奧數(shù)學(xué)習(xí)有利于訓(xùn)練孩子的思維能力，讓孩子在解題的過程中能夠從不同的角度進(jìn)行思考。準(zhǔn)備了以下內(nèi)容，供大家參考。
解題方法
用字母表示數(shù)
方方、圓圓、丁丁、寧寧四個小朋友共有45本書，但是不知道每人各有幾本書。如果變動一下：方方的減少2本，圓圓的增加2本，丁丁的增加一倍，寧寧的減少一半，那么四個小朋友的書就一樣多。問：每個小朋友原來各有幾本書?
解：設(shè)一樣多是x本。
X+2+X-2+X ÷ 2+2X=45
X=10
方方：10+2=12 丁?。?0 ÷ 2=5
圓圓：10-2=8 寧寧：2X=20
整體看問題
從整體上觀察思考，全面地審題。
例一 有甲、乙、丙三種貨物。如果買甲3件，乙7件，丙1件，共花去 3.15元;如果買甲4件，乙10件，丙1件，共花去 4.20元?，F(xiàn)在買甲、乙、丙各1件，需要花多少錢?
買甲3件，乙7件，丙1件，花3.15元 ①
買甲4件，乙10件，丙1件，花4.20元 ②
要想求出買甲1件，乙1件，丙1件，共需花多少錢，必須使上述①與②中對應(yīng)的“件數(shù)”相差1。
為此，可轉(zhuǎn)化已知條件：
將條件①中的每個量都擴大3倍，得：
買甲9件，乙21件，丙3件，花9.45元 ③
將條件②中的每個量都擴大2倍，得：
買甲8件，乙20件，丙2件，花8.40元 ④
所以，買甲、乙、丙各一件，共需要花的錢數(shù)為
9.45-8.40=1.05(元)
例二 一條馬路長2000米，老張在馬路的一端，老李在馬路的另一端。他們分別從這條馬路的兩端同時出發(fā)，相對而行。老張每分鐘走60米，老李每分鐘走40米。老張帶著一條狗，狗每分鐘跑120米。這條狗與老張一同出發(fā)，碰到老李時就向老張跑，碰到老張又向老李跑，……直到老張與老李相遇。問這條狗從出發(fā)到老張與老李相遇時共跑了多少米?
提示：不需要把狗每趟所跑的路分別算出來，只要用它的速度乘一共所跑的時間就可以了。
找隱蔽條件
應(yīng)用題中的隱蔽條件，往往是分析問題的突破口或者是最關(guān)鍵的一步。所以，審題時如果感到缺少條件，你不妨提醒自己：有沒有什么隱蔽條件?
一個家庭由丈夫、妻子、女兒和兒子組成，他們的年齡和是73歲。丈夫比妻子大3歲，女兒比兒子大2歲。4年前這個家庭成員的年齡和是58歲。請問：這個家庭成員現(xiàn)在的年齡各是多少歲?
隱蔽條件，可以推知：兒子今年才3歲。
由“女兒比兒子大2歲”可以算出女兒今年是：3+2=5(歲)
從而可知，丈夫與妻子現(xiàn)在的年齡和是：
73-(5+3)=65(歲)
由他們的年齡差是3歲，容易算出丈夫今年是：
(65+3)÷2=34(歲)
妻子今年是：65-34=31(歲)
一個等腰三角形的周長是24厘米，其中有一條邊長是6厘米，求另外兩條邊的長。
等腰三角形的腰不能是6厘米，所以只能底是6厘米 另兩條邊： ( 24- 6)÷2=9(厘米)
借來還去
我國民間流傳著這樣一個故事，一位老人臨終時決定把家里的17頭牛全部分給三個兒子。其中大兒子分得二分之一，二兒子分得三分之一，小兒子分得九分之一，但不能把牛殺掉或賣掉。三個兒子按照老人的要求怎么也不好分。后來一位鄰居用“借來還去”法順利地把17頭牛分完了。
某汽水廠規(guī)定：用3個空汽水瓶可換一瓶汽水，某人買了10瓶汽水，問他總共可喝到幾瓶汽水?
如果3個空瓶可換1瓶汽水，那么有2個空瓶就可喝到1瓶汽水。這是因為：
有了2個空瓶，再到別人那里“借來”1個空瓶，就可換來1瓶汽水，喝完把空瓶給別人“還去”，這時不欠不余。
10瓶汽水喝完后得10個空瓶， 10個空瓶又可換來5瓶汽水，總共可喝到“ 10+5=15”瓶汽水。
分情況討論
對于那些缺少條件，看上去無法回答的問題，經(jīng)過全面深入的思考，分幾種情況來討論，是可以
找到問題的完整(全部)答案的。
例一甲地到乙地的公路長400千米，兩輛汽車從兩地同時出發(fā)對開，甲車每小時行38千米，乙車每小時行42千米。出發(fā)幾小時后兩車相距80千米?
例二在連續(xù)的49年中，最多可以有多少個閏年?最少應(yīng)該有多少個閏年?
49年中有幾個4年，一般就有幾個閏年
在通常情況下，連續(xù)49年中有12個閏年。
49年必須是連續(xù)的。但它沒有規(guī)定這49年的起止時間。
但，當(dāng)?shù)谝荒晔情c年時，最后一年也正好是閏年
例三把一根竹竿垂直插入水中，在竹竿上刻上一個記號表示水深;再把這根竹竿掉過頭來插入水中，也刻上一個記號表示水深。已知兩個記號相距10厘米，是水深的十分之一。求竹竿的長。
一種：水深：10×10=100(厘米)
竿長：100+100+10=210(厘米)
另一種：水深：10×10=100(厘米)
竿長：100+100-10=190(厘米)
例四一根鐵絲可以彎成長、寬分別是4厘米、3厘米的長方形。如果用這根鐵絲彎成兩個相同的正方形，每個正方形面積是多少?
(4+3)×2=14(厘米)
14÷8=1.75(厘米)1.75×1.75=3.0625(平方厘米)
(4+3)×2=14(厘米)
14÷7=2(厘米)2×2=4(平方厘米)
抓不變量
數(shù)學(xué)題中，常常會出現(xiàn)數(shù)量的增減變化，但這些量變化時，與它們相關(guān)的另外一些量卻沒有改變。這種“不變量”往往在分析數(shù)量關(guān)系時起到重要作用。
例一 今年小明8歲，小強14歲。幾年后小明和小強歲數(shù)的和是40歲?
從年齡上不變來找解題的“突破口”
小明和小強的年齡差是：14-8=6(歲)
小明那一年是：(40-6)÷2=17(歲)
是在幾年之后呢?17-8=9(年)
例二 王進(jìn)和張明計算甲、乙兩個自然數(shù)的積(這兩個自然數(shù)都比1大)。王進(jìn)把甲數(shù)的個位數(shù)字看錯了，計算結(jié)果為91，張明卻把甲數(shù)的十位數(shù)字看錯了，計算的結(jié)果為175。兩個數(shù)的積究竟是多少?
91=7×13 =1×91 ，所以175和91的公約數(shù)是1或7，因為乙數(shù)比1大，所以乙數(shù)一定是7。
抓?。阂粋€因數(shù)(乙數(shù))沒有變 ，乙是91和175的公約數(shù)
91÷7=13……王進(jìn)看錯了的甲數(shù)
175÷7=25……張明看錯了的甲數(shù)。
15×7=105
練習(xí)題
行程問題練習(xí)題
一
甲乙兩地相距6千米.陳宇從甲地步行去乙地，前一半時間每分鐘走80米，后一半的時間每分鐘走70米.這樣他在前一半的時間比后一半的時間多走()米.
考點：簡單的行程問題.
分析：解：設(shè)陳宇從甲地步行去乙地所用時間為2X分鐘，根據(jù)題意，前一半時間和后一半的時間共走(0.07+0.08)X千米，已知甲乙兩地相距6千米，由此列出方程(0.07+0.08)X=6，解方程求出一半的時間，因此前一半比后一半時間多走：(80-70)×40米，解決問題.
解答：解：設(shè)陳宇從甲地步行去乙地所用時間為X分鐘，根據(jù)題意得：
(0.07+0.08)X=6，
0.15X=6，
X=40;
前一半比后一半時間多走：
(80-70)×40，
=10×40，
=400(米).
答：前一半比后一半的時間多走400米.
故答案為：400.
點評：根據(jù)題目特點，巧妙靈活地設(shè)出未知數(shù)，是解題的關(guān)鍵.
二
1.甲乙兩地相距6千米.陳宇從甲地步行去乙地，前一半時間每分鐘走80米，后一半的時間每分鐘走70米.這樣他在前一半的時間比后一半的時間多走()米.
分析：解：設(shè)陳宇從甲地步行去乙地所用時間為2X分鐘，根據(jù)題意，前一半時間和后一半的時間共走(0.07+0.08)X千米，已知甲乙兩地相距6千米，由此列出方程(0.07+0.08)X=6，解方程求出一半的時間，因此前一半比后一半時間多走：(80-70)×40米，解決問題.
解答：解：設(shè)陳宇從甲地步行去乙地所用時間為X分鐘，根據(jù)題意得：
(0.07+0.08)X=6，
0.15X=6，
X=40;
前一半比后一半時間多走：
(80-70)×40，
=10×40，
=400(米).
答：前一半比后一半的時間多走400米.
故答案為：400.
點評：根據(jù)題目特點，巧妙靈活地設(shè)出未知數(shù)，是解題的關(guān)鍵.
三
例1：甲、乙二人沿運動場的跑道跑步，甲每分鐘跑290米，乙每分鐘跑270米，跑道一圈長400米.如果兩人同時從起跑線上同方向跑，那么甲經(jīng)過多長時間才能第一次追上乙?
分析：這是一道封閉線路上的追及問題.甲和乙同時同地起跑，方向一致.因此，當(dāng)甲第一次追上乙時，比乙多跑了一圈，也就是甲與乙的路程差是400米.根據(jù)“路程差÷速度差=追及時間”即可求出甲追上乙所需的時間.
解答：解：400÷(290-270)
=400÷20，
=20(分鐘);
答：甲經(jīng)過20分鐘才能第一次追上乙.
點評：此類題根據(jù)“追及(拉開)路程÷(速度差)=追及(拉開)時間”，代入數(shù)值計算即可.
應(yīng)用題練習(xí)題
商品進(jìn)價
習(xí)題：商店進(jìn)了一批商品，按40%加價出售.在售出八成后，為了盡快銷完，決定五折處理剩余商品，而且商品全部出售后，突然被征收了150元的附加稅，這使得商店的實際利潤率只是預(yù)期利潤率的一半，那么這批商品的進(jìn)價是多少元?(注：附加稅算作成本)
答案與解析：
理解利潤率的含義，是利潤在成本上的百分比。
設(shè)進(jìn)價x元，則預(yù)期利潤率是40%
所以收入為(1+40%)x×0.8+0.5×(1+40%)x×0.2=1.26x
實際利潤率為40%×0.5=20%
1.26x=(1+20%)(x+150)
得x=3000
所以這批商品的進(jìn)價是3000元
兩個班
習(xí)題：甲乙兩班共90人，甲班比乙班人數(shù)的2倍少30人，求兩班各有多少人?
答案與解析：
第一種方法：設(shè)乙班有Χ人，則甲班有(90-Χ)人。
找等量關(guān)系：甲班人數(shù)=乙班人數(shù)×2-30人。
列方程：90-Χ=2Χ-30
解方程得Χ=40從而知90-Χ=50
第二種方法：設(shè)乙班有Χ人，則甲班有(2Χ-30)人。
列方程(2Χ-30)+Χ=90
解方程得Χ=40從而得知2Χ-30=50
答：甲班有50人，乙班有40人。
解題方法
用字母表示數(shù)
方方、圓圓、丁丁、寧寧四個小朋友共有45本書，但是不知道每人各有幾本書。如果變動一下：方方的減少2本，圓圓的增加2本，丁丁的增加一倍，寧寧的減少一半，那么四個小朋友的書就一樣多。問：每個小朋友原來各有幾本書?
解：設(shè)一樣多是x本。
X+2+X-2+X ÷ 2+2X=45
X=10
方方：10+2=12 丁?。?0 ÷ 2=5
圓圓：10-2=8 寧寧：2X=20
整體看問題
從整體上觀察思考，全面地審題。
例一 有甲、乙、丙三種貨物。如果買甲3件，乙7件，丙1件，共花去 3.15元;如果買甲4件，乙10件，丙1件，共花去 4.20元?，F(xiàn)在買甲、乙、丙各1件，需要花多少錢?
買甲3件，乙7件，丙1件，花3.15元 ①
買甲4件，乙10件，丙1件，花4.20元 ②
要想求出買甲1件，乙1件，丙1件，共需花多少錢，必須使上述①與②中對應(yīng)的“件數(shù)”相差1。
為此，可轉(zhuǎn)化已知條件：
將條件①中的每個量都擴大3倍，得：
買甲9件，乙21件，丙3件，花9.45元 ③
將條件②中的每個量都擴大2倍，得：
買甲8件，乙20件，丙2件，花8.40元 ④
所以，買甲、乙、丙各一件，共需要花的錢數(shù)為
9.45-8.40=1.05(元)
例二 一條馬路長2000米，老張在馬路的一端，老李在馬路的另一端。他們分別從這條馬路的兩端同時出發(fā)，相對而行。老張每分鐘走60米，老李每分鐘走40米。老張帶著一條狗，狗每分鐘跑120米。這條狗與老張一同出發(fā)，碰到老李時就向老張跑，碰到老張又向老李跑，……直到老張與老李相遇。問這條狗從出發(fā)到老張與老李相遇時共跑了多少米?
提示：不需要把狗每趟所跑的路分別算出來，只要用它的速度乘一共所跑的時間就可以了。
找隱蔽條件
應(yīng)用題中的隱蔽條件，往往是分析問題的突破口或者是最關(guān)鍵的一步。所以，審題時如果感到缺少條件，你不妨提醒自己：有沒有什么隱蔽條件?
一個家庭由丈夫、妻子、女兒和兒子組成，他們的年齡和是73歲。丈夫比妻子大3歲，女兒比兒子大2歲。4年前這個家庭成員的年齡和是58歲。請問：這個家庭成員現(xiàn)在的年齡各是多少歲?
隱蔽條件，可以推知：兒子今年才3歲。
由“女兒比兒子大2歲”可以算出女兒今年是：3+2=5(歲)
從而可知，丈夫與妻子現(xiàn)在的年齡和是：
73-(5+3)=65(歲)
由他們的年齡差是3歲，容易算出丈夫今年是：
(65+3)÷2=34(歲)
妻子今年是：65-34=31(歲)
一個等腰三角形的周長是24厘米，其中有一條邊長是6厘米，求另外兩條邊的長。
等腰三角形的腰不能是6厘米，所以只能底是6厘米 另兩條邊： ( 24- 6)÷2=9(厘米)
借來還去
我國民間流傳著這樣一個故事，一位老人臨終時決定把家里的17頭牛全部分給三個兒子。其中大兒子分得二分之一，二兒子分得三分之一，小兒子分得九分之一，但不能把牛殺掉或賣掉。三個兒子按照老人的要求怎么也不好分。后來一位鄰居用“借來還去”法順利地把17頭牛分完了。
某汽水廠規(guī)定：用3個空汽水瓶可換一瓶汽水，某人買了10瓶汽水，問他總共可喝到幾瓶汽水?
如果3個空瓶可換1瓶汽水，那么有2個空瓶就可喝到1瓶汽水。這是因為：
有了2個空瓶，再到別人那里“借來”1個空瓶，就可換來1瓶汽水，喝完把空瓶給別人“還去”，這時不欠不余。
10瓶汽水喝完后得10個空瓶， 10個空瓶又可換來5瓶汽水，總共可喝到“ 10+5=15”瓶汽水。
分情況討論
對于那些缺少條件，看上去無法回答的問題，經(jīng)過全面深入的思考，分幾種情況來討論，是可以
找到問題的完整(全部)答案的。
例一甲地到乙地的公路長400千米，兩輛汽車從兩地同時出發(fā)對開，甲車每小時行38千米，乙車每小時行42千米。出發(fā)幾小時后兩車相距80千米?
例二在連續(xù)的49年中，最多可以有多少個閏年?最少應(yīng)該有多少個閏年?
49年中有幾個4年，一般就有幾個閏年
在通常情況下，連續(xù)49年中有12個閏年。
49年必須是連續(xù)的。但它沒有規(guī)定這49年的起止時間。
但，當(dāng)?shù)谝荒晔情c年時，最后一年也正好是閏年
例三把一根竹竿垂直插入水中，在竹竿上刻上一個記號表示水深;再把這根竹竿掉過頭來插入水中，也刻上一個記號表示水深。已知兩個記號相距10厘米，是水深的十分之一。求竹竿的長。
一種：水深：10×10=100(厘米)
竿長：100+100+10=210(厘米)
另一種：水深：10×10=100(厘米)
竿長：100+100-10=190(厘米)
例四一根鐵絲可以彎成長、寬分別是4厘米、3厘米的長方形。如果用這根鐵絲彎成兩個相同的正方形，每個正方形面積是多少?
(4+3)×2=14(厘米)
14÷8=1.75(厘米)1.75×1.75=3.0625(平方厘米)
(4+3)×2=14(厘米)
14÷7=2(厘米)2×2=4(平方厘米)
抓不變量
數(shù)學(xué)題中，常常會出現(xiàn)數(shù)量的增減變化，但這些量變化時，與它們相關(guān)的另外一些量卻沒有改變。這種“不變量”往往在分析數(shù)量關(guān)系時起到重要作用。
例一 今年小明8歲，小強14歲。幾年后小明和小強歲數(shù)的和是40歲?
從年齡上不變來找解題的“突破口”
小明和小強的年齡差是：14-8=6(歲)
小明那一年是：(40-6)÷2=17(歲)
是在幾年之后呢?17-8=9(年)
例二 王進(jìn)和張明計算甲、乙兩個自然數(shù)的積(這兩個自然數(shù)都比1大)。王進(jìn)把甲數(shù)的個位數(shù)字看錯了，計算結(jié)果為91，張明卻把甲數(shù)的十位數(shù)字看錯了，計算的結(jié)果為175。兩個數(shù)的積究竟是多少?
91=7×13 =1×91 ，所以175和91的公約數(shù)是1或7，因為乙數(shù)比1大，所以乙數(shù)一定是7。
抓?。阂粋€因數(shù)(乙數(shù))沒有變 ，乙是91和175的公約數(shù)
91÷7=13……王進(jìn)看錯了的甲數(shù)
175÷7=25……張明看錯了的甲數(shù)。
15×7=105
練習(xí)題
行程問題練習(xí)題
一
甲乙兩地相距6千米.陳宇從甲地步行去乙地，前一半時間每分鐘走80米，后一半的時間每分鐘走70米.這樣他在前一半的時間比后一半的時間多走()米.
考點：簡單的行程問題.
分析：解：設(shè)陳宇從甲地步行去乙地所用時間為2X分鐘，根據(jù)題意，前一半時間和后一半的時間共走(0.07+0.08)X千米，已知甲乙兩地相距6千米，由此列出方程(0.07+0.08)X=6，解方程求出一半的時間，因此前一半比后一半時間多走：(80-70)×40米，解決問題.
解答：解：設(shè)陳宇從甲地步行去乙地所用時間為X分鐘，根據(jù)題意得：
(0.07+0.08)X=6，
0.15X=6，
X=40;
前一半比后一半時間多走：
(80-70)×40，
=10×40，
=400(米).
答：前一半比后一半的時間多走400米.
故答案為：400.
點評：根據(jù)題目特點，巧妙靈活地設(shè)出未知數(shù)，是解題的關(guān)鍵.
二
1.甲乙兩地相距6千米.陳宇從甲地步行去乙地，前一半時間每分鐘走80米，后一半的時間每分鐘走70米.這樣他在前一半的時間比后一半的時間多走()米.
分析：解：設(shè)陳宇從甲地步行去乙地所用時間為2X分鐘，根據(jù)題意，前一半時間和后一半的時間共走(0.07+0.08)X千米，已知甲乙兩地相距6千米，由此列出方程(0.07+0.08)X=6，解方程求出一半的時間，因此前一半比后一半時間多走：(80-70)×40米，解決問題.
解答：解：設(shè)陳宇從甲地步行去乙地所用時間為X分鐘，根據(jù)題意得：
(0.07+0.08)X=6，
0.15X=6，
X=40;
前一半比后一半時間多走：
(80-70)×40，
=10×40，
=400(米).
答：前一半比后一半的時間多走400米.
故答案為：400.
點評：根據(jù)題目特點，巧妙靈活地設(shè)出未知數(shù)，是解題的關(guān)鍵.
三
例1：甲、乙二人沿運動場的跑道跑步，甲每分鐘跑290米，乙每分鐘跑270米，跑道一圈長400米.如果兩人同時從起跑線上同方向跑，那么甲經(jīng)過多長時間才能第一次追上乙?
分析：這是一道封閉線路上的追及問題.甲和乙同時同地起跑，方向一致.因此，當(dāng)甲第一次追上乙時，比乙多跑了一圈，也就是甲與乙的路程差是400米.根據(jù)“路程差÷速度差=追及時間”即可求出甲追上乙所需的時間.
解答：解：400÷(290-270)
=400÷20，
=20(分鐘);
答：甲經(jīng)過20分鐘才能第一次追上乙.
點評：此類題根據(jù)“追及(拉開)路程÷(速度差)=追及(拉開)時間”，代入數(shù)值計算即可.
應(yīng)用題練習(xí)題
商品進(jìn)價
習(xí)題：商店進(jìn)了一批商品，按40%加價出售.在售出八成后，為了盡快銷完，決定五折處理剩余商品，而且商品全部出售后，突然被征收了150元的附加稅，這使得商店的實際利潤率只是預(yù)期利潤率的一半，那么這批商品的進(jìn)價是多少元?(注：附加稅算作成本)
答案與解析：
理解利潤率的含義，是利潤在成本上的百分比。
設(shè)進(jìn)價x元，則預(yù)期利潤率是40%
所以收入為(1+40%)x×0.8+0.5×(1+40%)x×0.2=1.26x
實際利潤率為40%×0.5=20%
1.26x=(1+20%)(x+150)
得x=3000
所以這批商品的進(jìn)價是3000元
兩個班
習(xí)題：甲乙兩班共90人，甲班比乙班人數(shù)的2倍少30人，求兩班各有多少人?
答案與解析：
第一種方法：設(shè)乙班有Χ人，則甲班有(90-Χ)人。
找等量關(guān)系：甲班人數(shù)=乙班人數(shù)×2-30人。
列方程：90-Χ=2Χ-30
解方程得Χ=40從而知90-Χ=50
第二種方法：設(shè)乙班有Χ人，則甲班有(2Χ-30)人。
列方程(2Χ-30)+Χ=90
解方程得Χ=40從而得知2Χ-30=50
答：甲班有50人，乙班有40人。