整理了小學(xué)六年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)大全【1-7單元】，希望對(duì)你有幫助!
第一單元分?jǐn)?shù)乘法
一、分?jǐn)?shù)乘法
(一)分?jǐn)?shù)乘法的意義：
1、分?jǐn)?shù)乘整數(shù)與整數(shù)乘法的意義相同。都是求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算。
例如：65×5表示求5個(gè)65的和是多少? 1/3×5表示求5個(gè)1/3的和是多少?
2、一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義是求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少?！?BR> 例如：1/3×4/7表示求1/3的4/7是多少。
4×3/8表示求4的3/8是多少.
(二)、分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算法則：
1、分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘：分子與整數(shù)相乘的積做分子，分母不變。(整數(shù)和分母約分)
2、分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)相乘：用分子相乘的積做分子，分母相乘的積做分母。注意：當(dāng)帶分?jǐn)?shù)進(jìn)行乘法計(jì)算時(shí)，要先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)再進(jìn)行計(jì)算。
3、為了計(jì)算簡(jiǎn)便，能約分的要先約分，再計(jì)算。（盡量約分，不會(huì)約分的就不約，?？嫉馁|(zhì)因數(shù)有11×11=121；13×13=169；17×17=289；19×19=361）
4、小數(shù)乘分?jǐn)?shù)，可以先把小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，也可以把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)再計(jì)算（建議把小數(shù)化分?jǐn)?shù)再計(jì)算）。
(三)、 乘法中比較大小的規(guī)律
一個(gè)數(shù)(0除外)乘大于1的數(shù)，積大于這個(gè)數(shù)。
一個(gè)數(shù)(0除外)乘小于1的數(shù)(0除外)，積小于這個(gè)數(shù)。
一個(gè)數(shù)(0除外)乘1，積等于這個(gè)數(shù)。
(四)、分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序和整數(shù)的運(yùn)算順序相同。整數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和分配律，對(duì)于分?jǐn)?shù)乘法也同樣適用。
乘法交換律： a × b = b × a
乘法結(jié)合律： ( a × b )×c = a × ( b × c )
乘法分配律： ( a + b )×c = a c + b c
二、分?jǐn)?shù)乘法的解決問(wèn)題(已知單位“1”的量(用乘法)，即求單位“1”的幾分之幾是多少)
1、畫(huà)線段圖：(1)兩個(gè)量的關(guān)系：畫(huà)兩條線段圖，先畫(huà)單位一的量，注意兩條線段的左邊要對(duì)齊。(2)部分和整體的關(guān)系：畫(huà)一條線段圖。
2、找單位“1”： 單位“1” 在分率句中分率的前面；
或在“占”、“是”、“比”“相當(dāng)于”的后面。
3、寫(xiě)數(shù)量關(guān)系式的技巧：
(1)“的” 相當(dāng)于 “×” ，“占”、“相當(dāng)于”“是”、“比”是 “ = ”
(2)分率前是“的”字：用單位“1”的量×分率=具體量
例如：甲數(shù)是20，甲數(shù)的1/3是多少？列式是：20×1/3
4、看分率前有沒(méi)有多或少的問(wèn)題；分率前是“多或少”的關(guān)系式：
（比少）：?jiǎn)挝弧?”的量×(1-分率)=具體量；
例如：甲數(shù)是50，乙數(shù)比甲數(shù)少1/2，乙數(shù)是多少？
列式是：50×（1-1/2）
（比多）：?jiǎn)挝弧?”的量×(1+分率)=具體量
例如：小紅有30元錢(qián)，小明比小紅多3/5，小紅有多少錢(qián)？
列式是：50×（1+3/5）
3、求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少：用 一個(gè)數(shù)×幾倍；
4、求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少： 用一個(gè)數(shù)×幾分之幾。
5、求幾個(gè)幾分之幾是多少：用幾分之幾×個(gè)數(shù)
6、求已知一個(gè)部分量是總量的幾分之幾，求另一個(gè)部分量的方法：
(1)、單位“1”的量×(1-分率)=另一個(gè)部分量（建議用）
(2)、單位“1”的量-已知占單位“1”的幾分之幾的部分量=要求的部分量
例如：教材15頁(yè)做一做和16頁(yè)練習(xí)第七題（題目中有時(shí)候會(huì)有這種題的關(guān)鍵字“其中”）
第二單元位置與方向（二）
一、確定物體位置的方法：1、先找觀測(cè)點(diǎn)；2、再定方向（看方向夾角的度數(shù)）；3、最后確定距離（看比例尺）
二、描繪路線圖的關(guān)鍵是選好觀測(cè)點(diǎn)，建立方向標(biāo)，確定方向和路程。
三、位置關(guān)系的相對(duì)性：1、兩地的位置具有相對(duì)性在敘述兩地的位置關(guān)系時(shí)，觀測(cè)點(diǎn)不同，敘述的方向正好相反，而度數(shù)和距離正好相等。
四、相對(duì)位置：東--西；南--北；南偏東--北偏西。
第三單元分?jǐn)?shù)除法
三、倒數(shù)
1、倒數(shù)的意義： 乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。
強(qiáng)調(diào)：互為倒數(shù)，即倒數(shù)是兩個(gè)數(shù)的關(guān)系，它們互相依存，倒數(shù)不能單獨(dú)存在?！?要說(shuō)清誰(shuí)是誰(shuí)的倒數(shù))。
2、求倒數(shù)的方法：
(1)、求分?jǐn)?shù)的倒數(shù)：交換分子分母的位置。
(2)、求整數(shù)的倒數(shù)：把整數(shù)看做分母是1的分?jǐn)?shù)，再交換分子分母的位置。
(3)、求帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)：把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再求倒數(shù)。
(4)、求小數(shù)的倒數(shù)： 把小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，再求倒數(shù)。
3、 1的倒數(shù)是1； 因?yàn)?×1=1；0沒(méi)有倒數(shù)，因?yàn)?乘任何數(shù)都得0，(分母不能為0)
4、真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)大于1;假分?jǐn)?shù)的倒數(shù)小于或等于1;帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)小于1。
5、運(yùn)用，a×2/3=b×1/4求a和b是多少。把a(bǔ)×2/3=b×1/4看成等于1,也就是求2/3的倒數(shù)和求1/4的倒數(shù)。
1、分?jǐn)?shù)除法的意義：
乘法： 因數(shù) × 因數(shù) = 積
除法： 積 ÷ 一個(gè)因數(shù) = 另一個(gè)因數(shù)
分?jǐn)?shù)除法與整數(shù)除法的意義相同，表示已知兩個(gè)因數(shù)的積和其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算。
例如：1/2÷3/5意義是：已知兩個(gè)因數(shù)的積是1/2與其中一個(gè)因數(shù)3/5，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算。
2、分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算法則：
除以一個(gè)不為0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。
3、分?jǐn)?shù)除法比較大小時(shí)的規(guī)律：
(1)當(dāng)除數(shù)大于1，商小于被除數(shù);
(2)當(dāng)除數(shù)小于1(不等于0)，商大于被除數(shù);
(3)當(dāng)除數(shù)等于1，商等于被除數(shù)。
“[ ]”叫做中括號(hào)。一個(gè)算式里，如果既有小括號(hào)，又有中括號(hào)，要先算小括號(hào)里面的， 再算中括號(hào)里面的。
二、分?jǐn)?shù)除法解決問(wèn)題
1，解法：(1)方程： 根據(jù)數(shù)量關(guān)系式設(shè)未知量為X，用方程解答。
解：設(shè)未知量為X （一定要解設(shè)）,再列方程 用 X×分率=具體量
例如：公雞有20只，是母雞只數(shù)的1/3，母雞有多少只。（單位一是母雞只數(shù)，單位一未知.）解：設(shè)母雞有X只。列方程為：X×1/3=20
(2)算術(shù)(用除法)：?jiǎn)挝弧?”的量未知用除法：
即已知單位“1”的幾分之幾是多少，求單位“1”的量。
分率對(duì)應(yīng)量÷對(duì)應(yīng)分率 = 單位“1”的量
例如：公雞有20只，是母雞只數(shù)的1/3，母雞有多少只。（單位一是母雞只數(shù)，單位一未知，）用除法，列式是：20÷1/3
2、看分率前有沒(méi)有比多或比少的問(wèn)題；
分率前是“多或少”的關(guān)系式：
（比少）：具體量÷ (1-分率)= 單位“1”的量；
例如:桃樹(shù)有50棵，比蘋(píng)果樹(shù)少1/6，蘋(píng)果樹(shù)有多少棵。
列式是：50÷（1-1/6）
（比多）：具體量 ÷ (1+分率)= 單位“1”的量
例如:一種商品現(xiàn)在是80元，比原價(jià)增加了1/7，原價(jià)多少？
列式是：80÷（1+1/7）
3、求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少： 用一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)，結(jié)果寫(xiě)為分?jǐn)?shù)形式。
例如:男生有20人，女生有15人，女生人數(shù)占男生人數(shù)的幾分之幾。
列式是：15÷20=15/20=3/4
4、求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多幾分之幾的方法：
用兩個(gè)數(shù)的相差量÷單位“1”的量 =分?jǐn)?shù)
即①求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多幾分之幾：用（大數(shù)–小數(shù)） ÷另一個(gè)數(shù)（比那個(gè)數(shù)就除以那個(gè)數(shù)），結(jié)果寫(xiě)為分?jǐn)?shù)形式。
例如：5比3多幾分之幾？（5－3）÷3=2/3
②求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)少幾分之幾：用（大數(shù)–小數(shù)） ÷另一個(gè)數(shù)（比那個(gè)數(shù)就除以那個(gè)數(shù)），結(jié)果寫(xiě)為分?jǐn)?shù)形式。
例如：3比5少幾分之幾？（5－3）÷5=2/5
說(shuō)明：多幾分之幾不等于少幾分之幾，因?yàn)閱挝灰徊煌?BR> 5、工程問(wèn)題：把工作總量看作單位“1”，合做多長(zhǎng)時(shí)間完成一項(xiàng)工程用1÷效率和，即1÷（1/時(shí)間+1/時(shí)間），（工作效率=1/時(shí)間）
例如：一項(xiàng)工程甲單獨(dú)做要5天完成，乙單獨(dú)做要10天完成，甲單獨(dú)做要3天完成，三人合做幾天可以完成？列式：1÷（1/5+1/10+1/3）
第四單元比
(一)、比的意義
1、比的意義：兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比。
2、在兩個(gè)數(shù)的比中，比號(hào)前面的數(shù)叫做比的前項(xiàng)，比號(hào)后面的數(shù)叫做比的后項(xiàng)。比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)所得的商，叫做比值。
例如 15 ：10 = 15÷10=3/2(比值通常用分?jǐn)?shù)表示，也可以用小數(shù)或整數(shù)表示)
15 ∶ 10 ＝ 3/2
前項(xiàng) 比號(hào) 后項(xiàng) 比值
3、比可以表示兩個(gè)相同量的關(guān)系，即倍數(shù)關(guān)系。例：長(zhǎng)是寬的幾倍。
也可以表示兩個(gè)不同量的比，得到一個(gè)新量。例： 路程÷速度=時(shí)間。
4、區(qū)分比和比值
比：表示兩個(gè)數(shù)的關(guān)系，可以寫(xiě)成比的形式，也可以用分?jǐn)?shù)表示。
比值：相當(dāng)于商，是一個(gè)數(shù)，可以是整數(shù)，分?jǐn)?shù)，也可以是小數(shù)。
5、根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，兩個(gè)數(shù)的比也可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式。
6、 比和除法、分?jǐn)?shù)的聯(lián)系：
比 前 項(xiàng) 比號(hào)“：” 后 項(xiàng) 比值
除 法 被除數(shù) 除號(hào)“÷” 除 數(shù) 商
分 數(shù) 分 子 分?jǐn)?shù)線“—” 分 母 分?jǐn)?shù)值
7、比和除法、分?jǐn)?shù)的區(qū)別：除法是一種運(yùn)算，分?jǐn)?shù)是一個(gè)數(shù)，比表示兩個(gè)數(shù)的關(guān)系。
8、根據(jù)比與除法、分?jǐn)?shù)的關(guān)系，可以理解比的后項(xiàng)不能為0。
9、體育比賽中出現(xiàn)兩隊(duì)的分是2：0等，這只是一種記分的形式，不表示兩個(gè)數(shù)相除的關(guān)系。
10、求比值：用前項(xiàng)除以后項(xiàng)，結(jié)果是寫(xiě)為分?jǐn)?shù)（不會(huì)約分的就不約分）
例如：15∶ 10?。?5÷10＝15／10＝3/2
(二)、比的基本性質(zhì)
1、根據(jù)比、除法、分?jǐn)?shù)的關(guān)系：
商不變的性質(zhì)：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)(0除外)，商不變。
分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或除以相同的數(shù)時(shí)(0除外)，分?jǐn)?shù)值不變。
比的基本性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)(0除外)，比值不變。
2、最簡(jiǎn)整數(shù)比：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)都是整數(shù)，并且是互質(zhì)數(shù)，這樣的比就是最簡(jiǎn)整數(shù)比。
3、根據(jù)比的基本性質(zhì)，可以把比化成最簡(jiǎn)單的整數(shù)比。
4.化簡(jiǎn)比：
(2)用求比值的方法。注意： 最后結(jié)果要寫(xiě)成比的形式。
例如： 15∶10 = 15÷10 =15／10＝ 3/2 = 3∶2
還可以15∶10 = 15÷10 = 3/2 最簡(jiǎn)整數(shù)比是3∶2
5、比中有單位的，化簡(jiǎn)和求比值時(shí)要把單位化相同再化簡(jiǎn)和求比值，結(jié)果沒(méi)有單位。
6.按比例分配：把一個(gè)數(shù)量按照一定的比來(lái)進(jìn)行分配。這種方法通常叫做按比例分配。一般有兩種解題法
１，用分率解:按比例分配通常把總量看作單位一，即轉(zhuǎn)化成分率。要先求出總份數(shù)，再求出幾份占總份數(shù)的幾分之幾，最后再用總量分別乘幾分之幾。
例如：有糖水25克，糖和水的比為1:4，糖和水分別有幾克？
1+4=5 糖占1/5 用 25×1/5得到糖的數(shù)量，水占4/5 用 25×4/5得到水的數(shù)量。
2，用份數(shù)解：要先求出總份數(shù)，再求出每一份是多少，最后分別求出幾份是多少。
例如：有糖水25克，糖和水的比為1:4，糖和水分別有幾克？
糖和水的份數(shù)一共有1+4=5 一份就是25÷5=5糖有1份就是5×1水有4分就是5×4
第五單元圓的認(rèn)識(shí)
一、認(rèn)識(shí)圓形
1、圓的定義：圓是由曲線圍成的一種平面圖形。
2、圓心：將一張圓形紙片對(duì)折兩次，折痕相交于圓中心的一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做圓心。一般用字母O表示。它到圓上任意一點(diǎn)的距離都相等.
3、半徑：連接圓心到圓上任意一點(diǎn)的線段叫做半徑。一般用字母r表示。把圓規(guī)兩腳分開(kāi)，兩腳之間的距離就是圓的半徑。
4、直徑：通過(guò)圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。一般用字母d表示。直徑是一個(gè)圓內(nèi)最長(zhǎng)的線段。
5、圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。
6、在同一個(gè)圓內(nèi)或等圓內(nèi)，有無(wú)數(shù)條半徑，有無(wú)數(shù)條直徑。所有的半徑都相等，所有的直徑都相等。
7.在同圓或等圓內(nèi)，直徑的長(zhǎng)度是半徑的2倍，半徑的長(zhǎng)度是直徑的1/2。用字母表示為：d=2r或r=d/2
8、軸對(duì)稱(chēng)圖形：如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折，兩側(cè)的圖形能夠完全重合，這個(gè)圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形。折痕所在的這條直線叫做對(duì)稱(chēng)軸。
9、長(zhǎng)方形、正方形和圓都是對(duì)稱(chēng)圖形，都有對(duì)稱(chēng)軸。這些圖形都是軸對(duì)稱(chēng)圖形。
10、只有1條對(duì)稱(chēng)軸的圖形有： 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圓。只有2條對(duì)稱(chēng)軸的圖形是： 長(zhǎng)方形；只有3條對(duì)稱(chēng)軸的圖形是： 等邊三角形；只有4條對(duì)稱(chēng)軸的圖形是： 正方形;有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸的圖形是： 圓、圓環(huán)。
１１、畫(huà)對(duì)稱(chēng)軸要用鉛筆畫(huà)，同時(shí)要用尺子（三角板）畫(huà)出虛線，這條虛線兩端要超出圖形一點(diǎn)。
二、圓的周長(zhǎng)
1、圓的周長(zhǎng)：圍成圓的曲線的長(zhǎng)度叫做圓的周長(zhǎng)。用字母C表示。
2、圓周率實(shí)驗(yàn)：（滾動(dòng)法）在圓形紙片上做個(gè)記號(hào)，與直尺0刻度對(duì)齊，在直尺上滾動(dòng)一周，得到圓的周長(zhǎng)。或者用線圍繞圓形紙片一周量出線的長(zhǎng)度就是圓的周長(zhǎng)（測(cè)繩法）。
發(fā)現(xiàn)，圓周長(zhǎng)與它直徑的比值（圓周長(zhǎng)除以直徑）是一個(gè)固定數(shù)即３倍多一點(diǎn)，我們把它叫做圓周率用字母π表示。
3、圓周率：任意一個(gè)圓的周長(zhǎng)與它的直徑的比值是一個(gè)固定的數(shù)，我們把它叫做圓周率。用字母π(pai) 表示。世界上第一個(gè)把圓周率算出來(lái)的人是我國(guó)的數(shù)學(xué)家祖沖之。
(1)、一個(gè)圓的周長(zhǎng)總是它直徑的3倍多一些，這個(gè)比值是一個(gè)固定的數(shù)。圓周率π是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。在計(jì)算時(shí)，一般取π ≈ 3.14。
(2)、在判斷時(shí)，圓周長(zhǎng)與它直徑的比值是π倍，而不是3.14倍。
4、圓的周長(zhǎng)公式： 圓的周長(zhǎng)等于圓周率乘直徑用字母表示C= πd
(1)、已知圓的周長(zhǎng)求直徑用圓的周長(zhǎng)除以圓周率，用字母表示
d = C ÷π或圓的周長(zhǎng)等于２乘圓周率乘半徑，用字母表示C=2πr
(2)、已知圓的周長(zhǎng)求半徑用圓的周長(zhǎng)除以圓周率的２倍，
用字母表示 r = C ÷ 2π（r = C / 2π）
5、在一個(gè)正方形里畫(huà)一個(gè)的圓，圓的直徑等于正方形的邊長(zhǎng)。在一個(gè)長(zhǎng)方形里畫(huà)一個(gè)的圓，圓的直徑等于長(zhǎng)方形的寬。
6、區(qū)分周長(zhǎng)的一半和半圓的周長(zhǎng)：
(1)、周長(zhǎng)的一半：等于圓的周長(zhǎng)÷2
計(jì)算方法：2π r ÷ 2 即C半= π r
(2)半圓的周長(zhǎng)：等于圓的周長(zhǎng)的一半加直徑。 計(jì)算方法：半圓的周長(zhǎng)=5.14 r （推導(dǎo)過(guò)程C半=2π r ÷ 2+d=πr+d=πr+2r =5.14 r）
三、圓的面積
1、圓的面積：圓所占平面的大小叫做圓的面積。 用字母S表示。
2、圓面積公式的推導(dǎo)：(1)把一個(gè)圓等分(偶數(shù)份)成的扇形份數(shù)越多，拼成的圖像越接近長(zhǎng)方形?！￠L(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于圓的周長(zhǎng)的一半，長(zhǎng)方形的寬相當(dāng)于圓的半徑。
(2)拼出的圖形與圓的周長(zhǎng)和半徑的關(guān)系。
圓的半徑 = 長(zhǎng)方形的寬
圓的周長(zhǎng)的一半 = 長(zhǎng)方形的長(zhǎng)
3、圓面積的計(jì)算方法：因?yàn)椋洪L(zhǎng)方形面積 = 長(zhǎng) ×寬
所以：圓的面積 = 圓周長(zhǎng)的一半 × 圓的半徑
即S圓 = Ｃ÷2× r＝πr × r＝πr
圓的面積公式：S圓 =πr → r = S 圓÷ π
4、環(huán)形的面積：一個(gè)環(huán)形，外圓的半徑用字母R表示，內(nèi)圓的半徑用字母r表示。(R=r+環(huán)的寬度.)
S環(huán) = πR -πr 或環(huán)形的面積公式：S環(huán) = π(R -r )（建議用這個(gè)公式）。
5、一個(gè)圓，半徑擴(kuò)大或縮小多少倍，直徑和周長(zhǎng)也擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)。而面積擴(kuò)大或縮小的倍數(shù)是這倍數(shù)的平方倍。
例如：在同一個(gè)圓里，半徑擴(kuò)大3倍，那么直徑和周長(zhǎng)就都擴(kuò)大3倍，而面積擴(kuò)大3的平方倍得到9倍。
6、兩個(gè)圓： 半徑比 = 直徑比 = 周長(zhǎng)比；而面積比等于這比的平方。
例如：兩個(gè)圓的半徑比是2∶3，那么這兩個(gè)圓的直徑比和周長(zhǎng)比都是2∶3，而面積比是4∶9
7、任意一個(gè)正方形與它內(nèi)切圓的面積之比都是一個(gè)固定值，即：4∶π
8、當(dāng)長(zhǎng)方形，正方形，圓的周長(zhǎng)相等時(shí)，圓面積，正方形居中，長(zhǎng)方形面積最小。反之，面積相同時(shí)，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)最長(zhǎng)，正方形居中，圓的周長(zhǎng)最短。
9、常用各π值結(jié)果：π = 3.14；2π = 6.28 ；5π=15.7
10、外方內(nèi)圓（內(nèi)切圓）公式S=0.86r 推導(dǎo)過(guò)程：S=S正-S圓=d -πr =2r×2r-πr =4r -πr =r ×(4-π)=0.86r
11、外圓內(nèi)方（外切圓）公式S=1.14r 推導(dǎo)過(guò)程：S=S圓-S正=πr -dr/2×2=2r×r/2×r=πr -2r =r ×(π-2)=1.14r （把正方形看成兩個(gè)面積相等的三角形，三角形的底就是直徑，高是半徑）
12、一條弧和經(jīng)過(guò)這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。扇形的面積與圓心角大小和半徑長(zhǎng)短有關(guān)。
13、S扇=S圓×n/360；S扇環(huán)=S環(huán)×n/360
14、扇形也是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有一條對(duì)稱(chēng)軸。
15、常見(jiàn)半徑與直徑的周長(zhǎng)和面積的結(jié)果。
半徑 半徑的平方 直徑 周長(zhǎng) 面積
1 1 2 6.28 3.14
2 4 4 12.56 12.56
3 9 6 18.84 28.26
4 16 8 25.12 50.24
5 25 10 31.4 78.5
6 36 12 37.68 113.04
7 49 14 43.96 153.86
8 64 16 50.24 200.96
9 81 18 56.52 254.34
10 100 20 62.8 314
1.5 2.25 3 9.42 7.065
2.5 6.25 5 15.7 19.625
3.5 12.25 7 21.98 38.465
4.5 20.35 9 28.26 63.585
5.5 30.25 11 34.54 94.985
7.5 56.25 15 47.1 176.625
第六單元百分?jǐn)?shù)
一、百分?jǐn)?shù)的意義和寫(xiě)法
（一）、百分?jǐn)?shù)的意義：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾。百分?jǐn)?shù)是指的兩個(gè)數(shù)的比，因此也叫百分率或百分比。
（二）、百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)的主要聯(lián)系與區(qū)別：
聯(lián)系：都可以表示兩個(gè)量的倍比關(guān)系。
區(qū)別：①、意義不同：百分?jǐn)?shù)只表示兩個(gè)數(shù)的倍比關(guān)系，不能表示具體的數(shù)量，所以不能帶單位;
分?jǐn)?shù)既可以表示具體的數(shù)，又可以表示兩個(gè)數(shù)的關(guān)系，表示具體數(shù)時(shí)可以帶單位。
②、百分?jǐn)?shù)的分子可以是整數(shù)，也可以是小數(shù);
分?jǐn)?shù)的分子不能是小數(shù)，只能是除0以外的自然數(shù)。
3、百分?jǐn)?shù)的寫(xiě)法：通常不寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式，而在原來(lái)分子后面加上“%”來(lái)表示，讀作百分之。
二、百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)、小數(shù)的互化
(一)百分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化：
1、小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)：把小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位（數(shù)位不夠用0補(bǔ)足），同時(shí)在后面添上百分號(hào)。
2. 百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：把小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位（數(shù)位不夠用0補(bǔ)足），同時(shí)去掉百分號(hào)。
(二)百分?jǐn)?shù)的和分?jǐn)?shù)的互化
1、百分?jǐn)?shù)化成分?jǐn)?shù)：先把百分?jǐn)?shù)改寫(xiě)成分母是100的分?jǐn)?shù)，能約分要約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。
2、分?jǐn)?shù)化成百分?jǐn)?shù)：
① 用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，把分?jǐn)?shù)分母擴(kuò)大或縮小成分母是100的分?jǐn)?shù)，再寫(xiě)成百分?jǐn)?shù)形式。
②先把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)(除不盡時(shí)，通常保留三位小數(shù))，再把小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)。（建議用這種方法）
(三)常見(jiàn)分?jǐn)?shù)小數(shù)百分?jǐn)?shù)之間的互化；
三、用百分?jǐn)?shù)解決問(wèn)題
(一)一般應(yīng)用題
1、常見(jiàn)的百分率的計(jì)算方法：
一般來(lái)講，出勤率、成活率、合格率、正確率能達(dá)到100%，出米率、出油率達(dá)不到100%，完成率、增長(zhǎng)了百分之幾等可以超過(guò)100%?！?BR> 2、求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾用一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)，結(jié)果寫(xiě)為百分?jǐn)?shù)形式。
例如：例如:男生有20人，女生有15人，女生人數(shù)占男生人數(shù)的百分之幾。
列式是：15÷20=15/20=75﹪
3、已知單位“1”的量(用乘法)，求單位“1”的百分之幾是多少的問(wèn)題，數(shù)量關(guān)系式和分?jǐn)?shù)乘法解決問(wèn)題中的關(guān)系式相同：
(1)百分率前是“的”： 單位“1”的量×百分率=百分率對(duì)應(yīng)量
(2百分率前是“多或少”的數(shù)量關(guān)系：
單位“1”的量×(1±百分率)=百分率對(duì)應(yīng)量
4、未知單位“1”的量(用除法)，已知單位“1”的百分之幾是多少，求單位“1”。 方法與分?jǐn)?shù)的方法相同。
解法： (1)方程： 根據(jù)數(shù)量關(guān)系式設(shè)未知量為X，用方程解答。
(2)算術(shù)(用除法)： 百分率對(duì)應(yīng)量÷對(duì)應(yīng)百分率 = 單位“1”的量
5、求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多(少)百分之幾的方法與分?jǐn)?shù)的方法相同。只是結(jié)果要寫(xiě)為百分?jǐn)?shù)形式?？窗俜致是坝袥](méi)有比多或比少的問(wèn)題；
百分率前是“多或少”的關(guān)系式：
（比少）：具體量÷ (1-百分率)= 單位“1”的量；
例如:大米有50千克，比面粉樹(shù)少50﹪，面粉有多少千克。
列式是：50÷（1-50﹪）
（比多）：具體量 ÷ (1+百分率)= 單位“1”的量
例如:工人做110個(gè)零件，比原計(jì)劃多做了10﹪，原計(jì)劃做多少個(gè)？
列式是：110÷（1+10﹪）
6、求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多百分之幾的方法：方法與分?jǐn)?shù)的方法相同。
用兩個(gè)數(shù)的相差量÷單位“1”的量 =百分之幾
即①求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多百分之幾：用（大數(shù)–小數(shù)） ÷另一個(gè)數(shù)（比那個(gè)數(shù)就除以那個(gè)數(shù)），結(jié)果寫(xiě)為百分?jǐn)?shù)形式。
甲比乙多幾分之幾的問(wèn)題，方法A，（甲-乙）÷乙 （建議用）
方法B，甲÷乙-100﹪
例如：老師計(jì)劃改40本作業(yè)，實(shí)際改了50本，實(shí)際比計(jì)劃多改了百分之幾？
列式是：（50－40）÷40=0.25=25﹪
②求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)少幾分之幾：用（大數(shù)–小數(shù)） ÷另一個(gè)數(shù)（比那個(gè)數(shù)就除以那個(gè)數(shù)），結(jié)果寫(xiě)為百分?jǐn)?shù)形式。
乙比甲少幾分之幾的問(wèn)題，方法A,（甲-乙）÷甲（建議用）
方法B， 100﹪-乙÷甲
例如：張三家用了100度電，李四家用了90度電，李四家比張三家少用百分之幾？
（100－90）÷100=0.1=10﹪
說(shuō)明：多百分之幾不等于少百分之幾，因?yàn)閱挝灰徊煌?BR> 7、如果甲比乙多或少a﹪，求乙比甲少或多百分之幾，用a﹪÷（1±a﹪）
8、求價(jià)格先降a﹪又上升a﹪后的價(jià)格：1×（1-a﹪）×（1+a﹪）（假設(shè)原來(lái)的價(jià)格為“1”。求變化幅度（求降價(jià)后的價(jià)格是漲價(jià)后價(jià)格的百分之幾）用1-降價(jià)后又上升的百分率。
第七單元：扇形統(tǒng)計(jì)圖
一、扇形統(tǒng)計(jì)圖的意義：用整個(gè)圓的面積表示總數(shù)，用圓內(nèi)各個(gè)扇形面積表示各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系。也就是各部分?jǐn)?shù)量占總數(shù)的百分比(因此也叫百分比圖)。
二、常用統(tǒng)計(jì)圖的優(yōu)點(diǎn)：
1、條形統(tǒng)計(jì)圖：可以清楚的看出各種數(shù)量的多少。
2、折線統(tǒng)計(jì)圖：不僅可以看出各種數(shù)量的多少，還可以清晰看出數(shù)量的增減變化情況。
3、扇形統(tǒng)計(jì)圖：能夠清楚的反映出各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系。（要在統(tǒng)計(jì)圖上寫(xiě)出百分率）
三、扇形的面積大?。涸谕粋€(gè)圓中，扇形的大小與這個(gè)扇形的圓心角的大小有關(guān)，圓心角越大，扇形越大。(因此扇形面積占圓面積的百分比，同時(shí)也是該扇形圓心角度數(shù)占圓周角度數(shù)的百分比。)
四、應(yīng)用：1.會(huì)觀察統(tǒng)計(jì)圖。
2、你得到什么數(shù)學(xué)信息？
回答①、***占總體的百分之幾；
②、**占的百分比最多，**占的百分比最少；
3、你還能提什么數(shù)學(xué)問(wèn)題：**和**一共占百分之幾。
數(shù)學(xué)廣角：數(shù)與形
1、每幅圖的圓點(diǎn)總數(shù)都可以看作是兩個(gè)相同的數(shù)相乘的積，這些算式還可以用平方數(shù)的形式來(lái)表示。 1+3=22 1+3+5=32 1+3+5+7=42 得出：從1起連續(xù)奇數(shù)的和等于奇數(shù)個(gè)數(shù)的平方。
2、從2起連續(xù)偶數(shù)的和等于偶數(shù)個(gè)數(shù)的平方加偶數(shù)個(gè)數(shù)（即（n2+n），或等于偶數(shù)個(gè)數(shù)乘比偶數(shù)個(gè)數(shù)大1的數(shù)即n×（n+1）。
補(bǔ)充內(nèi)容（位置）
1、我們用數(shù)對(duì)（數(shù)對(duì)：由兩個(gè)數(shù)組成，中間用逗號(hào)隔開(kāi)，用括號(hào)括起來(lái)。括號(hào)里面的數(shù)由左至右為列數(shù)和行數(shù)，即“先列后行”）確定點(diǎn)的位置。如數(shù)對(duì)(3，5)表示：(第三列，第五行)
豎排叫列(從左往右看)橫排叫行(從前往后看)，先數(shù)列再數(shù)行。
2、平移時(shí)用“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”來(lái)表述，平移時(shí)圖形的現(xiàn)狀不變。
3、圖形左、右平移： 行不變 ；圖形上、下平移： 列不變
補(bǔ)充內(nèi)容（“雞兔同籠”問(wèn)題）
一、“雞兔同籠”問(wèn)題的特點(diǎn)：
題目中有兩個(gè)或兩個(gè)以上的未知數(shù)，要求根據(jù)總數(shù)量，求出各未知數(shù)的單量。
二、“雞兔同籠”問(wèn)題的解題方法
1、假設(shè)法（1） 假如都是兔（2） 假如都是雞；
（一般假設(shè)都是大數(shù)（腳多的），再求出兩個(gè)腳的相差量，用大的相差量除以小的相差量得到小數(shù)（腳少的）最后再用總的頭減小數(shù)得到大數(shù)。（我們稱(chēng)為設(shè)大得小，設(shè)小得大）
例，有34個(gè)同學(xué)去劃船，大船每船坐4人，小船每船坐2人，租12條船剛好坐滿，問(wèn)大船和小船各租了幾條。
假設(shè)法：
①假設(shè)全部是大船則坐12×4=48(人)
②那么實(shí)際人數(shù)與大船做的人數(shù)相差48-34=14(人)，
③實(shí)際一條大船比一條小船多坐4-2=2(人)
④大的相差量÷小的相差量得到小的量（即得到小船的數(shù)量），14÷2=7（條）
⑤總的船減小的船得到大的船12-7=5（條）。(要注意單位)
2、列方程法：例有34個(gè)同學(xué)去劃船，大船每船坐4人，小船每船坐2人，租12條船剛好坐滿，問(wèn)大船和小船各租了幾條。
解：設(shè)大船有X條，則小船有12-X條
4X+2×(12-X)=34 4X是大船坐的人數(shù)，4是大船每船坐4人，2×(12-X)是小船坐的人數(shù)，小船每船坐2人，有(12-X)條船，相加就得到總?cè)藬?shù)34人。2×(12-X)用乘法分配律計(jì)算得到24-2X.。
所以4X+2×(12-X)=34
4X+2×12-2×X=34
4X+24-2 X=34
2 X+24=34
2 X=34-24
2 X=10
X=5
12-5=7（條）
答：租大船5條，小船7條。
第一單元分?jǐn)?shù)乘法
一、分?jǐn)?shù)乘法
(一)分?jǐn)?shù)乘法的意義：
1、分?jǐn)?shù)乘整數(shù)與整數(shù)乘法的意義相同。都是求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算。
例如：65×5表示求5個(gè)65的和是多少? 1/3×5表示求5個(gè)1/3的和是多少?
2、一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義是求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少?！?BR> 例如：1/3×4/7表示求1/3的4/7是多少。
4×3/8表示求4的3/8是多少.
(二)、分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算法則：
1、分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘：分子與整數(shù)相乘的積做分子，分母不變。(整數(shù)和分母約分)
2、分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)相乘：用分子相乘的積做分子，分母相乘的積做分母。注意：當(dāng)帶分?jǐn)?shù)進(jìn)行乘法計(jì)算時(shí)，要先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)再進(jìn)行計(jì)算。
3、為了計(jì)算簡(jiǎn)便，能約分的要先約分，再計(jì)算。（盡量約分，不會(huì)約分的就不約，?？嫉馁|(zhì)因數(shù)有11×11=121；13×13=169；17×17=289；19×19=361）
4、小數(shù)乘分?jǐn)?shù)，可以先把小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，也可以把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)再計(jì)算（建議把小數(shù)化分?jǐn)?shù)再計(jì)算）。
(三)、 乘法中比較大小的規(guī)律
一個(gè)數(shù)(0除外)乘大于1的數(shù)，積大于這個(gè)數(shù)。
一個(gè)數(shù)(0除外)乘小于1的數(shù)(0除外)，積小于這個(gè)數(shù)。
一個(gè)數(shù)(0除外)乘1，積等于這個(gè)數(shù)。
(四)、分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序和整數(shù)的運(yùn)算順序相同。整數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和分配律，對(duì)于分?jǐn)?shù)乘法也同樣適用。
乘法交換律： a × b = b × a
乘法結(jié)合律： ( a × b )×c = a × ( b × c )
乘法分配律： ( a + b )×c = a c + b c
二、分?jǐn)?shù)乘法的解決問(wèn)題(已知單位“1”的量(用乘法)，即求單位“1”的幾分之幾是多少)
1、畫(huà)線段圖：(1)兩個(gè)量的關(guān)系：畫(huà)兩條線段圖，先畫(huà)單位一的量，注意兩條線段的左邊要對(duì)齊。(2)部分和整體的關(guān)系：畫(huà)一條線段圖。
2、找單位“1”： 單位“1” 在分率句中分率的前面；
或在“占”、“是”、“比”“相當(dāng)于”的后面。
3、寫(xiě)數(shù)量關(guān)系式的技巧：
(1)“的” 相當(dāng)于 “×” ，“占”、“相當(dāng)于”“是”、“比”是 “ = ”
(2)分率前是“的”字：用單位“1”的量×分率=具體量
例如：甲數(shù)是20，甲數(shù)的1/3是多少？列式是：20×1/3
4、看分率前有沒(méi)有多或少的問(wèn)題；分率前是“多或少”的關(guān)系式：
（比少）：?jiǎn)挝弧?”的量×(1-分率)=具體量；
例如：甲數(shù)是50，乙數(shù)比甲數(shù)少1/2，乙數(shù)是多少？
列式是：50×（1-1/2）
（比多）：?jiǎn)挝弧?”的量×(1+分率)=具體量
例如：小紅有30元錢(qián)，小明比小紅多3/5，小紅有多少錢(qián)？
列式是：50×（1+3/5）
3、求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少：用 一個(gè)數(shù)×幾倍；
4、求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少： 用一個(gè)數(shù)×幾分之幾。
5、求幾個(gè)幾分之幾是多少：用幾分之幾×個(gè)數(shù)
6、求已知一個(gè)部分量是總量的幾分之幾，求另一個(gè)部分量的方法：
(1)、單位“1”的量×(1-分率)=另一個(gè)部分量（建議用）
(2)、單位“1”的量-已知占單位“1”的幾分之幾的部分量=要求的部分量
例如：教材15頁(yè)做一做和16頁(yè)練習(xí)第七題（題目中有時(shí)候會(huì)有這種題的關(guān)鍵字“其中”）
第二單元位置與方向（二）
一、確定物體位置的方法：1、先找觀測(cè)點(diǎn)；2、再定方向（看方向夾角的度數(shù)）；3、最后確定距離（看比例尺）
二、描繪路線圖的關(guān)鍵是選好觀測(cè)點(diǎn)，建立方向標(biāo)，確定方向和路程。
三、位置關(guān)系的相對(duì)性：1、兩地的位置具有相對(duì)性在敘述兩地的位置關(guān)系時(shí)，觀測(cè)點(diǎn)不同，敘述的方向正好相反，而度數(shù)和距離正好相等。
四、相對(duì)位置：東--西；南--北；南偏東--北偏西。
第三單元分?jǐn)?shù)除法
三、倒數(shù)
1、倒數(shù)的意義： 乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。
強(qiáng)調(diào)：互為倒數(shù)，即倒數(shù)是兩個(gè)數(shù)的關(guān)系，它們互相依存，倒數(shù)不能單獨(dú)存在?！?要說(shuō)清誰(shuí)是誰(shuí)的倒數(shù))。
2、求倒數(shù)的方法：
(1)、求分?jǐn)?shù)的倒數(shù)：交換分子分母的位置。
(2)、求整數(shù)的倒數(shù)：把整數(shù)看做分母是1的分?jǐn)?shù)，再交換分子分母的位置。
(3)、求帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)：把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再求倒數(shù)。
(4)、求小數(shù)的倒數(shù)： 把小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，再求倒數(shù)。
3、 1的倒數(shù)是1； 因?yàn)?×1=1；0沒(méi)有倒數(shù)，因?yàn)?乘任何數(shù)都得0，(分母不能為0)
4、真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)大于1;假分?jǐn)?shù)的倒數(shù)小于或等于1;帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)小于1。
5、運(yùn)用，a×2/3=b×1/4求a和b是多少。把a(bǔ)×2/3=b×1/4看成等于1,也就是求2/3的倒數(shù)和求1/4的倒數(shù)。
1、分?jǐn)?shù)除法的意義：
乘法： 因數(shù) × 因數(shù) = 積
除法： 積 ÷ 一個(gè)因數(shù) = 另一個(gè)因數(shù)
分?jǐn)?shù)除法與整數(shù)除法的意義相同，表示已知兩個(gè)因數(shù)的積和其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算。
例如：1/2÷3/5意義是：已知兩個(gè)因數(shù)的積是1/2與其中一個(gè)因數(shù)3/5，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算。
2、分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算法則：
除以一個(gè)不為0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。
3、分?jǐn)?shù)除法比較大小時(shí)的規(guī)律：
(1)當(dāng)除數(shù)大于1，商小于被除數(shù);
(2)當(dāng)除數(shù)小于1(不等于0)，商大于被除數(shù);
(3)當(dāng)除數(shù)等于1，商等于被除數(shù)。
“[ ]”叫做中括號(hào)。一個(gè)算式里，如果既有小括號(hào)，又有中括號(hào)，要先算小括號(hào)里面的， 再算中括號(hào)里面的。
二、分?jǐn)?shù)除法解決問(wèn)題
1，解法：(1)方程： 根據(jù)數(shù)量關(guān)系式設(shè)未知量為X，用方程解答。
解：設(shè)未知量為X （一定要解設(shè)）,再列方程 用 X×分率=具體量
例如：公雞有20只，是母雞只數(shù)的1/3，母雞有多少只。（單位一是母雞只數(shù)，單位一未知.）解：設(shè)母雞有X只。列方程為：X×1/3=20
(2)算術(shù)(用除法)：?jiǎn)挝弧?”的量未知用除法：
即已知單位“1”的幾分之幾是多少，求單位“1”的量。
分率對(duì)應(yīng)量÷對(duì)應(yīng)分率 = 單位“1”的量
例如：公雞有20只，是母雞只數(shù)的1/3，母雞有多少只。（單位一是母雞只數(shù)，單位一未知，）用除法，列式是：20÷1/3
2、看分率前有沒(méi)有比多或比少的問(wèn)題；
分率前是“多或少”的關(guān)系式：
（比少）：具體量÷ (1-分率)= 單位“1”的量；
例如:桃樹(shù)有50棵，比蘋(píng)果樹(shù)少1/6，蘋(píng)果樹(shù)有多少棵。
列式是：50÷（1-1/6）
（比多）：具體量 ÷ (1+分率)= 單位“1”的量
例如:一種商品現(xiàn)在是80元，比原價(jià)增加了1/7，原價(jià)多少？
列式是：80÷（1+1/7）
3、求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少： 用一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)，結(jié)果寫(xiě)為分?jǐn)?shù)形式。
例如:男生有20人，女生有15人，女生人數(shù)占男生人數(shù)的幾分之幾。
列式是：15÷20=15/20=3/4
4、求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多幾分之幾的方法：
用兩個(gè)數(shù)的相差量÷單位“1”的量 =分?jǐn)?shù)
即①求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多幾分之幾：用（大數(shù)–小數(shù)） ÷另一個(gè)數(shù)（比那個(gè)數(shù)就除以那個(gè)數(shù)），結(jié)果寫(xiě)為分?jǐn)?shù)形式。
例如：5比3多幾分之幾？（5－3）÷3=2/3
②求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)少幾分之幾：用（大數(shù)–小數(shù)） ÷另一個(gè)數(shù)（比那個(gè)數(shù)就除以那個(gè)數(shù)），結(jié)果寫(xiě)為分?jǐn)?shù)形式。
例如：3比5少幾分之幾？（5－3）÷5=2/5
說(shuō)明：多幾分之幾不等于少幾分之幾，因?yàn)閱挝灰徊煌?BR> 5、工程問(wèn)題：把工作總量看作單位“1”，合做多長(zhǎng)時(shí)間完成一項(xiàng)工程用1÷效率和，即1÷（1/時(shí)間+1/時(shí)間），（工作效率=1/時(shí)間）
例如：一項(xiàng)工程甲單獨(dú)做要5天完成，乙單獨(dú)做要10天完成，甲單獨(dú)做要3天完成，三人合做幾天可以完成？列式：1÷（1/5+1/10+1/3）
第四單元比
(一)、比的意義
1、比的意義：兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比。
2、在兩個(gè)數(shù)的比中，比號(hào)前面的數(shù)叫做比的前項(xiàng)，比號(hào)后面的數(shù)叫做比的后項(xiàng)。比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)所得的商，叫做比值。
例如 15 ：10 = 15÷10=3/2(比值通常用分?jǐn)?shù)表示，也可以用小數(shù)或整數(shù)表示)
15 ∶ 10 ＝ 3/2
前項(xiàng) 比號(hào) 后項(xiàng) 比值
3、比可以表示兩個(gè)相同量的關(guān)系，即倍數(shù)關(guān)系。例：長(zhǎng)是寬的幾倍。
也可以表示兩個(gè)不同量的比，得到一個(gè)新量。例： 路程÷速度=時(shí)間。
4、區(qū)分比和比值
比：表示兩個(gè)數(shù)的關(guān)系，可以寫(xiě)成比的形式，也可以用分?jǐn)?shù)表示。
比值：相當(dāng)于商，是一個(gè)數(shù)，可以是整數(shù)，分?jǐn)?shù)，也可以是小數(shù)。
5、根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，兩個(gè)數(shù)的比也可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式。
6、 比和除法、分?jǐn)?shù)的聯(lián)系：
比 前 項(xiàng) 比號(hào)“：” 后 項(xiàng) 比值
除 法 被除數(shù) 除號(hào)“÷” 除 數(shù) 商
分 數(shù) 分 子 分?jǐn)?shù)線“—” 分 母 分?jǐn)?shù)值
7、比和除法、分?jǐn)?shù)的區(qū)別：除法是一種運(yùn)算，分?jǐn)?shù)是一個(gè)數(shù)，比表示兩個(gè)數(shù)的關(guān)系。
8、根據(jù)比與除法、分?jǐn)?shù)的關(guān)系，可以理解比的后項(xiàng)不能為0。
9、體育比賽中出現(xiàn)兩隊(duì)的分是2：0等，這只是一種記分的形式，不表示兩個(gè)數(shù)相除的關(guān)系。
10、求比值：用前項(xiàng)除以后項(xiàng)，結(jié)果是寫(xiě)為分?jǐn)?shù)（不會(huì)約分的就不約分）
例如：15∶ 10?。?5÷10＝15／10＝3/2
(二)、比的基本性質(zhì)
1、根據(jù)比、除法、分?jǐn)?shù)的關(guān)系：
商不變的性質(zhì)：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)(0除外)，商不變。
分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或除以相同的數(shù)時(shí)(0除外)，分?jǐn)?shù)值不變。
比的基本性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)(0除外)，比值不變。
2、最簡(jiǎn)整數(shù)比：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)都是整數(shù)，并且是互質(zhì)數(shù)，這樣的比就是最簡(jiǎn)整數(shù)比。
3、根據(jù)比的基本性質(zhì)，可以把比化成最簡(jiǎn)單的整數(shù)比。
4.化簡(jiǎn)比：
(2)用求比值的方法。注意： 最后結(jié)果要寫(xiě)成比的形式。
例如： 15∶10 = 15÷10 =15／10＝ 3/2 = 3∶2
還可以15∶10 = 15÷10 = 3/2 最簡(jiǎn)整數(shù)比是3∶2
5、比中有單位的，化簡(jiǎn)和求比值時(shí)要把單位化相同再化簡(jiǎn)和求比值，結(jié)果沒(méi)有單位。
6.按比例分配：把一個(gè)數(shù)量按照一定的比來(lái)進(jìn)行分配。這種方法通常叫做按比例分配。一般有兩種解題法
１，用分率解:按比例分配通常把總量看作單位一，即轉(zhuǎn)化成分率。要先求出總份數(shù)，再求出幾份占總份數(shù)的幾分之幾，最后再用總量分別乘幾分之幾。
例如：有糖水25克，糖和水的比為1:4，糖和水分別有幾克？
1+4=5 糖占1/5 用 25×1/5得到糖的數(shù)量，水占4/5 用 25×4/5得到水的數(shù)量。
2，用份數(shù)解：要先求出總份數(shù)，再求出每一份是多少，最后分別求出幾份是多少。
例如：有糖水25克，糖和水的比為1:4，糖和水分別有幾克？
糖和水的份數(shù)一共有1+4=5 一份就是25÷5=5糖有1份就是5×1水有4分就是5×4
第五單元圓的認(rèn)識(shí)
一、認(rèn)識(shí)圓形
1、圓的定義：圓是由曲線圍成的一種平面圖形。
2、圓心：將一張圓形紙片對(duì)折兩次，折痕相交于圓中心的一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做圓心。一般用字母O表示。它到圓上任意一點(diǎn)的距離都相等.
3、半徑：連接圓心到圓上任意一點(diǎn)的線段叫做半徑。一般用字母r表示。把圓規(guī)兩腳分開(kāi)，兩腳之間的距離就是圓的半徑。
4、直徑：通過(guò)圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。一般用字母d表示。直徑是一個(gè)圓內(nèi)最長(zhǎng)的線段。
5、圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。
6、在同一個(gè)圓內(nèi)或等圓內(nèi)，有無(wú)數(shù)條半徑，有無(wú)數(shù)條直徑。所有的半徑都相等，所有的直徑都相等。
7.在同圓或等圓內(nèi)，直徑的長(zhǎng)度是半徑的2倍，半徑的長(zhǎng)度是直徑的1/2。用字母表示為：d=2r或r=d/2
8、軸對(duì)稱(chēng)圖形：如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折，兩側(cè)的圖形能夠完全重合，這個(gè)圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形。折痕所在的這條直線叫做對(duì)稱(chēng)軸。
9、長(zhǎng)方形、正方形和圓都是對(duì)稱(chēng)圖形，都有對(duì)稱(chēng)軸。這些圖形都是軸對(duì)稱(chēng)圖形。
10、只有1條對(duì)稱(chēng)軸的圖形有： 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圓。只有2條對(duì)稱(chēng)軸的圖形是： 長(zhǎng)方形；只有3條對(duì)稱(chēng)軸的圖形是： 等邊三角形；只有4條對(duì)稱(chēng)軸的圖形是： 正方形;有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸的圖形是： 圓、圓環(huán)。
１１、畫(huà)對(duì)稱(chēng)軸要用鉛筆畫(huà)，同時(shí)要用尺子（三角板）畫(huà)出虛線，這條虛線兩端要超出圖形一點(diǎn)。
二、圓的周長(zhǎng)
1、圓的周長(zhǎng)：圍成圓的曲線的長(zhǎng)度叫做圓的周長(zhǎng)。用字母C表示。
2、圓周率實(shí)驗(yàn)：（滾動(dòng)法）在圓形紙片上做個(gè)記號(hào)，與直尺0刻度對(duì)齊，在直尺上滾動(dòng)一周，得到圓的周長(zhǎng)。或者用線圍繞圓形紙片一周量出線的長(zhǎng)度就是圓的周長(zhǎng)（測(cè)繩法）。
發(fā)現(xiàn)，圓周長(zhǎng)與它直徑的比值（圓周長(zhǎng)除以直徑）是一個(gè)固定數(shù)即３倍多一點(diǎn)，我們把它叫做圓周率用字母π表示。
3、圓周率：任意一個(gè)圓的周長(zhǎng)與它的直徑的比值是一個(gè)固定的數(shù)，我們把它叫做圓周率。用字母π(pai) 表示。世界上第一個(gè)把圓周率算出來(lái)的人是我國(guó)的數(shù)學(xué)家祖沖之。
(1)、一個(gè)圓的周長(zhǎng)總是它直徑的3倍多一些，這個(gè)比值是一個(gè)固定的數(shù)。圓周率π是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。在計(jì)算時(shí)，一般取π ≈ 3.14。
(2)、在判斷時(shí)，圓周長(zhǎng)與它直徑的比值是π倍，而不是3.14倍。
4、圓的周長(zhǎng)公式： 圓的周長(zhǎng)等于圓周率乘直徑用字母表示C= πd
(1)、已知圓的周長(zhǎng)求直徑用圓的周長(zhǎng)除以圓周率，用字母表示
d = C ÷π或圓的周長(zhǎng)等于２乘圓周率乘半徑，用字母表示C=2πr
(2)、已知圓的周長(zhǎng)求半徑用圓的周長(zhǎng)除以圓周率的２倍，
用字母表示 r = C ÷ 2π（r = C / 2π）
5、在一個(gè)正方形里畫(huà)一個(gè)的圓，圓的直徑等于正方形的邊長(zhǎng)。在一個(gè)長(zhǎng)方形里畫(huà)一個(gè)的圓，圓的直徑等于長(zhǎng)方形的寬。
6、區(qū)分周長(zhǎng)的一半和半圓的周長(zhǎng)：
(1)、周長(zhǎng)的一半：等于圓的周長(zhǎng)÷2
計(jì)算方法：2π r ÷ 2 即C半= π r
(2)半圓的周長(zhǎng)：等于圓的周長(zhǎng)的一半加直徑。 計(jì)算方法：半圓的周長(zhǎng)=5.14 r （推導(dǎo)過(guò)程C半=2π r ÷ 2+d=πr+d=πr+2r =5.14 r）
三、圓的面積
1、圓的面積：圓所占平面的大小叫做圓的面積。 用字母S表示。
2、圓面積公式的推導(dǎo)：(1)把一個(gè)圓等分(偶數(shù)份)成的扇形份數(shù)越多，拼成的圖像越接近長(zhǎng)方形?！￠L(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于圓的周長(zhǎng)的一半，長(zhǎng)方形的寬相當(dāng)于圓的半徑。
(2)拼出的圖形與圓的周長(zhǎng)和半徑的關(guān)系。
圓的半徑 = 長(zhǎng)方形的寬
圓的周長(zhǎng)的一半 = 長(zhǎng)方形的長(zhǎng)
3、圓面積的計(jì)算方法：因?yàn)椋洪L(zhǎng)方形面積 = 長(zhǎng) ×寬
所以：圓的面積 = 圓周長(zhǎng)的一半 × 圓的半徑
即S圓 = Ｃ÷2× r＝πr × r＝πr
圓的面積公式：S圓 =πr → r = S 圓÷ π
4、環(huán)形的面積：一個(gè)環(huán)形，外圓的半徑用字母R表示，內(nèi)圓的半徑用字母r表示。(R=r+環(huán)的寬度.)
S環(huán) = πR -πr 或環(huán)形的面積公式：S環(huán) = π(R -r )（建議用這個(gè)公式）。
5、一個(gè)圓，半徑擴(kuò)大或縮小多少倍，直徑和周長(zhǎng)也擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)。而面積擴(kuò)大或縮小的倍數(shù)是這倍數(shù)的平方倍。
例如：在同一個(gè)圓里，半徑擴(kuò)大3倍，那么直徑和周長(zhǎng)就都擴(kuò)大3倍，而面積擴(kuò)大3的平方倍得到9倍。
6、兩個(gè)圓： 半徑比 = 直徑比 = 周長(zhǎng)比；而面積比等于這比的平方。
例如：兩個(gè)圓的半徑比是2∶3，那么這兩個(gè)圓的直徑比和周長(zhǎng)比都是2∶3，而面積比是4∶9
7、任意一個(gè)正方形與它內(nèi)切圓的面積之比都是一個(gè)固定值，即：4∶π
8、當(dāng)長(zhǎng)方形，正方形，圓的周長(zhǎng)相等時(shí)，圓面積，正方形居中，長(zhǎng)方形面積最小。反之，面積相同時(shí)，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)最長(zhǎng)，正方形居中，圓的周長(zhǎng)最短。
9、常用各π值結(jié)果：π = 3.14；2π = 6.28 ；5π=15.7
10、外方內(nèi)圓（內(nèi)切圓）公式S=0.86r 推導(dǎo)過(guò)程：S=S正-S圓=d -πr =2r×2r-πr =4r -πr =r ×(4-π)=0.86r
11、外圓內(nèi)方（外切圓）公式S=1.14r 推導(dǎo)過(guò)程：S=S圓-S正=πr -dr/2×2=2r×r/2×r=πr -2r =r ×(π-2)=1.14r （把正方形看成兩個(gè)面積相等的三角形，三角形的底就是直徑，高是半徑）
12、一條弧和經(jīng)過(guò)這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。扇形的面積與圓心角大小和半徑長(zhǎng)短有關(guān)。
13、S扇=S圓×n/360；S扇環(huán)=S環(huán)×n/360
14、扇形也是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有一條對(duì)稱(chēng)軸。
15、常見(jiàn)半徑與直徑的周長(zhǎng)和面積的結(jié)果。
半徑 半徑的平方 直徑 周長(zhǎng) 面積
1 1 2 6.28 3.14
2 4 4 12.56 12.56
3 9 6 18.84 28.26
4 16 8 25.12 50.24
5 25 10 31.4 78.5
6 36 12 37.68 113.04
7 49 14 43.96 153.86
8 64 16 50.24 200.96
9 81 18 56.52 254.34
10 100 20 62.8 314
1.5 2.25 3 9.42 7.065
2.5 6.25 5 15.7 19.625
3.5 12.25 7 21.98 38.465
4.5 20.35 9 28.26 63.585
5.5 30.25 11 34.54 94.985
7.5 56.25 15 47.1 176.625
第六單元百分?jǐn)?shù)
一、百分?jǐn)?shù)的意義和寫(xiě)法
（一）、百分?jǐn)?shù)的意義：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾。百分?jǐn)?shù)是指的兩個(gè)數(shù)的比，因此也叫百分率或百分比。
（二）、百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)的主要聯(lián)系與區(qū)別：
聯(lián)系：都可以表示兩個(gè)量的倍比關(guān)系。
區(qū)別：①、意義不同：百分?jǐn)?shù)只表示兩個(gè)數(shù)的倍比關(guān)系，不能表示具體的數(shù)量，所以不能帶單位;
分?jǐn)?shù)既可以表示具體的數(shù)，又可以表示兩個(gè)數(shù)的關(guān)系，表示具體數(shù)時(shí)可以帶單位。
②、百分?jǐn)?shù)的分子可以是整數(shù)，也可以是小數(shù);
分?jǐn)?shù)的分子不能是小數(shù)，只能是除0以外的自然數(shù)。
3、百分?jǐn)?shù)的寫(xiě)法：通常不寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式，而在原來(lái)分子后面加上“%”來(lái)表示，讀作百分之。
二、百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)、小數(shù)的互化
(一)百分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化：
1、小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)：把小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位（數(shù)位不夠用0補(bǔ)足），同時(shí)在后面添上百分號(hào)。
2. 百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：把小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位（數(shù)位不夠用0補(bǔ)足），同時(shí)去掉百分號(hào)。
(二)百分?jǐn)?shù)的和分?jǐn)?shù)的互化
1、百分?jǐn)?shù)化成分?jǐn)?shù)：先把百分?jǐn)?shù)改寫(xiě)成分母是100的分?jǐn)?shù)，能約分要約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。
2、分?jǐn)?shù)化成百分?jǐn)?shù)：
① 用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，把分?jǐn)?shù)分母擴(kuò)大或縮小成分母是100的分?jǐn)?shù)，再寫(xiě)成百分?jǐn)?shù)形式。
②先把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)(除不盡時(shí)，通常保留三位小數(shù))，再把小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)。（建議用這種方法）
(三)常見(jiàn)分?jǐn)?shù)小數(shù)百分?jǐn)?shù)之間的互化；
三、用百分?jǐn)?shù)解決問(wèn)題
(一)一般應(yīng)用題
1、常見(jiàn)的百分率的計(jì)算方法：
一般來(lái)講，出勤率、成活率、合格率、正確率能達(dá)到100%，出米率、出油率達(dá)不到100%，完成率、增長(zhǎng)了百分之幾等可以超過(guò)100%?！?BR> 2、求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾用一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)，結(jié)果寫(xiě)為百分?jǐn)?shù)形式。
例如：例如:男生有20人，女生有15人，女生人數(shù)占男生人數(shù)的百分之幾。
列式是：15÷20=15/20=75﹪
3、已知單位“1”的量(用乘法)，求單位“1”的百分之幾是多少的問(wèn)題，數(shù)量關(guān)系式和分?jǐn)?shù)乘法解決問(wèn)題中的關(guān)系式相同：
(1)百分率前是“的”： 單位“1”的量×百分率=百分率對(duì)應(yīng)量
(2百分率前是“多或少”的數(shù)量關(guān)系：
單位“1”的量×(1±百分率)=百分率對(duì)應(yīng)量
4、未知單位“1”的量(用除法)，已知單位“1”的百分之幾是多少，求單位“1”。 方法與分?jǐn)?shù)的方法相同。
解法： (1)方程： 根據(jù)數(shù)量關(guān)系式設(shè)未知量為X，用方程解答。
(2)算術(shù)(用除法)： 百分率對(duì)應(yīng)量÷對(duì)應(yīng)百分率 = 單位“1”的量
5、求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多(少)百分之幾的方法與分?jǐn)?shù)的方法相同。只是結(jié)果要寫(xiě)為百分?jǐn)?shù)形式?？窗俜致是坝袥](méi)有比多或比少的問(wèn)題；
百分率前是“多或少”的關(guān)系式：
（比少）：具體量÷ (1-百分率)= 單位“1”的量；
例如:大米有50千克，比面粉樹(shù)少50﹪，面粉有多少千克。
列式是：50÷（1-50﹪）
（比多）：具體量 ÷ (1+百分率)= 單位“1”的量
例如:工人做110個(gè)零件，比原計(jì)劃多做了10﹪，原計(jì)劃做多少個(gè)？
列式是：110÷（1+10﹪）
6、求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多百分之幾的方法：方法與分?jǐn)?shù)的方法相同。
用兩個(gè)數(shù)的相差量÷單位“1”的量 =百分之幾
即①求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多百分之幾：用（大數(shù)–小數(shù)） ÷另一個(gè)數(shù)（比那個(gè)數(shù)就除以那個(gè)數(shù)），結(jié)果寫(xiě)為百分?jǐn)?shù)形式。
甲比乙多幾分之幾的問(wèn)題，方法A，（甲-乙）÷乙 （建議用）
方法B，甲÷乙-100﹪
例如：老師計(jì)劃改40本作業(yè)，實(shí)際改了50本，實(shí)際比計(jì)劃多改了百分之幾？
列式是：（50－40）÷40=0.25=25﹪
②求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)少幾分之幾：用（大數(shù)–小數(shù)） ÷另一個(gè)數(shù)（比那個(gè)數(shù)就除以那個(gè)數(shù)），結(jié)果寫(xiě)為百分?jǐn)?shù)形式。
乙比甲少幾分之幾的問(wèn)題，方法A,（甲-乙）÷甲（建議用）
方法B， 100﹪-乙÷甲
例如：張三家用了100度電，李四家用了90度電，李四家比張三家少用百分之幾？
（100－90）÷100=0.1=10﹪
說(shuō)明：多百分之幾不等于少百分之幾，因?yàn)閱挝灰徊煌?BR> 7、如果甲比乙多或少a﹪，求乙比甲少或多百分之幾，用a﹪÷（1±a﹪）
8、求價(jià)格先降a﹪又上升a﹪后的價(jià)格：1×（1-a﹪）×（1+a﹪）（假設(shè)原來(lái)的價(jià)格為“1”。求變化幅度（求降價(jià)后的價(jià)格是漲價(jià)后價(jià)格的百分之幾）用1-降價(jià)后又上升的百分率。
第七單元：扇形統(tǒng)計(jì)圖
一、扇形統(tǒng)計(jì)圖的意義：用整個(gè)圓的面積表示總數(shù)，用圓內(nèi)各個(gè)扇形面積表示各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系。也就是各部分?jǐn)?shù)量占總數(shù)的百分比(因此也叫百分比圖)。
二、常用統(tǒng)計(jì)圖的優(yōu)點(diǎn)：
1、條形統(tǒng)計(jì)圖：可以清楚的看出各種數(shù)量的多少。
2、折線統(tǒng)計(jì)圖：不僅可以看出各種數(shù)量的多少，還可以清晰看出數(shù)量的增減變化情況。
3、扇形統(tǒng)計(jì)圖：能夠清楚的反映出各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系。（要在統(tǒng)計(jì)圖上寫(xiě)出百分率）
三、扇形的面積大?。涸谕粋€(gè)圓中，扇形的大小與這個(gè)扇形的圓心角的大小有關(guān)，圓心角越大，扇形越大。(因此扇形面積占圓面積的百分比，同時(shí)也是該扇形圓心角度數(shù)占圓周角度數(shù)的百分比。)
四、應(yīng)用：1.會(huì)觀察統(tǒng)計(jì)圖。
2、你得到什么數(shù)學(xué)信息？
回答①、***占總體的百分之幾；
②、**占的百分比最多，**占的百分比最少；
3、你還能提什么數(shù)學(xué)問(wèn)題：**和**一共占百分之幾。
數(shù)學(xué)廣角：數(shù)與形
1、每幅圖的圓點(diǎn)總數(shù)都可以看作是兩個(gè)相同的數(shù)相乘的積，這些算式還可以用平方數(shù)的形式來(lái)表示。 1+3=22 1+3+5=32 1+3+5+7=42 得出：從1起連續(xù)奇數(shù)的和等于奇數(shù)個(gè)數(shù)的平方。
2、從2起連續(xù)偶數(shù)的和等于偶數(shù)個(gè)數(shù)的平方加偶數(shù)個(gè)數(shù)（即（n2+n），或等于偶數(shù)個(gè)數(shù)乘比偶數(shù)個(gè)數(shù)大1的數(shù)即n×（n+1）。
補(bǔ)充內(nèi)容（位置）
1、我們用數(shù)對(duì)（數(shù)對(duì)：由兩個(gè)數(shù)組成，中間用逗號(hào)隔開(kāi)，用括號(hào)括起來(lái)。括號(hào)里面的數(shù)由左至右為列數(shù)和行數(shù)，即“先列后行”）確定點(diǎn)的位置。如數(shù)對(duì)(3，5)表示：(第三列，第五行)
豎排叫列(從左往右看)橫排叫行(從前往后看)，先數(shù)列再數(shù)行。
2、平移時(shí)用“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”來(lái)表述，平移時(shí)圖形的現(xiàn)狀不變。
3、圖形左、右平移： 行不變 ；圖形上、下平移： 列不變
補(bǔ)充內(nèi)容（“雞兔同籠”問(wèn)題）
一、“雞兔同籠”問(wèn)題的特點(diǎn)：
題目中有兩個(gè)或兩個(gè)以上的未知數(shù)，要求根據(jù)總數(shù)量，求出各未知數(shù)的單量。
二、“雞兔同籠”問(wèn)題的解題方法
1、假設(shè)法（1） 假如都是兔（2） 假如都是雞；
（一般假設(shè)都是大數(shù)（腳多的），再求出兩個(gè)腳的相差量，用大的相差量除以小的相差量得到小數(shù)（腳少的）最后再用總的頭減小數(shù)得到大數(shù)。（我們稱(chēng)為設(shè)大得小，設(shè)小得大）
例，有34個(gè)同學(xué)去劃船，大船每船坐4人，小船每船坐2人，租12條船剛好坐滿，問(wèn)大船和小船各租了幾條。
假設(shè)法：
①假設(shè)全部是大船則坐12×4=48(人)
②那么實(shí)際人數(shù)與大船做的人數(shù)相差48-34=14(人)，
③實(shí)際一條大船比一條小船多坐4-2=2(人)
④大的相差量÷小的相差量得到小的量（即得到小船的數(shù)量），14÷2=7（條）
⑤總的船減小的船得到大的船12-7=5（條）。(要注意單位)
2、列方程法：例有34個(gè)同學(xué)去劃船，大船每船坐4人，小船每船坐2人，租12條船剛好坐滿，問(wèn)大船和小船各租了幾條。
解：設(shè)大船有X條，則小船有12-X條
4X+2×(12-X)=34 4X是大船坐的人數(shù)，4是大船每船坐4人，2×(12-X)是小船坐的人數(shù)，小船每船坐2人，有(12-X)條船，相加就得到總?cè)藬?shù)34人。2×(12-X)用乘法分配律計(jì)算得到24-2X.。
所以4X+2×(12-X)=34
4X+2×12-2×X=34
4X+24-2 X=34
2 X+24=34
2 X=34-24
2 X=10
X=5
12-5=7（條）
答：租大船5條，小船7條。