奧林匹克數(shù)學(xué)競賽或數(shù)學(xué)奧林匹克競賽，簡稱奧數(shù)。奧數(shù)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與奧林匹克體育運動精神的共通性：更快、更高、更強(qiáng)。國際數(shù)學(xué)奧林匹克作為一項國際性賽事，由國際數(shù)學(xué)教育專家命題，出題范圍超出了所有國家的義務(wù)教育水平，難度大大超過大學(xué)入學(xué)考試。奧數(shù)對青少年的腦力鍛煉有著一定的作用，可以通過奧數(shù)對思維和邏輯進(jìn)行鍛煉，對學(xué)生起到的并不僅僅是數(shù)學(xué)方面的作用，通常比普通數(shù)學(xué)要深奧一些。下面是為大家?guī)淼钠吣昙墛W數(shù)定理匯總，歡迎大家閱讀。
定理一：實數(shù)
概念
實數(shù)可以分為有理數(shù)和無理數(shù)兩類，或代數(shù)數(shù)和超越數(shù)兩類，或正實數(shù)，負(fù)實數(shù)和零三類。實數(shù)集合通常用字母R表示。而R^n表示n維實數(shù)空間。實數(shù)是不可數(shù)的。實數(shù)是實數(shù)理論的核心研究對象。
實數(shù)可以用來測量連續(xù)的量。理論上，任何實數(shù)都可以用無限小數(shù)的方式表示，小數(shù)點的右邊是一個無窮的數(shù)列(可以是循環(huán)的，也可以是非循環(huán)的)。在實際運用中，實數(shù)經(jīng)常被近似成一個有限小數(shù)(保留小數(shù)點后n位，n為正整數(shù)，包括整數(shù))。在計算機(jī)領(lǐng)域，由于計算機(jī)只能存儲有限的小數(shù)位數(shù)，實數(shù)經(jīng)常用浮點數(shù)來表示。
相反數(shù)(只有符號不同的兩個數(shù)，它們的和為零，我們就說其中一個是另一個的相反數(shù))，實數(shù)a的相反數(shù)是-a，a和-a在數(shù)軸上到原點0的距離相等。
絕對值(在數(shù)軸上另一個數(shù)與a到原點0的距離分別相等)，實數(shù)a的絕對值是：|a|。
a為正數(shù)時，|a|=a(不變)；
a為0時，|a|=0；
a為負(fù)數(shù)時，|a|=-a(為a的相反數(shù))。
(任何數(shù)的絕對值都大于或等于0，因為距離沒有負(fù)的)。
倒數(shù)(兩個實數(shù)的乘積是1，則這兩個數(shù)互為倒數(shù))實數(shù)a的倒數(shù)是：1/a(a≠0)。
數(shù)軸(任何實數(shù)都可在數(shù)軸上表示)。
平方根(某個自乘結(jié)果等于的實數(shù)，表示為〔√￣〕，其中屬于非負(fù)實數(shù)的平方根稱算術(shù)平方根。一個正數(shù)有兩個平方根;0只有一個平方根，就是0本身;負(fù)數(shù)沒有平方根)。
立方根(如果一個數(shù)x的立方等于a，即x的三次方等于a(x^3=a)，即3個x連續(xù)相乘等于a,那么這個數(shù)x就叫做a的立方根(cuberoot)，也叫做三次方根)。
定義
如果畫一條直線，規(guī)定向右的方向為直線的正方向，在其上取原點O及單位長度OE，它就成為數(shù)軸線，或稱數(shù)軸。
數(shù)軸的三要素：原點、正方向和單位長度。
數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)。
分類
實數(shù)按性質(zhì)分類是：正實數(shù)、0、負(fù)實數(shù)。
實數(shù)按定義分類是：有理數(shù)，無理數(shù)。
有理數(shù)可以分為整數(shù)，分?jǐn)?shù)。
整數(shù)又可分為正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)。
分?jǐn)?shù)又可分為正分?jǐn)?shù)，負(fù)分?jǐn)?shù)。
無理數(shù)可分為正無理數(shù)和負(fù)無理數(shù)。
正有理數(shù)又可分為正整數(shù)，正分?jǐn)?shù)。
負(fù)有理數(shù)又可分為負(fù)整數(shù)，負(fù)分?jǐn)?shù)。
定理二：平行線
定義
在同一平面內(nèi)，永不相交的兩條直線叫做平行線。
平行線一定要在同一平面內(nèi)定義，不適用于立體幾何，比如異面直線，不相交，也不平行。
歐氏幾何中的性質(zhì)
1、兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等；
2、兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等；
3、兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。
以上性質(zhì)可簡單說成：
1、兩條直線平行，同位角相等；
2、兩條直線平行，內(nèi)錯角相等；
3、兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。
三角形中：
平行線分三角形對應(yīng)邊成比例。
判定
1、平行線的定義(在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線)；
2、平行公理推論：平行于同一直線的兩條直線互相平行；
3、在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線互相平行；
4、同位角相等，兩直線平行；
5、內(nèi)錯角相等，兩直線平行；
6、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；
7、經(jīng)過直線外一點，能且只能畫一條直線與已知直線平行；
8、兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行。
公理
在同一平面內(nèi)，過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線互相平行。
在同一平面內(nèi)，垂直于一條直線的兩直線互相平行。
平行公理的推論：(平行線的傳遞性)，如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。
即平行于同一條直線的兩條直線平行。簡稱：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。
拓展
在高等數(shù)學(xué)中的平行線的定義是相交于無限遠(yuǎn)的兩條直線為平行線，因為理論上是沒有絕對的平行的。
在歐氏幾何中，在兩條平行線中做一條直線AB，以直線AB為半徑以逆時針方向做圓，然后以直線AB為半徑以順時針方向再做一個圓，從兩個圓的交點做垂線CD垂直于直線AB，若CD與AB的角的角度是90度，則說明兩條平行線不會相交。
但歐幾里得不敢思考當(dāng)兩條平行線無限長時的情況。
于是包括羅素、黎曼在內(nèi)的科學(xué)家假設(shè)當(dāng)兩條平行線無限長時，他們會在無窮遠(yuǎn)處相交。(例如：在地球的球面上，就會發(fā)現(xiàn)，相互垂直于赤道的經(jīng)線會相交于北極點和南極點。)后來，非歐幾何和黎曼空間就誕生了，該成果給了愛因斯坦很大的啟發(fā)。
平行線公理就是區(qū)分歐氏幾何與非歐幾何的一個重要區(qū)別。
定理三：平方根
定義
一個正數(shù)如果有平方根，那么必定有兩個，它們互為相反數(shù)。顯然，如果我們知道了這兩個平方根的一個，那么就可以及時的根據(jù)相反數(shù)的概念得到它的另一個平方根。
如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根。a的算術(shù)平方根記為，讀作“根號a”，a叫做被開方數(shù)。
規(guī)定：0的平方根是0。
負(fù)數(shù)在實數(shù)范圍內(nèi)不能開平方，只有在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，才可以開平方根。例如：-1的平方根為±1i，-9的平方根為±3i。
平方根包含了算術(shù)平方根，算術(shù)平方根是平方根中的一種。
任何復(fù)數(shù)都有平方根。
算術(shù)平方根為：√a=a(a為非負(fù)數(shù))。
被開方數(shù)是乘方運算里的冪。
求平方根可通過逆運算平方來求。
開平方：求一個非負(fù)數(shù)a的平方根的運算叫做開平方，其中a叫做被開方數(shù)。
若x的平方等于a，那么x就叫做a的平方根，即±√a=±x(a為非負(fù)數(shù))。
性質(zhì)
與平方根的關(guān)系
正數(shù)的平方根有兩個，它們?yōu)橄喾磾?shù)，其中正數(shù)的平方根，就是這個數(shù)的算術(shù)平方根。
產(chǎn)生
根號(即算術(shù)平方根)的產(chǎn)生源于正方形的對角線長度“根號二”，這個“根號二”的發(fā)現(xiàn)一度引起了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的恐慌。因為按當(dāng)時的權(quán) 威解釋(也就是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的學(xué)說)，萬物皆數(shù)(也就是說世界上所有的事物都可以用數(shù)來表示)。
對于這個無理數(shù)“根號二”，最終人們選取了用根號來表示。
舉例
9的平方根為±3;9的算術(shù)平方根為3，正數(shù)的平方根都是前面加±，算術(shù)平方根全部都是非負(fù)數(shù)(0也在內(nèi))。
辨析
算術(shù)平方根和平方根是大家學(xué)習(xí)實數(shù)接觸最多的概念，兩者密不可分?？蓪τ诔鯇W(xué)者來說是對“孿生殺手”，很容易在解題過程中產(chǎn)生錯誤。算術(shù)平方根和平方根到底有哪些區(qū)別與聯(lián)系呢？
區(qū)別
1、定義不同：
⑴絕大部分地，如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根(arithmeticsquareroot)；
⑵一般地，如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫做a的平方根或二次方根(squareroot)。這就是說，如果x2=a，那么x叫做a的平方根。
2、表示方法不同：
⑴a的算術(shù)平方根記為讀作“根號a”，a叫做被開方數(shù)(radicand)；
⑵a的平方根記為，讀作“正負(fù)根號a”，其中a叫做被開方數(shù)。
3、個數(shù)不同：從形式上看，二者的符號主體相似，但是一個數(shù)的平方根要在其算術(shù)平方根的前面寫上“±”。這也正好說明了一個正數(shù)和零的算術(shù)平方根有且只有一個，而一個正數(shù)卻有兩個互為相反數(shù)的平方根。零只有一個平方根。
聯(lián)系
1、前提條件相同：算術(shù)平方根和平方根存在的前提條件都是“只有非負(fù)數(shù)才有算術(shù)平方根和平方根”；
2、存在包容關(guān)系：平方根包含了算術(shù)平方根，因為一個正數(shù)的算術(shù)平方根只是其兩個平方根中的一個；
3、0的算術(shù)平方根和平方根相同，都是0。