形 數(shù)
四川省筠連縣第二中學(xué) 鄧敬
公元前四世紀(jì)，古希臘的算術(shù)在巴比倫和埃及的基礎(chǔ)上，有了很大的發(fā)展，他們用石子、沙子記數(shù)和計(jì)算。在這一時(shí)期，對(duì)“形數(shù)”的研究達(dá)到了一個(gè)高峰。
在眾多的學(xué)派中，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對(duì)“形數(shù)”的研究最為突出，該項(xiàng)研究強(qiáng)烈地反映了他們將數(shù)作為幾何思維元素的精神，有效地印證了“凡物皆數(shù)”的觀點(diǎn)。
那什么是形數(shù)呢？即有形狀的數(shù)。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究數(shù)的概念時(shí)，喜歡把數(shù)描繪成沙灘上的小石子，小石子能夠擺成不同的幾何圖形，于是就產(chǎn)生了一系列的形數(shù)。
1、三角形數(shù)
畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)，當(dāng)小石子的數(shù)目是1、3、6、10、…等數(shù)時(shí)，小石子都能擺成正三角形，他把這些數(shù)叫做“三角形數(shù)”。如圖一1、2所示：?????????????????????????????????????????
不難看出，前四個(gè)三角形數(shù)都是一些連續(xù)自然數(shù)的和，記每一個(gè)三角形數(shù)為
? （i=1、2、3、…、n）則：
=1
=1+2=3
=1+2+3=6
=1+2+3+4=10……………
=1+2+3+…+100=5050……………
就這樣，畢達(dá)哥拉斯借助生動(dòng)的直觀的幾何圖形，很快就發(fā)現(xiàn)了自然數(shù)的一個(gè)規(guī)律：從1開(kāi)始的連續(xù)自然數(shù)的和都是三角形數(shù)。如果用字母n表示最后一個(gè)加數(shù)，那么1+2+3+…+n的和即是一個(gè)三角形數(shù)，而且正好是第n個(gè)三角形數(shù)。?
∴
=1+2+3+…+n=
??? (n∈
)[例1]：如圖二，前3個(gè)圖形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別是多少？第n個(gè)圖形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是多少？
解：①問(wèn)，前三個(gè)圖形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別是3、6、10。
②問(wèn)，因?yàn)?、6、10、15…等數(shù)恰好構(gòu)成三角形數(shù)，記第n個(gè)圖的點(diǎn)為
，則=1+2+3+…+(n+1)=
(n+1)=
[例2]：古希臘數(shù)學(xué)家把數(shù)1、3、6、10、15、21…，叫做三角形數(shù)，它有一定的規(guī)律性，則第24個(gè)三角形數(shù)與第22個(gè)三角形的差為????????
解：
=1+2+…+24????????? 
?=1+2+…+22∴
—=23+24=47???? 故應(yīng)填：472、正方形數(shù)
?畢達(dá)哥拉斯還發(fā)現(xiàn)，當(dāng)小石子的數(shù)目是1、4、9、16、…等數(shù)時(shí)，小石子都能擺成正方形，他把這些數(shù)叫“正方形數(shù)”。如圖三1、2所示：
分別記各圖所示的小石子個(gè)數(shù)為
(i=1、2、…、n)不難發(fā)現(xiàn)：a1=1=12=1+3=4=
=1+3+5=9=
=1+3+5+7=16=
……………
=1+3+5+…+(2n-1)=
n=
畢達(dá)哥拉斯，通過(guò)直觀圖形把奇數(shù)和圖形結(jié)合起來(lái)，得到一個(gè)定理：從1開(kāi)始，任何連續(xù)的奇數(shù)之和是完全平方數(shù)。畢達(dá)哥拉斯，還給出了一個(gè)定理：兩個(gè)相鄰三角形數(shù)之和是正方形數(shù)，
即????
（n+1）+
(n+2)= 
[例1]：如圖四：計(jì)算1+3+5+7+9+11+13+15的值
解：觀察圖知道1、1+3、
1+3+5構(gòu)成正方形數(shù)
……
1=
???? 1+3=??? 1+3+5=????∴
=1=????=1+3==1+3+5=……………
=1+3+5+…+(2n-1)= ∴
=1+3+5+…+15=
=643、長(zhǎng)方形數(shù)
當(dāng)小石子的數(shù)目是偶數(shù)2、6、12、20等數(shù)時(shí)，小石子都能擺成長(zhǎng)方形，畢達(dá)哥拉斯把這些數(shù)叫做長(zhǎng)方形數(shù)（或矩形數(shù)）。如圖五
分別把每一個(gè)長(zhǎng)方形數(shù)記作：
(i=1、2、3、…、n)=2=2+4=6=2+4+6=12=2+4+6+8=20……………
=2+4+6+8+…+2n =
=n(n+1)即，由序列：N=2+4+6+8+…+2n=n(n+1)?? (n∈
)給出的數(shù)叫長(zhǎng)方形數(shù)。每個(gè)長(zhǎng)方形數(shù)都等于某三角形數(shù)的2倍。4、五邊形數(shù)
當(dāng)小石子的數(shù)目是1、5、12、22、…等數(shù)時(shí)，小石子都能擺成正五邊形，畢達(dá)哥拉斯把這些數(shù)叫做“五邊形數(shù)”如圖六所示：
分別把每一個(gè)五邊形數(shù)記作：
(i=1、2、…、n)=1????????=1+4=5=1+4+7=12=1+4+7+10=22……………
=1+4+7+…+(3n-2)=
n=
5、六邊形數(shù)
當(dāng)石子數(shù)目為1、6、15、28等數(shù)時(shí)，小石子都能擺成六邊形，畢達(dá)哥拉斯把這些數(shù)叫做“六邊形數(shù)”如圖七所示：
分別把每個(gè)六邊形記作
(i=1、2、3、…、n)=1=1+5=6=1+5+9=15=1+5+9+13=28……………
=1+5+9+13+…+(4n-3)=
n=2-n根據(jù)這些規(guī)律，人們就可以寫出很多很多的形數(shù)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的學(xué)者還通過(guò)這一過(guò)程，將這種數(shù)形結(jié)合的思想推廣到三維空間去構(gòu)造多面體數(shù)。
[練習(xí)] 1、Ⅰ如圖八所示，前三圖中各有多少個(gè)三角形？
Ⅱ你能否找出其中的規(guī)律，用式子表示第n個(gè)圖中有多少個(gè)三角形？
?[答案]：前三圖中各有3、6、10個(gè)三角形。
?????? ∵3、6、10等數(shù)恰好構(gòu)成三角形數(shù)，把每一個(gè)圖形的三角形數(shù)記為
(i=1、2、3、…、n)，則=1+2=3=1+2+3=6=1+2+3+4=10……………
=1+2+3+…+（n+1）=
[練習(xí)] 2、把正方體擺成如圖九所示的形狀，從上向下數(shù)第一層1，個(gè)第二層3個(gè)，…，按這個(gè)規(guī)律擺放，第五層的正方體個(gè)數(shù)是：（?）
A、10??? B、12?? C、15??? D、20
[答案]：經(jīng)觀察：
第一層：
=1，第二層：
=3，第三層：
=6 ，第四層：
=10????????????????????????????????由此可知，1、3、6、10屬三角形數(shù)，
則第五層：
=1+2+3+4+5=15故選C
[練習(xí)]3、如圖十所示，若以點(diǎn)O為端點(diǎn)的射線有n條，則共組成多少個(gè)角？
[答案]：當(dāng)有1條射線時(shí)：有角3=1+2個(gè)
當(dāng)有2條射線時(shí)：有角6=1+2+3個(gè)
當(dāng)有3條射線時(shí)：有角10=1+2+3+4個(gè)
當(dāng)有4條射線時(shí)：有角15=1+2+3+4+5個(gè)
∵3、6、10、15…恰好構(gòu)成三角形數(shù)。
∴當(dāng)有n條射線時(shí)：有角1+2+3+…+（n+1）=
（n+1）=
個(gè)[練習(xí)]4、某班共有學(xué)生m人，在春節(jié)期間，每個(gè)同學(xué)都與其他同學(xué)通電話一次來(lái)互致新春的祝福，求該班m個(gè)同學(xué)共通話多少次？
[答案]：2人通話?????? 1次
?????? 3人通話?????? 3=1+2次
4人通話?????? 6=1+2+3次
5人通話????? 10=1+2+3+4次
∵1、3、6、10、…恰好構(gòu)成三角形數(shù)。
∴當(dāng)有m個(gè)學(xué)生時(shí)：通話1+2+3+…+（m-1）=
=
次[練習(xí)]5、n條直線兩兩相交最多有多少個(gè)交點(diǎn)？
[答案]：如圖十一所示：
∵1、3、6、10、…恰好構(gòu)成三角形數(shù)。
∴n條直線兩兩相交最多交點(diǎn)N=1+2+3+…+（n-1）=
個(gè)。[練習(xí)]6、已知
∥
、∥
、∥
、……、
∥
,那么圖十二中共有多少對(duì)平行線?
[答案]：由題意可知，
∥∥∥…∥∥當(dāng)有2條平行線時(shí)，有平行線的對(duì)數(shù)為
=1當(dāng)有3條平行線時(shí)，有平行線的對(duì)數(shù)為
=1+2當(dāng)有4條平行線時(shí)，有平行線的對(duì)數(shù)為
=1+2+3…………………………………………………………
當(dāng)有n條平行線時(shí)，有平行線的對(duì)數(shù)為
=1+2+3+…+（n-1）=[練習(xí)]7、試求n邊形的對(duì)角線的條數(shù)？
[答案]：四邊形對(duì)角線條數(shù)記
=2五邊形對(duì)角線條數(shù)記
=2+3=5六邊形對(duì)角線條數(shù)記
=2+3+4=9七邊形對(duì)角線條數(shù)記
=2+3+4+5=142、5、9、14、…等數(shù)加1可得三角形數(shù)，所以n邊形對(duì)角線條數(shù)記
=2+3+4+…+（n-2）= =
??（n≥3）[練習(xí)]8、用牙簽按圖十三方式搭圖。
問(wèn)第n個(gè)圖形有多少根牙簽？
[答案]：每一個(gè)圖牙簽根數(shù)記為
（i=1、2、3、…、n）則：=3=3×1=9=3×3=3×（1+2）=18=3×6=3×（1+2+3）……………
=3×（1+2+3+…+n）=3
=
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