一、 二次根式的有關(guān)概念
1. 二次根式: 形如 的式子叫做二次根式,二次根式有意義的條件是被開放數(shù) ≥0.
2. 最簡二次根式: (1)被開方數(shù)中不含有 . (2)被開方數(shù)中不含有開得盡方的因數(shù)或因式.
例:二次根式 中,是最簡二次根式的有____________________ ________.
下列各式中是最簡二次根式的是 ( )
(A) (B) (C) (D)
3. 同類二次根式: 幾個二次根式化成最簡二次根式后,如果 ,那么這幾個二次根式就叫做同類二次根式.
例:下面與 是同類二次根式的是 ( )
(A) (B) (C) (D)
下列根式中與 是同類二次根式的是 ( )
(A) (B) (C) (D)
二、 二次根式的性質(zhì)
1. 非負(fù)性：二次根式 中被開方數(shù) ≥0，且 ≥0.
2. ( ≥0).
3. .
三、 二次根式的運(yùn)算
1. 乘法公式: ( ≥0, ≥0).
2. 積的算術(shù)平方根: ( ≥0, ≥0).
3. 除法公式: ( ≥0, ﹥0).
4. 商的算術(shù)平方根: ( ≥0, ﹥0).
5. 二次根式的加減:二次根式加減時,先將二次根式化成 ,再將 合并.
四、 典例研習(xí)
【例1】 x取怎樣的數(shù)時,下列二次根式有意義?
【變式探究】
1. 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,則 的取值范圍是 .
2.使式子 無意義的 的取值是 .
3.使式子有意義的x的取值范圍是 .
4.能使式子 有意義的 的取值范圍是 .
5.若 ,則 的值為______________.
6. ,則 的值為 ( )
(A) (B) (C) (D)
【例2】若 <1,化簡 等于 ( )
(A) (B) (C) (D)
【變式探究】
7.計算: .
8.已知 < ,化簡二次根式 正確的結(jié)果是 ( )
(A) (B) (C) (D)
9.若 ,則 的取值范圍為_____________________.
10.實(shí)數(shù) 在數(shù)軸上的點(diǎn)如圖所示,
化簡 _____________.
11.若 則 _____________.
【例3】計算(1) ； (2) .
【變式探究】
12.下列計算中:① ,② ,③ ,④ , ⑤ ,⑥ ,⑦ ,⑧ ,正確的是_____________________________________.(填寫序號即可)
13.計算 ( ≥ ).
14.化簡:
(1) (2) (3) (4)
15.計算:
(1) (2) (3)
【綜合訓(xùn)練】
1. 實(shí)數(shù) 在數(shù)軸上的點(diǎn)如圖所示,
化簡 _____________.
2.如圖所示,數(shù)軸上表示2、 的對應(yīng)點(diǎn)分別是C、B,
點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)A表示的數(shù)是 （ ）
(A) (B) (C) (D)
3.已知 的整數(shù)部分為 ,小數(shù)部分為 ,則代數(shù)式的 值為____________.
4.如果 那么實(shí)數(shù) 的取值范圍是 ( )
(A) (B) (C) ≤ ≤ (D) ≤ ≤
6.已知 ,求 的值.
5.化簡:
(1) (2)
(其中 ≤ ≤ )
1. 二次根式: 形如 的式子叫做二次根式,二次根式有意義的條件是被開放數(shù) ≥0.
2. 最簡二次根式: (1)被開方數(shù)中不含有 . (2)被開方數(shù)中不含有開得盡方的因數(shù)或因式.
例:二次根式 中,是最簡二次根式的有____________________ ________.
下列各式中是最簡二次根式的是 ( )
(A) (B) (C) (D)
3. 同類二次根式: 幾個二次根式化成最簡二次根式后,如果 ,那么這幾個二次根式就叫做同類二次根式.
例:下面與 是同類二次根式的是 ( )
(A) (B) (C) (D)
下列根式中與 是同類二次根式的是 ( )
(A) (B) (C) (D)
二、 二次根式的性質(zhì)
1. 非負(fù)性：二次根式 中被開方數(shù) ≥0，且 ≥0.
2. ( ≥0).
3. .
三、 二次根式的運(yùn)算
1. 乘法公式: ( ≥0, ≥0).
2. 積的算術(shù)平方根: ( ≥0, ≥0).
3. 除法公式: ( ≥0, ﹥0).
4. 商的算術(shù)平方根: ( ≥0, ﹥0).
5. 二次根式的加減:二次根式加減時,先將二次根式化成 ,再將 合并.
四、 典例研習(xí)
【例1】 x取怎樣的數(shù)時,下列二次根式有意義?
【變式探究】
1. 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,則 的取值范圍是 .
2.使式子 無意義的 的取值是 .
3.使式子有意義的x的取值范圍是 .
4.能使式子 有意義的 的取值范圍是 .
5.若 ,則 的值為______________.
6. ,則 的值為 ( )
(A) (B) (C) (D)
【例2】若 <1,化簡 等于 ( )
(A) (B) (C) (D)
【變式探究】
7.計算: .
8.已知 < ,化簡二次根式 正確的結(jié)果是 ( )
(A) (B) (C) (D)
9.若 ,則 的取值范圍為_____________________.
10.實(shí)數(shù) 在數(shù)軸上的點(diǎn)如圖所示,
化簡 _____________.
11.若 則 _____________.
【例3】計算(1) ； (2) .
【變式探究】
12.下列計算中:① ,② ,③ ,④ , ⑤ ,⑥ ,⑦ ,⑧ ,正確的是_____________________________________.(填寫序號即可)
13.計算 ( ≥ ).
14.化簡:
(1) (2) (3) (4)
15.計算:
(1) (2) (3)
【綜合訓(xùn)練】
1. 實(shí)數(shù) 在數(shù)軸上的點(diǎn)如圖所示,
化簡 _____________.
2.如圖所示,數(shù)軸上表示2、 的對應(yīng)點(diǎn)分別是C、B,
點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)A表示的數(shù)是 （ ）
(A) (B) (C) (D)
3.已知 的整數(shù)部分為 ,小數(shù)部分為 ,則代數(shù)式的 值為____________.
4.如果 那么實(shí)數(shù) 的取值范圍是 ( )
(A) (B) (C) ≤ ≤ (D) ≤ ≤
6.已知 ,求 的值.
5.化簡:
(1) (2)
(其中 ≤ ≤ )