奧林匹克數(shù)學(xué)競賽或數(shù)學(xué)奧林匹克競賽，簡稱奧數(shù)。奧數(shù)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與奧林匹克體育運(yùn)動精神的共通性：更快、更高、更強(qiáng)。國際數(shù)學(xué)奧林匹克作為一項(xiàng)國際性賽事，由國際數(shù)學(xué)教育專家命題，出題范圍超出了所有國家的義務(wù)教育水平，難度大大超過大學(xué)入學(xué)考試。下面是為大家?guī)淼某醵昙墛W數(shù)矩形的判定試題及答案，歡迎大家閱讀。
1．如圖，要使?ABCD成為矩形，需添加的條件是( )
A．AB＝BC B．∠ABC＝90° C．∠1＝∠2 D．AC⊥BD
2．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，DE∥AC交AB于點(diǎn)E，DF∥AB交AC于點(diǎn)F，連結(jié)DE，F(xiàn)D，當(dāng)△ABC滿足條件 時(shí)，四邊形AEDF是矩形．
3．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)M為CD邊的中點(diǎn)，且AM＝BM.求證：四邊形ABCD是矩形．
4．在數(shù)學(xué)活動課上，老師和同學(xué)們判斷一個(gè)四邊形門框是否為矩形，下面是某合作學(xué)習(xí)小組的4位同學(xué)擬定的方案，其中正確的是( )
A．測量對角線是否相互平分 B．測量兩組對邊是否分別相等
C．測量一組對角是否都為直角 D．測量四邊形其中的三個(gè)角是否都為直角
5．平行四邊形各內(nèi)角的角平分線圍成的四邊形為( )
A．任意四邊形 B．平行四邊形 C．矩形 D．以上都不對
6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD，AE分別是∠BAC和∠BAC外角的平分線，BE⊥AE，垂足為E.
(1)求證：DA⊥AE；
(2)試判斷AB與DE是否相等？并證明你的結(jié)論．
7．四邊形ABCD的對角線AC，BD互相平分，要使它成為矩形，需要添加的條件是( )
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB＝BC D．AC⊥BD
8．如圖，AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC，且∠BAD＝∠CAE.求證：四邊形BCDE是矩形．
9．如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，連結(jié)EB，EC，DB，添加一個(gè)條件，不能使四邊形DBCE成為矩形的是( )
A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE
10．在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，從 ①AB＝CD；②AB∥CD；③OA＝OC；④OB＝OD；⑤AC＝BD；⑥∠ABC＝90°，這六個(gè)條件中，可選取三個(gè)推出四邊形ABCD是矩形，如①②⑤→四邊形ABCD是矩形． 請?jiān)賹懗龇弦蟮膬蓚€(gè)組合： ； ．
11．如圖，在矩形ABCD中，M為AD邊的中點(diǎn)，P為BC上一點(diǎn)，PE⊥MC，PF⊥MB，當(dāng)AB，BC滿足條件 時(shí)，四邊形PEMF為矩形．
12．如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在AB，BC，CD，AD邊上，且AE＝CG，AH＝CF.
(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形；
(2)如果AB＝AD，且AH＝AE，求證：四邊形EFGH是矩形．
13．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，點(diǎn)P是AB上的任意一點(diǎn)，作PD⊥AC于點(diǎn)D，PE⊥CB于點(diǎn)E，連結(jié)DE，則DE的小值為____.
14．如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥BC.設(shè)MN交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F.
(1)求證：OE＝OF；
(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的長；
(3)當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動到什么位置時(shí)，四邊形AECF是矩形？并說明理由．
參考答案
1. B
2. ∠BAC＝90°
3. 易證△AMD≌△BMC(SSS)，∴∠C＝∠D.又∠C＋∠D＝180°，
∴∠C＝∠D＝90°，∴平行四邊形ABCD是矩形
4. D
5. C
6. (1)∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝12∠BAC，又∵AE平分∠BAF，
∴∠BAE＝12∠BAF，∵∠BAC＋∠BAF＝180°，∴∠BAD＋∠BAE＝12(∠BAC＋∠BAF)＝12×180°＝90°，即∠DAE＝90°，故DA⊥AE (2)AB＝DE.理由：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，故∠ADB＝90°，∵BE⊥AE，∴∠AEB＝90°，∵∠DAE＝90°，故四邊形AEBD是矩形．∴AB＝DE
7. B
8. 連結(jié)BD，EC，∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD－∠BAC＝∠CAE－∠BAC，∴∠BAE＝∠CAD，又∵AB＝AC，AE＝AD，∴△BAE≌△CAD(SAS)，BE＝CD，∵DE＝CB，∴四邊形BCDE是平行四邊形，易證△ABD≌△ACE(SAS)，∴EC＝BD，∴四邊形BCDE是矩形
9. B
10. ①②⑥ ③④⑥
11. AB＝12BC
12. (1)在平行四邊形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，又∵AE＝CG，
AH＝CF，∴△AEH≌△CGF(SAS)，∴EH＝GF，在平行四邊形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∴AB－AE＝CD－CG，AD－AH＝BC－CF，即BE＝DG，DH＝BF，∴△BEF≌△DGH(SAS)，∴GH＝EF，∴四邊形EFGH是平行四邊形
(2)在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD.
設(shè)∠A＝α，則∠D＝180°－α，∵AE＝AH，
∴∠AHE＝∠AEH＝180°－α2＝90°－α2，∵AD＝AB＝CD，
AH＝AE＝CG，∴AD－AH＝CD－CG，即DH＝DG，
∴∠DHG＝∠DGH＝180°－（180°－α）2＝α2，
∴∠EHG＝180°－∠DHG－∠AHE＝90°，
又∵四邊形EFGH是平行四邊形，∴四邊形EFGH是矩形
13. 4.8
14. (1)∵CF平分∠ACD，且MN∥BD，∴∠ACF＝∠FCD＝∠CFO，∴OF＝OC.同理可證：OC＝OE，∴OE＝OF
(2)由(1)知：OF＝OC＝OE，∴∠OCF＝∠OFC，∠OCE＝∠OEC，∴∠OCF＋∠OCE＝∠OFC＋∠OEC，而∠OCF＋∠OCE＋∠OFC＋∠OEC＝180°，∴∠ECF＝∠OCF＋∠OCE＝90°，∴EF＝CE2＋CF2＝122＋52＝13，∴OC＝12EF＝132
(3)當(dāng)點(diǎn)O移動到AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF為矩形，理由：連結(jié)AE，AF，由(1)知OE＝OF，當(dāng)點(diǎn)O移動到AC中點(diǎn)時(shí)有OA＝OC，∴四邊形AECF為平行四邊形，又∵∠ECF＝90°，∴四邊形AECF為矩形
1．如圖，要使?ABCD成為矩形，需添加的條件是( )
A．AB＝BC B．∠ABC＝90° C．∠1＝∠2 D．AC⊥BD
2．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，DE∥AC交AB于點(diǎn)E，DF∥AB交AC于點(diǎn)F，連結(jié)DE，F(xiàn)D，當(dāng)△ABC滿足條件 時(shí)，四邊形AEDF是矩形．
3．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)M為CD邊的中點(diǎn)，且AM＝BM.求證：四邊形ABCD是矩形．
4．在數(shù)學(xué)活動課上，老師和同學(xué)們判斷一個(gè)四邊形門框是否為矩形，下面是某合作學(xué)習(xí)小組的4位同學(xué)擬定的方案，其中正確的是( )
A．測量對角線是否相互平分 B．測量兩組對邊是否分別相等
C．測量一組對角是否都為直角 D．測量四邊形其中的三個(gè)角是否都為直角
5．平行四邊形各內(nèi)角的角平分線圍成的四邊形為( )
A．任意四邊形 B．平行四邊形 C．矩形 D．以上都不對
6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD，AE分別是∠BAC和∠BAC外角的平分線，BE⊥AE，垂足為E.
(1)求證：DA⊥AE；
(2)試判斷AB與DE是否相等？并證明你的結(jié)論．
7．四邊形ABCD的對角線AC，BD互相平分，要使它成為矩形，需要添加的條件是( )
A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB＝BC D．AC⊥BD
8．如圖，AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC，且∠BAD＝∠CAE.求證：四邊形BCDE是矩形．
9．如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，連結(jié)EB，EC，DB，添加一個(gè)條件，不能使四邊形DBCE成為矩形的是( )
A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE
10．在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，從 ①AB＝CD；②AB∥CD；③OA＝OC；④OB＝OD；⑤AC＝BD；⑥∠ABC＝90°，這六個(gè)條件中，可選取三個(gè)推出四邊形ABCD是矩形，如①②⑤→四邊形ABCD是矩形． 請?jiān)賹懗龇弦蟮膬蓚€(gè)組合： ； ．
11．如圖，在矩形ABCD中，M為AD邊的中點(diǎn)，P為BC上一點(diǎn)，PE⊥MC，PF⊥MB，當(dāng)AB，BC滿足條件 時(shí)，四邊形PEMF為矩形．
12．如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在AB，BC，CD，AD邊上，且AE＝CG，AH＝CF.
(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形；
(2)如果AB＝AD，且AH＝AE，求證：四邊形EFGH是矩形．
13．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，點(diǎn)P是AB上的任意一點(diǎn)，作PD⊥AC于點(diǎn)D，PE⊥CB于點(diǎn)E，連結(jié)DE，則DE的小值為____.
14．如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥BC.設(shè)MN交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F.
(1)求證：OE＝OF；
(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的長；
(3)當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動到什么位置時(shí)，四邊形AECF是矩形？并說明理由．
參考答案
1. B
2. ∠BAC＝90°
3. 易證△AMD≌△BMC(SSS)，∴∠C＝∠D.又∠C＋∠D＝180°，
∴∠C＝∠D＝90°，∴平行四邊形ABCD是矩形
4. D
5. C
6. (1)∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝12∠BAC，又∵AE平分∠BAF，
∴∠BAE＝12∠BAF，∵∠BAC＋∠BAF＝180°，∴∠BAD＋∠BAE＝12(∠BAC＋∠BAF)＝12×180°＝90°，即∠DAE＝90°，故DA⊥AE (2)AB＝DE.理由：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，故∠ADB＝90°，∵BE⊥AE，∴∠AEB＝90°，∵∠DAE＝90°，故四邊形AEBD是矩形．∴AB＝DE
7. B
8. 連結(jié)BD，EC，∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD－∠BAC＝∠CAE－∠BAC，∴∠BAE＝∠CAD，又∵AB＝AC，AE＝AD，∴△BAE≌△CAD(SAS)，BE＝CD，∵DE＝CB，∴四邊形BCDE是平行四邊形，易證△ABD≌△ACE(SAS)，∴EC＝BD，∴四邊形BCDE是矩形
9. B
10. ①②⑥ ③④⑥
11. AB＝12BC
12. (1)在平行四邊形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，又∵AE＝CG，
AH＝CF，∴△AEH≌△CGF(SAS)，∴EH＝GF，在平行四邊形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∴AB－AE＝CD－CG，AD－AH＝BC－CF，即BE＝DG，DH＝BF，∴△BEF≌△DGH(SAS)，∴GH＝EF，∴四邊形EFGH是平行四邊形
(2)在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD.
設(shè)∠A＝α，則∠D＝180°－α，∵AE＝AH，
∴∠AHE＝∠AEH＝180°－α2＝90°－α2，∵AD＝AB＝CD，
AH＝AE＝CG，∴AD－AH＝CD－CG，即DH＝DG，
∴∠DHG＝∠DGH＝180°－（180°－α）2＝α2，
∴∠EHG＝180°－∠DHG－∠AHE＝90°，
又∵四邊形EFGH是平行四邊形，∴四邊形EFGH是矩形
13. 4.8
14. (1)∵CF平分∠ACD，且MN∥BD，∴∠ACF＝∠FCD＝∠CFO，∴OF＝OC.同理可證：OC＝OE，∴OE＝OF
(2)由(1)知：OF＝OC＝OE，∴∠OCF＝∠OFC，∠OCE＝∠OEC，∴∠OCF＋∠OCE＝∠OFC＋∠OEC，而∠OCF＋∠OCE＋∠OFC＋∠OEC＝180°，∴∠ECF＝∠OCF＋∠OCE＝90°，∴EF＝CE2＋CF2＝122＋52＝13，∴OC＝12EF＝132
(3)當(dāng)點(diǎn)O移動到AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF為矩形，理由：連結(jié)AE，AF，由(1)知OE＝OF，當(dāng)點(diǎn)O移動到AC中點(diǎn)時(shí)有OA＝OC，∴四邊形AECF為平行四邊形，又∵∠ECF＝90°，∴四邊形AECF為矩形