以下是為您整理的初三數(shù)學(xué)試卷及答案，供大家學(xué)習(xí)參考。
一．選擇題
1．﹣22=（）
A．﹣2B．﹣4C．2D．4
【分析】根據(jù)冪的乘方的運(yùn)算法則求解．
【解答】解：﹣22=﹣4，
故選B．
【點(diǎn)評】本題考查了冪的乘方，解答本題的關(guān)鍵是掌握冪的乘方的運(yùn)算法則．
2．太陽與地球的平均距離大約是150000000千米，數(shù)據(jù)150000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）
A．1.5×108B．1.5×109C．0.15×109D．15×107
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)數(shù)．
【解答】解：將150000000用科學(xué)記數(shù)法表示為：1.5×108．
故選A．
【點(diǎn)評】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
3．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，則（）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)題意得出△ADE∽△ABC，進(jìn)而利用已知得出對應(yīng)邊的比值．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵BD=2AD，
∴===，
則=，
∴A，C，D選項(xiàng)錯誤，B選項(xiàng)正確，
故選：B．
【點(diǎn)評】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確得出對應(yīng)邊的比是解題關(guān)鍵．
4．|1+|+|1﹣|=（）
A．1B．C．2D．2
【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)，可得答案．
【解答】解：原式1++﹣1=2，
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，利用差的絕對值是大數(shù)減小數(shù)是解題關(guān)鍵．
5．設(shè)x，y，c是實(shí)數(shù)，（）
A．若x=y，則x+c=y﹣cB．若x=y，則xc=yc
C．若x=y，則D．若，則2x=3y
【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，可得答案．
【解答】解：A、兩邊加不同的數(shù)，故A不符合題意；
B、兩邊都乘以c，故B符合題意；
C、c=0時，兩邊都除以c無意義，故C不符合題意；
D、兩邊乘以不同的數(shù)，故D不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了等式的性質(zhì)，熟記等式的性質(zhì)并根據(jù)等式的性質(zhì)求解是解題關(guān)．
6．若x+5＞0，則（）
A．x+1＜0B．x﹣1＜0C．＜﹣1D．﹣2x＜12
【分析】求出已知不等式的解集，再求出每個選項(xiàng)中不等式的解集，即得出選項(xiàng)．
【解答】解：∵x+5＞0，
∴x＞﹣5，
A、根據(jù)x+1＜0得出x＜﹣1，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、根據(jù)x﹣1＜0得出x＜1，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、根據(jù)＜﹣1得出x＜5，故本選項(xiàng)符合題意；
D、根據(jù)﹣2x＜12得出x＞﹣6，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選C．
【點(diǎn)評】本題考查了不等式的性質(zhì)，能正確根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行變形是解此題的關(guān)鍵．
7．某景點(diǎn)的參觀人數(shù)逐年增加，據(jù)統(tǒng)計，2014年為10.8萬人次，2016年為16.8萬人次．設(shè)參觀人次的平均年增長率為x，則（）
A．10.8（1+x）=16.8B．16.8（1﹣x）=10.8
C．10.8（1+x）2=16.8D．10.8[（1+x）+（1+x）2]=16.8
【分析】設(shè)參觀人次的平均年增長率為x，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：10.8萬人次×（1+增長率）2=16.8萬人次，根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可．
【解答】解：設(shè)參觀人次的平均年增長率為x，由題意得：
10.8（1+x）2=16.8，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題主要考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a（1±x）2=b．
8．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1．把△ABC分別繞直線AB和BC旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的地面圓的周長分別記作l1，l2，側(cè)面積分別記作S1，S2，則（）
A．l1：l2=1：2，S1：S2=1：2B．l1：l2=1：4，S1：S2=1：2
C．l1：l2=1：2，S1：S2=1：4D．l1：l2=1：4，S1：S2=1：4
【分析】根據(jù)圓的周長分別計算l1，l2，再由扇形的面積公式計算S1，S2，求比值即可．
【解答】解：∵l1=2π×BC=2π，
l2=2π×AB=4π，
∴l(xiāng)1：l2=1：2，
∵S1=×2π×=π，
S2=×4π×=2π，
∴S1：S2=1：2，
故選A．
【點(diǎn)評】本題考查了圓錐的計算，主要利用了圓的周長為2πr，側(cè)面積=lr求解是解題的關(guān)鍵．
9．設(shè)直線x=1是函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是實(shí)數(shù)，且a＜0）的圖象的對稱軸，（）
A．若m＞1，則（m﹣1）a+b＞0B．若m＞1，則（m﹣1）a+b＜0
C．若m＜1，則（m﹣1）a+b＞0D．若m＜1，則（m﹣1）a+b＜0
【分析】根據(jù)對稱軸，可得b=﹣2a，根據(jù)有理數(shù)的乘法，可得答案．
【解答】解：由對稱軸，得
b=﹣2a．
（m﹣1）a+b=ma﹣a﹣2a=（m﹣3）a
當(dāng)m＜1時，（m﹣3）a＞0，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，利用對稱軸得出b=﹣2a是解題關(guān)鍵．
10．如圖，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E為AC邊的中點(diǎn)，線段BE的垂直平分線交邊BC于點(diǎn)D．設(shè)BD=x，tan∠ACB=y，則（）
A．x﹣y2=3B．2x﹣y2=9C．3x﹣y2=15D．4x﹣y2=21
【分析】過A作AQ⊥BC于Q，過E作EM⊥BC于M，連接DE，根據(jù)線段垂直平分線求出DE=BD=x，根據(jù)等腰三角形求出BD=DC=6，求出CM=DM=3，解直角三角形求出EM=3y，AQ=6y，在Rt△DEM中，根據(jù)勾股定理求出即可．
【解答】解：
過A作AQ⊥BC于Q，過E作EM⊥BC于M，連接DE，
∵BE的垂直平分線交BC于D，BD=x，
∴BD=DE=x，
∵AB=AC，BC=12，tan∠ACB=y，
∴==y，BQ=CQ=6，
∴AQ=6y，
∵AQ⊥BC，EM⊥BC，
∴AQ∥EM，
∵E為AC中點(diǎn)，
∴CM=QM=CQ=3，
∴EM=3y，
∴DM=12﹣3﹣x=9﹣x，
在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2=（3y）2+（9﹣x）2，
即2x﹣y2=9，
故選B．
【點(diǎn)評】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形等知識點(diǎn)，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．
二．填空題
11．?dāng)?shù)據(jù)2，2，3，4，5的中位數(shù)是3．
【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義即中位數(shù)要把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數(shù)（或兩個數(shù)的平均數(shù)）為中位數(shù)，即可求出答案．
【解答】解：從小到大排列為：2，2，3，4，5，
位于最中間的數(shù)是3，
則這組數(shù)的中位數(shù)是3．
故答案為：3．
【點(diǎn)評】本題考查了中位數(shù)，注意找中位數(shù)的時候一定要先排好順序，然后再根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)個來確定中位數(shù)，如果數(shù)據(jù)有奇數(shù)個，則正中間的數(shù)字即為所求，如果是偶數(shù)個則找中間兩位數(shù)的平均數(shù)．
12．如圖，AT切⊙O于點(diǎn)A，AB是⊙O的直徑．若∠ABT=40°，則∠ATB=50°．
【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)即可求出答案．
【解答】解：∵AT切⊙O于點(diǎn)A，AB是⊙O的直徑，
∴∠BAT=90°，
∵∠ABT=40°，
∴∠ATB=50°，
故答案為：50°
【點(diǎn)評】本題考查切線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)切線的性質(zhì)求出∠ATB=90°，本題屬于基礎(chǔ)題型．
13．一個僅裝有球的不透明布袋里共有3個球（只有顏色不同），其中2個是紅球，1個是白球，從中任意摸出一個球，記下顏色后放回，攪勻，再任意摸出一個球，則兩次摸出都是紅球的概率是．
【分析】根據(jù)題意畫出相應(yīng)的樹狀圖，找出所有可能的情況個數(shù)，進(jìn)而找出兩次都是紅球的情況個數(shù)，即可求出所求的概率大小．
【解答】解：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的樹狀圖，
所以一共有9種情況，兩次摸到紅球的有4種情況，
∴兩次摸出都是紅球的概率是，
故答案為：．
【點(diǎn)評】此題考查了列表法與樹狀圖，根據(jù)題意畫出相應(yīng)的樹狀圖是解本題的關(guān)鍵．
14．若|m|=，則m=3或﹣1．
【分析】利用絕對值和分式的性質(zhì)可得m﹣1≠0，m﹣3=0或|m|=1，可得m．
【解答】解：由題意得，
m﹣1≠0，
則m≠1，
（m﹣3）|m|=m﹣3，
∴（m﹣3）（|m|﹣1）=0，
∴m=3或m=±1，
∵m≠1，
∴m=3或m=﹣1，
故答案為：3或﹣1．
【點(diǎn)評】本題主要考查了絕對值和分式的性質(zhì)，熟記分式分母不為0是解答此題的關(guān)鍵．
15．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，點(diǎn)D在邊AC上，AD=5，DE⊥BC于點(diǎn)E，連結(jié)AE，則△ABE的面積等于78．
【分析】由勾股定理求出BC==25，求出△ABC的面積=150，證明△CDE∽△CBA，得出，求出CE=12，得出BE=BC﹣CE=13，再由三角形的面積關(guān)系即可得出答案．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，
∴BC==25，△ABC的面積=ABAC=×15×20=150，
∵AD=5，
∴CD=AC﹣AD=15，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=∠BAC=90°，
又∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CBA，
∴，即，
解得：CE=12，
∴BE=BC﹣CE=13，
∵△ABE的面積：△ABC的面積=BE：BC=13：25，
∴△ABE的面積=×150=78；
故答案為：78．
【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積；熟練掌握勾股定理，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵
16．某水果點(diǎn)銷售50千克香蕉，第一天售價為9元/千克，第二天降價6元/千克，第三天再降為3元/千克．三天全部售完，共計所得270元．若該店第二天銷售香蕉t千克，則第三天銷售香蕉30﹣千克．千克，根據(jù)三天的銷售額為270元列出方程，求出x即可．
【解答】解：設(shè)第三天銷售香蕉x千克，則第一天銷售香蕉（50﹣t﹣x）千克，
根據(jù)題意，得：9（50﹣t﹣x）+6t+3x=270，
則x==30﹣，
故答案為：30﹣．
【點(diǎn)評】本題主要考查列代數(shù)式的能力，解題的關(guān)鍵是理解題意，抓住相等關(guān)系列出方程，從而表示出第三天銷售香蕉的千克數(shù)．
三．解答題
17．為了了解某校九年級學(xué)生的跳高水平，隨機(jī)抽取該年級50名學(xué)生進(jìn)行跳高測試，并把測試成績繪制成如圖所示的頻數(shù)表和未完成的頻數(shù)直方圖（每組含前一個邊界值，不含后一個邊界值）．
某校九年級50名學(xué)生跳高測試成績的頻數(shù)表
組別（m）頻數(shù)
1.09～1.198
1.19～1.2912
1.29～1.39A
1.39～1.4910
（1）求a的值，并把頻數(shù)直方圖補(bǔ)充完整；
（2）該年級共有500名學(xué)生，估計該年級學(xué)生跳高成績在1.29m（含1.29m）以上的人數(shù)．
【分析】（1）利用總?cè)藬?shù)50減去其它組的人數(shù)即可求得a的值；
（2）利用總?cè)藬?shù)乘以對應(yīng)的比例即可求解．
【解答】解：（1）a=50﹣8﹣12﹣10=20，
；
（2）該年級學(xué)生跳高成績在1.29m（含1.29m）以上的人數(shù)是：500×=300（人）．
【點(diǎn)評】本題考查讀頻數(shù)分布直方圖的能力和利用統(tǒng)計圖獲取信息的能力．利用統(tǒng)計圖獲取信息時，必須認(rèn)真觀察、分析、研究統(tǒng)計圖，才能作出正確的判斷和解決問題．也考查了樣本估計總體．
18．在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=kx+b（k，b都是常數(shù)，且k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，0）和（0，2）．
（1）當(dāng)﹣2＜x≤3時，求y的取值范圍；
（2）已知點(diǎn)P（m，n）在該函數(shù)的圖象上，且m﹣n=4，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【分析】利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式得出即可；
（1）利用一次函數(shù)增減性得出即可．
（2）根據(jù)題意得出n=﹣2m+2，聯(lián)立方程，解方程即可求得．
【解答】解：設(shè)解析式為：y=kx+b，
將（1，0），（0，﹣2）代入得：，
解得：，
∴這個函數(shù)的解析式為：y=﹣2x+2；
（1）把x=﹣2代入y=﹣2x+2得，y=6，
把x=3代入y=﹣2x+2得，y=﹣4，
∴y的取值范圍是﹣4≤y＜6．
（2）∵點(diǎn)P（m，n）在該函數(shù)的圖象上，
∴n=﹣2m+2，
∵m﹣n=4，
∴m﹣（﹣2m+2）=4，
解得m=2，n=﹣2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣2）．
【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及一次函數(shù)的性質(zhì)，求得解析式上解題的關(guān)鍵．
19．如圖，在銳角三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB上，AG⊥BC于點(diǎn)G，AF⊥DE于點(diǎn)F，∠EAF=∠GAC．
（1）求證：△ADE∽△ABC；
（2）若AD=3，AB=5，求的值．
【分析】（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，從而可證明∠AED=∠ACB，進(jìn)而可證明△ADE∽△ABC；
（2）△ADE∽△ABC，，又易證△EAF∽△CAG，所以，從而可知．
【解答】解：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，
∴∠AFE=∠AGC=90°，
∵∠EAF=∠GAC，
∴∠AED=∠ACB，
∵∠EAD=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，
∴=
由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，
∴∠EAF=∠GAC，
∴△EAF∽△CAG，
∴，
∴=
【點(diǎn)評】本題考查相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相似三角形的判定，本題屬于中等題型．
20．在面積都相等的所有矩形中，當(dāng)其中一個矩形的一邊長為1時，它的另一邊長為3．
（1）設(shè)矩形的相鄰兩邊長分別為x，y．
①求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
②當(dāng)y≥3時，求x的取值范圍；
（2）圓圓說其中有一個矩形的周長為6，方方說有一個矩形的周長為10，你認(rèn)為圓圓和方方的說法對嗎？為什么？
【分析】（1）①直接利用矩形面積求法進(jìn)而得出y與x之間的關(guān)系；②直接利用y≥3得出x的取值范圍；
（2）直接利用x+y的值結(jié)合根的判別式得出答案．
【解答】解：（1）①由題意可得：xy=3，
則y=；
②當(dāng)y≥3時，≥3
解得：x≤1；
（2）∵一個矩形的周長為6，
∴x+y=3，
∴x+=3，
整理得：x2﹣3x+3=0，
∵b2﹣4ac=9﹣12=﹣3＜0，
∴矩形的周長不可能是6；
∵一個矩形的周長為10，
∴x+y=5，
∴x+=5，
整理得：x2﹣5x+3=0，
∵b2﹣4ac=25﹣12=13＞0，
∴矩形的周長可能是10．
【點(diǎn)評】此題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用以及一元二次方程的解法，正確得出y與x之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．
21．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)G在對角線BD上（不與點(diǎn)B，D重合），GE⊥DC于點(diǎn)E，GF⊥BC于點(diǎn)F，連結(jié)AG．
（1）寫出線段AG，GE，GF長度之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）若正方形ABCD的邊長為1，∠AGF=105°，求線段BG的長．
【分析】（1）結(jié)論：AG2=GE2+GF2．只要證明GA=GC，四邊形EGFC是矩形，推出GE=CF，在Rt△GFC中，利用勾股定理即可證明；
（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一點(diǎn)M，使得AM=BM．設(shè)AN=x．易證AM=BM=2x，MN=x，在Rt△ABN中，根據(jù)AB2=AN2+BN2，可得1=x2+（2x+x）2，
解得x=，推出BN=，再根據(jù)BG=BN÷cos30°即可解決問題；
【解答】解：（1）結(jié)論：AG2=GE2+GF2．
理由：連接CG．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴A、C關(guān)于對角線BD對稱，
∵點(diǎn)G在BD上，
∴GA=GC，
∵GE⊥DC于點(diǎn)E，GF⊥BC于點(diǎn)F，
∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，
∴四邊形EGFC是矩形，
∴CF=GE，
在Rt△GFC中，∵CG2=GF2+CF2，
∴AG2=GF2+GE2．
（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一點(diǎn)M，使得AM=BM．設(shè)AN=x．
∵∠AGF=105°，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°，
∴∠AGB=60°，∠GBN=30°，∠ABM=∠MAB=15°，
∴∠AMN=30°，
∴AM=BM=2x，MN=x，
在Rt△ABN中，∵AB2=AN2+BN2，
∴1=x2+（2x+x）2，
解得x=，
∴BN=，
∴BG=BN÷cos30°=．
【點(diǎn)評】本題考查正方形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理直角三角形30度的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考常考題型．
22．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)y1=（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．
（1）若函數(shù)y1的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，﹣2），求函數(shù)y1的表達(dá)式；
（2）若一次函數(shù)y2=ax+b的圖象與y1的圖象經(jīng)過x軸上同一點(diǎn)，探究實(shí)數(shù)a，b滿足的關(guān)系式；
（3）已知點(diǎn)P（x0，m）和Q（1，n）在函數(shù)y1的圖象上，若m＜n，求x0的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象上的點(diǎn)滿足函數(shù)解析式，可得答案
（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．
【解答】解：（1）函數(shù)y1的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，﹣2），得
（a+1）（﹣a）=﹣2，
解得a=﹣2，a=1，
函數(shù)y1的表達(dá)式y(tǒng)=（x﹣2）（x+2﹣1），化簡，得y=x2﹣x﹣2；
函數(shù)y1的表達(dá)式y(tǒng)=（x+1）（x﹣2）化簡，得y=x2﹣x﹣2，
綜上所述：函數(shù)y1的表達(dá)式y(tǒng)=x2﹣x﹣2；
（2）當(dāng)y=0時x2﹣x﹣2=0，解得x1=﹣1，x2=2，
y1的圖象與x軸的交點(diǎn)是（﹣1，0）（2，0），
當(dāng)y2=ax+b經(jīng)過（﹣1，0）時，﹣a+b=0，即a=b；
當(dāng)y2=ax+b經(jīng)過（2，0）時，2a+b=0，即b=﹣2a；
（3）當(dāng)P在對稱軸的左側(cè)時，y隨x的增大而增大，
（1，n）與（0，n）關(guān)于對稱軸對稱，
由m＜n，得x0＜0；
當(dāng)時P在對稱軸的右側(cè)時，y隨x的增大而減小，
由m＜n，得x0＞1，
綜上所述：m＜n，求x0的取值范圍x0＜0或x0＞1．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解（1）的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法；解（2）的關(guān)鍵是把點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式；解（3）的關(guān)鍵是利用二次函數(shù)的性質(zhì)，要分類討論，以防遺漏．
23．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)C在劣弧AB上（不與點(diǎn)A，B重合），點(diǎn)D為弦BC的中點(diǎn)，DE⊥BC，DE與AC的延長線交于點(diǎn)E，射線AO與射線EB交于點(diǎn)F，與⊙O交于點(diǎn)G，設(shè)∠GAB=ɑ，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ，
（1）點(diǎn)點(diǎn)同學(xué)通過畫圖和測量得到以下近似數(shù)據(jù)：
ɑ30°40°50°60°
β120°130°140°150°
γ150°140°130°120°
猜想：β關(guān)于ɑ的函數(shù)表達(dá)式，γ關(guān)于ɑ的函數(shù)表達(dá)式，并給出證明：
（2）若γ=135°，CD=3，△ABE的面積為△ABC的面積的4倍，求⊙O半徑的長．
【分析】（1）由圓周角定理即可得出β=α+90°，然后根據(jù)D是BC的中點(diǎn)，DE⊥BC，可知∠EDC=90°，由三角形外角的性質(zhì)即可得出∠CED=α，從而可知O、A、E、B四點(diǎn)共圓，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知：∠EBO+∠EAG=180°，即γ=﹣α+180°；
（2）由（1）及γ=135°可知∠BOA=90°，∠BCE=45°，∠BEC=90°，由于△ABE的面積為△ABC的面積的4倍，所以，根據(jù)勾股定理即可求出AE、AC的長度，從而可求出AB的長度，再由勾股定理即可求出⊙O的半徑r；
【解答】解：（1）猜想：β=α+90°，γ=﹣α+180°
連接OB，
∴由圓周角定理可知：2∠BCA=360°﹣∠BOA，
∵OB=OA，
∴∠OBA=∠OAB=α，
∴∠BOA=180°﹣2α，
∴2β=360°﹣（180°﹣2α），
∴β=α+90°，
∵D是BC的中點(diǎn)，DE⊥BC，
∴OE是線段BC的垂直平分線，
∴BE=CE，∠BED=∠CED，∠EDC=90°
∵∠BCA=∠EDC+∠CED，
∴β=90°+∠CED，
∴∠CED=α，
∴∠CED=∠OBA=α，
∴O、A、E、B四點(diǎn)共圓，
∴∠EBO+∠EAG=180°，
∴∠EBA+∠OBA+∠EAG=180°，
∴γ+α=180°；
（2）當(dāng)γ=135°時，此時圖形如圖所示，
∴α=45°，β=135°，
∴∠BOA=90°，∠BCE=45°，
由（1）可知：O、A、E、B四點(diǎn)共圓，
∴∠BEC=90°，
∵△ABE的面積為△ABC的面積的4倍，
∴，
∴，
設(shè)CE=3x，AC=x，
由（1）可知：BC=2CD=6，
∵∠BCE=45°，
∴CE=BE=3x，
∴由勾股定理可知：（3x）2+（3x）2=62，
x=，
∴BE=CE=3，AC=，
∴AE=AC+CE=4，
在Rt△ABE中，
由勾股定理可知：AB2=（3）2+（4）2，
∴AB=5，
∵∠BAO=45°，
∴∠AOB=90°，
在Rt△AOB中，設(shè)半徑為r，
由勾股定理可知：AB2=2r2，
∴r=5，
∴⊙O半徑的長為5．
【點(diǎn)評】本題考查圓的綜合問題，涉及圓周角定理，勾股定理，解方程，垂直平分線的性質(zhì)等知識，綜合程度較高，需要學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識．