當(dāng)一個(gè)小小的心念變成成為行為時(shí)，便能成了習(xí)慣；從而形成性格，而性格就決定你一生的成敗。成功與不成功之間有時(shí)距離很短——只要后者再向前幾步。高二頻道為莘莘學(xué)子整理了《北師大版高二數(shù)學(xué)練習(xí)冊試題及答案》，希望對你有所幫助！
【一】
1．下列說法中不正確的是()
A．?dāng)?shù)列a，a，a，…是無窮數(shù)列
B．1，－3，45，－7，－8，10不是一個(gè)數(shù)列
C．?dāng)?shù)列0，－1，－2，－3，…不一定是遞減數(shù)列
D．已知數(shù)列{an}，則{an＋1－an}也是一個(gè)數(shù)列
解析：選B.A，D顯然正確；對于B，是按照一定的順序排列的一列數(shù)，是數(shù)列，所以B不正確；對于C，數(shù)列只給出前四項(xiàng)，后面的項(xiàng)不確定，所以不一定是遞減數(shù)列．故選B.
2．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝1＋（－1）n＋12，則該數(shù)列的前4項(xiàng)依次為()
A．1，0，1，0B．0，1，0，1
C.12，0，12，0D．2，0，2，0
解析：選A.當(dāng)n分別等于1，2，3，4時(shí)，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0.
3．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2n2－n，那么()
A．30是數(shù)列{an}的一項(xiàng)B．44是數(shù)列{an}的一項(xiàng)
C．66是數(shù)列{an}的一項(xiàng)D．90是數(shù)列{an}的一項(xiàng)
解析：選C.分別令2n2－n的值為30，44，66，90，可知只有2n2－n＝66時(shí)，n＝6(負(fù)值舍去)，為正整數(shù)，故66是數(shù)列{an}的一項(xiàng)．
4．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是an＝2，n＝1，n2－2，n≥2，則該數(shù)列的前兩項(xiàng)分別是()
A．2，4B．2，2
C．2，0D．1，2
解析：選B.當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2；當(dāng)n＝2時(shí)，a2＝22－2＝2.
5.如圖，各圖形中的點(diǎn)的個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是()
A．a(chǎn)n＝n2－n＋1B．a(chǎn)n＝n（n－1）2
C．a(chǎn)n＝n（n＋1）2D．a(chǎn)n＝n（n＋2）2
解析：選C.法一：將各圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)代入四個(gè)選項(xiàng)便可得到正確結(jié)果．圖形中，點(diǎn)的個(gè)數(shù)依次為1，3，6，10，代入驗(yàn)證可知正確答案為C.
法二：觀察各個(gè)圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)，尋找相鄰圖形中點(diǎn)個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，然后歸納一個(gè)通項(xiàng)公式．觀察點(diǎn)的個(gè)數(shù)的增加趨勢可以發(fā)現(xiàn)，a1＝1×22，a2＝2×32，a3＝3×42，a4＝4×52，所以猜想an＝n（n＋1）2，故選C.
6．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)滿足ann＝n－2，那么15是這個(gè)數(shù)列的第________項(xiàng)．
解析：由ann＝n－2可知，an＝n2－2n.
令n2－2n＝15，得n＝5.
答案：5
7．已知數(shù)列{an}的前4項(xiàng)為11，102，1003，10004，則它的一個(gè)通項(xiàng)公式為________．
解析：由于11＝10＋1，102＝102＋2，1003＝103＋3，10004＝104＋4，…，所以該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是an＝10n＋n.
答案：an＝10n＋n
8．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2017－3n，則使an>0成立的正整數(shù)n的值為________．
解析：由an＝2017－3n>0，得n<20173＝67213，又因?yàn)閚∈N＋，所以正整數(shù)n的值為672.
答案：672
9．已知數(shù)列{n(n＋2)}：
(1)寫出這個(gè)數(shù)列的第8項(xiàng)和第20項(xiàng)；
(2)323是不是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？
解：(1)an＝n(n＋2)＝n2＋2n，所以a8＝80，a20＝440.
(2)由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17.
所以323是數(shù)列{n(n＋2)}中的項(xiàng)，是第17項(xiàng)．
10．已知數(shù)列2，74，2，…的通項(xiàng)公式為an＝an2＋bcn，求a4，a5.
解：將a1＝2，a2＝74代入通項(xiàng)公式，
得a＋bc＝2，4a＋b2c＝74，解得b＝3a，c＝2a，所以an＝n2＋32n，
所以a4＝42＋32×4＝198，a5＝52＋32×5＝145.
[B能力提升]
11．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝sinnθ，0<θ<π6，若a3＝12，則a15＝____________．
解析：a3＝sin3θ＝12，又0<θ<π6，所以0<3θ<π2，所以3θ＝π6，所以a15＝sin15θ＝sin56π＝12.
答案：12
12．“中國剩余定理”又稱“孫子定理”.1852年英國來華傳教士偉烈亞利將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年，英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”．“中國剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問題：將2至2017這2016個(gè)數(shù)中能被3除余1且被5除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列{an}，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為________．
解析：能被3除余1且被5除余1的數(shù)就是能被15整除余1的數(shù)，故an＝15n－14.
由an＝15n－14≤2017得n≤135.4，當(dāng)n＝1時(shí)，此時(shí)a1＝1，不符合，故此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為135－1＝134.
答案：134
13．在數(shù)列{an}中，a1＝3，a17＝67，通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)求a2016；
(3)2017是否為數(shù)列{an}中的項(xiàng)？若是，為第幾項(xiàng)？
解：(1)設(shè)an＝kn＋b(k≠0)．
由a1＝3，且a17＝67，得k＋b＝317k＋b＝67，
解之得k＝4且b＝－1.所以an＝4n－1.
(2)易得a2016＝4×2016－1＝8063.
(3)令2017＝4n－1，得n＝20184＝10092∉N＋，
所以2017不是數(shù)列{an}中的項(xiàng)．
14．(選做題)已知數(shù)列9n2－9n＋29n2－1，
(1)求這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)；
(2)98101是不是該數(shù)列中的項(xiàng)，為什么？
(3)求證：數(shù)列中的各項(xiàng)都在區(qū)間(0，1)內(nèi)；
(4)在區(qū)間13，23內(nèi)是否有數(shù)列中的項(xiàng)？若有，有幾項(xiàng)？若沒有，說明理由．
解：(1)設(shè)an＝9n2－9n＋29n2－1＝（3n－1）（3n－2）（3n－1）（3n＋1）＝3n－23n＋1.令n＝10，得第10項(xiàng)a10＝2831.
(2)令3n－23n＋1＝98101，得9n＝300.此方程無正整數(shù)解，所以98101不是該數(shù)列中的項(xiàng)．
(3)證明：因?yàn)閍n＝3n－23n＋1＝3n＋1－33n＋1＝1－33n＋1，
又n∈N＋，所以0<33n＋1<1，所以0
所以數(shù)列中的各項(xiàng)都在區(qū)間(0，1)內(nèi)．
(4)令13<3n－23n＋1<23，所以3n＋1<9n－6，9n－6<6n＋2，
所以n>76，n<83.所以76 當(dāng)且僅當(dāng)n＝2時(shí)，上式成立，故區(qū)間13，23內(nèi)有數(shù)列中的項(xiàng)，且只有一項(xiàng)為a2＝47.
【二】
1．為了解1000名學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，采用系統(tǒng)抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本，則分段的間隔為()
A．50B．40
C．25D．20
解析：選C.根據(jù)系統(tǒng)抽樣的特點(diǎn)，可知分段間隔為100040＝25.
2．某城區(qū)有農(nóng)民、工人、知識(shí)分子家庭共計(jì)2000戶，其中農(nóng)民家庭1800戶，工人家庭100戶，知識(shí)分子家庭100戶．現(xiàn)要從中抽取容量為40的樣本，以調(diào)查家庭收入情況，則在整個(gè)抽樣過程中，可以用到的抽樣方法有()
①簡單隨機(jī)抽樣；②系統(tǒng)抽樣；③分層抽樣．
A．②③B．①③
C．③D．①②③
解析：選D.由于各類家庭有明顯差異，所以首先應(yīng)用分層抽樣的方法分別從三類家庭中抽出若干戶．又由于農(nóng)民家庭戶數(shù)較多，那么在農(nóng)民家庭這一層宜采用系統(tǒng)抽樣；而工人、知識(shí)分子家庭戶數(shù)較少，宜采用簡單隨機(jī)抽樣．故整個(gè)抽樣過程要用到①②③三種抽樣方法．
3．從2004名學(xué)生中選取50名組成參觀團(tuán)，若采用下面的方法選取：先利用簡單隨機(jī)抽樣從2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行，則每人入選的機(jī)會(huì)()
A．不全相等B．均不相等
C．都相等D．無法確定
解析：選C.系統(tǒng)抽樣是等可能的，每人入樣的機(jī)率均為502004.
4．總體容量為524，若采用系統(tǒng)抽樣，當(dāng)抽樣的間距為下列哪一個(gè)數(shù)時(shí)，不需要剔除個(gè)體()
A．3B．4
C．5D．6
解析：選B.由于只有524÷4沒有余數(shù)，故選B.
5．某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取42人做問卷調(diào)查，將840人按1，2，…，840隨機(jī)編號(hào)，則抽取的42人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間[481，720]的人數(shù)為()
A．11B．12
C．13D．14
解析：選B.法一：分段間隔為84042＝20.設(shè)在1，2，…，20中抽取的號(hào)碼為x0，在[481，720]之間抽取的號(hào)碼記為20k＋x0，則481≤20k＋x0≤720，k∈N*，所以24120≤k＋x020≤36.
因?yàn)閤020∈120，1，
所以k＝24，25，26，…，35.
所以k值共有35－24＋1＝12(個(gè))，即所求人數(shù)為12.
法二：使用系統(tǒng)抽樣的方法，從840人中抽取42人，即每20人中抽取1人，所以在區(qū)間[481，720]抽取的人數(shù)為720－48020＝12.
6．為了了解1203名學(xué)生對學(xué)校某項(xiàng)教改試驗(yàn)的意見，打算從中抽取一個(gè)容量為40的樣本，現(xiàn)采用選取的號(hào)碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法來確定所選取樣本，則抽樣間隔k＝________．
解析：由于120340不是整數(shù)，所以從1203名學(xué)生中隨機(jī)剔除3名，則抽樣間隔k＝120040＝30.
答案：30
7．某高三(1)班有學(xué)生56人，學(xué)生編號(hào)依次為01，02，03，…，56.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為4的樣本，已知編號(hào)為06，34，48的同學(xué)在樣本中，那么樣本中另一位同學(xué)的編號(hào)應(yīng)該是________．
解析：由于系統(tǒng)抽樣的樣本中個(gè)體編號(hào)是等距的，且間距為564＝14，所以樣本編號(hào)應(yīng)為06，20，34，48.
答案：20
8．為了了解學(xué)生對某網(wǎng)絡(luò)游戲的態(tài)度，高三(11)班計(jì)劃在全班60人中展開調(diào)查．根據(jù)調(diào)查結(jié)果，班主任計(jì)劃采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取若干名學(xué)生進(jìn)行座談，為此先對60名學(xué)生進(jìn)行編號(hào)：01，02，03，…，60.已知抽取的學(xué)生中最小的兩個(gè)編號(hào)為03，09，則抽取的學(xué)生中的編號(hào)為________．
解析：由最小的兩個(gè)編號(hào)為03，09可知，抽樣距為k＝9－3＝6，而總體容量N＝60，所以樣本容量n＝Nk＝10，即抽取10名同學(xué)，的編號(hào)為第10組抽取的個(gè)體的編號(hào)，故編號(hào)為3＋9×6＝57.
答案：57
9．某批產(chǎn)品共有1564件，產(chǎn)品按出廠順序編號(hào)，號(hào)碼從1到1564，檢測員要從中抽取15件產(chǎn)品做檢測，請你給出一個(gè)系統(tǒng)抽樣方案．
解：(1)先從1564件產(chǎn)品中，用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽出4件產(chǎn)品，將其剔除．
(2)將余下的1560件產(chǎn)品編號(hào)：1，2，3，…，1560.
(3)取k＝156015＝104，將總體均分為15組，每組含104個(gè)個(gè)體．
(4)從第一組，即1號(hào)到104號(hào)利用簡單隨機(jī)抽樣法抽取一個(gè)編號(hào)s.
(5)按編號(hào)把s，104＋s，208＋s，…，1456＋s共15個(gè)編號(hào)選出，這15個(gè)編號(hào)所對應(yīng)的產(chǎn)品組成樣本．
10．下面給出某村委會(huì)調(diào)查本村各戶收入情況做的抽樣，閱讀并回答問題．本村人口數(shù)：1200，戶數(shù)300，每戶平均人口數(shù)4人；應(yīng)抽戶數(shù)：30；
抽樣間隔：120030＝40；
確定隨機(jī)數(shù)字：從標(biāo)有1～30的號(hào)碼中隨機(jī)抽取一張，為12.
確定第一樣本戶：編號(hào)12的戶為第一樣本戶；
確定第二樣本戶：12＋40＝52，52號(hào)為第二樣本戶；
…
(1)該村委會(huì)采用了何種抽樣方法？
(2)抽樣過程存在哪些問題？試修改；
(3)何處是用簡單隨機(jī)抽樣？
解：(1)系統(tǒng)抽樣．
(2)本題是對某村各戶進(jìn)行抽樣，而不是對某村人口抽樣．抽樣間隔30030＝10，其他步驟相應(yīng)改為確定隨機(jī)數(shù)字：從標(biāo)有1～10的號(hào)碼中隨機(jī)抽取一張，為2.(假設(shè))確定第一樣本戶：編號(hào)02的住戶為第一樣本戶；確定第二樣本戶：2＋10＝12，12號(hào)為第二樣本戶．
(3)確定隨機(jī)數(shù)字：從標(biāo)有1～30的號(hào)碼中隨機(jī)抽取一張，為12.
[B能力提升]
11．為了檢測125個(gè)電子元件的質(zhì)量，欲利用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取容量為1Δ(Δ中的數(shù)字被墨水污染，無法分辨)的樣本進(jìn)行檢測，若在抽樣時(shí)首先利用簡單隨機(jī)抽樣剔除了5個(gè)個(gè)體，則Δ中的數(shù)字有()
A．1種可能B．2種可能
C．3種可能D．4種可能
解析：選C.由于125－5＝120＝10×12＝15×8，故有3種可能，分別為0，2，5.
12．已知某種型號(hào)的產(chǎn)品共有N件，且40＜N＜50，現(xiàn)需要利用系統(tǒng)抽樣抽取樣本進(jìn)行質(zhì)量檢測，若樣本容量為7，則不需要剔除；若樣本容量為8，則需要剔除1個(gè)個(gè)體，則N＝________．
解析：因?yàn)闃颖救萘繛?時(shí)，不需要剔除，所以總體的容量N為7的倍數(shù)，又40＜N＜50，所以N＝42或49.若N＝42，因?yàn)?2除以8的余數(shù)為2，所以當(dāng)樣本容量為8時(shí)，需要剔除2個(gè)個(gè)體，不符合題意；若N＝49，因?yàn)?9除以8的余數(shù)為1，所以當(dāng)樣本容量為8時(shí)，需要剔除1個(gè)個(gè)體，滿足題意，故N＝49.
答案：49
13．為了調(diào)查某路口一個(gè)月的車流量情況，*采用系統(tǒng)抽樣的方法，樣本距為7，從每周中隨機(jī)抽取一天，他正好抽取的是星期日，經(jīng)過調(diào)查后做出報(bào)告．你認(rèn)為*這樣的抽樣方法有什么問題？應(yīng)當(dāng)怎樣改進(jìn)？如果是調(diào)查一年的車流量情況呢？
解：*所統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)以及由此所推斷出來的結(jié)論，只能代表星期日的交通流量．由于星期日是休息時(shí)間，很多人不上班，不能代表其他幾天的情況．
改進(jìn)方法可以將所要調(diào)查的時(shí)間段的每一天先隨機(jī)地編號(hào)，再用系統(tǒng)抽樣方法來抽樣，或者使用簡單隨機(jī)抽樣來抽樣亦可．
如果是調(diào)查一年的交通流量，使用簡單隨機(jī)抽樣法顯然已不合適，比較簡單可行的方法是把樣本距改為8.
14．(選做題)一個(gè)總體中的1000個(gè)個(gè)體編號(hào)為0，1，2，…，999，并依次將其均分為10個(gè)小組，組號(hào)為0，1，2，…，9，要用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為10的樣本，規(guī)定如果在第0組隨機(jī)抽取的號(hào)碼為x，那么依次錯(cuò)位地得到后面各組的號(hào)碼，即第k組中抽取的號(hào)碼的后兩位數(shù)為x＋33k的后兩位數(shù)．
(1)當(dāng)x＝24時(shí)，寫出所抽取樣本的10個(gè)號(hào)碼；
(2)若所抽取樣本的10個(gè)號(hào)碼中有一個(gè)的后兩位數(shù)是87，求x的取值范圍．
解：(1)由題意知此系統(tǒng)抽樣的間隔是100，根據(jù)x＝24和題意得，24＋33×1＝57，第1組抽取的號(hào)碼是157；由24＋33×2＝90，則在第2組抽取的號(hào)碼是290，…
故依次是24，157，290，323，456，589，622，755，888，921.
(2)由x＋33×0＝87得x＝87，由x＋33×1＝87得x＝54，由x＋33×2＝87，得x＝21，由x＋33×3＝187得x＝88…，依次求得x值可能為21，22，23，54，55，56，87，88，89，90.
【一】
1．下列說法中不正確的是()
A．?dāng)?shù)列a，a，a，…是無窮數(shù)列
B．1，－3，45，－7，－8，10不是一個(gè)數(shù)列
C．?dāng)?shù)列0，－1，－2，－3，…不一定是遞減數(shù)列
D．已知數(shù)列{an}，則{an＋1－an}也是一個(gè)數(shù)列
解析：選B.A，D顯然正確；對于B，是按照一定的順序排列的一列數(shù)，是數(shù)列，所以B不正確；對于C，數(shù)列只給出前四項(xiàng)，后面的項(xiàng)不確定，所以不一定是遞減數(shù)列．故選B.
2．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝1＋（－1）n＋12，則該數(shù)列的前4項(xiàng)依次為()
A．1，0，1，0B．0，1，0，1
C.12，0，12，0D．2，0，2，0
解析：選A.當(dāng)n分別等于1，2，3，4時(shí)，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0.
3．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2n2－n，那么()
A．30是數(shù)列{an}的一項(xiàng)B．44是數(shù)列{an}的一項(xiàng)
C．66是數(shù)列{an}的一項(xiàng)D．90是數(shù)列{an}的一項(xiàng)
解析：選C.分別令2n2－n的值為30，44，66，90，可知只有2n2－n＝66時(shí)，n＝6(負(fù)值舍去)，為正整數(shù)，故66是數(shù)列{an}的一項(xiàng)．
4．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是an＝2，n＝1，n2－2，n≥2，則該數(shù)列的前兩項(xiàng)分別是()
A．2，4B．2，2
C．2，0D．1，2
解析：選B.當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2；當(dāng)n＝2時(shí)，a2＝22－2＝2.
5.如圖，各圖形中的點(diǎn)的個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是()
A．a(chǎn)n＝n2－n＋1B．a(chǎn)n＝n（n－1）2
C．a(chǎn)n＝n（n＋1）2D．a(chǎn)n＝n（n＋2）2
解析：選C.法一：將各圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)代入四個(gè)選項(xiàng)便可得到正確結(jié)果．圖形中，點(diǎn)的個(gè)數(shù)依次為1，3，6，10，代入驗(yàn)證可知正確答案為C.
法二：觀察各個(gè)圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)，尋找相鄰圖形中點(diǎn)個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，然后歸納一個(gè)通項(xiàng)公式．觀察點(diǎn)的個(gè)數(shù)的增加趨勢可以發(fā)現(xiàn)，a1＝1×22，a2＝2×32，a3＝3×42，a4＝4×52，所以猜想an＝n（n＋1）2，故選C.
6．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)滿足ann＝n－2，那么15是這個(gè)數(shù)列的第________項(xiàng)．
解析：由ann＝n－2可知，an＝n2－2n.
令n2－2n＝15，得n＝5.
答案：5
7．已知數(shù)列{an}的前4項(xiàng)為11，102，1003，10004，則它的一個(gè)通項(xiàng)公式為________．
解析：由于11＝10＋1，102＝102＋2，1003＝103＋3，10004＝104＋4，…，所以該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是an＝10n＋n.
答案：an＝10n＋n
8．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2017－3n，則使an>0成立的正整數(shù)n的值為________．
解析：由an＝2017－3n>0，得n<20173＝67213，又因?yàn)閚∈N＋，所以正整數(shù)n的值為672.
答案：672
9．已知數(shù)列{n(n＋2)}：
(1)寫出這個(gè)數(shù)列的第8項(xiàng)和第20項(xiàng)；
(2)323是不是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？
解：(1)an＝n(n＋2)＝n2＋2n，所以a8＝80，a20＝440.
(2)由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17.
所以323是數(shù)列{n(n＋2)}中的項(xiàng)，是第17項(xiàng)．
10．已知數(shù)列2，74，2，…的通項(xiàng)公式為an＝an2＋bcn，求a4，a5.
解：將a1＝2，a2＝74代入通項(xiàng)公式，
得a＋bc＝2，4a＋b2c＝74，解得b＝3a，c＝2a，所以an＝n2＋32n，
所以a4＝42＋32×4＝198，a5＝52＋32×5＝145.
[B能力提升]
11．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝sinnθ，0<θ<π6，若a3＝12，則a15＝____________．
解析：a3＝sin3θ＝12，又0<θ<π6，所以0<3θ<π2，所以3θ＝π6，所以a15＝sin15θ＝sin56π＝12.
答案：12
12．“中國剩余定理”又稱“孫子定理”.1852年英國來華傳教士偉烈亞利將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年，英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”．“中國剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問題：將2至2017這2016個(gè)數(shù)中能被3除余1且被5除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列{an}，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為________．
解析：能被3除余1且被5除余1的數(shù)就是能被15整除余1的數(shù)，故an＝15n－14.
由an＝15n－14≤2017得n≤135.4，當(dāng)n＝1時(shí)，此時(shí)a1＝1，不符合，故此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為135－1＝134.
答案：134
13．在數(shù)列{an}中，a1＝3，a17＝67，通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)求a2016；
(3)2017是否為數(shù)列{an}中的項(xiàng)？若是，為第幾項(xiàng)？
解：(1)設(shè)an＝kn＋b(k≠0)．
由a1＝3，且a17＝67，得k＋b＝317k＋b＝67，
解之得k＝4且b＝－1.所以an＝4n－1.
(2)易得a2016＝4×2016－1＝8063.
(3)令2017＝4n－1，得n＝20184＝10092∉N＋，
所以2017不是數(shù)列{an}中的項(xiàng)．
14．(選做題)已知數(shù)列9n2－9n＋29n2－1，
(1)求這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)；
(2)98101是不是該數(shù)列中的項(xiàng)，為什么？
(3)求證：數(shù)列中的各項(xiàng)都在區(qū)間(0，1)內(nèi)；
(4)在區(qū)間13，23內(nèi)是否有數(shù)列中的項(xiàng)？若有，有幾項(xiàng)？若沒有，說明理由．
解：(1)設(shè)an＝9n2－9n＋29n2－1＝（3n－1）（3n－2）（3n－1）（3n＋1）＝3n－23n＋1.令n＝10，得第10項(xiàng)a10＝2831.
(2)令3n－23n＋1＝98101，得9n＝300.此方程無正整數(shù)解，所以98101不是該數(shù)列中的項(xiàng)．
(3)證明：因?yàn)閍n＝3n－23n＋1＝3n＋1－33n＋1＝1－33n＋1，
又n∈N＋，所以0<33n＋1<1，所以0
所以數(shù)列中的各項(xiàng)都在區(qū)間(0，1)內(nèi)．
(4)令13<3n－23n＋1<23，所以3n＋1<9n－6，9n－6<6n＋2，
所以n>76，n<83.所以76
【二】
1．為了解1000名學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，采用系統(tǒng)抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本，則分段的間隔為()
A．50B．40
C．25D．20
解析：選C.根據(jù)系統(tǒng)抽樣的特點(diǎn)，可知分段間隔為100040＝25.
2．某城區(qū)有農(nóng)民、工人、知識(shí)分子家庭共計(jì)2000戶，其中農(nóng)民家庭1800戶，工人家庭100戶，知識(shí)分子家庭100戶．現(xiàn)要從中抽取容量為40的樣本，以調(diào)查家庭收入情況，則在整個(gè)抽樣過程中，可以用到的抽樣方法有()
①簡單隨機(jī)抽樣；②系統(tǒng)抽樣；③分層抽樣．
A．②③B．①③
C．③D．①②③
解析：選D.由于各類家庭有明顯差異，所以首先應(yīng)用分層抽樣的方法分別從三類家庭中抽出若干戶．又由于農(nóng)民家庭戶數(shù)較多，那么在農(nóng)民家庭這一層宜采用系統(tǒng)抽樣；而工人、知識(shí)分子家庭戶數(shù)較少，宜采用簡單隨機(jī)抽樣．故整個(gè)抽樣過程要用到①②③三種抽樣方法．
3．從2004名學(xué)生中選取50名組成參觀團(tuán)，若采用下面的方法選取：先利用簡單隨機(jī)抽樣從2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行，則每人入選的機(jī)會(huì)()
A．不全相等B．均不相等
C．都相等D．無法確定
解析：選C.系統(tǒng)抽樣是等可能的，每人入樣的機(jī)率均為502004.
4．總體容量為524，若采用系統(tǒng)抽樣，當(dāng)抽樣的間距為下列哪一個(gè)數(shù)時(shí)，不需要剔除個(gè)體()
A．3B．4
C．5D．6
解析：選B.由于只有524÷4沒有余數(shù)，故選B.
5．某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取42人做問卷調(diào)查，將840人按1，2，…，840隨機(jī)編號(hào)，則抽取的42人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間[481，720]的人數(shù)為()
A．11B．12
C．13D．14
解析：選B.法一：分段間隔為84042＝20.設(shè)在1，2，…，20中抽取的號(hào)碼為x0，在[481，720]之間抽取的號(hào)碼記為20k＋x0，則481≤20k＋x0≤720，k∈N*，所以24120≤k＋x020≤36.
因?yàn)閤020∈120，1，
所以k＝24，25，26，…，35.
所以k值共有35－24＋1＝12(個(gè))，即所求人數(shù)為12.
法二：使用系統(tǒng)抽樣的方法，從840人中抽取42人，即每20人中抽取1人，所以在區(qū)間[481，720]抽取的人數(shù)為720－48020＝12.
6．為了了解1203名學(xué)生對學(xué)校某項(xiàng)教改試驗(yàn)的意見，打算從中抽取一個(gè)容量為40的樣本，現(xiàn)采用選取的號(hào)碼間隔一樣的系統(tǒng)抽樣方法來確定所選取樣本，則抽樣間隔k＝________．
解析：由于120340不是整數(shù)，所以從1203名學(xué)生中隨機(jī)剔除3名，則抽樣間隔k＝120040＝30.
答案：30
7．某高三(1)班有學(xué)生56人，學(xué)生編號(hào)依次為01，02，03，…，56.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為4的樣本，已知編號(hào)為06，34，48的同學(xué)在樣本中，那么樣本中另一位同學(xué)的編號(hào)應(yīng)該是________．
解析：由于系統(tǒng)抽樣的樣本中個(gè)體編號(hào)是等距的，且間距為564＝14，所以樣本編號(hào)應(yīng)為06，20，34，48.
答案：20
8．為了了解學(xué)生對某網(wǎng)絡(luò)游戲的態(tài)度，高三(11)班計(jì)劃在全班60人中展開調(diào)查．根據(jù)調(diào)查結(jié)果，班主任計(jì)劃采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取若干名學(xué)生進(jìn)行座談，為此先對60名學(xué)生進(jìn)行編號(hào)：01，02，03，…，60.已知抽取的學(xué)生中最小的兩個(gè)編號(hào)為03，09，則抽取的學(xué)生中的編號(hào)為________．
解析：由最小的兩個(gè)編號(hào)為03，09可知，抽樣距為k＝9－3＝6，而總體容量N＝60，所以樣本容量n＝Nk＝10，即抽取10名同學(xué)，的編號(hào)為第10組抽取的個(gè)體的編號(hào)，故編號(hào)為3＋9×6＝57.
答案：57
9．某批產(chǎn)品共有1564件，產(chǎn)品按出廠順序編號(hào)，號(hào)碼從1到1564，檢測員要從中抽取15件產(chǎn)品做檢測，請你給出一個(gè)系統(tǒng)抽樣方案．
解：(1)先從1564件產(chǎn)品中，用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽出4件產(chǎn)品，將其剔除．
(2)將余下的1560件產(chǎn)品編號(hào)：1，2，3，…，1560.
(3)取k＝156015＝104，將總體均分為15組，每組含104個(gè)個(gè)體．
(4)從第一組，即1號(hào)到104號(hào)利用簡單隨機(jī)抽樣法抽取一個(gè)編號(hào)s.
(5)按編號(hào)把s，104＋s，208＋s，…，1456＋s共15個(gè)編號(hào)選出，這15個(gè)編號(hào)所對應(yīng)的產(chǎn)品組成樣本．
10．下面給出某村委會(huì)調(diào)查本村各戶收入情況做的抽樣，閱讀并回答問題．本村人口數(shù)：1200，戶數(shù)300，每戶平均人口數(shù)4人；應(yīng)抽戶數(shù)：30；
抽樣間隔：120030＝40；
確定隨機(jī)數(shù)字：從標(biāo)有1～30的號(hào)碼中隨機(jī)抽取一張，為12.
確定第一樣本戶：編號(hào)12的戶為第一樣本戶；
確定第二樣本戶：12＋40＝52，52號(hào)為第二樣本戶；
…
(1)該村委會(huì)采用了何種抽樣方法？
(2)抽樣過程存在哪些問題？試修改；
(3)何處是用簡單隨機(jī)抽樣？
解：(1)系統(tǒng)抽樣．
(2)本題是對某村各戶進(jìn)行抽樣，而不是對某村人口抽樣．抽樣間隔30030＝10，其他步驟相應(yīng)改為確定隨機(jī)數(shù)字：從標(biāo)有1～10的號(hào)碼中隨機(jī)抽取一張，為2.(假設(shè))確定第一樣本戶：編號(hào)02的住戶為第一樣本戶；確定第二樣本戶：2＋10＝12，12號(hào)為第二樣本戶．
(3)確定隨機(jī)數(shù)字：從標(biāo)有1～30的號(hào)碼中隨機(jī)抽取一張，為12.
[B能力提升]
11．為了檢測125個(gè)電子元件的質(zhì)量，欲利用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取容量為1Δ(Δ中的數(shù)字被墨水污染，無法分辨)的樣本進(jìn)行檢測，若在抽樣時(shí)首先利用簡單隨機(jī)抽樣剔除了5個(gè)個(gè)體，則Δ中的數(shù)字有()
A．1種可能B．2種可能
C．3種可能D．4種可能
解析：選C.由于125－5＝120＝10×12＝15×8，故有3種可能，分別為0，2，5.
12．已知某種型號(hào)的產(chǎn)品共有N件，且40＜N＜50，現(xiàn)需要利用系統(tǒng)抽樣抽取樣本進(jìn)行質(zhì)量檢測，若樣本容量為7，則不需要剔除；若樣本容量為8，則需要剔除1個(gè)個(gè)體，則N＝________．
解析：因?yàn)闃颖救萘繛?時(shí)，不需要剔除，所以總體的容量N為7的倍數(shù)，又40＜N＜50，所以N＝42或49.若N＝42，因?yàn)?2除以8的余數(shù)為2，所以當(dāng)樣本容量為8時(shí)，需要剔除2個(gè)個(gè)體，不符合題意；若N＝49，因?yàn)?9除以8的余數(shù)為1，所以當(dāng)樣本容量為8時(shí)，需要剔除1個(gè)個(gè)體，滿足題意，故N＝49.
答案：49
13．為了調(diào)查某路口一個(gè)月的車流量情況，*采用系統(tǒng)抽樣的方法，樣本距為7，從每周中隨機(jī)抽取一天，他正好抽取的是星期日，經(jīng)過調(diào)查后做出報(bào)告．你認(rèn)為*這樣的抽樣方法有什么問題？應(yīng)當(dāng)怎樣改進(jìn)？如果是調(diào)查一年的車流量情況呢？
解：*所統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)以及由此所推斷出來的結(jié)論，只能代表星期日的交通流量．由于星期日是休息時(shí)間，很多人不上班，不能代表其他幾天的情況．
改進(jìn)方法可以將所要調(diào)查的時(shí)間段的每一天先隨機(jī)地編號(hào)，再用系統(tǒng)抽樣方法來抽樣，或者使用簡單隨機(jī)抽樣來抽樣亦可．
如果是調(diào)查一年的交通流量，使用簡單隨機(jī)抽樣法顯然已不合適，比較簡單可行的方法是把樣本距改為8.
14．(選做題)一個(gè)總體中的1000個(gè)個(gè)體編號(hào)為0，1，2，…，999，并依次將其均分為10個(gè)小組，組號(hào)為0，1，2，…，9，要用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為10的樣本，規(guī)定如果在第0組隨機(jī)抽取的號(hào)碼為x，那么依次錯(cuò)位地得到后面各組的號(hào)碼，即第k組中抽取的號(hào)碼的后兩位數(shù)為x＋33k的后兩位數(shù)．
(1)當(dāng)x＝24時(shí)，寫出所抽取樣本的10個(gè)號(hào)碼；
(2)若所抽取樣本的10個(gè)號(hào)碼中有一個(gè)的后兩位數(shù)是87，求x的取值范圍．
解：(1)由題意知此系統(tǒng)抽樣的間隔是100，根據(jù)x＝24和題意得，24＋33×1＝57，第1組抽取的號(hào)碼是157；由24＋33×2＝90，則在第2組抽取的號(hào)碼是290，…
故依次是24，157，290，323，456，589，622，755，888，921.
(2)由x＋33×0＝87得x＝87，由x＋33×1＝87得x＝54，由x＋33×2＝87，得x＝21，由x＋33×3＝187得x＝88…，依次求得x值可能為21，22，23，54，55，56，87，88，89，90.