當動點
落在第①部分時，求證：
；?
（2）當動點
落在第②部分時，是否成立（直接回答成立或不成立）？?
（
3）當動點
在第③部分時，全面探究，，之間的關系，并寫出動點的具體位置和相應的結論．選擇其中一種結論加以證明．?
?
?
分析：
這是一道開放型試題，這類試題已成為各地中考的必考試題。開放題的特征很多，如條件的不確定性，它是開放題的前提；結構的多樣性，它是開放題的目標；思維的多向性，它是開放題的實質；解答的層次性，它是開放題的表象；過程的探究性，它是開放題的途徑；知識的綜合性，它是開放題的深化；情景的模擬性，它是開放題的實踐；內涵的發(fā)展性，它是開放題的認識。過程開放或結論開放的問題能形成考生積極探究問題情景，鼓勵學生多角度、多側面、多層次地思考問題，有助于充分調動學生的潛在能力。本題的第一問結論確定，但是
P點的具體位置不確定，需要學生大膽假設確定其位置，可以得到多種證明方法；第二問，實際就轉化為了前面提到的教材的原型，而要求直接作答難度相對較小，顯然不成立；第三問，開放性比較強，需要對結論進行探索，并且需要分類討論。
?
解：（1）解法一：如圖9-1，延長BP交直線AC于點E???????? ??
∵ AC∥BD ?, ∴ ∠PEA =∠PBD .?
∵
∠APB =∠PAE + ∠PEA ,?????
∴ ∠APB =∠PAC + ∠PBD .?
解法二：如圖9-2，過點P作FP∥AC , ????????????????
∴ ∠PAC =∠APF .??????????????
∵ AC∥BD ,?? ∴FP∥BD .?????????? ??
∴ ∠FPB =∠PBD .???????????????????
?∴ ∠APB =∠APF +∠FPB =∠PAC? + ∠PBD .
解法三：如圖9-3，
∵ AC∥BD ,? ∴ ∠CAB +∠ABD = 180°?
即 ∠PAC +∠PAB +∠PBA +∠PBD = 180°.
又∠APB +∠PBA +∠
PAB = 180°,?????
∴ ∠APB =∠PAC +∠PBD . ???????????
（2）不成立.????????????????????????
（3）(a)當動點P在射線BA的右側時，結論是
∠PBD=∠PAC+∠APB .
(b)當動點P在射線BA上，
結論是∠PBD =∠PAC +∠APB .
或∠PAC =∠PBD +∠APB 或 ∠APB = 0°，
∠PAC =∠PBD（任寫一個即可）.
(c) 當動點P在射線BA的左側時，
結論是
∠PAC =∠APB +∠PBD .??????
選擇(a) 證明：
如圖9-4，連接PA，連接PB交AC于M
??? ∵ AC∥BD ,
∴ ∠PMC =∠PBD .
又∵
∠PMC =∠PAM +∠APM ,
∴ ∠PBD =∠PAC +∠APB .?????
選擇(b) 證明：如圖9-5 ，
∵ 點P在射線BA上，∴∠APB = 0°.
∵ AC∥BD ,? ∴
∠PBD =∠PAC .??
∴ ∠PBD =∠PAC +∠APB
或∠PAC =∠PBD+∠APB?
或∠APB = 0°，∠PAC =∠PBD.?????????????????????????
選擇(c) 證明：
如圖9-6，連接PA，連接PB交AC于F
∵ AC∥BD ,?????? ∴∠PFA =∠PBD .
∵ ∠PAC =∠APF +∠PFA ,
∴ ∠PAC =∠APB +∠PBD .??
????
溫馨提示：所謂的開放型試題是指那些條件不完整，結論不確定的數學問題，常見的類型有條件觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括和必要的邏輯思想去得出結論，對激發(fā)學習興趣、培養(yǎng)想像、擴散、概括、隱喻等水平思維能力的探索創(chuàng)新能力十分有利，是今后中考的必考的題型。開放型試題重在開發(fā)思維，促進創(chuàng)新，提高數學素養(yǎng)，所以是近幾年中考試題的熱點考題。觀察、實驗、猜想、論證是科學思維方法，是新課標思維能力新添的內容，學習中應重視并應用。而要想做好此類試題我認為應從教材入手，教材中的習題和例題都有一定的探索性，我們只有立足教材充分發(fā)揮習題的作用，反復推敲，對習題進行一題多解和一題多變的變式訓練，引導學生利用已有的知識與經驗，主動探索知識發(fā)生和發(fā)展的過程，增強學生的應變能力，有利于鞏固基礎知識，發(fā)展創(chuàng)新思維，提高數學素養(yǎng)。
| 語文真題 | 數學真題 | 英語真題 | 物理真題 | 化學真題 | 歷史真題 | 政治真題 |
| 語文答案 | 數學答案 | 英語答案 | 物理答案 | 化學答案 | 歷史答案 | 政治答案 |