1.(本小題滿分10分)
如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點D，已知∠D=30°.
⑴求∠A的度數(shù);
⑵若點F在⊙O上，CF⊥AB，垂足為E，CF= ，求圖中陰影部分的面積.
2. 先閱讀下面材料，然后解答問題：(本小題滿分10分)
【材料一】：如圖⑴，直線l上有 、 兩個點，若在直線l上要確定一點P，且使點P到點 、 的距離之和最小，很明顯點P的位置可取在 和 之間的任何地方，此時距離之和為 到 的距離.
如圖⑵，直線l上依次有 、 、 三個點，若在直線l上要確定一點P，且使點P到點 、 、 的距離之和最小，不難判斷，點P的位置應取在點 處，此時距離之和為 到 的距離. (想一想，這是為什么?)
不難知道，如果直線l上依次有 、 、 、 四個點，同樣要確定一點P，使它到各點的距離之和最小，則點P應取在點 和 之間的任何地方;如果直線l上依次有 、 、 、 、 五個點，則相應點P的位置應取在點 的位置.
圖⑴
圖⑵
【材料二】：數(shù)軸上任意兩點a、b之間的距離可以表示為 .
【問題一】：若已知直線l上依次有點 、 、 、……、 共25個點，要確定一點P，使它到已知各點的距離之和最小，則點P的位置應取在 ;
若已知直線l上依次有點 、 、 、……、 共50個點，要確定一點P，使它到已知各點的距離之和最小，則點P的位置應取在 .
【問題二】：現(xiàn)要求 的最小值，
根據(jù)問題一的解答思路，可知當x值為 時，上式有最小值為 .
3. (本小題滿分10分)
如圖①，一條筆直的公路上有A、B、C 三地，B、C 兩地相距 150 千米，甲、乙兩輛汽車分別從B、C 兩地同時出發(fā)，沿公路勻速相向而行，分別駛往C、B 兩地.甲、乙兩車到A 地的距離 、 (千米)與行駛時間 x(時)的關系如圖②所示.
根據(jù)圖象進行以下探究：
⑴請在圖①中標出 A地的位置，并作簡要的文字說明;
⑵求圖②中M點的坐標，并解釋該點的實際意義.
⑶在圖②中補全甲車的函數(shù)圖象，求甲車到 A地的距離 與行駛時間x的函數(shù)關系式.
⑷A地設有指揮中心，指揮中心及兩車都配有對講機，兩部對講機在15千米之內(含15千米)時能夠互相通話，求兩車可以同時與指揮中心用對講機通話的時間.
4.(本小題滿分10分)
已知拋物線 (a≠0)的頂點在直線 上，且過點A(4，0).
⑴求這個拋物線的解析式;
⑵設拋物線的頂點為P，是否在拋物線上存在一點B，使四邊形OPAB為梯形?若存在，求出點B的坐標;若不存在，請說明理由.
⑶設點C(1，-3)，請在拋物線的對稱軸確定一點D，使 的值，請直接寫出點D的坐標.
5.(本小題滿分12分)
定義：只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形，連結它的兩個非直角頂點的線段叫做這個損矩形的直徑.
⑴如圖1，損矩形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，則該損矩形的直徑是線段 .
圖1
⑵在線段AC上確定一點P，使損矩形的四個頂點都在以P為圓心的同一圓上(即損矩形的四個頂點在同一個圓上)，請作出這個圓，并說明你的理由. 友情提醒：“尺規(guī)作圖”不要求寫作法，但要保留作圖痕跡.
圖2
⑶如圖2，，△ABC中，∠ABC=90°，以AC為一邊向形外作菱形ACEF，D為菱形ACEF的中心，連結BD，當BD平分∠ABC時，判斷四邊形ACEF為何種特殊的四邊形?請說明理由. 若此時AB=3，BD= ，求BC的長.
6.(本小題滿分12分)
已知在梯形ABCD中，AB∥DC，且AB=40cm，AD=BC=20cm，∠ABC=120°.點P從點B出發(fā)以1cm/s的速度沿著射線BC運動，點Q從點C出發(fā)以2cm/s的速度沿著線段CD運動，當點Q運動到點D時，所有運動都停止. 設運動時間為t秒.
⑴如圖1，當點P在線段BC上且△CPQ∽△DAQ時，求t的值;
⑵在運動過程中，設△APQ與梯形ABCD重疊部分的面積為S，求S關于t的函數(shù)關系式，并寫出自變量t的取值范圍;
參考答案
1.(本小題滿分10分)
⑴解：連結OC，∵CD切⊙O于點C，∴∠OCD=90°. ………………………………(1分)
∵∠D=30°，∴∠COD=60°. …………………(2分)
∵OA=OC，∴∠A=∠ACO=30°. ………………(4分)
⑵∵CF⊥直徑AB， CF= ，∴CE= ，…………(5分)
∴在Rt△OCE中，OE=2，OC=4. ……………………(6分)
∴ ， .…………………………(8分)
∴ …………………………………………………(10分)
2. 先閱讀下面材料，然后解答問題：(本小題滿分10分)
問題一：點 處 …………(3分) 點 和 之間的任何地方 ………(6分)
問題二：48 …………(8分) 1225 ………(10分)
3. (本小題滿分10分)
⑴A 地位置如圖所示.使點A滿足AB ∶AC=2∶3 . ……………………………… (2分)
⑵乙車的速度150÷2=75千米/時,
，∴M(1.2，0) ………………(3分)
所以點 M表示乙車 1.2 小時到達 A地.…(4分)
⑶甲車的函數(shù)圖象如圖所示. …………(5分)
當 時， ;…………(6分)
當 時， . …………(7分)
⑷由題意得 ，得 ; ，得 .
∴ …………………………………………………………………………(9分)
∴兩車同時與指揮中心通話的時間為 小時. …………………………(10分)
4.(本小題滿分10分)
⑴∵拋物線過點(0，0)、(4，0)，
∴拋物線的對稱軸為直線 . ………………………………………………………(1分)
∵頂點在直線 上， ∴頂點坐標為(2，-2). …………………………(3分)
故設拋物線解析式為 ，
∵過點(0，0)，∴ ，∴拋物線解析式為 ………………………(5分)
⑵當AP∥OB時，
如圖，∠BOA=∠OAP=45°，過點B作BH⊥x軸于H，則OH=BH.
設點B(x，x)，故 ，解得x=6或x=0(舍去)…………………………(6分)
∴B(6，6). …………………………………………………………………………(7分)
當OP∥AB時，同理設點B(4-x，x)
故 ，解得x=6或x=0(舍去)，∴B(-2，6) .……(8分)
H
⑶D(2，-6).………………………………………………………………………………(10分)
5.(本小題滿分12分)
解：⑴AC;…………………………………………………………………………………(1分)
⑵作圖如圖;…………………………………………………………………………(3分)
∵點P為AC中點，∴PA=PC= AC.
∵∠ABC=∠ADC=90°，∴BP=DP= AC，∴PA=PB=PC=PD，…………(4分)
∴點A、B、C、D在以P為圓心， AC為半徑的同一個圓上. ………………(5分)
⑶解：∵菱形ACEF，∴∠ADC=90°AE=2AD，EC=2CD，∴四邊形ABCD為損矩形，
∴由⑵可知，點A、B、C、D在同一個圓上. ……………………………………(7分)
∵ AM平分∠BAD，∴∠ABD=∠CBD=45°，∴ ，∴AD=CD，
∴四邊形ACEF為正方形. ………………………………………………………(9分)
∵點BD平分∠ABC，BD= ，∴點D到AB、BC的距離h為4，
∴ =6. ，
， ，
∵ ，∴ + =6+2BC，
∴BC=5或BC=-3(舍去)，∴BC=5. ……………………………………………(12分)
6.(本小題滿分12分)
解：⑴如圖1，分別過點作AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，∵BC=20，∠C=180°-∠ABC=60°，
∴CN=10=DM，BN= ，∴CD=60.
∵△CPQ∽△DAQ，∴ ，
∴ ，∴ ， (不合題意)， ∴t=10.…………………(5分)
圖1 圖2
⑵當點P在線段BC上時，如圖2，過P作FG⊥CD于G，交AB延長線于F.
∴PF= ，PG= ，
∴ ， ，
=500 -
- - ，= . ( )………(8分)
當點P在線段BC的延長線上時，如圖3，過P作PH⊥AB于H，則
設AP與CD交于點E，
∵ ，∴ ,
∴QE=CQ-CE= .
∴y=
= . ( ) ………………………………………(12分)
如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點D，已知∠D=30°.
⑴求∠A的度數(shù);
⑵若點F在⊙O上，CF⊥AB，垂足為E，CF= ，求圖中陰影部分的面積.
2. 先閱讀下面材料，然后解答問題：(本小題滿分10分)
【材料一】：如圖⑴，直線l上有 、 兩個點，若在直線l上要確定一點P，且使點P到點 、 的距離之和最小，很明顯點P的位置可取在 和 之間的任何地方，此時距離之和為 到 的距離.
如圖⑵，直線l上依次有 、 、 三個點，若在直線l上要確定一點P，且使點P到點 、 、 的距離之和最小，不難判斷，點P的位置應取在點 處，此時距離之和為 到 的距離. (想一想，這是為什么?)
不難知道，如果直線l上依次有 、 、 、 四個點，同樣要確定一點P，使它到各點的距離之和最小，則點P應取在點 和 之間的任何地方;如果直線l上依次有 、 、 、 、 五個點，則相應點P的位置應取在點 的位置.
圖⑴
圖⑵
【材料二】：數(shù)軸上任意兩點a、b之間的距離可以表示為 .
【問題一】：若已知直線l上依次有點 、 、 、……、 共25個點，要確定一點P，使它到已知各點的距離之和最小，則點P的位置應取在 ;
若已知直線l上依次有點 、 、 、……、 共50個點，要確定一點P，使它到已知各點的距離之和最小，則點P的位置應取在 .
【問題二】：現(xiàn)要求 的最小值，
根據(jù)問題一的解答思路，可知當x值為 時，上式有最小值為 .
3. (本小題滿分10分)
如圖①，一條筆直的公路上有A、B、C 三地，B、C 兩地相距 150 千米，甲、乙兩輛汽車分別從B、C 兩地同時出發(fā)，沿公路勻速相向而行，分別駛往C、B 兩地.甲、乙兩車到A 地的距離 、 (千米)與行駛時間 x(時)的關系如圖②所示.
根據(jù)圖象進行以下探究：
⑴請在圖①中標出 A地的位置，并作簡要的文字說明;
⑵求圖②中M點的坐標，并解釋該點的實際意義.
⑶在圖②中補全甲車的函數(shù)圖象，求甲車到 A地的距離 與行駛時間x的函數(shù)關系式.
⑷A地設有指揮中心，指揮中心及兩車都配有對講機，兩部對講機在15千米之內(含15千米)時能夠互相通話，求兩車可以同時與指揮中心用對講機通話的時間.
4.(本小題滿分10分)
已知拋物線 (a≠0)的頂點在直線 上，且過點A(4，0).
⑴求這個拋物線的解析式;
⑵設拋物線的頂點為P，是否在拋物線上存在一點B，使四邊形OPAB為梯形?若存在，求出點B的坐標;若不存在，請說明理由.
⑶設點C(1，-3)，請在拋物線的對稱軸確定一點D，使 的值，請直接寫出點D的坐標.
5.(本小題滿分12分)
定義：只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形，連結它的兩個非直角頂點的線段叫做這個損矩形的直徑.
⑴如圖1，損矩形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，則該損矩形的直徑是線段 .
圖1
⑵在線段AC上確定一點P，使損矩形的四個頂點都在以P為圓心的同一圓上(即損矩形的四個頂點在同一個圓上)，請作出這個圓，并說明你的理由. 友情提醒：“尺規(guī)作圖”不要求寫作法，但要保留作圖痕跡.
圖2
⑶如圖2，，△ABC中，∠ABC=90°，以AC為一邊向形外作菱形ACEF，D為菱形ACEF的中心，連結BD，當BD平分∠ABC時，判斷四邊形ACEF為何種特殊的四邊形?請說明理由. 若此時AB=3，BD= ，求BC的長.
6.(本小題滿分12分)
已知在梯形ABCD中，AB∥DC，且AB=40cm，AD=BC=20cm，∠ABC=120°.點P從點B出發(fā)以1cm/s的速度沿著射線BC運動，點Q從點C出發(fā)以2cm/s的速度沿著線段CD運動，當點Q運動到點D時，所有運動都停止. 設運動時間為t秒.
⑴如圖1，當點P在線段BC上且△CPQ∽△DAQ時，求t的值;
⑵在運動過程中，設△APQ與梯形ABCD重疊部分的面積為S，求S關于t的函數(shù)關系式，并寫出自變量t的取值范圍;
參考答案
1.(本小題滿分10分)
⑴解：連結OC，∵CD切⊙O于點C，∴∠OCD=90°. ………………………………(1分)
∵∠D=30°，∴∠COD=60°. …………………(2分)
∵OA=OC，∴∠A=∠ACO=30°. ………………(4分)
⑵∵CF⊥直徑AB， CF= ，∴CE= ，…………(5分)
∴在Rt△OCE中，OE=2，OC=4. ……………………(6分)
∴ ， .…………………………(8分)
∴ …………………………………………………(10分)
2. 先閱讀下面材料，然后解答問題：(本小題滿分10分)
問題一：點 處 …………(3分) 點 和 之間的任何地方 ………(6分)
問題二：48 …………(8分) 1225 ………(10分)
3. (本小題滿分10分)
⑴A 地位置如圖所示.使點A滿足AB ∶AC=2∶3 . ……………………………… (2分)
⑵乙車的速度150÷2=75千米/時,
，∴M(1.2，0) ………………(3分)
所以點 M表示乙車 1.2 小時到達 A地.…(4分)
⑶甲車的函數(shù)圖象如圖所示. …………(5分)
當 時， ;…………(6分)
當 時， . …………(7分)
⑷由題意得 ，得 ; ，得 .
∴ …………………………………………………………………………(9分)
∴兩車同時與指揮中心通話的時間為 小時. …………………………(10分)
4.(本小題滿分10分)
⑴∵拋物線過點(0，0)、(4，0)，
∴拋物線的對稱軸為直線 . ………………………………………………………(1分)
∵頂點在直線 上， ∴頂點坐標為(2，-2). …………………………(3分)
故設拋物線解析式為 ，
∵過點(0，0)，∴ ，∴拋物線解析式為 ………………………(5分)
⑵當AP∥OB時，
如圖，∠BOA=∠OAP=45°，過點B作BH⊥x軸于H，則OH=BH.
設點B(x，x)，故 ，解得x=6或x=0(舍去)…………………………(6分)
∴B(6，6). …………………………………………………………………………(7分)
當OP∥AB時，同理設點B(4-x，x)
故 ，解得x=6或x=0(舍去)，∴B(-2，6) .……(8分)
H
⑶D(2，-6).………………………………………………………………………………(10分)
5.(本小題滿分12分)
解：⑴AC;…………………………………………………………………………………(1分)
⑵作圖如圖;…………………………………………………………………………(3分)
∵點P為AC中點，∴PA=PC= AC.
∵∠ABC=∠ADC=90°，∴BP=DP= AC，∴PA=PB=PC=PD，…………(4分)
∴點A、B、C、D在以P為圓心， AC為半徑的同一個圓上. ………………(5分)
⑶解：∵菱形ACEF，∴∠ADC=90°AE=2AD，EC=2CD，∴四邊形ABCD為損矩形，
∴由⑵可知，點A、B、C、D在同一個圓上. ……………………………………(7分)
∵ AM平分∠BAD，∴∠ABD=∠CBD=45°，∴ ，∴AD=CD，
∴四邊形ACEF為正方形. ………………………………………………………(9分)
∵點BD平分∠ABC，BD= ，∴點D到AB、BC的距離h為4，
∴ =6. ，
， ，
∵ ，∴ + =6+2BC，
∴BC=5或BC=-3(舍去)，∴BC=5. ……………………………………………(12分)
6.(本小題滿分12分)
解：⑴如圖1，分別過點作AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，∵BC=20，∠C=180°-∠ABC=60°，
∴CN=10=DM，BN= ，∴CD=60.
∵△CPQ∽△DAQ，∴ ，
∴ ，∴ ， (不合題意)， ∴t=10.…………………(5分)
圖1 圖2
⑵當點P在線段BC上時，如圖2，過P作FG⊥CD于G，交AB延長線于F.
∴PF= ，PG= ，
∴ ， ，
=500 -
- - ，= . ( )………(8分)
當點P在線段BC的延長線上時，如圖3，過P作PH⊥AB于H，則
設AP與CD交于點E，
∵ ，∴ ,
∴QE=CQ-CE= .
∴y=
= . ( ) ………………………………………(12分)