仰望天空時(shí)，什么都比你高，你會(huì)自卑;俯視大地時(shí)，什么都比你低，你會(huì)自負(fù);只有放寬視野，把天空和大地盡收眼底，才能在蒼穹沃土之間找到你真正的位置。無需自卑，不要自負(fù)，堅(jiān)持自信。高一頻道為你整理了《人教版高一年級(jí)數(shù)學(xué)題及答案》希望你對(duì)你的學(xué)習(xí)有所幫助！
【一】
第Ⅰ卷(選擇題共60分)
一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符號(hào)題目要求的。)
1．已知集合A＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{1,3,6,9}，C＝{3,7,8}，則(A∩B)∪C等于()
A．{0,1,2,6,8}B．{3,7,8}
C．{1,3,7,8}D．{1,3,6,7,8}
[答案]C
[解析]A∩B＝{1,3}，(A∩B)∪C＝{1,3,7,8}，故選C.
2．(09•陜西文)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足：對(duì)任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有f(x2)－f(x1)x2－x1<0，則()
A．f(3) C．f(－2) [答案]A
[解析]若x2－x1>0，則f(x2)－f(x1)<0，
即f(x2) ∴f(x)在[0，＋∞)上是減函數(shù)，
∵3>2>1，∴f(3) 又f(x)是偶函數(shù)，∴f(－2)＝f(2)，
∴f(3) 3．已知f(x)，g(x)對(duì)應(yīng)值如表.
x01－1
f(x)10－1
x01－1
g(x)－101
則f(g(1))的值為()
A．－1B．0
C．1D．不存在
[答案]C
[解析]∵g(1)＝0，f(0)＝1，∴f(g(1))＝1.
4．已知函數(shù)f(x＋1)＝3x＋2，則f(x)的解析式是()
A．3x＋2B．3x＋1
C．3x－1D．3x＋4
[答案]C
[解析]設(shè)x＋1＝t，則x＝t－1，
∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1，∴f(x)＝3x－1.
5．已知f(x)＝2x－1(x≥2)－x2＋3x(x<2)，則f(－1)＋f(4)的值為()
A．－7B．3
C．－8D．4
[答案]B
[解析]f(4)＝2×4－1＝7，f(－1)＝－(－1)2＋3×(－1)＝－4，∴f(4)＋f(－1)＝3，故選B.
6．f(x)＝－x2＋mx在(－∞，1]上是增函數(shù)，則m的取值范圍是()
A．{2}B．(－∞，2]
C．[2，＋∞)D．(－∞，1]
[答案]C
[解析]f(x)＝－(x－m2)2＋m24的增區(qū)間為(－∞，m2]，由條件知m2≥1，∴m≥2，故選C.
7．定義集合A、B的運(yùn)算A*B＝{x|x∈A，或x∈B，且x∉A∩B}，則(A*B)*A等于()
A．A∩BB．A∪B
C．AD．B
[答案]D
[解析]A*B的本質(zhì)就是集合A與B的并集中除去它們的公共元素后，剩余元素組成的集合．
因此(A*B)*A是圖中陰影部分與A的并集，除去A中陰影部分后剩余部分即B，故選D.
[點(diǎn)評(píng)]可取特殊集合求解．
如取A＝{1,2,3}，B＝{1,5}，則A*B＝{2,3,5}，(A*B)*A＝{1,5}＝B.
8．(廣東梅縣東山中學(xué)2009～2010高一期末)定義兩種運(yùn)算：ab＝a2－b2，a⊗b＝(a－b)2，則函數(shù)f(x)＝為()
A．奇函數(shù)
B．偶函數(shù)
C．奇函數(shù)且為偶函數(shù)
D．非奇函數(shù)且非偶函數(shù)
[答案]A
[解析]由運(yùn)算與⊗的定義知，
f(x)＝4－x2(x－2)2－2，
∵4－x2≥0，∴－2≤x≤2，
∴f(x)＝4－x2(2－x)－2＝－4－x2x，
∴f(x)的定義域?yàn)閧x|－2≤x<0或0 又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)．
9．(08•天津文)已知函數(shù)f(x)＝x＋2，x≤0，－x＋2，x>0，則不等式f(x)≥x2的解集為()
A．[－1,1]B．[－2,2]
C．[－2,1]D．[－1,2]
[答案]A
[解析]解法1：當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)＝0，f(x)≥x2不成立，排除B、D；當(dāng)x＝－2時(shí)，f(x)＝0，也不滿足f(x)≥x2，排除C，故選A.
解法2：不等式化為x≤0x＋2≥x2或x>0－x＋2≥x2，
解之得，－1≤x≤0或0 10．調(diào)查了某校高一一班的50名學(xué)生參加課外活動(dòng)小組的情況，有32人參加了數(shù)學(xué)興趣小組，有27人參加了英語興趣小組，對(duì)于既參加數(shù)學(xué)興趣小組，又參加英語興趣小組的人數(shù)統(tǒng)計(jì)中，下列說法正確的是()
A．多32人B．多13人
C．少27人D．少9人
[答案]D
[解析]∵27＋32－50＝9，故兩項(xiàng)興趣小組都參加的至多有27人，至少有9人．
11．設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)為奇函數(shù)，f(1)＝12，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，則f(5)＝()
A．0B．1
C.52D．5
[答案]C
[解析]f(1)＝f(－1＋2)＝f(－1)＋f(2)＝12，又f(－1)＝－f(1)＝－12，∴f(2)＝1，
∴f(5)＝f(3)＋f(2)＝f(1)＋2f(2)＝52.
12．已知f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(xiàn)(x)＝g(x)，若f(x)≥g(x)，f(x)，若f(x) A．大值為3，小值－1
B．大值為7－27，無小值
C．大值為3，無小值
D．既無大值，又無小值
[答案]B
[解析]作出F(x)的圖象，如圖實(shí)線部分，知有大值而無小值，且大值不是3，故選B.
第Ⅱ卷(非選擇題共90分)
二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上)
13．(2010•江蘇，1)設(shè)集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，則實(shí)數(shù)a＝________.
[答案]－1
[解析]∵A∩B＝{3}，∴3∈B，
∵a2＋4≥4，∴a＋2＝3，∴a＝－1.
14．已知函數(shù)y＝f(n)滿足f(n)＝2(n＝1)3f(n－1)(n≥2)，則f(3)＝________.
[答案]18
[解析]由條件知，f(1)＝2，f(2)＝3f(1)＝6，f(3)＝3f(2)＝18.
15．已知函數(shù)f(x)＝2－ax(a≠0)在區(qū)間[0,1]上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
[答案](0,2]
[解析]a<0時(shí)，f(x)在定義域上是增函數(shù)，不合題意，∴a>0.
由2－ax≥0得，x≤2a，
∴f(x)在(－∞，2a]上是減函數(shù)，
由條件2a≥1，∴0
16．國家規(guī)定個(gè)人稿費(fèi)的納稅辦法是：不超過800元的不納稅；超過800元而不超過4000元的按超過800元的14%納稅；超過4000元的按全部稿酬的11%納稅．某人出版了一本書，共納稅420元，則這個(gè)人的稿費(fèi)為________．
[答案]3800元
[解析]由于4000×11%＝440>420，設(shè)稿費(fèi)x元，x<4000，則(x－800)×14%＝420，
∴x＝3800(元)．
三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
17．(本題滿分12分)設(shè)集合A＝{x|a≤x≤a＋3}，集合B＝{x|x<－1或x>5}，分別就下列條件求實(shí)數(shù)a的取值范圍：
(1)A∩B≠∅，(2)A∩B＝A.
[解析](1)因?yàn)锳∩B≠∅，所以a<－1或a＋3>5，即a<－1或a>2.
(2)因?yàn)锳∩B＝A，所以A⊆B，所以a>5或a＋3<－1，即a>5或a<－4.
18．(本題滿分12分)二次函數(shù)f(x)的小值為1，且f(0)＝f(2)＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在區(qū)間[2a，a＋1]上不單調(diào)，求a的取值范圍．
[解析](1)∵f(x)為二次函數(shù)且f(0)＝f(2)，
∴對(duì)稱軸為x＝1.
又∵f(x)小值為1，∴可設(shè)f(x)＝a(x－1)2＋1(a>0)
∵f(0)＝3，∴a＝2，∴f(x)＝2(x－1)2＋1，
即f(x)＝2x2－4x＋3.
(2)由條件知2a<1
19．(本題滿分12分)圖中給出了奇函數(shù)f(x)的局部圖象，已知f(x)的定義域?yàn)閇－5,5]，試補(bǔ)全其圖象，并比較f(1)與f(3)的大?。?BR> [解析]奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可畫出其圖象如圖．顯見f(3)>f(1)．
20．(本題滿分12分)一塊形狀為直角三角形的鐵皮，直角邊長分別為40cm與60cm現(xiàn)將它剪成一個(gè)矩形，并以此三角形的直角為矩形的一個(gè)角，問怎樣剪法，才能使剩下的殘料少？
[解析]如圖，剪出的矩形為CDEF，設(shè)CD＝x，CF＝y(tǒng)，則AF＝40－y.
∵△AFE∽△ACB.
∴AFAC＝FEBC即∴40－y40＝x60
∴y＝40－23x.剩下的殘料面積為：
S＝12×60×40－x•y＝23x2－40x＋1200＝23(x－30)2＋600
∵0 ∴在邊長60cm的直角邊CB上截CD＝30cm，在邊長為40cm的直角邊AC上截CF＝20cm時(shí)，能使所剩殘料少．
21．(本題滿分12分)
(1)若a<0，討論函數(shù)f(x)＝x＋ax，在其定義域上的單調(diào)性；
(2)若a>0，判斷并證明f(x)＝x＋ax在(0，a]上的單調(diào)性．
[解析](1)∵a<0，∴y＝ax在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函數(shù)，
又y＝x為增函數(shù)，∴f(x)＝x＋ax在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函數(shù)．
(2)f(x)＝x＋ax在(0，a]上單調(diào)減，
設(shè)0 ＝(x1＋ax1)－(x2＋ax2)＝(x1－x2)＋a(x2－x1)x1x2
＝(x1－x2)(1－ax1x2)>0，
∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0，a]上單調(diào)減．
22．(本題滿分14分)設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－a|，g(x)＝ax.
(1)當(dāng)a＝2時(shí)，解關(guān)于x的不等式f(x) (2)記F(x)＝f(x)－g(x)，求函數(shù)F(x)在(0，a]上的小值(a>0)．
[解析](1)|x－2|<2x，則
x≥2，x－2<2x.或x<2，2－x<2x.
∴x≥2或2323.
(2)F(x)＝|x－a|－ax，∵0 ∴F(x)＝－(a＋1)x＋a.∵－(a＋1)<0，
∴函數(shù)F(x)在(0，a]上是單調(diào)減函數(shù)，∴當(dāng)x＝a時(shí)，函數(shù)F(x)取得小值為－a2.
【二】
第Ⅰ卷(選擇題共60分)
一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符號(hào)題目要求的。)
1．(09•寧夏海南理)已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，則A∩∁NB＝()
A．{1,5,7}B．{3,5,7}
C．{1,3,9}D．{1,2,3}
[答案]A
[解析]A∩∁NB＝{1,3,5,7,9}∩{1,2,4,5,7,8,10,11,13,14，…}＝{1,5,7}．
2．方程log3x＋x＝3的解所在區(qū)間是()
A．(0,1)B．(1,2)
C．(2,3)D．(3，＋∞)
[答案]C
[解析]令f(x)＝log3x＋x－3，
∵f(2)•f(3)<0，∴f(x)的零點(diǎn)在(2,3)內(nèi)，∴選C.
3．(08•全國Ⅰ)(1)函數(shù)y＝x(x－1)＋x的定義域?yàn)?)
A．{x|x≥0}B．{x|x≥1}
C．{x|x≥1}∪{0}D．{x|0≤x≤1}
[答案]C
[解析]要使y＝x(x－1)＋x有意義，則x(x－1)≥0x≥0，
∴x≥1或x≤0x≥0，∴x≥1或x＝0，
∴定義域?yàn)閧x|x≥1}∪{0}．
4．(09•遼寧文)已知函數(shù)f(x)滿足：x≥4，f(x)＝12x；當(dāng)x<4時(shí)，f(x)＝f(x＋1)，則f(2＋log23)＝()
A.124B.112
C.18D.38
[答案]A
5．(08•江西)若0 A．3y<3xB．logx3 C．log4x [答案]C
[解析]∵0 ∴①由y＝3u為增函數(shù)知3x<3y，排除A；
②∵log3u在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，
∴l(xiāng)og3xlogy3，∴B錯(cuò)．
③由y＝log4u為增函數(shù)知log4x ④由y＝14u為減函數(shù)知14x>14y，排除D.
6．已知方程|x|－ax－1＝0僅有一個(gè)負(fù)根，則a的取值范圍是()
A．a(chǎn)<1B．a(chǎn)≤1
C．a(chǎn)>1D．a(chǎn)≥1
[答案]D
[解析]數(shù)形結(jié)合判斷．
7．已知a>0且a≠1，則兩函數(shù)f(x)＝ax和g(x)＝loga－1x的圖象只可能是()
[答案]C
[解析]g(x)＝loga－1x＝－loga(－x)，
其圖象只能在y軸左側(cè)，排除A、B；
由C、D知，g(x)為增函數(shù)，∴a>1，
∴y＝ax為增函數(shù)，排除D.∴選C.
8．下列各函數(shù)中，哪一個(gè)與y＝x為同一函數(shù)()
A．y＝x2xB．y＝(x)2
C．y＝log33xD．y＝2log2x
[答案]C
[解析]A∶y＝x(x≠0)，定義域不同；
B∶y＝x(x≥0)，定義域不同；
D∶y＝x(x＞0)定義域不同，故選C.
9．(上海大學(xué)附中2009～2010高一期末)下圖為兩冪函數(shù)y＝xα和y＝xβ的圖像，其中α，β∈{－12，12，2,3}，則不可能的是()
[答案]B
[解析]圖A是y＝x2與y＝x12；圖C是y＝x3與y＝x－12；圖D是y＝x2與y＝x－12，故選B.
10．(2010•天津理，8)設(shè)函數(shù)f(x)＝log2x，x>0，log12(－x)，x<0.若f(a)>f(－a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()
A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)
[答案]C
[解析]解法1：由圖象變換知函數(shù)f(x)圖象如圖，且f(－x)＝－f(x)，即f(x)為奇函數(shù)，∴f(a)>f(－a)化為f(a)>0，∴當(dāng)x∈(－1,0)∪(1，＋∞)，f(a)>f(－a)，故選C.
解法2：當(dāng)a>0時(shí)，由f(a)>f(－a)得，log2a>log12a，∴a>1；當(dāng)a<0時(shí)，由f(a)>f(－a)得，log12(－a)>log2(－a)，∴－1
11．某市2008年新建住房100萬平方米，其中有25萬平方米經(jīng)濟(jì)適用房，有關(guān)部門計(jì)劃以后每年新建住房面積比上一年增加5%，其中經(jīng)濟(jì)適用房每年增加10萬平方米．按照此計(jì)劃，當(dāng)年建造的經(jīng)濟(jì)適用房面積首次超過該年新建住房面積一半的年份是(參考數(shù)據(jù)：1.052＝1,1.053＝1.16,1.054＝1.22，1.055＝1.28)()
A．2010年B．2011年
C．2012年D．2013年
[答案]C
[解析]設(shè)第x年新建住房面積為f(x)＝100(1＋5%)x，經(jīng)濟(jì)適用房面積為g(x)＝25＋10x，由2g(x)>f(x)得：2(25＋10x)>100(1＋5%)x，將已知條件代入驗(yàn)證知x＝4，所以在2012年時(shí)滿足題意．
12．(2010•山東理，4)設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝2x＋2x＋b(b為常數(shù))，則f(－1)＝()
A．3B．1
C．－1D．－3
[答案]D
[解析]∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(0)＝0，即0＝20＋b，∴b＝－1，
故f(1)＝2＋2－1＝3，∴f(－1)＝－f(1)＝－3.
第Ⅱ卷(非選擇題共90分)
二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上)
13．化簡：(lg2)2＋lg2lg5＋lg5＝________.
[答案]1
[解析](lg2)2＋lg2lg5＋lg5＝lg2(lg2＋lg5)＋lg5＝lg2＋lg5＝1.
14．(09•重慶理)若f(x)＝12x－1＋a是奇函數(shù)，則a＝________.
[答案]12
[解析]∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－1)＝－f(1)，
即12－1－1＋a＝－12－1－a，∴a＝12.
15．已知集合A＝{x|x2－9x＋14＝0}，B＝{x|ax＋2＝0}若BA，則實(shí)數(shù)a的取值集合為________．
[答案]{0，－1，－27}
[解析]A＝{2,7}，當(dāng)a＝0時(shí)，B＝∅
滿足BA；當(dāng)a≠0時(shí)，B＝{－2a}
由BA知，－2a＝2或7，∴a＝－1或－27
綜上可知a的取值集合為{0，－1，－27}．
16．已知x23>x35，則x的范圍為________．
[答案](－∞，0)∪(1，＋∞)
[解析]解法1：y＝x23和y＝x35定義域都是R，y＝x23過一、二象限，y＝x35過一、三象限，
∴當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)x23>x35恒成立
x＝0時(shí)，顯然不成立．
當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，x23>0，x35>0，
∴＝x115>1，∴x>1，即x>1時(shí)x23>x35
∴x的取值范圍為(－∞，0)∪(1，＋∞)．
解法2：x<0時(shí)，x23>0>x35成立；
x>0時(shí)，將x看作指數(shù)函數(shù)的底數(shù)
∵23>35且x23>x35，∴x>1.
∴x的取值范圍是(－∞，0)∪(1，＋∞)．
[點(diǎn)評(píng)]變量與常量相互轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．
三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
17．(本題滿分12分)用單調(diào)性定義證明函數(shù)f(x)＝x－2x＋1在(－1，＋∞)上是增函數(shù)．
[解析]證明：設(shè)x1>x2>－1，則
f(x1)－f(x2)＝x1－2x1＋1－x2－2x2＋1＝3(x1－x2)(x1＋1)(x2＋1)>0
∴f(x1)>f(x2)
∴f(x)在(－1，＋∞)上是增函數(shù)．
18．(本題滿分12分)已知全集R，集合A＝{x|x2＋px＋12＝0}，B＝{x|x2－5x＋q＝0}，若(∁RA)∩B＝{2}，求p＋q的值．
[解析]∵(∁RA)∩B＝{2}，∴2∈B，
由B＝{x|x2－5x＋q＝0}有4－10＋q＝0，∴q＝6，
此時(shí)B＝{x|x2－5x＋6}＝{2,3}
假設(shè)∁RA中有3，則(∁RA)∩B＝{2,3}與(∁RA)∩B＝{2}矛盾，
∵3∈R又3∉(∁RA)，
∴3∈A，由A＝{x|x2＋px＋12＝0}有9＋3p＋12＝0，
∴p＝－7.∴p＋q＝－1.
19．(本題滿分12分)設(shè)f(x)＝4x4x＋2，若0＜a＜1，試求：
(1)f(a)＋f(1－a)的值；
(2)f(11001)＋f(21001)＋f(31001)＋…＋f(10001001)的值．
[解析](1)f(a)＋f(1－a)＝4a4a＋2＋41－a41－a＋2
＝4a4a＋2＋44＋2×4a＝4a＋24a＋2＝1
∴f(11001)＋f(10001001)＝f(21001)＋f(9991001)
＝…＝f(5001001)＋f(5011001)＝1.∴原式＝500.
20．(本題滿分12分)若關(guān)于x的方程x2＋2ax＋2－a＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求分別滿足下列條件的a的取值范圍．
(1)方程兩根都小于1；
(2)方程一根大于2，另一根小于2.
[解析]設(shè)f(x)＝x2＋2ax＋2－a
(1)∵兩根都小于1，
∴Δ＝4a2－4(2－a)>0－2a<2f(1)＝3＋a>0，解得a>1.
(2)∵方程一根大于2，一根小于2，
∴f(2)<0∴a<－2.
21．(本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝loga(a－ax)(a＞1)．
(1)求函數(shù)的定義域和值域；
(2)討論f(x)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性；
(3)求證函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．
[解析](1)解：由a－ax＞0得，ax＜a，∵a＞1，
∴x＜1，∴函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，1)
∵ax＞0且a－ax＞0.
∴0＜a－ax＜a.
∴l(xiāng)oga(a－ax)∈(－∞，1)，即函數(shù)的值域?yàn)?－∞，1)．
(2)解：u＝a－ax在(－∞，1)上遞減，
∴y＝loga(a－ax)在(－∞，1)上遞減．
(3)證明：令f(x)＝y(tǒng)，則y＝loga(a－ax)，
∴ay＝a－ax，
∴ax＝a－ay，∴x＝loga(a－ay)，
即反函數(shù)為y＝loga(a－ax)，
∴f(x)＝loga(a－ax)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．
[點(diǎn)評(píng)](1)本題給出了條件a＞1，若把這個(gè)條件改為a＞0且a≠1，就應(yīng)分a＞1與0＜a＜1進(jìn)行討論．請(qǐng)自己在0＜a＜1的條件下再解答(1)(2)問．
(2)第(3)問可在函數(shù)f(x)的圖象上任取一點(diǎn)，P(x0，y0)，證明它關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)(y0，x0)也在函數(shù)的圖象上．
∵y0＝loga(a－ax0)
∴ay0＝a－ax0即a－ay0＝ax0
∴f(y0)＝loga(a－ay0)＝logaax0＝x0
∴點(diǎn)(y0，x0)也在函數(shù)y＝f(x)的圖象上．
∴函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．
22．(本題滿分14分)已知函數(shù)f(x)＝axx2－1的定義域?yàn)閇－12，12]，(a≠0)
(1)判斷f(x)的奇偶性．
(2)討論f(x)的單調(diào)性．
(3)求f(x)的大值．
[解析](1)∵f(－x)＝－axx2－1＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)．
(2)設(shè)－12≤x1＜x2≤12，
f(x1)－f(x2)＝ax1x21－1－ax2x22－1
＝a(x2－x1)(x1x2＋1)(x21－1)(x22－1)
若a＞0，則由于x21－1＜0，x22－1＜0，x2－x1＞0，
x1x2＋1＞0.
∴f(x1)－f(x2)＞0
∴f(x1)＞f(x2)即f(x)在[－12，12]上是減函數(shù)
若a＜0，同理可得，f(x)在[－12，12]上是增函數(shù)．
(3)當(dāng)a＞0時(shí)，由(2)知f(x)的大值為
f(－12)＝23a.
當(dāng)a＜0時(shí)，由(2)知f(x)的大值為f(12)＝－23a.
【一】
第Ⅰ卷(選擇題共60分)
一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符號(hào)題目要求的。)
1．已知集合A＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{1,3,6,9}，C＝{3,7,8}，則(A∩B)∪C等于()
A．{0,1,2,6,8}B．{3,7,8}
C．{1,3,7,8}D．{1,3,6,7,8}
[答案]C
[解析]A∩B＝{1,3}，(A∩B)∪C＝{1,3,7,8}，故選C.
2．(09•陜西文)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足：對(duì)任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有f(x2)－f(x1)x2－x1<0，則()
A．f(3)
[解析]若x2－x1>0，則f(x2)－f(x1)<0，
即f(x2)
∵3>2>1，∴f(3)
∴f(3)
x01－1
f(x)10－1
x01－1
g(x)－101
則f(g(1))的值為()
A．－1B．0
C．1D．不存在
[答案]C
[解析]∵g(1)＝0，f(0)＝1，∴f(g(1))＝1.
4．已知函數(shù)f(x＋1)＝3x＋2，則f(x)的解析式是()
A．3x＋2B．3x＋1
C．3x－1D．3x＋4
[答案]C
[解析]設(shè)x＋1＝t，則x＝t－1，
∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1，∴f(x)＝3x－1.
5．已知f(x)＝2x－1(x≥2)－x2＋3x(x<2)，則f(－1)＋f(4)的值為()
A．－7B．3
C．－8D．4
[答案]B
[解析]f(4)＝2×4－1＝7，f(－1)＝－(－1)2＋3×(－1)＝－4，∴f(4)＋f(－1)＝3，故選B.
6．f(x)＝－x2＋mx在(－∞，1]上是增函數(shù)，則m的取值范圍是()
A．{2}B．(－∞，2]
C．[2，＋∞)D．(－∞，1]
[答案]C
[解析]f(x)＝－(x－m2)2＋m24的增區(qū)間為(－∞，m2]，由條件知m2≥1，∴m≥2，故選C.
7．定義集合A、B的運(yùn)算A*B＝{x|x∈A，或x∈B，且x∉A∩B}，則(A*B)*A等于()
A．A∩BB．A∪B
C．AD．B
[答案]D
[解析]A*B的本質(zhì)就是集合A與B的并集中除去它們的公共元素后，剩余元素組成的集合．
因此(A*B)*A是圖中陰影部分與A的并集，除去A中陰影部分后剩余部分即B，故選D.
[點(diǎn)評(píng)]可取特殊集合求解．
如取A＝{1,2,3}，B＝{1,5}，則A*B＝{2,3,5}，(A*B)*A＝{1,5}＝B.
8．(廣東梅縣東山中學(xué)2009～2010高一期末)定義兩種運(yùn)算：ab＝a2－b2，a⊗b＝(a－b)2，則函數(shù)f(x)＝為()
A．奇函數(shù)
B．偶函數(shù)
C．奇函數(shù)且為偶函數(shù)
D．非奇函數(shù)且非偶函數(shù)
[答案]A
[解析]由運(yùn)算與⊗的定義知，
f(x)＝4－x2(x－2)2－2，
∵4－x2≥0，∴－2≤x≤2，
∴f(x)＝4－x2(2－x)－2＝－4－x2x，
∴f(x)的定義域?yàn)閧x|－2≤x<0或0
9．(08•天津文)已知函數(shù)f(x)＝x＋2，x≤0，－x＋2，x>0，則不等式f(x)≥x2的解集為()
A．[－1,1]B．[－2,2]
C．[－2,1]D．[－1,2]
[答案]A
[解析]解法1：當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)＝0，f(x)≥x2不成立，排除B、D；當(dāng)x＝－2時(shí)，f(x)＝0，也不滿足f(x)≥x2，排除C，故選A.
解法2：不等式化為x≤0x＋2≥x2或x>0－x＋2≥x2，
解之得，－1≤x≤0或0
A．多32人B．多13人
C．少27人D．少9人
[答案]D
[解析]∵27＋32－50＝9，故兩項(xiàng)興趣小組都參加的至多有27人，至少有9人．
11．設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)為奇函數(shù)，f(1)＝12，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，則f(5)＝()
A．0B．1
C.52D．5
[答案]C
[解析]f(1)＝f(－1＋2)＝f(－1)＋f(2)＝12，又f(－1)＝－f(1)＝－12，∴f(2)＝1，
∴f(5)＝f(3)＋f(2)＝f(1)＋2f(2)＝52.
12．已知f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(xiàn)(x)＝g(x)，若f(x)≥g(x)，f(x)，若f(x)
B．大值為7－27，無小值
C．大值為3，無小值
D．既無大值，又無小值
[答案]B
[解析]作出F(x)的圖象，如圖實(shí)線部分，知有大值而無小值，且大值不是3，故選B.
第Ⅱ卷(非選擇題共90分)
二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上)
13．(2010•江蘇，1)設(shè)集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，則實(shí)數(shù)a＝________.
[答案]－1
[解析]∵A∩B＝{3}，∴3∈B，
∵a2＋4≥4，∴a＋2＝3，∴a＝－1.
14．已知函數(shù)y＝f(n)滿足f(n)＝2(n＝1)3f(n－1)(n≥2)，則f(3)＝________.
[答案]18
[解析]由條件知，f(1)＝2，f(2)＝3f(1)＝6，f(3)＝3f(2)＝18.
15．已知函數(shù)f(x)＝2－ax(a≠0)在區(qū)間[0,1]上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
[答案](0,2]
[解析]a<0時(shí)，f(x)在定義域上是增函數(shù)，不合題意，∴a>0.
由2－ax≥0得，x≤2a，
∴f(x)在(－∞，2a]上是減函數(shù)，
由條件2a≥1，∴0
16．國家規(guī)定個(gè)人稿費(fèi)的納稅辦法是：不超過800元的不納稅；超過800元而不超過4000元的按超過800元的14%納稅；超過4000元的按全部稿酬的11%納稅．某人出版了一本書，共納稅420元，則這個(gè)人的稿費(fèi)為________．
[答案]3800元
[解析]由于4000×11%＝440>420，設(shè)稿費(fèi)x元，x<4000，則(x－800)×14%＝420，
∴x＝3800(元)．
三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
17．(本題滿分12分)設(shè)集合A＝{x|a≤x≤a＋3}，集合B＝{x|x<－1或x>5}，分別就下列條件求實(shí)數(shù)a的取值范圍：
(1)A∩B≠∅，(2)A∩B＝A.
[解析](1)因?yàn)锳∩B≠∅，所以a<－1或a＋3>5，即a<－1或a>2.
(2)因?yàn)锳∩B＝A，所以A⊆B，所以a>5或a＋3<－1，即a>5或a<－4.
18．(本題滿分12分)二次函數(shù)f(x)的小值為1，且f(0)＝f(2)＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在區(qū)間[2a，a＋1]上不單調(diào)，求a的取值范圍．
[解析](1)∵f(x)為二次函數(shù)且f(0)＝f(2)，
∴對(duì)稱軸為x＝1.
又∵f(x)小值為1，∴可設(shè)f(x)＝a(x－1)2＋1(a>0)
∵f(0)＝3，∴a＝2，∴f(x)＝2(x－1)2＋1，
即f(x)＝2x2－4x＋3.
(2)由條件知2a<1
19．(本題滿分12分)圖中給出了奇函數(shù)f(x)的局部圖象，已知f(x)的定義域?yàn)閇－5,5]，試補(bǔ)全其圖象，并比較f(1)與f(3)的大?。?BR> [解析]奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可畫出其圖象如圖．顯見f(3)>f(1)．
20．(本題滿分12分)一塊形狀為直角三角形的鐵皮，直角邊長分別為40cm與60cm現(xiàn)將它剪成一個(gè)矩形，并以此三角形的直角為矩形的一個(gè)角，問怎樣剪法，才能使剩下的殘料少？
[解析]如圖，剪出的矩形為CDEF，設(shè)CD＝x，CF＝y(tǒng)，則AF＝40－y.
∵△AFE∽△ACB.
∴AFAC＝FEBC即∴40－y40＝x60
∴y＝40－23x.剩下的殘料面積為：
S＝12×60×40－x•y＝23x2－40x＋1200＝23(x－30)2＋600
∵0
21．(本題滿分12分)
(1)若a<0，討論函數(shù)f(x)＝x＋ax，在其定義域上的單調(diào)性；
(2)若a>0，判斷并證明f(x)＝x＋ax在(0，a]上的單調(diào)性．
[解析](1)∵a<0，∴y＝ax在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函數(shù)，
又y＝x為增函數(shù)，∴f(x)＝x＋ax在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函數(shù)．
(2)f(x)＝x＋ax在(0，a]上單調(diào)減，
設(shè)0
＝(x1－x2)(1－ax1x2)>0，
∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0，a]上單調(diào)減．
22．(本題滿分14分)設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－a|，g(x)＝ax.
(1)當(dāng)a＝2時(shí)，解關(guān)于x的不等式f(x)
[解析](1)|x－2|<2x，則
x≥2，x－2<2x.或x<2，2－x<2x.
∴x≥2或23
(2)F(x)＝|x－a|－ax，∵0
∴函數(shù)F(x)在(0，a]上是單調(diào)減函數(shù)，∴當(dāng)x＝a時(shí)，函數(shù)F(x)取得小值為－a2.
【二】
第Ⅰ卷(選擇題共60分)
一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符號(hào)題目要求的。)
1．(09•寧夏海南理)已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，則A∩∁NB＝()
A．{1,5,7}B．{3,5,7}
C．{1,3,9}D．{1,2,3}
[答案]A
[解析]A∩∁NB＝{1,3,5,7,9}∩{1,2,4,5,7,8,10,11,13,14，…}＝{1,5,7}．
2．方程log3x＋x＝3的解所在區(qū)間是()
A．(0,1)B．(1,2)
C．(2,3)D．(3，＋∞)
[答案]C
[解析]令f(x)＝log3x＋x－3，
∵f(2)•f(3)<0，∴f(x)的零點(diǎn)在(2,3)內(nèi)，∴選C.
3．(08•全國Ⅰ)(1)函數(shù)y＝x(x－1)＋x的定義域?yàn)?)
A．{x|x≥0}B．{x|x≥1}
C．{x|x≥1}∪{0}D．{x|0≤x≤1}
[答案]C
[解析]要使y＝x(x－1)＋x有意義，則x(x－1)≥0x≥0，
∴x≥1或x≤0x≥0，∴x≥1或x＝0，
∴定義域?yàn)閧x|x≥1}∪{0}．
4．(09•遼寧文)已知函數(shù)f(x)滿足：x≥4，f(x)＝12x；當(dāng)x<4時(shí)，f(x)＝f(x＋1)，則f(2＋log23)＝()
A.124B.112
C.18D.38
[答案]A
5．(08•江西)若0
[解析]∵0
②∵log3u在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，
∴l(xiāng)og3x
③由y＝log4u為增函數(shù)知log4x
6．已知方程|x|－ax－1＝0僅有一個(gè)負(fù)根，則a的取值范圍是()
A．a(chǎn)<1B．a(chǎn)≤1
C．a(chǎn)>1D．a(chǎn)≥1
[答案]D
[解析]數(shù)形結(jié)合判斷．
7．已知a>0且a≠1，則兩函數(shù)f(x)＝ax和g(x)＝loga－1x的圖象只可能是()
[答案]C
[解析]g(x)＝loga－1x＝－loga(－x)，
其圖象只能在y軸左側(cè)，排除A、B；
由C、D知，g(x)為增函數(shù)，∴a>1，
∴y＝ax為增函數(shù)，排除D.∴選C.
8．下列各函數(shù)中，哪一個(gè)與y＝x為同一函數(shù)()
A．y＝x2xB．y＝(x)2
C．y＝log33xD．y＝2log2x
[答案]C
[解析]A∶y＝x(x≠0)，定義域不同；
B∶y＝x(x≥0)，定義域不同；
D∶y＝x(x＞0)定義域不同，故選C.
9．(上海大學(xué)附中2009～2010高一期末)下圖為兩冪函數(shù)y＝xα和y＝xβ的圖像，其中α，β∈{－12，12，2,3}，則不可能的是()
[答案]B
[解析]圖A是y＝x2與y＝x12；圖C是y＝x3與y＝x－12；圖D是y＝x2與y＝x－12，故選B.
10．(2010•天津理，8)設(shè)函數(shù)f(x)＝log2x，x>0，log12(－x)，x<0.若f(a)>f(－a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()
A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)
[答案]C
[解析]解法1：由圖象變換知函數(shù)f(x)圖象如圖，且f(－x)＝－f(x)，即f(x)為奇函數(shù)，∴f(a)>f(－a)化為f(a)>0，∴當(dāng)x∈(－1,0)∪(1，＋∞)，f(a)>f(－a)，故選C.
解法2：當(dāng)a>0時(shí)，由f(a)>f(－a)得，log2a>log12a，∴a>1；當(dāng)a<0時(shí)，由f(a)>f(－a)得，log12(－a)>log2(－a)，∴－1
11．某市2008年新建住房100萬平方米，其中有25萬平方米經(jīng)濟(jì)適用房，有關(guān)部門計(jì)劃以后每年新建住房面積比上一年增加5%，其中經(jīng)濟(jì)適用房每年增加10萬平方米．按照此計(jì)劃，當(dāng)年建造的經(jīng)濟(jì)適用房面積首次超過該年新建住房面積一半的年份是(參考數(shù)據(jù)：1.052＝1,1.053＝1.16,1.054＝1.22，1.055＝1.28)()
A．2010年B．2011年
C．2012年D．2013年
[答案]C
[解析]設(shè)第x年新建住房面積為f(x)＝100(1＋5%)x，經(jīng)濟(jì)適用房面積為g(x)＝25＋10x，由2g(x)>f(x)得：2(25＋10x)>100(1＋5%)x，將已知條件代入驗(yàn)證知x＝4，所以在2012年時(shí)滿足題意．
12．(2010•山東理，4)設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝2x＋2x＋b(b為常數(shù))，則f(－1)＝()
A．3B．1
C．－1D．－3
[答案]D
[解析]∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(0)＝0，即0＝20＋b，∴b＝－1，
故f(1)＝2＋2－1＝3，∴f(－1)＝－f(1)＝－3.
第Ⅱ卷(非選擇題共90分)
二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分，把正確答案填在題中橫線上)
13．化簡：(lg2)2＋lg2lg5＋lg5＝________.
[答案]1
[解析](lg2)2＋lg2lg5＋lg5＝lg2(lg2＋lg5)＋lg5＝lg2＋lg5＝1.
14．(09•重慶理)若f(x)＝12x－1＋a是奇函數(shù)，則a＝________.
[答案]12
[解析]∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－1)＝－f(1)，
即12－1－1＋a＝－12－1－a，∴a＝12.
15．已知集合A＝{x|x2－9x＋14＝0}，B＝{x|ax＋2＝0}若BA，則實(shí)數(shù)a的取值集合為________．
[答案]{0，－1，－27}
[解析]A＝{2,7}，當(dāng)a＝0時(shí)，B＝∅
滿足BA；當(dāng)a≠0時(shí)，B＝{－2a}
由BA知，－2a＝2或7，∴a＝－1或－27
綜上可知a的取值集合為{0，－1，－27}．
16．已知x23>x35，則x的范圍為________．
[答案](－∞，0)∪(1，＋∞)
[解析]解法1：y＝x23和y＝x35定義域都是R，y＝x23過一、二象限，y＝x35過一、三象限，
∴當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)x23>x35恒成立
x＝0時(shí)，顯然不成立．
當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，x23>0，x35>0，
∴＝x115>1，∴x>1，即x>1時(shí)x23>x35
∴x的取值范圍為(－∞，0)∪(1，＋∞)．
解法2：x<0時(shí)，x23>0>x35成立；
x>0時(shí)，將x看作指數(shù)函數(shù)的底數(shù)
∵23>35且x23>x35，∴x>1.
∴x的取值范圍是(－∞，0)∪(1，＋∞)．
[點(diǎn)評(píng)]變量與常量相互轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．
三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
17．(本題滿分12分)用單調(diào)性定義證明函數(shù)f(x)＝x－2x＋1在(－1，＋∞)上是增函數(shù)．
[解析]證明：設(shè)x1>x2>－1，則
f(x1)－f(x2)＝x1－2x1＋1－x2－2x2＋1＝3(x1－x2)(x1＋1)(x2＋1)>0
∴f(x1)>f(x2)
∴f(x)在(－1，＋∞)上是增函數(shù)．
18．(本題滿分12分)已知全集R，集合A＝{x|x2＋px＋12＝0}，B＝{x|x2－5x＋q＝0}，若(∁RA)∩B＝{2}，求p＋q的值．
[解析]∵(∁RA)∩B＝{2}，∴2∈B，
由B＝{x|x2－5x＋q＝0}有4－10＋q＝0，∴q＝6，
此時(shí)B＝{x|x2－5x＋6}＝{2,3}
假設(shè)∁RA中有3，則(∁RA)∩B＝{2,3}與(∁RA)∩B＝{2}矛盾，
∵3∈R又3∉(∁RA)，
∴3∈A，由A＝{x|x2＋px＋12＝0}有9＋3p＋12＝0，
∴p＝－7.∴p＋q＝－1.
19．(本題滿分12分)設(shè)f(x)＝4x4x＋2，若0＜a＜1，試求：
(1)f(a)＋f(1－a)的值；
(2)f(11001)＋f(21001)＋f(31001)＋…＋f(10001001)的值．
[解析](1)f(a)＋f(1－a)＝4a4a＋2＋41－a41－a＋2
＝4a4a＋2＋44＋2×4a＝4a＋24a＋2＝1
∴f(11001)＋f(10001001)＝f(21001)＋f(9991001)
＝…＝f(5001001)＋f(5011001)＝1.∴原式＝500.
20．(本題滿分12分)若關(guān)于x的方程x2＋2ax＋2－a＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求分別滿足下列條件的a的取值范圍．
(1)方程兩根都小于1；
(2)方程一根大于2，另一根小于2.
[解析]設(shè)f(x)＝x2＋2ax＋2－a
(1)∵兩根都小于1，
∴Δ＝4a2－4(2－a)>0－2a<2f(1)＝3＋a>0，解得a>1.
(2)∵方程一根大于2，一根小于2，
∴f(2)<0∴a<－2.
21．(本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝loga(a－ax)(a＞1)．
(1)求函數(shù)的定義域和值域；
(2)討論f(x)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性；
(3)求證函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．
[解析](1)解：由a－ax＞0得，ax＜a，∵a＞1，
∴x＜1，∴函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，1)
∵ax＞0且a－ax＞0.
∴0＜a－ax＜a.
∴l(xiāng)oga(a－ax)∈(－∞，1)，即函數(shù)的值域?yàn)?－∞，1)．
(2)解：u＝a－ax在(－∞，1)上遞減，
∴y＝loga(a－ax)在(－∞，1)上遞減．
(3)證明：令f(x)＝y(tǒng)，則y＝loga(a－ax)，
∴ay＝a－ax，
∴ax＝a－ay，∴x＝loga(a－ay)，
即反函數(shù)為y＝loga(a－ax)，
∴f(x)＝loga(a－ax)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．
[點(diǎn)評(píng)](1)本題給出了條件a＞1，若把這個(gè)條件改為a＞0且a≠1，就應(yīng)分a＞1與0＜a＜1進(jìn)行討論．請(qǐng)自己在0＜a＜1的條件下再解答(1)(2)問．
(2)第(3)問可在函數(shù)f(x)的圖象上任取一點(diǎn)，P(x0，y0)，證明它關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)(y0，x0)也在函數(shù)的圖象上．
∵y0＝loga(a－ax0)
∴ay0＝a－ax0即a－ay0＝ax0
∴f(y0)＝loga(a－ay0)＝logaax0＝x0
∴點(diǎn)(y0，x0)也在函數(shù)y＝f(x)的圖象上．
∴函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．
22．(本題滿分14分)已知函數(shù)f(x)＝axx2－1的定義域?yàn)閇－12，12]，(a≠0)
(1)判斷f(x)的奇偶性．
(2)討論f(x)的單調(diào)性．
(3)求f(x)的大值．
[解析](1)∵f(－x)＝－axx2－1＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)．
(2)設(shè)－12≤x1＜x2≤12，
f(x1)－f(x2)＝ax1x21－1－ax2x22－1
＝a(x2－x1)(x1x2＋1)(x21－1)(x22－1)
若a＞0，則由于x21－1＜0，x22－1＜0，x2－x1＞0，
x1x2＋1＞0.
∴f(x1)－f(x2)＞0
∴f(x1)＞f(x2)即f(x)在[－12，12]上是減函數(shù)
若a＜0，同理可得，f(x)在[－12，12]上是增函數(shù)．
(3)當(dāng)a＞0時(shí)，由(2)知f(x)的大值為
f(－12)＝23a.
當(dāng)a＜0時(shí)，由(2)知f(x)的大值為f(12)＝－23a.