形 數(shù)
四川省筠連縣第二中學(xué) 鄧敬
公元前四世紀(jì),古希臘的算術(shù)在巴比倫和埃及的基礎(chǔ)上,有了很大的發(fā)展,他們用石子、沙子記數(shù)和計(jì)算。在這一時(shí)期,對“形數(shù)”的研究達(dá)到了一個(gè)高峰。
在眾多的學(xué)派中,畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對“形數(shù)”的研究最為突出,該項(xiàng)研究強(qiáng)烈地反映了他們將數(shù)作為幾何思維元素的精神,有效地印證了“凡物皆數(shù)”的觀點(diǎn)。
那什么是形數(shù)呢?即有形狀的數(shù)。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究數(shù)的概念時(shí),喜歡把數(shù)描繪成沙灘上的小石子,小石子能夠擺成不同的幾何圖形,于是就產(chǎn)生了一系列的形數(shù)。
1、三角形數(shù)
畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn),當(dāng)小石子的數(shù)目是1、3、6、10、…等數(shù)時(shí),小石子都能擺成正三角形,他把這些數(shù)叫做“三角形數(shù)”。如圖一1、2所示:?????????????????????????????????????????

不難看出,前四個(gè)三角形數(shù)都是一些連續(xù)自然數(shù)的和,記每一個(gè)三角形數(shù)為





……………

……………
就這樣,畢達(dá)哥拉斯借助生動(dòng)的直觀的幾何圖形,很快就發(fā)現(xiàn)了自然數(shù)的一個(gè)規(guī)律:從1開始的連續(xù)自然數(shù)的和都是三角形數(shù)。如果用字母n表示最后一個(gè)加數(shù),那么1+2+3+…+n的和即是一個(gè)三角形數(shù),而且正好是第n個(gè)三角形數(shù)。?
∴



[例1]:如圖二,前3個(gè)圖形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別是多少?第n個(gè)圖形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是多少?

解:①問,前三個(gè)圖形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別是3、6、10。
②問,因?yàn)?、6、10、15…等數(shù)恰好構(gòu)成三角形數(shù),記第n個(gè)圖的點(diǎn)為




[例2]:古希臘數(shù)學(xué)家把數(shù)1、3、6、10、15、21…,叫做三角形數(shù),它有一定的規(guī)律性,則第24個(gè)三角形數(shù)與第22個(gè)三角形的差為????????
解:


∴


2、正方形數(shù)
?畢達(dá)哥拉斯還發(fā)現(xiàn),當(dāng)小石子的數(shù)目是1、4、9、16、…等數(shù)時(shí),小石子都能擺成正方形,他把這些數(shù)叫“正方形數(shù)”。如圖三1、2所示:

分別記各圖所示的小石子個(gè)數(shù)為







……………



畢達(dá)哥拉斯,通過直觀圖形把奇數(shù)和圖形結(jié)合起來,得到一個(gè)定理:從1開始,任何連續(xù)的奇數(shù)之和是完全平方數(shù)。畢達(dá)哥拉斯,還給出了一個(gè)定理:兩個(gè)相鄰三角形數(shù)之和是正方形數(shù),
即????



[例1]:如圖四:計(jì)算1+3+5+7+9+11+13+15的值


解:觀察圖知道1、1+3、
1+3+5構(gòu)成正方形數(shù)
……
1=



∴






……………


∴


3、長方形數(shù)
當(dāng)小石子的數(shù)目是偶數(shù)2、6、12、20等數(shù)時(shí),小石子都能擺成長方形,畢達(dá)哥拉斯把這些數(shù)叫做長方形數(shù)(或矩形數(shù))。如圖五


分別把每一個(gè)長方形數(shù)記作:





……………


即,由序列:N=2+4+6+8+…+2n=n(n+1)?? (n∈

4、五邊形數(shù)
當(dāng)小石子的數(shù)目是1、5、12、22、…等數(shù)時(shí),小石子都能擺成正五邊形,畢達(dá)哥拉斯把這些數(shù)叫做“五邊形數(shù)”如圖六所示:


分別把每一個(gè)五邊形數(shù)記作:





……………



5、六邊形數(shù)
當(dāng)石子數(shù)目為1、6、15、28等數(shù)時(shí),小石子都能擺成六邊形,畢達(dá)哥拉斯把這些數(shù)叫做“六邊形數(shù)”如圖七所示:


分別把每個(gè)六邊形記作





……………



根據(jù)這些規(guī)律,人們就可以寫出很多很多的形數(shù),畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的學(xué)者還通過這一過程,將這種數(shù)形結(jié)合的思想推廣到三維空間去構(gòu)造多面體數(shù)。
[練習(xí)] 1、Ⅰ如圖八所示,前三圖中各有多少個(gè)三角形?
Ⅱ你能否找出其中的規(guī)律,用式子表示第n個(gè)圖中有多少個(gè)三角形?


?[答案]:前三圖中各有3、6、10個(gè)三角形。
?????? ∵3、6、10等數(shù)恰好構(gòu)成三角形數(shù),把每一個(gè)圖形的三角形數(shù)記為




……………


[練習(xí)] 2、把正方體擺成如圖九所示的形狀,從上向下數(shù)第一層1,個(gè)第二層3個(gè),…,按這個(gè)規(guī)律擺放,第五層的正方體個(gè)數(shù)是:(?)


A、10??? B、12?? C、15??? D、20
[答案]:經(jīng)觀察:
第一層:

第二層:

第三層:

第四層:

由此可知,1、3、6、10屬三角形數(shù),
則第五層:

故選C
[練習(xí)]3、如圖十所示,若以點(diǎn)O為端點(diǎn)的射線有n條,則共組成多少個(gè)角?


[答案]:當(dāng)有1條射線時(shí):有角3=1+2個(gè)
當(dāng)有2條射線時(shí):有角6=1+2+3個(gè)
當(dāng)有3條射線時(shí):有角10=1+2+3+4個(gè)
當(dāng)有4條射線時(shí):有角15=1+2+3+4+5個(gè)
∵3、6、10、15…恰好構(gòu)成三角形數(shù)。
∴當(dāng)有n條射線時(shí):有角1+2+3+…+(n+1)=


[練習(xí)]4、某班共有學(xué)生m人,在春節(jié)期間,每個(gè)同學(xué)都與其他同學(xué)通電話一次來互致新春的祝福,求該班m個(gè)同學(xué)共通話多少次?
[答案]:2人通話?????? 1次
?????? 3人通話?????? 3=1+2次
4人通話?????? 6=1+2+3次
5人通話????? 10=1+2+3+4次
∵1、3、6、10、…恰好構(gòu)成三角形數(shù)。
∴當(dāng)有m個(gè)學(xué)生時(shí):通話1+2+3+…+(m-1)=


[練習(xí)]5、n條直線兩兩相交最多有多少個(gè)交點(diǎn)?
[答案]:如圖十一所示:


∵1、3、6、10、…恰好構(gòu)成三角形數(shù)。
∴n條直線兩兩相交最多交點(diǎn)N=1+2+3+…+(n-1)=











[答案]:由題意可知,





當(dāng)有2條平行線時(shí),有平行線的對數(shù)為

當(dāng)有3條平行線時(shí),有平行線的對數(shù)為

當(dāng)有4條平行線時(shí),有平行線的對數(shù)為

…………………………………………………………
當(dāng)有n條平行線時(shí),有平行線的對數(shù)為


[練習(xí)]7、試求n邊形的對角線的條數(shù)?
[答案]:四邊形對角線條數(shù)記

五邊形對角線條數(shù)記

六邊形對角線條數(shù)記

七邊形對角線條數(shù)記

2、5、9、14、…等數(shù)加1可得三角形數(shù),所以n邊形對角線條數(shù)記



[練習(xí)]8、用牙簽按圖十三方式搭圖。
問第n個(gè)圖形有多少根牙簽?


[答案]:每一個(gè)圖牙簽根數(shù)記為




……………




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