只有高效的學(xué)習(xí)方法，才可以很快的掌握知識(shí)的重難點(diǎn)。有效的讀書(shū)方式根據(jù)規(guī)律掌握方法，不要一來(lái)就死記硬背，先找規(guī)律，再記憶，然后再學(xué)習(xí)，就能很快的掌握知識(shí)。高二頻道為你整理了《高二數(shù)學(xué)下冊(cè)必修二知識(shí)點(diǎn)》希望對(duì)你有幫助！
1.高二數(shù)學(xué)下冊(cè)必修二知識(shí)點(diǎn)
變量之間的相關(guān)關(guān)系
兩個(gè)變量之間的關(guān)系可能是確定的關(guān)系(如：函數(shù)關(guān)系)，或非確定性關(guān)系。當(dāng)自變量取值一定時(shí)，因變量也確定，則為確定關(guān)系;當(dāng)自變量取值一定時(shí)，因變量帶有隨機(jī)性，這種變量之間的關(guān)系稱(chēng)為相關(guān)關(guān)系。相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，如長(zhǎng)方體的高與體積之間的關(guān)系就是確定的函數(shù)關(guān)系，而人的身高與體重的關(guān)系，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)好壞與物理成績(jī)的關(guān)系等都是相關(guān)關(guān)系。注意：兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系又可分為線(xiàn)性相關(guān)和非線(xiàn)性相關(guān)，如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線(xiàn)的附近，則變量之間具有相關(guān)關(guān)系(不確定性的關(guān)系)，如果所有樣本點(diǎn)都落在某一直線(xiàn)附近，那么變量之間具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，相關(guān)關(guān)系只說(shuō)明兩個(gè)變量在數(shù)量上的關(guān)系，不表明他們之間的因果關(guān)系，也可能是一種伴隨關(guān)系。
相同點(diǎn)：
兩者均是兩個(gè)變量之間的關(guān)系，不同點(diǎn)：函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，如勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)中時(shí)間t與路程s的關(guān)系，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系，如一塊農(nóng)田的小麥產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系，函數(shù)關(guān)系是兩個(gè)隨機(jī)變量之間的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量之間的關(guān)系;函數(shù)關(guān)系式一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系。
2.高二數(shù)學(xué)下冊(cè)必修二知識(shí)點(diǎn)
定義:
形如y=x^a(a為常數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量?jī)鐬橐蜃兞?，指?shù)為常量的函數(shù)稱(chēng)為冪函數(shù)。
定義域和值域:
當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過(guò)這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根[據(jù)q的奇偶性來(lái)確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。當(dāng)x為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的值域的不同情況如下：在x大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域
性質(zhì):
對(duì)于a的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來(lái)討論各自的特性：
首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數(shù)，則x^(p/q)=q次根號(hào)(x的p次方)，如果q是奇數(shù)，函數(shù)的定義域是R，如果q是偶數(shù)，函數(shù)的定義域是[0,+∞)。當(dāng)指數(shù)n是負(fù)整數(shù)時(shí)，設(shè)a=-k，則x=1/(x^k)，顯然x≠0，函數(shù)的定義域是(-∞，0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制來(lái)源于兩點(diǎn)，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數(shù)次的根號(hào)下而不能為負(fù)數(shù)，那么我們就可以知道：
排除了為0與負(fù)數(shù)兩種可能，即對(duì)于x>0，則a可以是任意實(shí)數(shù);
排除了為0這種可能，即對(duì)于x<0和x>0的所有實(shí)數(shù)，q不能是偶數(shù);
排除了為負(fù)數(shù)這種可能，即對(duì)于x為大于且等于0的所有實(shí)數(shù)，a就不能是負(fù)數(shù)。
總結(jié)起來(lái)，就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：
如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);
如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過(guò)這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來(lái)確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。
3.高二數(shù)學(xué)下冊(cè)必修二知識(shí)點(diǎn)
第一、遺忘空集是任何非空集合的真子集，因此對(duì)于集合B，就有B=A、φ≠B、B≠φ三種情況出現(xiàn)。在實(shí)際解題中，如果考生思維不夠縝密，就有可能忽視第三種情況，導(dǎo)致結(jié)果出錯(cuò)。尤其是在解含有參數(shù)的集合問(wèn)題時(shí)，要充分注意當(dāng)參數(shù)在某個(gè)范圍內(nèi)取值時(shí)所給的集合可能是空集這種情況?？占且粋€(gè)特殊集合，考生因思維定式遺忘集合導(dǎo)致結(jié)果出錯(cuò)或不全面是常見(jiàn)的錯(cuò)誤，一定要倍加當(dāng)心。
第二、忽視集合元素的三性集合元素具有確定性、無(wú)序性、互異性的特點(diǎn)，在三性中，數(shù)互異性對(duì)答題的影響，尤其是帶有字母參數(shù)的集合，實(shí)際上就隱含著對(duì)考生字母參數(shù)掌握程度的要求。在考場(chǎng)答題時(shí)，考生可先確定字母參數(shù)的范圍，再一一具體解決。
第三、四種命題結(jié)構(gòu)不明若原命題為“若A則B”，則逆命題是“若B則A”，否命題是“若┐A則┐B”，逆否命題是“若┐B則┐A”。這里將會(huì)出現(xiàn)兩組等價(jià)的命題：“原命題和它的逆否命題等價(jià)”，“否命題與逆命題等價(jià)”。考生在遇到“由某一個(gè)命題寫(xiě)出其他形式命題”的題型時(shí)，要首先明確四種命題的結(jié)構(gòu)以及它們之間的等價(jià)關(guān)系。
在否定一個(gè)命題時(shí)，要記住“全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題，特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題”的規(guī)律。如對(duì)“a，b都是偶數(shù)”的否定應(yīng)該是“a，b不都是偶數(shù)”，不是“a，b都是奇數(shù)”。
第四、充分必要條件顛倒兩個(gè)條件A與B，若A=>B成立，則A是B的充分條件，B是A的必要條件;若B=>A成立，則A是B的必要條件，B是A的充分條件;若A<=>B，則AB互為充分必要條件?？忌诮膺@類(lèi)題時(shí)最容易出錯(cuò)的點(diǎn)就是顛倒了充分性與必要性，一定要根據(jù)充要條件的概念作出準(zhǔn)確的判斷。
第五、邏輯聯(lián)結(jié)詞理解不準(zhǔn)確
在判斷含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題時(shí)，考生很容易因理解不準(zhǔn)確而出錯(cuò)。小編在這里給出一些常用的判斷方法，希望同學(xué)們牢牢記住并加以運(yùn)用。
p∨q真<=>p真或q真，p∨q假<=>p假且q假(概括為一真即真);
p∧q真<=>p真且q真，p∧q假<=>p假或q假(概括為一假即假);
┐p真<=>p假，┐p假<=>p真(概括為一真一假)。
4.高二數(shù)學(xué)下冊(cè)必修二知識(shí)點(diǎn)
導(dǎo)數(shù)是微積分中的重要基礎(chǔ)概念。當(dāng)函數(shù)y=f(x)的自變量x在一點(diǎn)x0上產(chǎn)生一個(gè)增量Δx時(shí)，函數(shù)輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨于0時(shí)的極限a如果存在，a即為在x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f'(x0)或df(x0)/dx。
導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的局部性質(zhì)。一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)描述了這個(gè)函數(shù)在這一點(diǎn)附近的變化率。如果函數(shù)的自變量和取值都是實(shí)數(shù)的話(huà)，函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是該函數(shù)所代表的曲線(xiàn)在這一點(diǎn)上的切線(xiàn)斜率。導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是通過(guò)極限的概念對(duì)函數(shù)進(jìn)行局部的線(xiàn)性逼近。例如在運(yùn)動(dòng)學(xué)中，物體的位移對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)就是物體的瞬時(shí)速度。
不是所有的函數(shù)都有導(dǎo)數(shù)，一個(gè)函數(shù)也不一定在所有的點(diǎn)上都有導(dǎo)數(shù)。若某函數(shù)在某一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)存在，則稱(chēng)其在這一點(diǎn)可導(dǎo)，否則稱(chēng)為不可導(dǎo)。然而，可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù);不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo)。
對(duì)于可導(dǎo)的函數(shù)f(x)，x↦f'(x)也是一個(gè)函數(shù)，稱(chēng)作f(x)的導(dǎo)函數(shù)。尋找已知的函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)或其導(dǎo)函數(shù)的過(guò)程稱(chēng)為求導(dǎo)。實(shí)質(zhì)上，求導(dǎo)就是一個(gè)求極限的過(guò)程，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則也來(lái)源于極限的四則運(yùn)算法則。反之，已知導(dǎo)函數(shù)也可以倒過(guò)來(lái)求原來(lái)的函數(shù)，即不定積分。微積分基本定理說(shuō)明了求原函數(shù)與積分是等價(jià)的。求導(dǎo)和積分是一對(duì)互逆的操作，它們都是微積分學(xué)中最為基礎(chǔ)的概念。
5.高二數(shù)學(xué)下冊(cè)必修二知識(shí)點(diǎn)
一、早期導(dǎo)數(shù)概念----特殊的形式大約在1629年法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬研究了作曲線(xiàn)的切線(xiàn)和求函數(shù)極值的方法1637年左右他寫(xiě)一篇手稿《求值與最小值的方法》。在作切線(xiàn)時(shí)他構(gòu)造了差分f(A+E)-f(A),發(fā)現(xiàn)的因子E就是我們所說(shuō)的導(dǎo)數(shù)f'(A)。
二、17世紀(jì)----廣泛使用的“流數(shù)術(shù)”17世紀(jì)生產(chǎn)力的發(fā)展推動(dòng)了自然科學(xué)和技術(shù)的發(fā)展在前人創(chuàng)造性研究的基礎(chǔ)上大數(shù)學(xué)家牛頓、萊布尼茨等從不同的角度開(kāi)始系統(tǒng)地研究微積分。牛頓的微積分理論被稱(chēng)為“流數(shù)術(shù)”他稱(chēng)變量為流量稱(chēng)變量的變化率為流數(shù)相當(dāng)于我們所說(shuō)的導(dǎo)數(shù)。牛頓的有關(guān)“流數(shù)術(shù)”的主要著作是《求曲邊形面積》、《運(yùn)用無(wú)窮多項(xiàng)方程的計(jì)算法》和《流數(shù)術(shù)和無(wú)窮級(jí)數(shù)》流數(shù)理論的實(shí)質(zhì)概括為他的重點(diǎn)在于一個(gè)變量的函數(shù)而不在于多變量的方程在于自變量的變化與函數(shù)的變化的比的構(gòu)成最在于決定這個(gè)比當(dāng)變化趨于零時(shí)的極限。
三、19世紀(jì)導(dǎo)數(shù)----逐漸成熟的理論1750年達(dá)朗貝爾在為法國(guó)科學(xué)家院出版的《百科全書(shū)》第五版寫(xiě)的“微分”條目中提出了關(guān)于導(dǎo)數(shù)的一種觀點(diǎn)可以用現(xiàn)代符號(hào)簡(jiǎn)單表示{dy/dx)=lim(oy/ox)。1823年柯西在他的《無(wú)窮小分析概論》中定義導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在變量x的兩個(gè)給定的界限之間保持連續(xù)并且我們?yōu)檫@樣的變量指定一個(gè)包含在這兩個(gè)不同界限之間的值那么是使變量得到一個(gè)無(wú)窮小增量。19世紀(jì)60年代以后魏爾斯特拉斯創(chuàng)造了ε-δ語(yǔ)言對(duì)微積分中出現(xiàn)的各種類(lèi)型的極限重加表達(dá)導(dǎo)數(shù)的定義也就獲得了今天常見(jiàn)的形式。
四、實(shí)無(wú)限將異軍突起微積分第二輪初等化或成為可能微積分學(xué)理論基礎(chǔ)大體可以分為兩個(gè)部分。一個(gè)是實(shí)無(wú)限理論即無(wú)限是一個(gè)具體的東西一種真實(shí)的存在另一種是潛無(wú)限指一種意識(shí)形態(tài)上的過(guò)程比如無(wú)限接近。就歷史來(lái)看兩種理論都有一定的道理。其中實(shí)無(wú)限用了150年后來(lái)極限論就是現(xiàn)在所使用的。光是電磁波還是粒子是一個(gè)物理學(xué)長(zhǎng)期爭(zhēng)論的問(wèn)題后來(lái)由波粒二象性來(lái)統(tǒng)一。微積分無(wú)論是用現(xiàn)代極限論還是150年前的理論都不是的手段。
1.高二數(shù)學(xué)下冊(cè)必修二知識(shí)點(diǎn)
變量之間的相關(guān)關(guān)系
兩個(gè)變量之間的關(guān)系可能是確定的關(guān)系(如：函數(shù)關(guān)系)，或非確定性關(guān)系。當(dāng)自變量取值一定時(shí)，因變量也確定，則為確定關(guān)系;當(dāng)自變量取值一定時(shí)，因變量帶有隨機(jī)性，這種變量之間的關(guān)系稱(chēng)為相關(guān)關(guān)系。相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，如長(zhǎng)方體的高與體積之間的關(guān)系就是確定的函數(shù)關(guān)系，而人的身高與體重的關(guān)系，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)好壞與物理成績(jī)的關(guān)系等都是相關(guān)關(guān)系。注意：兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系又可分為線(xiàn)性相關(guān)和非線(xiàn)性相關(guān)，如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線(xiàn)的附近，則變量之間具有相關(guān)關(guān)系(不確定性的關(guān)系)，如果所有樣本點(diǎn)都落在某一直線(xiàn)附近，那么變量之間具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，相關(guān)關(guān)系只說(shuō)明兩個(gè)變量在數(shù)量上的關(guān)系，不表明他們之間的因果關(guān)系，也可能是一種伴隨關(guān)系。
相同點(diǎn)：
兩者均是兩個(gè)變量之間的關(guān)系，不同點(diǎn)：函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，如勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)中時(shí)間t與路程s的關(guān)系，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系，如一塊農(nóng)田的小麥產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系，函數(shù)關(guān)系是兩個(gè)隨機(jī)變量之間的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量之間的關(guān)系;函數(shù)關(guān)系式一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系。
2.高二數(shù)學(xué)下冊(cè)必修二知識(shí)點(diǎn)
定義:
形如y=x^a(a為常數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量?jī)鐬橐蜃兞?，指?shù)為常量的函數(shù)稱(chēng)為冪函數(shù)。
定義域和值域:
當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過(guò)這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根[據(jù)q的奇偶性來(lái)確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。當(dāng)x為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的值域的不同情況如下：在x大于0時(shí)，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)。在x小于0時(shí)，則只有同時(shí)q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)。而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域
性質(zhì):
對(duì)于a的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來(lái)討論各自的特性：
首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數(shù)，則x^(p/q)=q次根號(hào)(x的p次方)，如果q是奇數(shù)，函數(shù)的定義域是R，如果q是偶數(shù)，函數(shù)的定義域是[0,+∞)。當(dāng)指數(shù)n是負(fù)整數(shù)時(shí)，設(shè)a=-k，則x=1/(x^k)，顯然x≠0，函數(shù)的定義域是(-∞，0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制來(lái)源于兩點(diǎn)，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數(shù)次的根號(hào)下而不能為負(fù)數(shù)，那么我們就可以知道：
排除了為0與負(fù)數(shù)兩種可能，即對(duì)于x>0，則a可以是任意實(shí)數(shù);
排除了為0這種可能，即對(duì)于x<0和x>0的所有實(shí)數(shù)，q不能是偶數(shù);
排除了為負(fù)數(shù)這種可能，即對(duì)于x為大于且等于0的所有實(shí)數(shù)，a就不能是負(fù)數(shù)。
總結(jié)起來(lái)，就可以得到當(dāng)a為不同的數(shù)值時(shí)，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：
如果a為任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);
如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過(guò)這時(shí)函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來(lái)確定，即如果同時(shí)q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù);如果同時(shí)q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)。
3.高二數(shù)學(xué)下冊(cè)必修二知識(shí)點(diǎn)
第一、遺忘空集是任何非空集合的真子集，因此對(duì)于集合B，就有B=A、φ≠B、B≠φ三種情況出現(xiàn)。在實(shí)際解題中，如果考生思維不夠縝密，就有可能忽視第三種情況，導(dǎo)致結(jié)果出錯(cuò)。尤其是在解含有參數(shù)的集合問(wèn)題時(shí)，要充分注意當(dāng)參數(shù)在某個(gè)范圍內(nèi)取值時(shí)所給的集合可能是空集這種情況?？占且粋€(gè)特殊集合，考生因思維定式遺忘集合導(dǎo)致結(jié)果出錯(cuò)或不全面是常見(jiàn)的錯(cuò)誤，一定要倍加當(dāng)心。
第二、忽視集合元素的三性集合元素具有確定性、無(wú)序性、互異性的特點(diǎn)，在三性中，數(shù)互異性對(duì)答題的影響，尤其是帶有字母參數(shù)的集合，實(shí)際上就隱含著對(duì)考生字母參數(shù)掌握程度的要求。在考場(chǎng)答題時(shí)，考生可先確定字母參數(shù)的范圍，再一一具體解決。
第三、四種命題結(jié)構(gòu)不明若原命題為“若A則B”，則逆命題是“若B則A”，否命題是“若┐A則┐B”，逆否命題是“若┐B則┐A”。這里將會(huì)出現(xiàn)兩組等價(jià)的命題：“原命題和它的逆否命題等價(jià)”，“否命題與逆命題等價(jià)”。考生在遇到“由某一個(gè)命題寫(xiě)出其他形式命題”的題型時(shí)，要首先明確四種命題的結(jié)構(gòu)以及它們之間的等價(jià)關(guān)系。
在否定一個(gè)命題時(shí)，要記住“全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題，特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題”的規(guī)律。如對(duì)“a，b都是偶數(shù)”的否定應(yīng)該是“a，b不都是偶數(shù)”，不是“a，b都是奇數(shù)”。
第四、充分必要條件顛倒兩個(gè)條件A與B，若A=>B成立，則A是B的充分條件，B是A的必要條件;若B=>A成立，則A是B的必要條件，B是A的充分條件;若A<=>B，則AB互為充分必要條件?？忌诮膺@類(lèi)題時(shí)最容易出錯(cuò)的點(diǎn)就是顛倒了充分性與必要性，一定要根據(jù)充要條件的概念作出準(zhǔn)確的判斷。
第五、邏輯聯(lián)結(jié)詞理解不準(zhǔn)確
在判斷含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題時(shí)，考生很容易因理解不準(zhǔn)確而出錯(cuò)。小編在這里給出一些常用的判斷方法，希望同學(xué)們牢牢記住并加以運(yùn)用。
p∨q真<=>p真或q真，p∨q假<=>p假且q假(概括為一真即真);
p∧q真<=>p真且q真，p∧q假<=>p假或q假(概括為一假即假);
┐p真<=>p假，┐p假<=>p真(概括為一真一假)。
4.高二數(shù)學(xué)下冊(cè)必修二知識(shí)點(diǎn)
導(dǎo)數(shù)是微積分中的重要基礎(chǔ)概念。當(dāng)函數(shù)y=f(x)的自變量x在一點(diǎn)x0上產(chǎn)生一個(gè)增量Δx時(shí)，函數(shù)輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨于0時(shí)的極限a如果存在，a即為在x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f'(x0)或df(x0)/dx。
導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的局部性質(zhì)。一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)描述了這個(gè)函數(shù)在這一點(diǎn)附近的變化率。如果函數(shù)的自變量和取值都是實(shí)數(shù)的話(huà)，函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是該函數(shù)所代表的曲線(xiàn)在這一點(diǎn)上的切線(xiàn)斜率。導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是通過(guò)極限的概念對(duì)函數(shù)進(jìn)行局部的線(xiàn)性逼近。例如在運(yùn)動(dòng)學(xué)中，物體的位移對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)就是物體的瞬時(shí)速度。
不是所有的函數(shù)都有導(dǎo)數(shù)，一個(gè)函數(shù)也不一定在所有的點(diǎn)上都有導(dǎo)數(shù)。若某函數(shù)在某一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)存在，則稱(chēng)其在這一點(diǎn)可導(dǎo)，否則稱(chēng)為不可導(dǎo)。然而，可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù);不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo)。
對(duì)于可導(dǎo)的函數(shù)f(x)，x↦f'(x)也是一個(gè)函數(shù)，稱(chēng)作f(x)的導(dǎo)函數(shù)。尋找已知的函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)或其導(dǎo)函數(shù)的過(guò)程稱(chēng)為求導(dǎo)。實(shí)質(zhì)上，求導(dǎo)就是一個(gè)求極限的過(guò)程，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則也來(lái)源于極限的四則運(yùn)算法則。反之，已知導(dǎo)函數(shù)也可以倒過(guò)來(lái)求原來(lái)的函數(shù)，即不定積分。微積分基本定理說(shuō)明了求原函數(shù)與積分是等價(jià)的。求導(dǎo)和積分是一對(duì)互逆的操作，它們都是微積分學(xué)中最為基礎(chǔ)的概念。
5.高二數(shù)學(xué)下冊(cè)必修二知識(shí)點(diǎn)
一、早期導(dǎo)數(shù)概念----特殊的形式大約在1629年法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬研究了作曲線(xiàn)的切線(xiàn)和求函數(shù)極值的方法1637年左右他寫(xiě)一篇手稿《求值與最小值的方法》。在作切線(xiàn)時(shí)他構(gòu)造了差分f(A+E)-f(A),發(fā)現(xiàn)的因子E就是我們所說(shuō)的導(dǎo)數(shù)f'(A)。
二、17世紀(jì)----廣泛使用的“流數(shù)術(shù)”17世紀(jì)生產(chǎn)力的發(fā)展推動(dòng)了自然科學(xué)和技術(shù)的發(fā)展在前人創(chuàng)造性研究的基礎(chǔ)上大數(shù)學(xué)家牛頓、萊布尼茨等從不同的角度開(kāi)始系統(tǒng)地研究微積分。牛頓的微積分理論被稱(chēng)為“流數(shù)術(shù)”他稱(chēng)變量為流量稱(chēng)變量的變化率為流數(shù)相當(dāng)于我們所說(shuō)的導(dǎo)數(shù)。牛頓的有關(guān)“流數(shù)術(shù)”的主要著作是《求曲邊形面積》、《運(yùn)用無(wú)窮多項(xiàng)方程的計(jì)算法》和《流數(shù)術(shù)和無(wú)窮級(jí)數(shù)》流數(shù)理論的實(shí)質(zhì)概括為他的重點(diǎn)在于一個(gè)變量的函數(shù)而不在于多變量的方程在于自變量的變化與函數(shù)的變化的比的構(gòu)成最在于決定這個(gè)比當(dāng)變化趨于零時(shí)的極限。
三、19世紀(jì)導(dǎo)數(shù)----逐漸成熟的理論1750年達(dá)朗貝爾在為法國(guó)科學(xué)家院出版的《百科全書(shū)》第五版寫(xiě)的“微分”條目中提出了關(guān)于導(dǎo)數(shù)的一種觀點(diǎn)可以用現(xiàn)代符號(hào)簡(jiǎn)單表示{dy/dx)=lim(oy/ox)。1823年柯西在他的《無(wú)窮小分析概論》中定義導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在變量x的兩個(gè)給定的界限之間保持連續(xù)并且我們?yōu)檫@樣的變量指定一個(gè)包含在這兩個(gè)不同界限之間的值那么是使變量得到一個(gè)無(wú)窮小增量。19世紀(jì)60年代以后魏爾斯特拉斯創(chuàng)造了ε-δ語(yǔ)言對(duì)微積分中出現(xiàn)的各種類(lèi)型的極限重加表達(dá)導(dǎo)數(shù)的定義也就獲得了今天常見(jiàn)的形式。
四、實(shí)無(wú)限將異軍突起微積分第二輪初等化或成為可能微積分學(xué)理論基礎(chǔ)大體可以分為兩個(gè)部分。一個(gè)是實(shí)無(wú)限理論即無(wú)限是一個(gè)具體的東西一種真實(shí)的存在另一種是潛無(wú)限指一種意識(shí)形態(tài)上的過(guò)程比如無(wú)限接近。就歷史來(lái)看兩種理論都有一定的道理。其中實(shí)無(wú)限用了150年后來(lái)極限論就是現(xiàn)在所使用的。光是電磁波還是粒子是一個(gè)物理學(xué)長(zhǎng)期爭(zhēng)論的問(wèn)題后來(lái)由波粒二象性來(lái)統(tǒng)一。微積分無(wú)論是用現(xiàn)代極限論還是150年前的理論都不是的手段。