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兩圓的公切線手工畫法 兩圓公切線的性質(zhì)篇一
1、使學(xué)生學(xué)會兩圓內(nèi)公切線長的求法．
2．使學(xué)生會求出公切線與連心線的夾角或公切線的夾角．
2、使學(xué)生在學(xué)會求兩圓內(nèi)公切線長的過程中，探索規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的總結(jié)、歸納能力．
3、培養(yǎng)學(xué)生會根據(jù)圖形分析問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力．
教學(xué)重點：使學(xué)生進(jìn)一步掌握兩圓公切線等有關(guān)概念，會求兩圓內(nèi)公切線長及切線夾角．
教學(xué)難點：兩圓內(nèi)公切線和內(nèi)公切線長容易搞混．
教學(xué)過程：
上一節(jié)我們學(xué)會了求兩圓的外公切線長，這一節(jié)我們將學(xué)習(xí)兩圓內(nèi)公切線長的求法及兩圓公切線夾角的求法．實際上，我們首先要清楚，什么樣的兩圓的位置關(guān)系存在兩圓內(nèi)公切線？有幾條？什么樣的兩圓位置關(guān)系有內(nèi)公切線長？請同學(xué)們打開練習(xí)本，動手畫一畫，結(jié)合圖形，考慮上面的問題．學(xué)生動手畫圖，教師巡視，當(dāng)所有學(xué)生都畫完圖后，教師打開計算機(jī)或幻燈作演示，演示過程由學(xué)生回答上述三個問題，并認(rèn)定只有兩圓外離時，存在內(nèi)公切線長．
有了上一節(jié)求兩圓外公切線長的基礎(chǔ)，學(xué)生不難想到求兩圓的內(nèi)公切線長也要在一個直角三角形中完成，只要稍加提示，學(xué)生便會作出直角三角形，同時教師要提醒學(xué)生注意兩種公切線長的求法中，三角形的邊有所不同．例2如圖7—106，p．142已知⊙o1、⊙o2的半徑分別為4cm和2cm，圓心距為10cm，ab是⊙o1、⊙o2的內(nèi)公切線，切點分別為a、b．
求：公切線的長ab．分析：仿照上節(jié)的輔助線方法作輔助線，我們會發(fā)現(xiàn)，不論從o1或o2向另一條半徑作垂線，垂足都落在半徑的延長線上，因此o2c是兩圓半徑之和．例題解法參照教材p．142例2．
結(jié)論：由于圓是軸對稱圖形，1．兩圓的兩條外公切線長相等，兩條內(nèi)公切線長相等．2．如果兩圓有兩條外（或內(nèi)）公切線，并且它們相交，那么交點一定在連心線上．
練習(xí)一，如圖7—107，已知⊙o1、⊙o2的半徑分別為1。5cm和2。5cm，o1o2=6cm．求內(nèi)公切線的長．此題分析類同于例題．
解：連結(jié)o2a、o1b，過點o2作o2c⊥o1b交o1b的延長線于c．在rt△o2co1中：∵o1o2=6，o1c=o1b+bc=4，結(jié)論：在由公切線長、圓心距、兩圓半徑的和或差構(gòu)成的rt△中，已知任意兩量，都可以求出第三量來，同時，我們也可以求出所需角來．
例3 p．143要做一個如圖7—108．那樣的v形架，將兩個鋼管托起，已知鋼管的外徑分別為20mm和80mm，求v形角α的度數(shù)．
分析：首先指導(dǎo)學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為兩圓外公切線問題，v形角α實際上就是求兩圓公切線的夾角．由矩形、外公切線的基本圖形知，矩形abo2c的邊o2c∥ab，則rt△o1co2中的銳角∠co2o1=∠
解：設(shè)兩圓管的圓心分別為o1、o2，它們與v形架切于點a、b，ab與o1o2交于點p，連結(jié)o1a，o2b，過點o2作o2c⊥o1a，垂足為c．∴∠co2o1=25°23′．∴∠α=50°46′
練習(xí)二，p．145中1．如圖7—109，⊙a(bǔ)、⊙b外切于點c，它們的半徑分別為5cm，2cm，直線l與⊙a(bǔ)、⊙b都相切．求直線ab與l所成的角．
分析：這是兩圓外公切線與兩圓連心線夾角問題，屬于兩圓外公切線的基本圖形，只要在rt△adb中求出∠abd的度數(shù)即可．
解：設(shè)l與⊙a(bǔ)、⊙b分別切于點m、n，連結(jié)am、bn，過點b作bd⊥am，垂足為d．∴∠abd=25°23′．∴∠1=25°23′．
答：直線ab與l所成的角為25°23′．
為培養(yǎng)學(xué)生閱讀教材的習(xí)慣，讓學(xué)生看教材p．142—p．145，從中總結(jié)出本課主要內(nèi)容：
1．求兩圓的內(nèi)公切線，仍然歸結(jié)為解直角三角形問題，注意基本圖形中的直角三角形，圓心距仍然為斜邊，內(nèi)公切線長、兩半徑之和作直角邊，三個量中已知任何兩個量，都可以求出第三個量來．
2．如果兩圓有兩條外（或內(nèi)）公切線，并且它們相交，那么交點一定在兩圓的連心線上．
3．求兩圓兩外（或內(nèi)）公切線的夾角．要根據(jù)基本圖形，歸結(jié)為求rt△中的銳角．從而根據(jù)平行線的同位角相等，進(jìn)而求出兩公切線的夾角．
兩圓的公切線手工畫法 兩圓公切線的性質(zhì)篇二
教學(xué)目標(biāo)：
（1）理解兩圓相切長等有關(guān)概念，掌握兩圓外公切線長的求法；
（2）培養(yǎng)學(xué)生的歸納、總結(jié)能力；
（3）通過兩圓外公切線長的求法向?qū)W生滲透“轉(zhuǎn)化”思想．
教學(xué)重點：
理解兩圓相切長等有關(guān)概念，兩圓外公切線的求法．
教學(xué)難點：
兩圓外公切線和兩圓外公切線長學(xué)生理解的不透，容易混淆．
教學(xué)活動設(shè)計
（一）實際問題（引入）
很多機(jī)器上的傳動帶與主動輪、從動輪之間的位置關(guān)系，給我們以一條直線和兩個同時相切的形象．（這里是一種簡單的數(shù)學(xué)建模，了解數(shù)學(xué)產(chǎn)生與實踐）
兩圓的公切線概念
1、概念：
教師引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)．給出兩圓的'外公切線、內(nèi)公切線以及公切線長的定義：
和兩圓都相切的直線，叫做兩圓的公切線．
(1)外公切線：兩個圓在公切線的同旁時，這樣的公切線叫做外公切線．
(2)內(nèi)公切線：兩個圓在公切線的兩旁時，這樣的公切線叫做內(nèi)公切線．
(3)公切線的長：公切線上兩個切點的距離叫做公切線的長．
2、理解概念：
(1)公切線的長與切線的長有何區(qū)別與聯(lián)系?
(2)公切線的長與公切線又有何區(qū)別與聯(lián)系?
(1)公切線的長與切線的長的概念有類似的地方，即都是線段的長．但公切線的長是對兩個圓來說的，且這條線段是以兩切點為端點；切線長是對一個圓來說的，且這條線段的一個端點是切點，另一個端點是圓外一點．
(2)公切線是直線，而公切線的長是兩切點問線段的長，前者不能度量，后者可以度量．
（三）兩圓的位置與公切線條數(shù)的關(guān)系
組織學(xué)生觀察、概念、概括，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力．添寫教材p143練習(xí)第2題表．
（四）應(yīng)用、反思、總結(jié)
例1、已知：⊙o1、⊙o2的半徑分別為2cm和7cm，圓心距o1o2=13cm，ab是⊙o1、⊙o2的外公切線，切點分別是a、b．求：公切線的長ab．
分析：首先想到切線性質(zhì)，故連結(jié)o1a、o2b，得直角梯形ao1o2b．一般要把它分解成一個直角三角形和一個矩形，再用其性質(zhì)．（組織學(xué)生分析，教師點撥，規(guī)范步驟）
解：連結(jié)o1a、o2b，作o1a⊥ab，o2b⊥ab．
過 o1作o1c⊥o2b，垂足為c，則四邊形o1abc為矩形，
于是有
o1c⊥c o2，o1c=ab，o1a=cb．
在rt△o2co1和．
o1o2=13，o2c=o2b- o1a=5
ab=o1c= (cm)．
反思：（1）“轉(zhuǎn)化”思想，構(gòu)造三角形；（2）初步掌握添加輔助線的方法．
例2如圖，已知⊙o1、⊙o2外切于p，直線ab為兩圓的公切線，a、b為切點，若pa=8cm，pb=6cm，求切線ab的長．
分析：因為線段ab是△apb的一條邊，在△apb中，已知pa和pb的長，只需先證明△pab是直角三角形，然后再根據(jù)勾股定理，使問題得解．證△pab是直角三角形，只需證△apb中有一個角是90°(或證得有兩角的和是90°)，這就需要溝通角的關(guān)系，故過p作兩圓的公切線cd如圖，因為ab是兩圓的公切線，所以∠cpb=∠abp，∠cpa=∠bap．因為∠bap+∠cpa+∠cpb+∠abp=180°，所以2∠cpa+2∠cpb=180°，所以∠cpa+∠cpb=90°，即∠apb=90°，故△apb是直角三角形，此題得解．
解：過點p作兩圓的公切線cd
∵ ab是⊙o1和⊙o2的切線，a、b為切點
∴∠cpa=∠bap ∠cpb=∠abp
又∵∠bap+∠cpa+∠cpb+∠abp=180°
∴ 2∠cpa+2∠cpb=180°
∴∠cpa+∠cpb=90° 即∠apb=90°
在 rt△apb中，ab2=ap2+bp2
說明：兩圓相切時，常過切點作兩圓的公切線，溝通兩圓中的角的關(guān)系．
（五）鞏固練習(xí)
1、當(dāng)兩圓外離時，外公切線、圓心距、兩半徑之差一定組成( )
(a)直角三角形 (b)等腰三角形 (c)等邊三角形 (d)以上答案都不對．
此題考察外公切線與外公切線長之間的差別，答案(d)
2、外公切線是指
(a)和兩圓都祖切的直線 (b)兩切點間的距離
(c)兩圓在公切線兩旁時的公切線 (d)兩圓在公切線同旁時的公切線
直接運用外公切線的定義判斷．答案：(d)
3、教材p141練習(xí)（略）
（六）小結(jié)（組織學(xué)生進(jìn)行）
知識：兩圓的公切線、外公切線、內(nèi)公切線及公切線的長概念；
能力：歸納、概括能力和求外公切線長的能力；
思想：“轉(zhuǎn)化”思想．
（七）作業(yè)：p151習(xí)題10，11．
兩圓的公切線手工畫法 兩圓公切線的性質(zhì)篇三
教學(xué)目標(biāo)：
（1）掌握兩圓內(nèi)公切線長的求法以及公切線與連心線的夾角或公切線的交角；
（2）培養(yǎng)的遷移能力，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的歸納、總結(jié)能力；
（3）通過兩圓內(nèi)公切線長的求法進(jìn)一步向?qū)W生滲透“轉(zhuǎn)化”思想．
教學(xué)重點：
兩圓內(nèi)公切線的長及公切線與連心線的夾角或公切線的交角求法．
教學(xué)難點：
兩圓內(nèi)公切線和兩圓內(nèi)公切線長學(xué)生理解的不透，容易混淆．
教學(xué)活動設(shè)計
（一）復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識
（1）兩圓的公切線概念：公切線、內(nèi)外公切線、內(nèi)外公切線的長．
（2）兩圓的位置與公切線條數(shù)的關(guān)系．（構(gòu)成數(shù)形對應(yīng)，且一一對應(yīng)）
（二）應(yīng)用、反思
例1、（教材例2）已知：⊙o1和⊙o2的半徑分別為4厘米和2厘米，圓心距 為10厘米，ab是⊙o1和⊙o2的一條內(nèi)公切線，切點分別是a，b．
求：公切線的長ab。
組織學(xué)生分析，遷移外公切線長的求法，既培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，同時也培養(yǎng)學(xué)生的遷移能力．
解：連結(jié)o1a、o2b，作o1a⊥ab，o2b⊥ab．
過 o1作o1c⊥o2b，交o2b的延長線于c，
則o1c=ab，o1a=bc．
在rt△o2co1和．
o1o2=10，o2c=o2b+ o1a=6
∴o1c=(cm)．
∴ab=8（cm）
反思：與外離兩圓的內(nèi)公切線有關(guān)的計算問題，常構(gòu)造如此題的直角梯行及直角三角形，在rt△o2co1中，含有內(nèi)公切線長、圓心距、兩半徑和重要數(shù)量．注意用解直角三角形的知識和幾何知識綜合去解構(gòu)造后的直角三角形．
例2 （教材例3）要做一個圖那樣的礦型架，將兩個鋼管托起，已知鋼管的外徑分別為200毫米和80毫米，求v形角α的度數(shù)．
解：(略)
反思：實際問題經(jīng)過抽象、化簡轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識來解決，這是解決實際問題的重要方法．它屬于簡單的數(shù)學(xué)建模．
組織學(xué)生進(jìn)行，教師引導(dǎo)．
歸納：（1）用解直角三角形的有關(guān)知識可得：當(dāng)公切線長l、兩圓的兩半徑和r+r、圓心距d、兩圓公切線的夾角α四個量中已知兩個量時，就可以求出其他兩個量．
（2）上述問題可以通過相似三角形和解三角形的知識解決．
（三）鞏固訓(xùn)練
教材p142練習(xí)第1題，教材p145練習(xí)第1題．
學(xué)生獨立完成，教師巡視，發(fā)現(xiàn)問題及時糾正．
（四）小結(jié)
（1）求兩圓的內(nèi)公切線，“轉(zhuǎn)化”為解直角三角形問題．公切線長、圓心距、兩半徑和三個量中已知任何兩個量，都可以求第三個量；
（2）如果兩圓有兩條外(或內(nèi))公切線，并且它們相交，那么交點一定在兩圓的連心線上；
（3）求兩圓兩外(或內(nèi))公切線的夾角．
（五）作業(yè)
教材p153中12、13、14．
教學(xué)目標(biāo)：
（1）理解兩圓公切線在解決有關(guān)兩圓相切的問題中的作用, 輔助線規(guī)律，并會應(yīng)用；
（2）通過兩圓公切線在證明題中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的分析問題和解決問題的能力．
教學(xué)重點：
會在證明兩圓相切問題時，輔助線的引法規(guī)律，并能應(yīng)用于幾何題證明中．
教學(xué)難點：
綜合知識的靈活應(yīng)用和綜合能力培養(yǎng)．
教學(xué)活動設(shè)計
（一）復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識
（1）兩圓的公切線概念．
（2）切線的性質(zhì)，弦切角等有關(guān)概念．
（二）公切線在解題中的應(yīng)用
例1如圖，⊙o1和⊙o2外切于點a，bc是⊙o1和⊙o2的公切線，b，c為切點．若連結(jié)ab、ac會構(gòu)成一個怎樣的三角形呢？
觀察、度量實驗（組織學(xué)生進(jìn)行）
猜想：（學(xué)生猜想）∠bac=90°
證明：過點a作⊙o1和⊙o2的內(nèi)切線交bc于點o．
∵oa、ob是⊙o1的切線，
∴oa=ob．
同理oa=oc．
oa=ob=oc．
∴∠bac=90°．
反思：（1）公切線是解決問題的橋梁，綜合應(yīng)用知識是解決問題的關(guān)鍵；（2）作兩圓的公切線是常見的一種作輔助線的方法．
例2、己知：如圖，⊙o1和⊙o2內(nèi)切于p，大圓的弦ab交小圓于c，d．
求證：∠apc＝∠bpd．
分析：從條件來想，兩圓內(nèi)切，可能作出的輔助線是作連心線o1o2，或作外公切線．
證明：過p點作兩圓的公切線mn．
∵∠mpc=∠pdc，∠mpn=∠b，
∴∠mpc－∠mpn=∠pdc－∠b，
即∠apc＝∠bpd．
反思：（1）作了兩圓公切線mn后，弦切角就把兩個圓中的圓周角聯(lián)系起來了．要重視mn的“橋梁”作用．（2）此例證角相等的方法是利用已知角的關(guān)系計算．
拓展：（組織學(xué)生研究，培養(yǎng)學(xué)生深入研究問題的意識）
己知：如圖，⊙o1和⊙o2內(nèi)切于p，大圓⊙o1的弦ab與小圓⊙o2相切于c點．
是否有：∠apc＝∠bpc即pc平分∠apb．
答案：有∠apc＝∠bpc即pc平分∠apb．如圖作輔助線，證明方法步驟參看典型例題中例4．
（三）練習(xí)
練習(xí)1、教材145練習(xí)第2題．
練習(xí)2、如圖，已知兩圓內(nèi)切于p，大圓的弦ab切小圓于c，大圓的弦pd過c點．
求證：pa·pb=pd·pc．
證明：過點p作兩圓的公切線ef
∵ ab是小圓的切線，c為切點
∴∠fpc=∠bcp，∠fpb=∠a
又∵∠1=∠bcp-∠a ∠2=∠fpc-∠fpb
∴∠1=∠2 ∵∠a=∠d，∴△pac∽△pdb
∴pa·pb=pd·pc
說明：此題在例2題的拓展的基礎(chǔ)上解得非常容易．
（三）總結(jié)
了兩圓的公切線，應(yīng)該掌握以下幾個方面
1、由圓的軸對稱性，兩圓外(或內(nèi))公切線的交點(如果存在)在連心線上．
2、公切線長的計算，都轉(zhuǎn)化為解直角三角形，故解題思路主要是構(gòu)造直角三角形．
3、常用的輔助線：
（1）兩圓在各種情況下常考慮添連心線；
（2）兩圓外切時，常添內(nèi)公切線；兩圓內(nèi)切時，常添外公切線．
4、自己要有深入研究問題的意識，不斷反思，不斷歸納總結(jié)．
（四）作業(yè)教材p151習(xí)題中15，b組2．
探究活動
問題：如圖1，已知兩圓相交于a、b，直線cd與兩圓分別相交于c、e、f、d．
(1)用量角器量出∠eaf與∠cbd的大小，根據(jù)量得結(jié)果，請你猜想∠eaf與∠cbd的大小之間存在怎樣的關(guān)系，并證明你所得到的結(jié)論．
(2)當(dāng)直線cd的位置如圖2時，上題的結(jié)論是否還能成立?并說明理由．
(3)如果將已知中的“兩圓相交”改為“兩圓外切于點a”，其余條件不變（如圖3），那么第（1）題所得的結(jié)論將變?yōu)槭裁?？并作出證明．
提示：（1）（2）（3）都有∠eaf+∠cbd=180°．證明略（如圖作輔助線）．
說明：問題從操作測量得到的實驗數(shù)據(jù)入手，進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，歸傻貿(mào)霾孿耄進(jìn)而證明猜想成立．這也數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的一種方法．第(2)、(3)題是對第(1)題結(jié)論的推廣和特殊化．第(3)題中若cd移動到與兩圓相切于點c、d，那么結(jié)論又將變?yōu)椤蟘ad＝90°．
兩圓的公切線手工畫法 兩圓公切線的性質(zhì)篇一
1、使學(xué)生學(xué)會兩圓內(nèi)公切線長的求法．
2．使學(xué)生會求出公切線與連心線的夾角或公切線的夾角．
2、使學(xué)生在學(xué)會求兩圓內(nèi)公切線長的過程中，探索規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的總結(jié)、歸納能力．
3、培養(yǎng)學(xué)生會根據(jù)圖形分析問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力．
教學(xué)重點：使學(xué)生進(jìn)一步掌握兩圓公切線等有關(guān)概念，會求兩圓內(nèi)公切線長及切線夾角．
教學(xué)難點：兩圓內(nèi)公切線和內(nèi)公切線長容易搞混．
教學(xué)過程：
上一節(jié)我們學(xué)會了求兩圓的外公切線長，這一節(jié)我們將學(xué)習(xí)兩圓內(nèi)公切線長的求法及兩圓公切線夾角的求法．實際上，我們首先要清楚，什么樣的兩圓的位置關(guān)系存在兩圓內(nèi)公切線？有幾條？什么樣的兩圓位置關(guān)系有內(nèi)公切線長？請同學(xué)們打開練習(xí)本，動手畫一畫，結(jié)合圖形，考慮上面的問題．學(xué)生動手畫圖，教師巡視，當(dāng)所有學(xué)生都畫完圖后，教師打開計算機(jī)或幻燈作演示，演示過程由學(xué)生回答上述三個問題，并認(rèn)定只有兩圓外離時，存在內(nèi)公切線長．
有了上一節(jié)求兩圓外公切線長的基礎(chǔ)，學(xué)生不難想到求兩圓的內(nèi)公切線長也要在一個直角三角形中完成，只要稍加提示，學(xué)生便會作出直角三角形，同時教師要提醒學(xué)生注意兩種公切線長的求法中，三角形的邊有所不同．例2如圖7—106，p．142已知⊙o1、⊙o2的半徑分別為4cm和2cm，圓心距為10cm，ab是⊙o1、⊙o2的內(nèi)公切線，切點分別為a、b．
求：公切線的長ab．分析：仿照上節(jié)的輔助線方法作輔助線，我們會發(fā)現(xiàn)，不論從o1或o2向另一條半徑作垂線，垂足都落在半徑的延長線上，因此o2c是兩圓半徑之和．例題解法參照教材p．142例2．
結(jié)論：由于圓是軸對稱圖形，1．兩圓的兩條外公切線長相等，兩條內(nèi)公切線長相等．2．如果兩圓有兩條外（或內(nèi)）公切線，并且它們相交，那么交點一定在連心線上．
練習(xí)一，如圖7—107，已知⊙o1、⊙o2的半徑分別為1。5cm和2。5cm，o1o2=6cm．求內(nèi)公切線的長．此題分析類同于例題．
解：連結(jié)o2a、o1b，過點o2作o2c⊥o1b交o1b的延長線于c．在rt△o2co1中：∵o1o2=6，o1c=o1b+bc=4，結(jié)論：在由公切線長、圓心距、兩圓半徑的和或差構(gòu)成的rt△中，已知任意兩量，都可以求出第三量來，同時，我們也可以求出所需角來．
例3 p．143要做一個如圖7—108．那樣的v形架，將兩個鋼管托起，已知鋼管的外徑分別為20mm和80mm，求v形角α的度數(shù)．
分析：首先指導(dǎo)學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為兩圓外公切線問題，v形角α實際上就是求兩圓公切線的夾角．由矩形、外公切線的基本圖形知，矩形abo2c的邊o2c∥ab，則rt△o1co2中的銳角∠co2o1=∠
解：設(shè)兩圓管的圓心分別為o1、o2，它們與v形架切于點a、b，ab與o1o2交于點p，連結(jié)o1a，o2b，過點o2作o2c⊥o1a，垂足為c．∴∠co2o1=25°23′．∴∠α=50°46′
練習(xí)二，p．145中1．如圖7—109，⊙a(bǔ)、⊙b外切于點c，它們的半徑分別為5cm，2cm，直線l與⊙a(bǔ)、⊙b都相切．求直線ab與l所成的角．
分析：這是兩圓外公切線與兩圓連心線夾角問題，屬于兩圓外公切線的基本圖形，只要在rt△adb中求出∠abd的度數(shù)即可．
解：設(shè)l與⊙a(bǔ)、⊙b分別切于點m、n，連結(jié)am、bn，過點b作bd⊥am，垂足為d．∴∠abd=25°23′．∴∠1=25°23′．
答：直線ab與l所成的角為25°23′．
為培養(yǎng)學(xué)生閱讀教材的習(xí)慣，讓學(xué)生看教材p．142—p．145，從中總結(jié)出本課主要內(nèi)容：
1．求兩圓的內(nèi)公切線，仍然歸結(jié)為解直角三角形問題，注意基本圖形中的直角三角形，圓心距仍然為斜邊，內(nèi)公切線長、兩半徑之和作直角邊，三個量中已知任何兩個量，都可以求出第三個量來．
2．如果兩圓有兩條外（或內(nèi)）公切線，并且它們相交，那么交點一定在兩圓的連心線上．
3．求兩圓兩外（或內(nèi)）公切線的夾角．要根據(jù)基本圖形，歸結(jié)為求rt△中的銳角．從而根據(jù)平行線的同位角相等，進(jìn)而求出兩公切線的夾角．
兩圓的公切線手工畫法 兩圓公切線的性質(zhì)篇二
教學(xué)目標(biāo)：
（1）理解兩圓相切長等有關(guān)概念，掌握兩圓外公切線長的求法；
（2）培養(yǎng)學(xué)生的歸納、總結(jié)能力；
（3）通過兩圓外公切線長的求法向?qū)W生滲透“轉(zhuǎn)化”思想．
教學(xué)重點：
理解兩圓相切長等有關(guān)概念，兩圓外公切線的求法．
教學(xué)難點：
兩圓外公切線和兩圓外公切線長學(xué)生理解的不透，容易混淆．
教學(xué)活動設(shè)計
（一）實際問題（引入）
很多機(jī)器上的傳動帶與主動輪、從動輪之間的位置關(guān)系，給我們以一條直線和兩個同時相切的形象．（這里是一種簡單的數(shù)學(xué)建模，了解數(shù)學(xué)產(chǎn)生與實踐）
兩圓的公切線概念
1、概念：
教師引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)．給出兩圓的'外公切線、內(nèi)公切線以及公切線長的定義：
和兩圓都相切的直線，叫做兩圓的公切線．
(1)外公切線：兩個圓在公切線的同旁時，這樣的公切線叫做外公切線．
(2)內(nèi)公切線：兩個圓在公切線的兩旁時，這樣的公切線叫做內(nèi)公切線．
(3)公切線的長：公切線上兩個切點的距離叫做公切線的長．
2、理解概念：
(1)公切線的長與切線的長有何區(qū)別與聯(lián)系?
(2)公切線的長與公切線又有何區(qū)別與聯(lián)系?
(1)公切線的長與切線的長的概念有類似的地方，即都是線段的長．但公切線的長是對兩個圓來說的，且這條線段是以兩切點為端點；切線長是對一個圓來說的，且這條線段的一個端點是切點，另一個端點是圓外一點．
(2)公切線是直線，而公切線的長是兩切點問線段的長，前者不能度量，后者可以度量．
（三）兩圓的位置與公切線條數(shù)的關(guān)系
組織學(xué)生觀察、概念、概括，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力．添寫教材p143練習(xí)第2題表．
（四）應(yīng)用、反思、總結(jié)
例1、已知：⊙o1、⊙o2的半徑分別為2cm和7cm，圓心距o1o2=13cm，ab是⊙o1、⊙o2的外公切線，切點分別是a、b．求：公切線的長ab．
分析：首先想到切線性質(zhì)，故連結(jié)o1a、o2b，得直角梯形ao1o2b．一般要把它分解成一個直角三角形和一個矩形，再用其性質(zhì)．（組織學(xué)生分析，教師點撥，規(guī)范步驟）
解：連結(jié)o1a、o2b，作o1a⊥ab，o2b⊥ab．
過 o1作o1c⊥o2b，垂足為c，則四邊形o1abc為矩形，
于是有
o1c⊥c o2，o1c=ab，o1a=cb．
在rt△o2co1和．
o1o2=13，o2c=o2b- o1a=5
ab=o1c= (cm)．
反思：（1）“轉(zhuǎn)化”思想，構(gòu)造三角形；（2）初步掌握添加輔助線的方法．
例2如圖，已知⊙o1、⊙o2外切于p，直線ab為兩圓的公切線，a、b為切點，若pa=8cm，pb=6cm，求切線ab的長．
分析：因為線段ab是△apb的一條邊，在△apb中，已知pa和pb的長，只需先證明△pab是直角三角形，然后再根據(jù)勾股定理，使問題得解．證△pab是直角三角形，只需證△apb中有一個角是90°(或證得有兩角的和是90°)，這就需要溝通角的關(guān)系，故過p作兩圓的公切線cd如圖，因為ab是兩圓的公切線，所以∠cpb=∠abp，∠cpa=∠bap．因為∠bap+∠cpa+∠cpb+∠abp=180°，所以2∠cpa+2∠cpb=180°，所以∠cpa+∠cpb=90°，即∠apb=90°，故△apb是直角三角形，此題得解．
解：過點p作兩圓的公切線cd
∵ ab是⊙o1和⊙o2的切線，a、b為切點
∴∠cpa=∠bap ∠cpb=∠abp
又∵∠bap+∠cpa+∠cpb+∠abp=180°
∴ 2∠cpa+2∠cpb=180°
∴∠cpa+∠cpb=90° 即∠apb=90°
在 rt△apb中，ab2=ap2+bp2
說明：兩圓相切時，常過切點作兩圓的公切線，溝通兩圓中的角的關(guān)系．
（五）鞏固練習(xí)
1、當(dāng)兩圓外離時，外公切線、圓心距、兩半徑之差一定組成( )
(a)直角三角形 (b)等腰三角形 (c)等邊三角形 (d)以上答案都不對．
此題考察外公切線與外公切線長之間的差別，答案(d)
2、外公切線是指
(a)和兩圓都祖切的直線 (b)兩切點間的距離
(c)兩圓在公切線兩旁時的公切線 (d)兩圓在公切線同旁時的公切線
直接運用外公切線的定義判斷．答案：(d)
3、教材p141練習(xí)（略）
（六）小結(jié)（組織學(xué)生進(jìn)行）
知識：兩圓的公切線、外公切線、內(nèi)公切線及公切線的長概念；
能力：歸納、概括能力和求外公切線長的能力；
思想：“轉(zhuǎn)化”思想．
（七）作業(yè)：p151習(xí)題10，11．
兩圓的公切線手工畫法 兩圓公切線的性質(zhì)篇三
教學(xué)目標(biāo)：
（1）掌握兩圓內(nèi)公切線長的求法以及公切線與連心線的夾角或公切線的交角；
（2）培養(yǎng)的遷移能力，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的歸納、總結(jié)能力；
（3）通過兩圓內(nèi)公切線長的求法進(jìn)一步向?qū)W生滲透“轉(zhuǎn)化”思想．
教學(xué)重點：
兩圓內(nèi)公切線的長及公切線與連心線的夾角或公切線的交角求法．
教學(xué)難點：
兩圓內(nèi)公切線和兩圓內(nèi)公切線長學(xué)生理解的不透，容易混淆．
教學(xué)活動設(shè)計
（一）復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識
（1）兩圓的公切線概念：公切線、內(nèi)外公切線、內(nèi)外公切線的長．
（2）兩圓的位置與公切線條數(shù)的關(guān)系．（構(gòu)成數(shù)形對應(yīng)，且一一對應(yīng)）
（二）應(yīng)用、反思
例1、（教材例2）已知：⊙o1和⊙o2的半徑分別為4厘米和2厘米，圓心距 為10厘米，ab是⊙o1和⊙o2的一條內(nèi)公切線，切點分別是a，b．
求：公切線的長ab。
組織學(xué)生分析，遷移外公切線長的求法，既培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，同時也培養(yǎng)學(xué)生的遷移能力．
解：連結(jié)o1a、o2b，作o1a⊥ab，o2b⊥ab．
過 o1作o1c⊥o2b，交o2b的延長線于c，
則o1c=ab，o1a=bc．
在rt△o2co1和．
o1o2=10，o2c=o2b+ o1a=6
∴o1c=(cm)．
∴ab=8（cm）
反思：與外離兩圓的內(nèi)公切線有關(guān)的計算問題，常構(gòu)造如此題的直角梯行及直角三角形，在rt△o2co1中，含有內(nèi)公切線長、圓心距、兩半徑和重要數(shù)量．注意用解直角三角形的知識和幾何知識綜合去解構(gòu)造后的直角三角形．
例2 （教材例3）要做一個圖那樣的礦型架，將兩個鋼管托起，已知鋼管的外徑分別為200毫米和80毫米，求v形角α的度數(shù)．
解：(略)
反思：實際問題經(jīng)過抽象、化簡轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識來解決，這是解決實際問題的重要方法．它屬于簡單的數(shù)學(xué)建模．
組織學(xué)生進(jìn)行，教師引導(dǎo)．
歸納：（1）用解直角三角形的有關(guān)知識可得：當(dāng)公切線長l、兩圓的兩半徑和r+r、圓心距d、兩圓公切線的夾角α四個量中已知兩個量時，就可以求出其他兩個量．
（2）上述問題可以通過相似三角形和解三角形的知識解決．
（三）鞏固訓(xùn)練
教材p142練習(xí)第1題，教材p145練習(xí)第1題．
學(xué)生獨立完成，教師巡視，發(fā)現(xiàn)問題及時糾正．
（四）小結(jié)
（1）求兩圓的內(nèi)公切線，“轉(zhuǎn)化”為解直角三角形問題．公切線長、圓心距、兩半徑和三個量中已知任何兩個量，都可以求第三個量；
（2）如果兩圓有兩條外(或內(nèi))公切線，并且它們相交，那么交點一定在兩圓的連心線上；
（3）求兩圓兩外(或內(nèi))公切線的夾角．
（五）作業(yè)
教材p153中12、13、14．
教學(xué)目標(biāo)：
（1）理解兩圓公切線在解決有關(guān)兩圓相切的問題中的作用, 輔助線規(guī)律，并會應(yīng)用；
（2）通過兩圓公切線在證明題中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的分析問題和解決問題的能力．
教學(xué)重點：
會在證明兩圓相切問題時，輔助線的引法規(guī)律，并能應(yīng)用于幾何題證明中．
教學(xué)難點：
綜合知識的靈活應(yīng)用和綜合能力培養(yǎng)．
教學(xué)活動設(shè)計
（一）復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識
（1）兩圓的公切線概念．
（2）切線的性質(zhì)，弦切角等有關(guān)概念．
（二）公切線在解題中的應(yīng)用
例1如圖，⊙o1和⊙o2外切于點a，bc是⊙o1和⊙o2的公切線，b，c為切點．若連結(jié)ab、ac會構(gòu)成一個怎樣的三角形呢？
觀察、度量實驗（組織學(xué)生進(jìn)行）
猜想：（學(xué)生猜想）∠bac=90°
證明：過點a作⊙o1和⊙o2的內(nèi)切線交bc于點o．
∵oa、ob是⊙o1的切線，
∴oa=ob．
同理oa=oc．
oa=ob=oc．
∴∠bac=90°．
反思：（1）公切線是解決問題的橋梁，綜合應(yīng)用知識是解決問題的關(guān)鍵；（2）作兩圓的公切線是常見的一種作輔助線的方法．
例2、己知：如圖，⊙o1和⊙o2內(nèi)切于p，大圓的弦ab交小圓于c，d．
求證：∠apc＝∠bpd．
分析：從條件來想，兩圓內(nèi)切，可能作出的輔助線是作連心線o1o2，或作外公切線．
證明：過p點作兩圓的公切線mn．
∵∠mpc=∠pdc，∠mpn=∠b，
∴∠mpc－∠mpn=∠pdc－∠b，
即∠apc＝∠bpd．
反思：（1）作了兩圓公切線mn后，弦切角就把兩個圓中的圓周角聯(lián)系起來了．要重視mn的“橋梁”作用．（2）此例證角相等的方法是利用已知角的關(guān)系計算．
拓展：（組織學(xué)生研究，培養(yǎng)學(xué)生深入研究問題的意識）
己知：如圖，⊙o1和⊙o2內(nèi)切于p，大圓⊙o1的弦ab與小圓⊙o2相切于c點．
是否有：∠apc＝∠bpc即pc平分∠apb．
答案：有∠apc＝∠bpc即pc平分∠apb．如圖作輔助線，證明方法步驟參看典型例題中例4．
（三）練習(xí)
練習(xí)1、教材145練習(xí)第2題．
練習(xí)2、如圖，已知兩圓內(nèi)切于p，大圓的弦ab切小圓于c，大圓的弦pd過c點．
求證：pa·pb=pd·pc．
證明：過點p作兩圓的公切線ef
∵ ab是小圓的切線，c為切點
∴∠fpc=∠bcp，∠fpb=∠a
又∵∠1=∠bcp-∠a ∠2=∠fpc-∠fpb
∴∠1=∠2 ∵∠a=∠d，∴△pac∽△pdb
∴pa·pb=pd·pc
說明：此題在例2題的拓展的基礎(chǔ)上解得非常容易．
（三）總結(jié)
了兩圓的公切線，應(yīng)該掌握以下幾個方面
1、由圓的軸對稱性，兩圓外(或內(nèi))公切線的交點(如果存在)在連心線上．
2、公切線長的計算，都轉(zhuǎn)化為解直角三角形，故解題思路主要是構(gòu)造直角三角形．
3、常用的輔助線：
（1）兩圓在各種情況下常考慮添連心線；
（2）兩圓外切時，常添內(nèi)公切線；兩圓內(nèi)切時，常添外公切線．
4、自己要有深入研究問題的意識，不斷反思，不斷歸納總結(jié)．
（四）作業(yè)教材p151習(xí)題中15，b組2．
探究活動
問題：如圖1，已知兩圓相交于a、b，直線cd與兩圓分別相交于c、e、f、d．
(1)用量角器量出∠eaf與∠cbd的大小，根據(jù)量得結(jié)果，請你猜想∠eaf與∠cbd的大小之間存在怎樣的關(guān)系，并證明你所得到的結(jié)論．
(2)當(dāng)直線cd的位置如圖2時，上題的結(jié)論是否還能成立?并說明理由．
(3)如果將已知中的“兩圓相交”改為“兩圓外切于點a”，其余條件不變（如圖3），那么第（1）題所得的結(jié)論將變?yōu)槭裁?？并作出證明．
提示：（1）（2）（3）都有∠eaf+∠cbd=180°．證明略（如圖作輔助線）．
說明：問題從操作測量得到的實驗數(shù)據(jù)入手，進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，歸傻貿(mào)霾孿耄進(jìn)而證明猜想成立．這也數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的一種方法．第(2)、(3)題是對第(1)題結(jié)論的推廣和特殊化．第(3)題中若cd移動到與兩圓相切于點c、d，那么結(jié)論又將變?yōu)椤蟘ad＝90°．