2012中考數(shù)學(xué)考點(diǎn) 形數(shù)

字號(hào):


    形 數(shù)
    四川省筠連縣第二中學(xué) 鄧敬
    
    公元前四世紀(jì),古希臘的算術(shù)在巴比倫和埃及的基礎(chǔ)上,有了很大的發(fā)展,他們用石子、沙子記數(shù)和計(jì)算。在這一時(shí)期,對“形數(shù)”的研究達(dá)到了一個(gè)高峰。
    在眾多的學(xué)派中,畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對“形數(shù)”的研究最為突出,該項(xiàng)研究強(qiáng)烈地反映了他們將數(shù)作為幾何思維元素的精神,有效地印證了“凡物皆數(shù)”的觀點(diǎn)。
    那什么是形數(shù)呢?即有形狀的數(shù)。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究數(shù)的概念時(shí),喜歡把數(shù)描繪成沙灘上的小石子,小石子能夠擺成不同的幾何圖形,于是就產(chǎn)生了一系列的形數(shù)。
    1、三角形數(shù)
    畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn),當(dāng)小石子的數(shù)目是1、3、6、10、…等數(shù)時(shí),小石子都能擺成正三角形,他把這些數(shù)叫做“三角形數(shù)”。如圖一1、2所示:?????????????????????????????????????????
    
    不難看出,前四個(gè)三角形數(shù)都是一些連續(xù)自然數(shù)的和,記每一個(gè)三角形數(shù)為? (i=1、2、3、…、n)則:
    =1
    =1+2=3
    =1+2+3=6
    =1+2+3+4=10
    ……………
    =1+2+3+…+100=5050
    ……………
    就這樣,畢達(dá)哥拉斯借助生動(dòng)的直觀的幾何圖形,很快就發(fā)現(xiàn)了自然數(shù)的一個(gè)規(guī)律:從1開始的連續(xù)自然數(shù)的和都是三角形數(shù)。如果用字母n表示最后一個(gè)加數(shù),那么1+2+3+…+n的和即是一個(gè)三角形數(shù),而且正好是第n個(gè)三角形數(shù)。?
    ∴=1+2+3+…+n=??? (n∈)
    [例1]:如圖二,前3個(gè)圖形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別是多少?第n個(gè)圖形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是多少?
    
    解:①問,前三個(gè)圖形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別是3、6、10。
    ②問,因?yàn)?、6、10、15…等數(shù)恰好構(gòu)成三角形數(shù),記第n個(gè)圖的點(diǎn)為,則=1+2+3+…+(n+1)=(n+1)=
    [例2]:古希臘數(shù)學(xué)家把數(shù)1、3、6、10、15、21…,叫做三角形數(shù),它有一定的規(guī)律性,則第24個(gè)三角形數(shù)與第22個(gè)三角形的差為????????
    解:=1+2+…+24????????? ?=1+2+…+22
    ∴=23+24=47???? 故應(yīng)填:47
    2、正方形數(shù)
    ?畢達(dá)哥拉斯還發(fā)現(xiàn),當(dāng)小石子的數(shù)目是1、4、9、16、…等數(shù)時(shí),小石子都能擺成正方形,他把這些數(shù)叫“正方形數(shù)”。如圖三1、2所示:
    
    分別記各圖所示的小石子個(gè)數(shù)為 (i=1、2、…、n)不難發(fā)現(xiàn):a1=1=12
    =1+3=4=
    
    =1+3+5=9=
    =1+3+5+7=16=
    ……………
    =1+3+5+…+(2n-1)=
    n=
    畢達(dá)哥拉斯,通過直觀圖形把奇數(shù)和圖形結(jié)合起來,得到一個(gè)定理:從1開始,任何連續(xù)的奇數(shù)之和是完全平方數(shù)。畢達(dá)哥拉斯,還給出了一個(gè)定理:兩個(gè)相鄰三角形數(shù)之和是正方形數(shù),
    即???? (n+1)+(n+2)=
    [例1]:如圖四:計(jì)算1+3+5+7+9+11+13+15的值
    
    解:觀察圖知道1、1+3、
    1+3+5構(gòu)成正方形數(shù)
    ……
    1=???? 1+3=
    ??? 1+3+5=????
    ∴=1=????
    =1+3=
    =1+3+5=
    ……………
    =1+3+5+…+(2n-1)=
    ∴=1+3+5+…+15=
    =64
    3、長方形數(shù)
    當(dāng)小石子的數(shù)目是偶數(shù)2、6、12、20等數(shù)時(shí),小石子都能擺成長方形,畢達(dá)哥拉斯把這些數(shù)叫做長方形數(shù)(或矩形數(shù))。如圖五
    
    分別把每一個(gè)長方形數(shù)記作: (i=1、2、3、…、n)
    =2
    =2+4=6
    =2+4+6=12
    =2+4+6+8=20
    ……………
    =2+4+6+8+…+2n = =n(n+1)
    即,由序列:N=2+4+6+8+…+2n=n(n+1)?? (n∈)給出的數(shù)叫長方形數(shù)。每個(gè)長方形數(shù)都等于某三角形數(shù)的2倍。
    4、五邊形數(shù)
    當(dāng)小石子的數(shù)目是1、5、12、22、…等數(shù)時(shí),小石子都能擺成正五邊形,畢達(dá)哥拉斯把這些數(shù)叫做“五邊形數(shù)”如圖六所示:
    
    分別把每一個(gè)五邊形數(shù)記作: (i=1、2、…、n)
    =1????????
    =1+4=5
    =1+4+7=12
    =1+4+7+10=22
    ……………
    =1+4+7+…+(3n-2)=n=
    5、六邊形數(shù)
    當(dāng)石子數(shù)目為1、6、15、28等數(shù)時(shí),小石子都能擺成六邊形,畢達(dá)哥拉斯把這些數(shù)叫做“六邊形數(shù)”如圖七所示:
    
    
    分別把每個(gè)六邊形記作 (i=1、2、3、…、n)
    =1
    =1+5=6
    =1+5+9=15
    =1+5+9+13=28
    ……………
    =1+5+9+13+…+(4n-3)=n=2-n
    根據(jù)這些規(guī)律,人們就可以寫出很多很多的形數(shù),畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的學(xué)者還通過這一過程,將這種數(shù)形結(jié)合的思想推廣到三維空間去構(gòu)造多面體數(shù)。
    [練習(xí)] 1、Ⅰ如圖八所示,前三圖中各有多少個(gè)三角形?
    Ⅱ你能否找出其中的規(guī)律,用式子表示第n個(gè)圖中有多少個(gè)三角形?
    
    ?[答案]:前三圖中各有3、6、10個(gè)三角形。
    ?????? ∵3、6、10等數(shù)恰好構(gòu)成三角形數(shù),把每一個(gè)圖形的三角形數(shù)記為(i=1、2、3、…、n),則
    =1+2=3
    =1+2+3=6
    =1+2+3+4=10
    ……………
    =1+2+3+…+(n+1)=
    [練習(xí)] 2、把正方體擺成如圖九所示的形狀,從上向下數(shù)第一層1,個(gè)第二層3個(gè),…,按這個(gè)規(guī)律擺放,第五層的正方體個(gè)數(shù)是:(?)
    
    A、10??? B、12?? C、15??? D、20
    [答案]:經(jīng)觀察:
    第一層:=1,
    第二層:=3,
    第三層:=6 ,
    第四層:=10????????????????????????????????
    由此可知,1、3、6、10屬三角形數(shù),
    則第五層:=1+2+3+4+5=15
    故選C
    [練習(xí)]3、如圖十所示,若以點(diǎn)O為端點(diǎn)的射線有n條,則共組成多少個(gè)角?
    
    [答案]:當(dāng)有1條射線時(shí):有角3=1+2個(gè)
    當(dāng)有2條射線時(shí):有角6=1+2+3個(gè)
    當(dāng)有3條射線時(shí):有角10=1+2+3+4個(gè)
    當(dāng)有4條射線時(shí):有角15=1+2+3+4+5個(gè)
    ∵3、6、10、15…恰好構(gòu)成三角形數(shù)。
    ∴當(dāng)有n條射線時(shí):有角1+2+3+…+(n+1)=(n+1)=個(gè)
    [練習(xí)]4、某班共有學(xué)生m人,在春節(jié)期間,每個(gè)同學(xué)都與其他同學(xué)通電話一次來互致新春的祝福,求該班m個(gè)同學(xué)共通話多少次?
    [答案]:2人通話?????? 1次
    ?????? 3人通話?????? 3=1+2次
    4人通話?????? 6=1+2+3次
    5人通話????? 10=1+2+3+4次
    ∵1、3、6、10、…恰好構(gòu)成三角形數(shù)。
    ∴當(dāng)有m個(gè)學(xué)生時(shí):通話1+2+3+…+(m-1)==
    
    [練習(xí)]5、n條直線兩兩相交最多有多少個(gè)交點(diǎn)?
    [答案]:如圖十一所示:
    
    ∵1、3、6、10、…恰好構(gòu)成三角形數(shù)。
    ∴n條直線兩兩相交最多交點(diǎn)N=1+2+3+…+(n-1)=個(gè)。[練習(xí)]6、已知、、
    、……、,那么圖十二中共有多少對平行線?
    
    [答案]:由題意可知,
    ∥…
    當(dāng)有2條平行線時(shí),有平行線的對數(shù)為=1
    當(dāng)有3條平行線時(shí),有平行線的對數(shù)為=1+2
    當(dāng)有4條平行線時(shí),有平行線的對數(shù)為=1+2+3
    …………………………………………………………
    當(dāng)有n條平行線時(shí),有平行線的對數(shù)為
    =1+2+3+…+(n-1)=
    [練習(xí)]7、試求n邊形的對角線的條數(shù)?
    [答案]:四邊形對角線條數(shù)記=2
    五邊形對角線條數(shù)記=2+3=5
    六邊形對角線條數(shù)記=2+3+4=9
    七邊形對角線條數(shù)記=2+3+4+5=14
    2、5、9、14、…等數(shù)加1可得三角形數(shù),所以n邊形對角線條數(shù)記=2+3+4+…+(n-2)= =
    ??(n≥3)
    [練習(xí)]8、用牙簽按圖十三方式搭圖。
    問第n個(gè)圖形有多少根牙簽?
    
    [答案]:每一個(gè)圖牙簽根數(shù)記為
    (i=1、2、3、…、n)則:
    =3=3×1
    =9=3×3=3×(1+2)
    =18=3×6=3×(1+2+3)
    ……………
    =3×(1+2+3+…+n)=3=
    
    
中考政策 中考狀元 中考飲食 中考備考輔導(dǎo) 中考復(fù)習(xí)資料