1.(本小題滿分10分)
如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長線于點(diǎn)D，已知∠D=30°.
⑴求∠A的度數(shù);
⑵若點(diǎn)F在⊙O上，CF⊥AB，垂足為E，CF= ，求圖中陰影部分的面積.
2. 先閱讀下面材料，然后解答問題：(本小題滿分10分)
【材料一】：如圖⑴，直線l上有 、 兩個(gè)點(diǎn)，若在直線l上要確定一點(diǎn)P，且使點(diǎn)P到點(diǎn) 、 的距離之和最小，很明顯點(diǎn)P的位置可取在 和 之間的任何地方，此時(shí)距離之和為 到 的距離.
如圖⑵，直線l上依次有 、 、 三個(gè)點(diǎn)，若在直線l上要確定一點(diǎn)P，且使點(diǎn)P到點(diǎn) 、 、 的距離之和最小，不難判斷，點(diǎn)P的位置應(yīng)取在點(diǎn) 處，此時(shí)距離之和為 到 的距離. (想一想，這是為什么?)
不難知道，如果直線l上依次有 、 、 、 四個(gè)點(diǎn)，同樣要確定一點(diǎn)P，使它到各點(diǎn)的距離之和最小，則點(diǎn)P應(yīng)取在點(diǎn) 和 之間的任何地方;如果直線l上依次有 、 、 、 、 五個(gè)點(diǎn)，則相應(yīng)點(diǎn)P的位置應(yīng)取在點(diǎn) 的位置.
圖⑴
圖⑵
【材料二】：數(shù)軸上任意兩點(diǎn)a、b之間的距離可以表示為 .
【問題一】：若已知直線l上依次有點(diǎn) 、 、 、……、 共25個(gè)點(diǎn)，要確定一點(diǎn)P，使它到已知各點(diǎn)的距離之和最小，則點(diǎn)P的位置應(yīng)取在 ;
若已知直線l上依次有點(diǎn) 、 、 、……、 共50個(gè)點(diǎn)，要確定一點(diǎn)P，使它到已知各點(diǎn)的距離之和最小，則點(diǎn)P的位置應(yīng)取在 .
【問題二】：現(xiàn)要求 的最小值，
根據(jù)問題一的解答思路，可知當(dāng)x值為 時(shí)，上式有最小值為 .
3. (本小題滿分10分)
如圖①，一條筆直的公路上有A、B、C 三地，B、C 兩地相距 150 千米，甲、乙兩輛汽車分別從B、C 兩地同時(shí)出發(fā)，沿公路勻速相向而行，分別駛往C、B 兩地.甲、乙兩車到A 地的距離 、 (千米)與行駛時(shí)間 x(時(shí))的關(guān)系如圖②所示.
根據(jù)圖象進(jìn)行以下探究：
⑴請?jiān)趫D①中標(biāo)出 A地的位置，并作簡要的文字說明;
⑵求圖②中M點(diǎn)的坐標(biāo)，并解釋該點(diǎn)的實(shí)際意義.
⑶在圖②中補(bǔ)全甲車的函數(shù)圖象，求甲車到 A地的距離 與行駛時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式.
⑷A地設(shè)有指揮中心，指揮中心及兩車都配有對講機(jī)，兩部對講機(jī)在15千米之內(nèi)(含15千米)時(shí)能夠互相通話，求兩車可以同時(shí)與指揮中心用對講機(jī)通話的時(shí)間.
4.(本小題滿分10分)
已知拋物線 (a≠0)的頂點(diǎn)在直線 上，且過點(diǎn)A(4，0).
⑴求這個(gè)拋物線的解析式;
⑵設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為P，是否在拋物線上存在一點(diǎn)B，使四邊形OPAB為梯形?若存在，求出點(diǎn)B的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.
⑶設(shè)點(diǎn)C(1，-3)，請?jiān)趻佄锞€的對稱軸確定一點(diǎn)D，使 的值，請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo).
5.(本小題滿分12分)
定義：只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形，連結(jié)它的兩個(gè)非直角頂點(diǎn)的線段叫做這個(gè)損矩形的直徑.
⑴如圖1，損矩形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，則該損矩形的直徑是線段 .
圖1
⑵在線段AC上確定一點(diǎn)P，使損矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都在以P為圓心的同一圓上(即損矩形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上)，請作出這個(gè)圓，并說明你的理由. 友情提醒：“尺規(guī)作圖”不要求寫作法，但要保留作圖痕跡.
圖2
⑶如圖2，，△ABC中，∠ABC=90°，以AC為一邊向形外作菱形ACEF，D為菱形ACEF的中心，連結(jié)BD，當(dāng)BD平分∠ABC時(shí)，判斷四邊形ACEF為何種特殊的四邊形?請說明理由. 若此時(shí)AB=3，BD= ，求BC的長.
6.(本小題滿分12分)
已知在梯形ABCD中，AB∥DC，且AB=40cm，AD=BC=20cm，∠ABC=120°.點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以1cm/s的速度沿著射線BC運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以2cm/s的速度沿著線段CD運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，所有運(yùn)動(dòng)都停止. 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
⑴如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上且△CPQ∽△DAQ時(shí)，求t的值;
⑵在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)△APQ與梯形ABCD重疊部分的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍;
參考答案
1.(本小題滿分10分)
⑴解：連結(jié)OC，∵CD切⊙O于點(diǎn)C，∴∠OCD=90°. ………………………………(1分)
∵∠D=30°，∴∠COD=60°. …………………(2分)
∵OA=OC，∴∠A=∠ACO=30°. ………………(4分)
⑵∵CF⊥直徑AB， CF= ，∴CE= ，…………(5分)
∴在Rt△OCE中，OE=2，OC=4. ……………………(6分)
∴ ， .…………………………(8分)
∴ …………………………………………………(10分)
2. 先閱讀下面材料，然后解答問題：(本小題滿分10分)
問題一：點(diǎn) 處 …………(3分) 點(diǎn) 和 之間的任何地方 ………(6分)
問題二：48 …………(8分) 1225 ………(10分)
3. (本小題滿分10分)
⑴A 地位置如圖所示.使點(diǎn)A滿足AB ∶AC=2∶3 . ……………………………… (2分)
⑵乙車的速度150÷2=75千米/時(shí),
，∴M(1.2，0) ………………(3分)
所以點(diǎn) M表示乙車 1.2 小時(shí)到達(dá) A地.…(4分)
⑶甲車的函數(shù)圖象如圖所示. …………(5分)
當(dāng) 時(shí)， ;…………(6分)
當(dāng) 時(shí)， . …………(7分)
⑷由題意得 ，得 ; ，得 .
∴ …………………………………………………………………………(9分)
∴兩車同時(shí)與指揮中心通話的時(shí)間為 小時(shí). …………………………(10分)
4.(本小題滿分10分)
⑴∵拋物線過點(diǎn)(0，0)、(4，0)，
∴拋物線的對稱軸為直線 . ………………………………………………………(1分)
∵頂點(diǎn)在直線 上， ∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，-2). …………………………(3分)
故設(shè)拋物線解析式為 ，
∵過點(diǎn)(0，0)，∴ ，∴拋物線解析式為 ………………………(5分)
⑵當(dāng)AP∥OB時(shí)，
如圖，∠BOA=∠OAP=45°，過點(diǎn)B作BH⊥x軸于H，則OH=BH.
設(shè)點(diǎn)B(x，x)，故 ，解得x=6或x=0(舍去)…………………………(6分)
∴B(6，6). …………………………………………………………………………(7分)
當(dāng)OP∥AB時(shí)，同理設(shè)點(diǎn)B(4-x，x)
故 ，解得x=6或x=0(舍去)，∴B(-2，6) .……(8分)
H
⑶D(2，-6).………………………………………………………………………………(10分)
5.(本小題滿分12分)
解：⑴AC;…………………………………………………………………………………(1分)
⑵作圖如圖;…………………………………………………………………………(3分)
∵點(diǎn)P為AC中點(diǎn)，∴PA=PC= AC.
∵∠ABC=∠ADC=90°，∴BP=DP= AC，∴PA=PB=PC=PD，…………(4分)
∴點(diǎn)A、B、C、D在以P為圓心， AC為半徑的同一個(gè)圓上. ………………(5分)
⑶解：∵菱形ACEF，∴∠ADC=90°AE=2AD，EC=2CD，∴四邊形ABCD為損矩形，
∴由⑵可知，點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)圓上. ……………………………………(7分)
∵ AM平分∠BAD，∴∠ABD=∠CBD=45°，∴ ，∴AD=CD，
∴四邊形ACEF為正方形. ………………………………………………………(9分)
∵點(diǎn)BD平分∠ABC，BD= ，∴點(diǎn)D到AB、BC的距離h為4，
∴ =6. ，
， ，
∵ ，∴ + =6+2BC，
∴BC=5或BC=-3(舍去)，∴BC=5. ……………………………………………(12分)
6.(本小題滿分12分)
解：⑴如圖1，分別過點(diǎn)作AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，∵BC=20，∠C=180°-∠ABC=60°，
∴CN=10=DM，BN= ，∴CD=60.
∵△CPQ∽△DAQ，∴ ，
∴ ，∴ ， (不合題意)， ∴t=10.…………………(5分)
圖1 圖2
⑵當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，如圖2，過P作FG⊥CD于G，交AB延長線于F.
∴PF= ，PG= ，
∴ ， ，
=500 -
- - ，= . ( )………(8分)
當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長線上時(shí)，如圖3，過P作PH⊥AB于H，則
設(shè)AP與CD交于點(diǎn)E，
∵ ，∴ ,
∴QE=CQ-CE= .
∴y=
= . ( ) ………………………………………(12分)
如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長線于點(diǎn)D，已知∠D=30°.
⑴求∠A的度數(shù);
⑵若點(diǎn)F在⊙O上，CF⊥AB，垂足為E，CF= ，求圖中陰影部分的面積.
2. 先閱讀下面材料，然后解答問題：(本小題滿分10分)
【材料一】：如圖⑴，直線l上有 、 兩個(gè)點(diǎn)，若在直線l上要確定一點(diǎn)P，且使點(diǎn)P到點(diǎn) 、 的距離之和最小，很明顯點(diǎn)P的位置可取在 和 之間的任何地方，此時(shí)距離之和為 到 的距離.
如圖⑵，直線l上依次有 、 、 三個(gè)點(diǎn)，若在直線l上要確定一點(diǎn)P，且使點(diǎn)P到點(diǎn) 、 、 的距離之和最小，不難判斷，點(diǎn)P的位置應(yīng)取在點(diǎn) 處，此時(shí)距離之和為 到 的距離. (想一想，這是為什么?)
不難知道，如果直線l上依次有 、 、 、 四個(gè)點(diǎn)，同樣要確定一點(diǎn)P，使它到各點(diǎn)的距離之和最小，則點(diǎn)P應(yīng)取在點(diǎn) 和 之間的任何地方;如果直線l上依次有 、 、 、 、 五個(gè)點(diǎn)，則相應(yīng)點(diǎn)P的位置應(yīng)取在點(diǎn) 的位置.
圖⑴
圖⑵
【材料二】：數(shù)軸上任意兩點(diǎn)a、b之間的距離可以表示為 .
【問題一】：若已知直線l上依次有點(diǎn) 、 、 、……、 共25個(gè)點(diǎn)，要確定一點(diǎn)P，使它到已知各點(diǎn)的距離之和最小，則點(diǎn)P的位置應(yīng)取在 ;
若已知直線l上依次有點(diǎn) 、 、 、……、 共50個(gè)點(diǎn)，要確定一點(diǎn)P，使它到已知各點(diǎn)的距離之和最小，則點(diǎn)P的位置應(yīng)取在 .
【問題二】：現(xiàn)要求 的最小值，
根據(jù)問題一的解答思路，可知當(dāng)x值為 時(shí)，上式有最小值為 .
3. (本小題滿分10分)
如圖①，一條筆直的公路上有A、B、C 三地，B、C 兩地相距 150 千米，甲、乙兩輛汽車分別從B、C 兩地同時(shí)出發(fā)，沿公路勻速相向而行，分別駛往C、B 兩地.甲、乙兩車到A 地的距離 、 (千米)與行駛時(shí)間 x(時(shí))的關(guān)系如圖②所示.
根據(jù)圖象進(jìn)行以下探究：
⑴請?jiān)趫D①中標(biāo)出 A地的位置，并作簡要的文字說明;
⑵求圖②中M點(diǎn)的坐標(biāo)，并解釋該點(diǎn)的實(shí)際意義.
⑶在圖②中補(bǔ)全甲車的函數(shù)圖象，求甲車到 A地的距離 與行駛時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式.
⑷A地設(shè)有指揮中心，指揮中心及兩車都配有對講機(jī)，兩部對講機(jī)在15千米之內(nèi)(含15千米)時(shí)能夠互相通話，求兩車可以同時(shí)與指揮中心用對講機(jī)通話的時(shí)間.
4.(本小題滿分10分)
已知拋物線 (a≠0)的頂點(diǎn)在直線 上，且過點(diǎn)A(4，0).
⑴求這個(gè)拋物線的解析式;
⑵設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為P，是否在拋物線上存在一點(diǎn)B，使四邊形OPAB為梯形?若存在，求出點(diǎn)B的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.
⑶設(shè)點(diǎn)C(1，-3)，請?jiān)趻佄锞€的對稱軸確定一點(diǎn)D，使 的值，請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo).
5.(本小題滿分12分)
定義：只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形，連結(jié)它的兩個(gè)非直角頂點(diǎn)的線段叫做這個(gè)損矩形的直徑.
⑴如圖1，損矩形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，則該損矩形的直徑是線段 .
圖1
⑵在線段AC上確定一點(diǎn)P，使損矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都在以P為圓心的同一圓上(即損矩形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上)，請作出這個(gè)圓，并說明你的理由. 友情提醒：“尺規(guī)作圖”不要求寫作法，但要保留作圖痕跡.
圖2
⑶如圖2，，△ABC中，∠ABC=90°，以AC為一邊向形外作菱形ACEF，D為菱形ACEF的中心，連結(jié)BD，當(dāng)BD平分∠ABC時(shí)，判斷四邊形ACEF為何種特殊的四邊形?請說明理由. 若此時(shí)AB=3，BD= ，求BC的長.
6.(本小題滿分12分)
已知在梯形ABCD中，AB∥DC，且AB=40cm，AD=BC=20cm，∠ABC=120°.點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以1cm/s的速度沿著射線BC運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以2cm/s的速度沿著線段CD運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，所有運(yùn)動(dòng)都停止. 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
⑴如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上且△CPQ∽△DAQ時(shí)，求t的值;
⑵在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)△APQ與梯形ABCD重疊部分的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍;
參考答案
1.(本小題滿分10分)
⑴解：連結(jié)OC，∵CD切⊙O于點(diǎn)C，∴∠OCD=90°. ………………………………(1分)
∵∠D=30°，∴∠COD=60°. …………………(2分)
∵OA=OC，∴∠A=∠ACO=30°. ………………(4分)
⑵∵CF⊥直徑AB， CF= ，∴CE= ，…………(5分)
∴在Rt△OCE中，OE=2，OC=4. ……………………(6分)
∴ ， .…………………………(8分)
∴ …………………………………………………(10分)
2. 先閱讀下面材料，然后解答問題：(本小題滿分10分)
問題一：點(diǎn) 處 …………(3分) 點(diǎn) 和 之間的任何地方 ………(6分)
問題二：48 …………(8分) 1225 ………(10分)
3. (本小題滿分10分)
⑴A 地位置如圖所示.使點(diǎn)A滿足AB ∶AC=2∶3 . ……………………………… (2分)
⑵乙車的速度150÷2=75千米/時(shí),
，∴M(1.2，0) ………………(3分)
所以點(diǎn) M表示乙車 1.2 小時(shí)到達(dá) A地.…(4分)
⑶甲車的函數(shù)圖象如圖所示. …………(5分)
當(dāng) 時(shí)， ;…………(6分)
當(dāng) 時(shí)， . …………(7分)
⑷由題意得 ，得 ; ，得 .
∴ …………………………………………………………………………(9分)
∴兩車同時(shí)與指揮中心通話的時(shí)間為 小時(shí). …………………………(10分)
4.(本小題滿分10分)
⑴∵拋物線過點(diǎn)(0，0)、(4，0)，
∴拋物線的對稱軸為直線 . ………………………………………………………(1分)
∵頂點(diǎn)在直線 上， ∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，-2). …………………………(3分)
故設(shè)拋物線解析式為 ，
∵過點(diǎn)(0，0)，∴ ，∴拋物線解析式為 ………………………(5分)
⑵當(dāng)AP∥OB時(shí)，
如圖，∠BOA=∠OAP=45°，過點(diǎn)B作BH⊥x軸于H，則OH=BH.
設(shè)點(diǎn)B(x，x)，故 ，解得x=6或x=0(舍去)…………………………(6分)
∴B(6，6). …………………………………………………………………………(7分)
當(dāng)OP∥AB時(shí)，同理設(shè)點(diǎn)B(4-x，x)
故 ，解得x=6或x=0(舍去)，∴B(-2，6) .……(8分)
H
⑶D(2，-6).………………………………………………………………………………(10分)
5.(本小題滿分12分)
解：⑴AC;…………………………………………………………………………………(1分)
⑵作圖如圖;…………………………………………………………………………(3分)
∵點(diǎn)P為AC中點(diǎn)，∴PA=PC= AC.
∵∠ABC=∠ADC=90°，∴BP=DP= AC，∴PA=PB=PC=PD，…………(4分)
∴點(diǎn)A、B、C、D在以P為圓心， AC為半徑的同一個(gè)圓上. ………………(5分)
⑶解：∵菱形ACEF，∴∠ADC=90°AE=2AD，EC=2CD，∴四邊形ABCD為損矩形，
∴由⑵可知，點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)圓上. ……………………………………(7分)
∵ AM平分∠BAD，∴∠ABD=∠CBD=45°，∴ ，∴AD=CD，
∴四邊形ACEF為正方形. ………………………………………………………(9分)
∵點(diǎn)BD平分∠ABC，BD= ，∴點(diǎn)D到AB、BC的距離h為4，
∴ =6. ，
， ，
∵ ，∴ + =6+2BC，
∴BC=5或BC=-3(舍去)，∴BC=5. ……………………………………………(12分)
6.(本小題滿分12分)
解：⑴如圖1，分別過點(diǎn)作AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，∵BC=20，∠C=180°-∠ABC=60°，
∴CN=10=DM，BN= ，∴CD=60.
∵△CPQ∽△DAQ，∴ ，
∴ ，∴ ， (不合題意)， ∴t=10.…………………(5分)
圖1 圖2
⑵當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，如圖2，過P作FG⊥CD于G，交AB延長線于F.
∴PF= ，PG= ，
∴ ， ，
=500 -
- - ，= . ( )………(8分)
當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長線上時(shí)，如圖3，過P作PH⊥AB于H，則
設(shè)AP與CD交于點(diǎn)E，
∵ ，∴ ,
∴QE=CQ-CE= .
∴y=
= . ( ) ………………………………………(12分)